專題 勾股定理與趙爽弦圖問題（ 基礎題＆提升題＆壓軸題 ）（原卷版）

八年級下冊數(shù)學《第十七章勾股定理》專題勾股定理與趙爽弦圖問題（基礎題＆提升題＆壓軸題）基礎題基礎題1．“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學的驕傲，觀察“趙爽弦圖”（如圖），若圖中四個全等的直角三角形的兩直角邊分別為a，b，a＜b，斜邊是c，證明勾股定理的過程中用到的等式是（）A．a(chǎn)（b﹣a）＝ab﹣a2 B．（a+b）（b﹣a）＝b2﹣a2 C．（b﹣a）2+4×12ab＝c2 D．（a+b）2＝a2+2ab+2．（2022秋?朝陽區(qū)校級期末）公元3世紀初，中國古代數(shù)學家趙爽注《周髀算經(jīng)》時，創(chuàng)造了“趙爽弦圖”．如圖，設勾a＝3，弦c＝5，則小正方形ABCD的面積是（）A．1 B．2 C．3 D．43．（2021秋?溫州期中）漢代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學的瑰寶，如圖所示的弦圖中，其中四邊形ABCD和四邊形EFGH都是正方形，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四個直角三角形，當EF＝7，DE＝12時，則正方形ABCD的邊長是（）A．13 B．28 C．48 D．524．（2022秋?衡東縣期末）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成一個大正方形，設直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若ab＝24，大正方形的面積為129．則小正方形的邊長為（）A．12 B．11 C．10 D．95．（2022春?青秀區(qū)校級期末）如圖所示的圖形表示勾股定理的一種證明方法，該方法運用了祖沖之的出入相補原理．若圖中空白部分的面積是14，整個圖形（連同空白部分）的面積是36，則大正方形ABCD的邊長是．6．（2022秋?陽城縣期末）如圖，是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，此圖是由四個全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，則EF的長是．7．我國漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)造了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”．如圖是由弦圖變化得到，它是由八個全等的直角三角形拼接而成，若圖中正方形ABCD的邊長為14，正方形IJKL的邊長為2，且IJ∥AB，則正方形EFGH的邊長為．8．（2022秋?西安月考）如圖，這是由“趙爽弦圖”變化得到的，它由八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝2022，則S2的值是（）A．672 B．673 C．674 D．6759．“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理．在如圖所示的“趙爽弦圖”中，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四個全等的直角三角形，四邊形ABCD，EFGH都是正方形．若AB＝10，EF＝2，則AH的長為（）A．62 B．82 C．6 D．10．圖1是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的．若AC＝6，BC＝5，將四個直角三角形的邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到圖2所示的“數(shù)學風車”，則這個風車的外圍周長是（）A．49 B．51 C．76 D．9611．（2022春?思明區(qū)校級期中）如圖是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形面積為49，小正方形面積為4，若用x，y表示直角三角形的兩直角邊（x＞y），下列結(jié)論：①x2+y2＝49；②x﹣y＝2；③2xy+4＝49；④x+y＝7．其中正確的結(jié)論是（）A．①② B．②④ C．①②③ D．①③12．（2021秋?金臺區(qū)校級月考）四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間空出的部分是一個小正方形，這樣就組成了一個“趙爽弦圖”（如圖），大正方形的面積為13，小正方形的面積為1，則組成弦圖的每個小直角三角形的兩個直角邊和為（）A．5 B．7 C．25 D．313．（2021春?忠縣期末）本期，我們學習了用趙爽弦圖證明勾股定理．在如圖所示的趙爽弦圖中，在DH上取點M使得DM＝GH，連接AM、CM．若正方形EFGH的面積為6，則△ADM與△CDM的面積之差為（）A．3 B．2 C．3 D．不確定14．（2022秋?臺江區(qū)校級期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．將Rt△ABC繞點O依次旋轉(zhuǎn)90°、180°和270°，構(gòu)成的圖形如圖1所示．