2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊?？键c微專題提分精練（蘇科版）專題12 動點中的相似含解析

2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊?？键c微專題提分精練專題12動點中的相似1．如圖，在矩形ABCD中，，，點P是邊AB上一點，若與相似，則滿足條件的點P有______個2．如圖，在平面直角坐標系中，已知點A(16,0)和B(0,12)，點C是AB的中點，點P在折線AOB上，直線CP截△AOB所得的三角形與△AOB相似，則點P的坐標是____.3．如圖所示，在中，，，，點從開始沿邊向點以的速度移動；點從開始沿邊向點以的速度移動，如果，同時出發(fā)，用表示時間，那么當______時，以，，為頂點的三角形與相似．4．如圖，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝9cm．動點P從點A出發(fā)以2cm/s的速度向點B運動，動點Q從點C出發(fā)以1cm/s的速度向點A運動．兩點同時出發(fā)，其中一點到達終點時，另一點也停止運動．當運動時間t＝_____s時，以A、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似．5．如圖，中，，，，點是邊上一點，將沿經(jīng)過點的直線折疊，使得點落在邊上的處，若恰好和相似，則此時的長為______．6．如圖所示，在矩形中，，，兩只小蟲P和Q同時分別從A，B出發(fā)沿、向終點B，C方向前進，小蟲P每秒走，小蟲Q每秒走，它們同時出發(fā)t秒時，以P、B、Q為頂點的三角形與以A、C、D為頂點的三角形相似，則_____秒．7．如圖，在正方形ABCD中，AB＝2，P是BC邊上與B、C不重合的任意一點，DQ⊥AP于點Q（1）判斷△DAQ與△APB是否相似，并說明理由．（2）當點P在BC上移動時，線段DQ也隨之變化，設(shè)PA＝x，DQ＝y(tǒng)，求y與x間的函數(shù)關(guān)系式，并求出x的取值范圍．8．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8m，BC=6m，點P由C點出發(fā)以2m/s的速度向終點A勻速移動，同時點Q由點B出發(fā)以1m/s的速度向終點C勻速移動，當一個點到達終點時另一個點也隨之停止移動．（1）經(jīng)過幾秒△PCQ的面積為△ACB的面積的？（2）經(jīng)過幾秒，△PCQ與△ACB相似？9．（2017四川省遂寧市）如圖，直線與雙曲線相交于A（-1，2）和B（2，）兩點，與軸交于點C，與x軸交于點D．(1)求m，n的值；(2)在y軸上是否存在一點P，是△BCP與△OCD相似，若存在求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．10．如圖，在中，，，點P從A點出發(fā)，沿著以每秒的速度向B點運動；同時點Q從C點出發(fā)，沿以每秒的速度向A點運動，設(shè)運動時間為x秒．（1）當時，求的值；（2）當x為何值時，；（3）是否存在某一時刻，使與相似？若存在，求出此時的長；若不存在，請說理由．11．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝12，動點M從A點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿著AC方向向C點運動，動點N從C點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿著CB方向向B點運動，如果M，N兩點同時出發(fā)，當M到達C點處時，兩點都停止運動，設(shè)運動的時間為t秒，四邊形AMNB的面積為S．（1）用含t的代數(shù)式表示：CM＝，CN＝．（2）當t為何值時，△CMN與△ABC相似？（3）求S和t的關(guān)系式（寫出自變量t的取值范圍）；當t取何值時，S的最小，并求最小值．12．如圖，在中，，，，動點從點出發(fā)，在邊上以每秒的速度向點勻速運動，同時動點從點出發(fā)，在邊上以每秒的速度向點勻速運動，設(shè)運動時間為秒（），連接．（1）用含的代數(shù)式表示；（2）若與相似，求的值．13．如圖，在中，，，點從點出發(fā)，沿以每秒的速度向點運動，同時點從點出發(fā)，沿以每秒的速度向點運動，設(shè)運動的時間為秒.