第1課時(shí)圓周角和圓心角的關(guān)系

3.4圓周角和圓心角的關(guān)系第三章圓第1課時(shí)圓周角和圓心角的關(guān)系

問題1

什么叫圓心角？指出圖中的圓心角.頂點(diǎn)在圓心，角的兩邊與圓相交的角叫圓心角，如∠BOC.A

在射門過(guò)程中，球員射中球門的難易與它所處的位置

B對(duì)球門

AC的張角（∠ABC）有關(guān).問題2圖中的三個(gè)張角∠ABC、∠ADC和∠AEC的頂點(diǎn)各在圓的什么位置？它們的兩邊和圓是什么關(guān)系？

頂點(diǎn)在☉O上，角的兩邊分別與

☉O相交.ABDECO圓周角的定義1（兩個(gè)條件必須同時(shí)具備，缺一不可）總結(jié)頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.例如：∠ACB.ABOC·COAB·COB·COBAA·COAB·COB·COBAA1.下列各圖中的∠BAC是否為圓周角？簡(jiǎn)述理由.頂點(diǎn)A不在圓上頂點(diǎn)

A不在圓上邊

AC沒有和圓相交√√√做一做2圓周角定理及其推論當(dāng)球員在B，D，E

處射門時(shí)，他所處的位置對(duì)球門AC

分別形成三個(gè)張角∠ABC，∠ADC，∠AEC.這三個(gè)角的大小有什么關(guān)系？ABDECO如圖，∠AOB=80°.（1）請(qǐng)你畫出幾個(gè)所對(duì)的圓周角，這幾個(gè)圓周角有什么關(guān)系？與同伴進(jìn)行交流.提示：思考圓周角和圓心角有幾種不同的位置關(guān)系？做一做ABOCABOCABOCABO圓心

O

在∠C

的內(nèi)部圓心

O

在∠C

的一邊上圓心

O

在∠C

的外部(2)這些圓周角與圓心角∠AOB的大小有什么關(guān)系?猜想：

改變圓心角∠AOB的度數(shù)，上述結(jié)論還成立嗎？議一議CABOCABOCABO圓心

O

在∠C

的內(nèi)部圓心

O

在∠C

的一邊上圓心

O

在∠C

的外部

證明：(1)圓心O

在∠C

的一條邊上，如圖.情況一：圓心

O在∠C的一邊上

(特殊情形)已知：如圖，∠C

是所對(duì)的圓周角，∠AOB

是所對(duì)的圓心角.求證：CABO∴∠AOB=2∠C，∵OA=OC，∴∠A=∠C.∵∠AOB

是△AOC

的外角，∴∠AOB=∠A+∠C.CABOCABO圓心

O

在∠C

的內(nèi)部圓心

O

在∠C

的外部試一試：你能完成另兩種情況的證明嗎？合作探究已知：如圖，∠C

是所對(duì)的圓周角，∠AOB

是所對(duì)的圓心角.求證：情況二：圓心

O在∠C的內(nèi)部提示：能否轉(zhuǎn)化為前一種已證明的情況?D過(guò)點(diǎn)

C作直徑

CD.由已證可得：CABO情況三：圓心

O在∠C的外部提示：能否也轉(zhuǎn)化為第一種已證明的情況?D過(guò)點(diǎn)

C作直徑

CD.由已證可得:已知：如圖，∠C

是所對(duì)的圓周角，∠AOB

是所對(duì)的圓心角.求證：CABO圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.歸納總結(jié)CABOCABOCABO

在上面的射門游戲中，當(dāng)球員在B，D，E

處射門時(shí)，所形成三個(gè)張角∠ABC，∠ADC，∠AEC

的大小有什么關(guān)系？你能用圓周角定理證明你的結(jié)論嗎？●

O所以∠ABC

=∠ADC=∠AEC.根據(jù)圓周角定理，想一想歸納總結(jié)●

O推論：同弧所對(duì)的圓周角相等.1.

如圖，點(diǎn)

A、B、C、D在☉O上，點(diǎn)

A與點(diǎn)

D在點(diǎn)

B、C所在直線的同側(cè)，∠BAC=35°.(1)

∠BOC=

°，理由是

;(2)

∠BDC=

°，理由是

.7035同弧所對(duì)的圓周角相等一條弧所對(duì)的圓周角等于該弧所對(duì)的圓心角的一半練一練例1

如圖，OA、OB、OC

都是

⊙O

的半徑，∠AOB

=

50°，

∠BOC

=

70°.求∠ACB

和

∠BAC

度數(shù).BCO.70°A∴∠ACB

=∠AOB

=

25°.同理∠BAC

=∠BOC

=

35°.

解：∵圓心角∠AOB與圓周角∠ACB

所對(duì)的弧為，典例精析圓心角類比圓周角圓周角定義圓周角定理圓周角定理的推論1圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的一半.同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等.1.頂點(diǎn)在圓上；2.兩邊都與圓相交的角.1.判斷（1）同一個(gè)圓中等弧所對(duì)的圓周角相等（）（2）相等的弦所對(duì)的圓周角也相等（）（3）同弦所對(duì)的圓周角相等（）√××2.已知

△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)在

⊙O

上，∠BAC=50°，∠ABC=47°，

則

∠AOB=

．BACO166°3.如圖，已知圓心角∠AOB=100°，則圓周角∠ADB=

.DAOCB50°4.如圖，△ABC

的頂點(diǎn)

A、B、C都在

⊙O

上，∠C＝30°，AB＝2，則

⊙O

的半徑是