該圖是我國古代數(shù)學家趙爽制作的“勾股圓方圖”，也被稱作“趙爽弦圖”，它是我國最早對勾股定理證明的記載，也成為了2002年在北京召開的國際數(shù)學家大會的會標設計的主要依據(jù)．（1）請利用這個圖形證明勾股定理；（2）圖2所示的徽標，是我國古代弦圖的變形，該圖是由其中的一個Rt△ABC繞中心點O順時針連續(xù)旋轉(zhuǎn)3次，每次旋轉(zhuǎn)90°得到的，如果中間小正方形的面積為1cm2，這個圖形的總面積為113cm2，AD＝2cm，則徽標的外圍周長為cm．15．（2022秋?屯留區(qū)期末）閱讀與思考閱讀下列材料，完成后面的任務：趙爽“弦圈”與完全平方公式三國時期吳國的數(shù)學家趙爽創(chuàng)建了一幅“弦圖”，利用面積法給出了勾股定理的證明．實際上，該“弦圖”與完全平方公式有著密切的關系，如圖2，這是由8個全等的直角邊長分別為a，b，斜邊長為c的三角形拼成的“弦圖”．由圖可知，1個大正方形ABCD的面積＝8個直角三角形的面積+1個小正方形PQMN的面積．任務：（1）在圖2中，正方形ABCD的面積可表示為，正方形PQMN的面積可表示為．（用含a，b的式子表示）（2）根據(jù)S正方形ABCD＝8S直角三角形+S正方形PQMN，可得（a+b）2，ab，（a﹣b）2之間的關系為．（3）根據(jù)（2）中的等量關系，解決問題：已知a+b＝5，ab＝4，求（a﹣b）2的值．提升題提升題1．（2022春?包河區(qū)期末）如圖，我國古代數(shù)學家得出的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形密鋪成的大正方形，若勾為3，弦為5，則圖中四邊形ABCD的周長為．2．（2022秋?萬州區(qū)校級期末）如圖所示的圖案是我國漢代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》中“趙爽弦圖”經(jīng)修飾后的圖形，四邊形ABCD與四邊形EFGH均為正方形，點H是DE的中點，陰影部分的面積為60，則AD的長為．3．（2022春?安慶期末）代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，構(gòu)造了一副“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”．如圖，大正方形ABCD由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成，若∠ADE＝∠AED，AD＝45，則△ADE的面積為（）A．24 B．6 C．25 D．2104．（2022?大悟縣校級開學）如圖一所示，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是個小正方形，這個圖形是我國漢代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．在此圖形中連接四條線段得到如圖（2）所示的圖案，記陰影部分的面積為S1，空白部分的面積為S2，大正方形的邊長為m，小正方形的邊長為n，若S1＝S2，則nmA．3-1 B．3-12 C．5-15．（2022?宜城市一模）如圖，我國古代數(shù)學家得出的“趙爽弦圖”，是由四個全等的直角三角形和一個小正方形密鋪構(gòu)成的大正方形，直角三角形的較長邊為b，較短邊為a．若小正方形與大正方形的面積之比為1：13，則a：b＝（）A．2：5 B．3：5 C．2：3 D．1：36．（2022春?高郵市期末）趙爽的“弦圖”被譽為“中國數(shù)學界的圖騰”，它是由四個直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形．如圖為“弦圖”的一部分，正方形ABCD的邊長為13，點M、N是正方形ABCD內(nèi)的兩點，且AM＝CN＝12，BM＝DN＝5，則MN的長為．7．如圖，四個全等的直角三角形圍成正方形ABCD和正方形EFGH，即趙爽弦圖．連接AC，分別交EF、GH于點M，N，連接FN．已知AH＝3DH，且S正方形ABCD＝21，則圖中陰影部分的面積之和為（）A．214 B．215 C．225 8．（2022?瑞安市校級開學）如圖，為四個全等的直角三角形拼成的“趙爽弦圖”．連接AC，HF相交于點O，BG與AC相交于點J．若OF＝FJ，已知S△BJC＝2，則正方形ABCD的面積為（）A．42+8 B．14 C．65 D．109．如圖1，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是個小正方形，這個圖形是我國漢代趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．在弦圖中（如圖2）連結(jié)AF，DE，并延長DE交AF于點K，連結(jié)KG．若AH＝2DH=22，則KGA．2 B．322 C．5 D10．（2022春?濟寧月考）綜合與實踐．勾股定理是幾何學中的明珠，充滿著魅力，千百年來，人們對它的證明頗感興趣，其中有著名的數(shù)學家，也有業(yè)余數(shù)學愛好者．（1）我國漢代數(shù)學家趙爽創(chuàng)制了一幅如圖1所示的用4個全等的直角三角形拼成的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝b，BC＝a，AB＝c，請你利用這個圖形說明a2+b2＝c2．