（1）當為何值時，與相似？（2）當時，請直接寫出的值.14．已知：Rt△OAB在直角坐標系中的位置如圖所示，點B的坐標為（4，2），P為OB的中點，點C為折線OAB上的動點，線段PC把Rt△OAB分割成兩部分，問：點C在什么位置時，分割得到的三角形與Rt△OAB相似？要求在圖上畫出所有符合要求的線段PC，并求出相應(yīng)的點C的坐標．15．如圖，點A（10，0），B（0，20），連接AB，動點M、N分別同時從點A，O出發(fā)，以1單位長度/秒和2單位長度/秒的速度向終點O、B移動，當其中一點到達終點時停止運動，移動時間為t秒．（1）用含t的代數(shù)式表示點M的坐標為______，點N的坐標為_____；（2）當t為何值時，△MON與△AOB相似．16．如圖，在Rt中，，，，點P從點A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AB運動；同時，點Q從點B出發(fā)，以2cm/s的速度沿BC運動．當點Q到達點C時，P、Q兩點同時停止運動．設(shè)點P、Q運動時間為．當與相似時，的值是多少？17．如圖，四邊形OABC是矩形，點A的坐標為（0，6）點C的坐標為（4，0），點P從點A出發(fā)，沿AB以每秒2個單位長度的速度向點B出發(fā)，同時點Q從點B出發(fā)，沿BC以每秒3個單位長度的速度向點C運動，當點P與點B重合時，點P、Q同時停止運動．設(shè)運動時間為t秒．(1)當t=1時，請直接寫出△BPQ的面積為；(2)當△BPQ與△COQ相似時，求t的值；(3)當反比例函數(shù)y=（x>0）的圖象經(jīng)過點P、Q兩點時．①求k的值；②點M在x軸上，點N在反比例函數(shù)y=的圖象上，若以點M、N、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出所有滿足條件的M的坐標．18．如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的邊BC與x軸、y軸的交點分別為C（8，0），B（0，6），CD＝5，拋物線y＝ax2﹣x+c（a≠0）過B，C兩點，動點M從點D開始以每秒5個單位長度的速度沿D→A→B→C的方向運動到達C點后停止運動．動點N從點O以每秒4個單位長度的速度沿OC方向運動，到達C點后，立即返回，向CO方向運動，到達O點后，又立即返回，依此在線段OC上反復(fù)運動，當點M停止運動時，點N也停止運動，設(shè)運動時間為t．(1)求拋物線的解析式；(2)求點D的坐標；(3)當點M，N同時開始運動時，若以點M，D，C為頂點的三角形與以點B，O，N為頂點的三角形相似，直接寫出t的值．專題12動點中的相似1．如圖，在矩形ABCD中，，，點P是邊AB上一點，若與相似，則滿足條件的點P有______個【答案】3【分析】設(shè)AP為x，表示出PB=8-x，然后分AD和PB是對應(yīng)邊，AD和BC是對應(yīng)邊兩種情況，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求解即可．【詳解】解：設(shè)AP為x，，，和PB是對應(yīng)邊時，與相似，，即，整理得，，解得，，和BC是對應(yīng)邊時，與相似，，即，解得，所以，當、4、時，與相似，滿足條件的點P有3個．故答案為3．【點睛】本題考查了相似三角形的判定，主要利用了相似三角形對應(yīng)邊成比例，難點在于要分情況討論．2．如圖，在平面直角坐標系中，已知點A(16,0)和B(0,12)，點C是AB的中點，點P在折線AOB上，直線CP截△AOB所得的三角形與△AOB相似，則點P的坐標是____.【答案】（0，6）（8，0）（，0）【分析】根據(jù)題意可以分情況進行討論：①,②,③,根據(jù)三種情況進而求出點P坐標.【詳解】解：根據(jù)題意可以分情況進行討論：①此時：,因為,進而得出,，②此時：,因為,進而得出,，③此時：,因為,進而得出,,故答案為：，，.【點睛】本題考查的是相似的知識點，解題關(guān)鍵在于對不同情況的討論.3．如圖所示，在中，，，，點從開始沿邊向點以的速度移動；點從開始沿邊向點以的速度移動，如果，同時出發(fā)，用表示時間，那么當______時，以，，為頂點的三角形與相似．【答案】或3【分析】分△OPQ∽△OAB與△OPQ∽△OBA兩種情況進行分類討論．【詳解】∵在中，，，，∴OB2＝AB2?OA2，∴OB＝6，當△OPQ∽△OAB時，，即，解得x＝3；當△OPQ∽△OBA時，，即，解得x＝綜上所述，當x＝3或時，以P、O、Q為頂點的三角形與△AOB相似．