十字相乘法分解因式

十字相乘法分解因式之答祿夫天創(chuàng)作創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十日同學(xué)們都知道，爐+5+幻工+網(wǎng)型的二次三項(xiàng)式是分解因式中的罕見(jiàn)題型,那么此類(lèi)多項(xiàng)式該如何分解呢？觀察gpNx+G= 1+（尸+幻元+陽(yáng)，可知￥+5+幻工+廣守=（元+戶(hù)）（工+G.這就是說(shuō)，對(duì)二次三項(xiàng)式才+助+占，如果常數(shù)項(xiàng)b可以分解為p、q的積，而且有p+q=a,那么公+皿+占=（元+加（工+外.這就是分解因式的十字相乘法.下面舉例具體說(shuō)明怎樣進(jìn)行分解因式.例1、 因式分解工士-"56.wX7分析：因?yàn)橄纫?7x+ （-8x）=-x解：原式二（x+7）（x-8）例2、 因式分解公-lOx+15.xX-2分析：因?yàn)楣?2x+（-8x）=-10x解：原式二（x-2）（x-8）例3、 因式分解歹+1匕+0分析：該題雖然二次項(xiàng)系數(shù)不為1,但也可以用十字相乘法進(jìn)行因式分解.2yx3因?yàn)榇?9y+ 10y=19y解：原式二(2y+3)(3y+5)例4、 因式分解14#+我-27.2元X3分析：因?yàn)榫乓?21x+(-18x)=3x解：原式二(2x+3)(7x-9)例5、 因式分解13+2『一295+2)+10.分析：該題可以將(x+2)看作一個(gè)整體來(lái)進(jìn)行因式分解.2(z+2)_-5因?yàn)榭胀林?25(x+2)+[-4(x+2)]=-29(x+2)解：原式二[2(x+2)-5][5(x+2)-2]=(2x-1)(5x+8)例6、 因式分解3f尸-14(^-^)+24.分析：該題可以先將(1一m)看作一個(gè)整體進(jìn)行十字相乘法分解,接著再套用一次十字相乘.因?yàn)閉=]==—i4][-12]=]=-]=-14(1一公 a+ (-2a)a3a+(-4a)=-a解：原式二[d-3-2][(1-3-12](a+1)(a-2)(a+3)(a-4)從上面幾個(gè)例子可以看出十字相乘法對(duì)二次三項(xiàng)式的分解因式十分方便,年夜家一定要熟練掌握.但要注意,其實(shí)不是所有的二次三項(xiàng)式都能進(jìn)行因式分解，如/-2史上在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)就不能再進(jìn)一步因式分解了因式分解的一點(diǎn)彌補(bǔ)——十字相乘法宜昌九中尤啟平教學(xué)目標(biāo)1．使學(xué)生掌握運(yùn)用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三項(xiàng)式因式分解；2．進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的觀察力和思維的敏捷性.教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：正確地運(yùn)用十字相乘法把某些二次項(xiàng)系數(shù)不是1的二次三項(xiàng)式因式分解.難點(diǎn)：靈活運(yùn)用十字相乘法因分解式.教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)一、導(dǎo)入新課前一節(jié)課我們學(xué)習(xí)了關(guān)于x2+(p+q)x+pq這類(lèi)二次三項(xiàng)式的因式分解,這類(lèi)式子的特點(diǎn)是：二次項(xiàng)系數(shù)為1,常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)之積,一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)之和.因此，我們獲得x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).課前練習(xí)：下列各式因式分解1．-x2+2x+15 2．(x+y)2-8(x+y)+48；3．x4-7x2+18； 4．x2-5xy+6y2.答：1．-(x+3)(x-5)； 2．(x+y-12)(x+y+4)；3．(x+3)(x-3)(x2+2)； 4．(x-2y)(x-3y).我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了把形如x2+px+q的某些二次三項(xiàng)式因式分解,也學(xué)習(xí)了通過(guò)設(shè)輔助元的方法把能轉(zhuǎn)化為形如x2+px+q型的某些多項(xiàng)式因式分解.對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)不是1的二次三項(xiàng)式如何因式分解呢？