（2）業(yè)余數(shù)學愛好者向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個新的證法：把兩個全等的Rt△ABC和Rt△DAE按如圖2所示的方式放置，∠DAB＝∠B＝90°，AB＝AD＝c，BC＝AE＝a，AC＝DE＝b．請你利用這個圖形說明c2+a2＝b2．（提示：連接EC，CD）11．興趣小組活動時，老師提出了如下問題：將2a﹣3ab﹣4+6b因式分解．【觀察】經(jīng)過小組合作交流，小明得到了如下的解決方法：解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b）＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）＝（2﹣3b）（a﹣2）．解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b）＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）＝（a﹣2）（2﹣3b）．【感悟】對項數(shù)較多的多項式無法直接進行因式分解時，我們可以將多項式分為若干組，再利用提公因式法、公式法達到因式分解的目的，這就是因式分解的分組分解法．分組分解法在代數(shù)式的化簡、求值及方程、函數(shù)等學習中起著重要的作用．（溫馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解為止）【類比】（1）請用分組分解法將x2﹣a2+x+a因式分解；【應用】（2）“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學的驕傲，我們利用它驗證了勾股定理．如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形圍成的一個大正方形，中間是一個小正方形．若直角三角形的兩條直角邊長分別是a和b（a＞b），斜邊長是3，小正方形的面積是1．根據(jù)以上信息，先將a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值．12．（2022秋?揚州期中）著名的趙爽弦圖（如圖①，其中四個直角三角形較大的直角邊長都為a，較小的直角邊長都為b，斜邊長都為c），大正方形的面積可以表示為c2），也可以表示為4×12ab+（a﹣b）2，由此推導出重要的勾股定理：如果直角三角形兩條直角邊長為a，b，斜邊長為c，則a2+b2＝c（1）圖②為美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”，請你利用圖②推導勾股定理．（2）如圖③，在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個取水點A，B，其中AB＝AC，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點H（A、H、B在同一條直線上），并新修一條路CH，且CH⊥AB．測得CH＝1.2千米，HB＝0.9千米，求新路CH比原路CA少多少千米？（3）在第（2）問中若AB≠AC時，CH⊥AB，AC＝4，BC＝5，AB＝6，設AH＝x，求x的值．壓軸題壓軸題1．（2022春?瑞安市期中）2002年北京國際數(shù)學家大會的會徽是一個“弦圖”（如圖1）．圖2中，點P和點Q分別是線段AE和CG上的中點，連結(jié)DP，BP，DQ，BQ，則構(gòu)成了一個“壓扁”的弦圖四邊形BQDP，若記△DHQ和△BQG的面積分別為S1，S2，且S1S2=32，正方形A．12.5 B．15 C．17.5 D．202．（2023?桐鄉(xiāng)市校級開學）公元三世紀，我國漢代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》題時給出了“趙爽弦圖”．將兩個“趙爽弦圖”（如圖1）中的兩個正方形和八個直角三角形按圖2方式擺放圍成正方形MNPQ，記空隙處正方形ABCD，正方形EFGH的面積分別為S1，S2（S1＞S2），則下列四個判斷：①S1+S2=14S四邊形MNPQ；②DG＝2AF；③若∠EMH＝30°，則S1＝3S2；④若點A是線段GF的中點，則3S1＝4SA．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③3．（2022秋?溫州期末）如圖，大正方形ABCD由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼接而成．點E為小正方形的頂點，延長CE交AD于點F，連結(jié)BF交小正方形的一邊于點G，若△BCF為等腰三角形，AG＝5，則小正方形的面積為（）A．15 B．16 C．20 D．254．（2021秋?西湖區(qū)校級期中）如圖，四個全等的直角三角形與中間的小正方形EFGH拼成了一個大正方形ABCD，連結(jié)AC，交BE于點P，若正方形ABCD的面積為28，AE+BE＝7．則S△CFP﹣S△AEP的值是（）A．3.5 B．4.5 C．5 D．5.55．（2022秋?霞浦縣期中）我國古代數(shù)學家趙爽的“勾股圓方圖”是由四個全等的直角三角形（如圖1）與中間的一個小正方形拼成一個大正方形（如圖2）．（1）利用圖2正方形面積的等量關系得出直角三角形勾股的定理，該定理的結(jié)論用字母表示：；（2）用圖1這樣的兩個直角三角形構(gòu)造圖3的圖形，滿足AE＝BC＝a，DE＝AC＝b，AD＝AB＝c，∠AED＝∠ACB＝90°，求證（1）中的定理結(jié)論；（3）如圖，由四個全等的直角三角形拼成的圖形，設CE＝m，HG＝n，求正方形BDFA的面積．（用m，n表示）6．為了突出勾股定理的價值，教科書上設計了大量的探究、驗證活動，其中用“面積法”探究勾股定理的例子枚不勝舉．受“面積法”啟發(fā)，小明認為，利用趙爽弦圖的一部分就可以證明勾股定理．（1）請把下面的證明過程補充完整；已知：將兩個全等的直角三角形按圖1所示拼在一起，其中∠ACB＝∠BED＝90°，AB＝BD＝c，AC＝BE＝b，BC＝ED＝a，求證：a2+b2＝c2．證明：連接AD，過點A作AF⊥ED交DE的延長線于點F，則AF＝b﹣a．（2）應用：如圖2，已知等腰直角三角形紙片ABC，∠C＝90°，AC＝BC，AB=2+1．點D，E分別在邊AC，AB上，將△ABC沿DE所在直線折疊，使點A的對應點A'正好落在邊BC上．若△A'BE為直角三角形，請直接寫出7．（2022?南京模擬）閱讀理解：我國是最早了解勾股定理的國家之一，它被記載于我國古代的數(shù)學著作《周髀算經(jīng)》中，漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖1所示的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”（邊長為c的大正方形中放四個全等的直角三角形，兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c）．（1）請根據(jù)“趙爽弦圖”寫出勾股定理的推理過程；探索研究：（2）小亮將“弦圖”中的2個三角形進行了運動變換，得到圖2，請利用圖2證明勾股定理；問題解決：（3）如圖2，若a＝6，b＝8，此時空白部分的面積為；（4）如圖3，將這四個直角三角形緊密地拼接，形成風車狀，已知外圍輪廓（實線）的周長為24，OC＝3，求該風車狀圖案的面積．8．（2022秋?蘇州期中）我國三國時期的數(shù)學家趙爽利用四個全等的直角三角形拼成如圖1的“弦圖”（史稱“趙爽弦圖”）．（1）弦圖中包含了一大一小兩個正方形，已知每個直角三角形較長的直角邊為a，較短的直角邊為b，斜邊長為c，結(jié)合圖1，試驗證勾股定理；（2）如圖2，將四個全等的直角三角形緊密地拼接，形成“勾股風車”，已知外圍輪廓（粗線）的周長為24，OC＝3，求該“勾股風車”圖案的面積；（3）如圖3，將八個全等的直角三角形（外圍四個和內(nèi)部四個）緊密地拼接，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1、S2、S3，若S1+2S2+S3＝20，則S2＝．9．（2021春?交城縣期中）勾股定理被譽為“千古第一定理”，長期以來人們對它進行了大量的研究，找到了數(shù)百種不同的驗證方法，這些方法不但驗證了勾股定理，而且豐富了研究數(shù)學問題的方法和手段，促進了數(shù)學的發(fā)展．某數(shù)學興趣小組受“趙爽弦圖”的啟發(fā)，對勾股定理的驗證進行了如下探究：實踐操作他們裁剪出若干張大小，形狀完全相同的直角三角形紙片，三邊長分別記為a，b，c，如圖（1）所示．之后分別用4張直角三角形紙片拼成如圖（2）（3）（4）所示的形狀，通過觀察推理，驗證了勾股定理．定理驗證（1）觀察圖（2）和圖（3）可以發(fā)現(xiàn)：①它們整體上都是邊長為的正方形；②陰影部分的面積都是由4個完全相同的直角三角形組成，所以陰影的面積為；③圖（2）中空白部分面積用不同的方法表示可得關系式；圖（3）中空白部分面積用不同的方法表示可得關系式；④從而得到a2+b2＝c2．（2）興趣小組的同學通過觀察圖（4）中正方形的個數(shù)，以及它們之間的關系，驗證了勾股定理，即a2+b2＝c2.請你幫他們寫出推理驗證的完整過程．創(chuàng)新構(gòu)圖（3）一個直立的火柴盒在平面上倒下，啟迪人們發(fā)現(xiàn)了一種新的證明勾股定理的方法．如圖（5）同樣是用4個完全角三角形證明勾股定理．10．（2021春?市南區(qū)期中）【知識總結(jié)】幾何學為人們當今的科學發(fā)展做出了杰出的貢獻，中國古代數(shù)學著作《周髀算經(jīng)》有著這樣的記載：“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”．這句話的意思是：“如果直角三角形兩直角邊長為3和4時，那么斜邊的長為5”．上述記載表明了：在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，那么a，b，c三者之間的數(shù)量關系是：a2+b2＝c2．用四個全等的直角三角形拼成如圖①所示的大正方形，中間也是一個正方形．它是美麗的“趙爽弦圖”．其中四個直角三角形的直角邊長分別為a，b（a＜b），斜邊長為c．【溫故知新】（1）如圖①，求證：a2+b2＝c2；【問題解決】（2）如圖②，將這四個全等的直角三角形無縫隙無重疊地拼接在一起，得到圖形ABCDEFGH．若該圖形的周長為48，OH＝6．求該圖形的面積；（3）如圖③，將八個全等的直角三角形緊密地拼接成正方形PQMN，記正方形PQMN、正方形ABCD、