這節(jié)課就來(lái)討論這個(gè)問(wèn)題，即把某些形如ax2+bx+c的二次三項(xiàng)式因式分解.二、新課例1 把2x2-7x+3因式分解.分析：先分解二次項(xiàng)系數(shù),分別寫(xiě)在十字交叉線的左上角和左下角,再分解常數(shù)項(xiàng),分別寫(xiě)在十字交叉線的右上角和右下角,然后交叉相乘,求代數(shù)和,使其即是一次項(xiàng)系數(shù).分解二次項(xiàng)系數(shù)(只取正因數(shù))：2=1X2=2X1；分解常數(shù)項(xiàng)：3=1X3=3X1=(-3)X(-1)=(-1)X(-3).用畫(huà)十字交叉線方法暗示下列四種情況：TOC\o"1-5"\h\z1 1 1 3 1 -11 -32X3 2X1 2X-32X-1 1X3+2X11X1+2X3 1X(-3)+2X(-1) 1X(-1)+2X(-3)=5 =7 =-5=-7經(jīng)過(guò)觀察,第四種情況是正確有.這是因?yàn)榻徊嫦喑撕?兩項(xiàng)代數(shù)和恰即是一次項(xiàng)系數(shù)-7.解2x2-7x+3=(x-3)(2x-1).一般地，對(duì)二次三項(xiàng)式ax2+bx+c(aW0),如果二次項(xiàng)系數(shù)a可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即a=a1a2,常數(shù)項(xiàng)c可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即c=c1c2,把a(bǔ)1,%c1,c2排列如下：a1 c1 a2Xc2a1c2+a2c1按斜線交叉相乘,再相加,獲得a1c2+a2c1,若它正好即是二次三項(xiàng)式ax2+bx+c的一次項(xiàng)系數(shù)b,即a1c2+a2c1=b,那么二次三項(xiàng)式就可以分解為兩個(gè)因式a1x+c1與a2x+c2之積，即ax2+bx+c= ( a1x+c1 )(a2x+c2).像這種借助開(kāi)十字交叉線分解系數(shù),從而幫手我們把二次三項(xiàng)式分解因式的方法,通常叫做十字相乘法.例2把6*2-7*-5分解因式.分析：依照例1的方法,分解二次項(xiàng)系數(shù)6及常數(shù)項(xiàng)-5,把它們分別排列,可有8種分歧的排列方法,其中的一種2 1 3 X-52X(-5)+3X1=-7是正確的,因此原多項(xiàng)式可以用直字相乘法分解因式.解6x2-7x-5=(2x+1)(3x-5).指出：通過(guò)例1和例2可以看到,運(yùn)用十字相乘法把一個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)不是1的二次三項(xiàng)式因式分解,往往要經(jīng)過(guò)屢次觀察,才華確定是否可以用十字相乘法分解因式.對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式,也可以用十字相乘法分解因式,這時(shí)只需考慮如何把常數(shù)項(xiàng)分解因數(shù).例如把x2+2x-15分解因式,十字相乘法是1 -3 1X51X5+1X(-3)=2所以x2+2xT5=(x-3)(x+5).例3 把5x2+6xy-8y2分解因式.分析：這個(gè)多項(xiàng)式可以看作是關(guān)于x的二次三項(xiàng)式，把-8y2看作常數(shù)項(xiàng),在分解二次項(xiàng)及常數(shù)項(xiàng)系數(shù)時(shí),只需分解5與-8,用十字交叉線分解后,經(jīng)過(guò)觀察,選取合適的一組,即1 2 5X-41X(-4)+5X2=6解 5x2+6xy-8y2=(x+2y)(5x-4y).指出：原式分解為兩個(gè)關(guān)于x,y的一次式.例4把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式.分析：這個(gè)多項(xiàng)式是兩個(gè)因式之積與另一個(gè)因數(shù)之差的形式,只有先化簡(jiǎn),進(jìn)行多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算,把變形后的多項(xiàng)式再因式分解.問(wèn)：兩個(gè)乘積的式子有什么特點(diǎn),用什么方法進(jìn)行多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算最簡(jiǎn)便？答：第二個(gè)因式中的前兩項(xiàng)如果提出公因式2,就釀成2(x-y),它是第一個(gè)因式的二倍，然后把(x-y)看作一個(gè)整體進(jìn)行乘法運(yùn)算，可把原多項(xiàng)式變形為關(guān)于(x-y)的二次三項(xiàng)式，就可以用址字相乘法分解因式了.解(x-y)(2x-2y-3)-2=(x-y)[2(x-y)-3]-2 1-2=2(x-y)2-3(x-y)-2 2X+1=[(x-y)-2] [2(x-y)+1]1X1+2X(-2)=-3=(x-y-2)(2x-2y+1).指出：把(x-y)看作一個(gè)整體進(jìn)行因式分解，這又是運(yùn)用了數(shù)學(xué)中的“整體”思想方法.三、課堂練習(xí)1．用十字相乘法因式分解：(1)2x2-5x-12； (2)3x2-5x-2； (3)6x2-13x+5；(4)7x2-19x-6； (5)12x2-13x+3； (6)4x2+24x+27.2．把下列各式因式分解：(1)6x2-13x+6y2； (2)8x2y2+6xy-35；(3)18x2-21xy+5y2； (4)2(a+b)2+(a+b)(a-b)-6(a-b)2.謎底：1.(1)(x-4)(2x+3)； (2)(x-2)(3x+1)；(3)(2x-1)(3x-5)； (4)(x-3)(7x+2)；(5)(3x-1)(4x-3)； (6)(2x+3)(2x+9).2.(1)(2x-3y)(3x-2y)； (2)(2xy+5)(4xy-7)；(3)(3x-y)(6x-5y)； (4)(3a-b)(5b-a).四、小結(jié).用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三項(xiàng)式分解因式時(shí),應(yīng)注意以下問(wèn)題：(1)正確的十字相乘必需滿(mǎn)足以下條件：a1c1在式子 中，豎向的兩個(gè)數(shù)必需滿(mǎn)足關(guān)系a1a2=a,c1c2=c；在上式中，斜a2 c2向的兩個(gè)數(shù)必需滿(mǎn)足關(guān)系a1c2+a2c1=b,分解思路為“看兩端,湊中間.”(2)由十字相乘的圖中的四個(gè)數(shù)寫(xiě)出分解后的兩個(gè)一次因式時(shí)，圖的上一行兩個(gè)數(shù)中，a1是第一個(gè)因式中的一次項(xiàng)系數(shù)，c1是常數(shù)項(xiàng)；在下一行的兩個(gè)數(shù)中，a2是第二個(gè)因式中的一次項(xiàng)的系數(shù)，c2是常數(shù)項(xiàng).(3)二次項(xiàng)系數(shù)a一般都把它看作是正數(shù)(如果是負(fù)數(shù)，則應(yīng)提出負(fù)號(hào),利用恒等變形把它轉(zhuǎn)化為正數(shù)),只需把經(jīng)分解在兩個(gè)正的因數(shù).2．形如x2+px+q的某些二次三項(xiàng)式也可以用十字相乘法分解因式.3.凡是可用代換的方法轉(zhuǎn)化為二次三項(xiàng)式ax2+bx+c的多項(xiàng)式,有些也可以用十字相乘法分解因式,如例4.五、作業(yè)1．用十字相乘法分解因式：(1)2x2+3x+1； (2)2y2+y-6； (3)6x2-13x+6； (4)3a2-7a-6；(5)6x2-11xy+3y2； (6)4m2+8mn+3n2； (7)10x2-21xy+2y2；(8)8m2-22mn+15n2.2．把下列各式分解因式：(1)4n2+4n-15； (2)6a2+a-35； (3)5x2-8x-13；

（4）4x2+15x+9；（5）15x2+x-2；（6）6y2+19y+10；（7）20-9y-20y（4）4x2+15x+9；（5）15x2+x-2；（6）6y2+19y+10；（7）20-9y-20y2；（8）7（x-1）2+4（x-1）（y+2）-20（y+2）2.謎底：1．（1）（2x+1）（x+1）；（2y-3）；（3）（2x-3）（3x-2）；（3a+2）；（5）（2x-3y）（3x-y）；（2m+3n）；（7）（x-2y）（10x-y）；（4m-5n）.（2）（y+2）（4）（a-3）（6）（2m+n）（8）（2m-3n）2．（1）（2n-3）（2n+5）；（2）（2a+5）（3）（x+1）（5x-13）；（4x+3）；（5）（3x-1）（5x+2）；（3y+2）；（7）-（4y+5）（5y-4）；（7x-10y-27）.（4）（x+3）（6）（2y+5）（8）（x+2y+3）（4）（x+3）（6）（2y+5）（8）（x+2y+3）1．為了使學(xué)生切實(shí)掌握運(yùn)用十字相乘法把某些二次三項(xiàng)式因式分解的思路和方法,在教學(xué)設(shè)計(jì)中,先通過(guò)例1,較祥盡地講解借助畫(huà)十字交叉線分解系數(shù)的具體方法,在此基礎(chǔ)上再進(jìn)一步概括如何運(yùn)用十字相乘法把二次三項(xiàng)式ax2+bx+c進(jìn)行因式分解的一般思路和方法.只有使學(xué)生掌握了十字相乘法的一般法則,才華進(jìn)一步指導(dǎo)解決各種具體的問(wèn)題,這種從特殊到一般,再?gòu)囊话愕教厥獾恼J(rèn)識(shí)問(wèn)