故答案為：或3．【點睛】本題考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的對應(yīng)邊成比例是解答此題的關(guān)鍵．4．如圖，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝9cm．動點P從點A出發(fā)以2cm/s的速度向點B運動，動點Q從點C出發(fā)以1cm/s的速度向點A運動．兩點同時出發(fā)，其中一點到達終點時，另一點也停止運動．當運動時間t＝_____s時，以A、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似．【答案】【分析】分△APQ∽△ABC、△AQP∽△ABC兩種情況，列出比例式，計算即可．【詳解】解：由題意得：AP＝2tcm，CQ＝tcm，則AQ＝（9﹣t）cm，∵當t=6÷2=3∴0≤t≤3∵∠PAQ＝∠BAC，∴當＝時，△APQ∽△ABC，∴＝，解得：t＝，當＝時，△AQP∽△ABC，∴＝，解得：t＝，∵3，故舍去綜上所述：當t＝時，以A、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似，故答案為：．【點睛】解此類題的關(guān)鍵是在運動中尋找相似圖形，當運動的時間為t時，要用t來表示相關(guān)線段的長度，得出與變量有關(guān)的比例式，從而得到函數(shù)關(guān)系．解題時注意數(shù)形結(jié)合，考慮全面，做好分類討論．5．如圖，中，，，，點是邊上一點，將沿經(jīng)過點的直線折疊，使得點落在邊上的處，若恰好和相似，則此時的長為______．【答案】或．【分析】先利用30o角直角三角形的性質(zhì)求出斜邊AB=4，再由勾股定理求直角邊BC=2，當PA′∥AC和PA′⊥AB時兩種情況證明三角形相似，利用相似，列出比例構(gòu)造方程，求出AP即可【詳解】解：在中，，，，，，∵將沿經(jīng)過點的直線折疊，使得點落在邊上的處，∴AP=A′P，設(shè)．①如圖1中，當PA′∥AC時，，，，，，，∴；②如圖2中，當PA′⊥AB時，，，∴，，，，∴，綜上所述，滿足條件的值為或．故答案為：或．【點睛】本題考查直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握直角三角形的性質(zhì)，和相似三角形的判定方法，會利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)造方程，利用方程解決問題是關(guān)鍵6．如圖所示，在矩形中，，，兩只小蟲P和Q同時分別從A，B出發(fā)沿、向終點B，C方向前進，小蟲P每秒走，小蟲Q每秒走，它們同時出發(fā)t秒時，以P、B、Q為頂點的三角形與以A、C、D為頂點的三角形相似，則_____秒．【答案】2或5##5或2【分析】要使以P、B、Q為頂點的三角形與以A、C、D為頂點的三角形相似，則要分兩種情況進行分析．分別是或，從而解得所需的時間．【詳解】解：①若，則，即，解得；②若，則，即，解得．故答案為：2或5．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．二、解答題7．如圖，在正方形ABCD中，AB＝2，P是BC邊上與B、C不重合的任意一點，DQ⊥AP于點Q（1）判斷△DAQ與△APB是否相似，并說明理由．（2）當點P在BC上移動時，線段DQ也隨之變化，設(shè)PA＝x，DQ＝y(tǒng)，求y與x間的函數(shù)關(guān)系式，并求出x的取值范圍．【答案】（1）△DAQ∽△APB，見解析；（2）y＝，2＜x＜2【分析】（1）根據(jù)四邊形ABCD是正方形，得AD∥BC，∠B＝90°，∠DAP＝∠APB，根據(jù)DQ⊥AP，得∠B＝∠AQD，即可證出△DAQ∽△APB；（2）根據(jù)△DAQ∽△APB，得，再把AB＝2，DA＝2，PA＝x，DQ＝y(tǒng)代入得出，y＝．根據(jù)點P在BC上移到C點時，PA最長，求出此時PA的長即可得出x的取值范圍．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∠B＝90°，∴∠DAP＝∠APB，∵DQ⊥AP，∴∠AQD＝90°，∴∠B＝∠AQD，∴△DAQ∽△APB；（2）∵△DAQ∽△APB，∴，∵AB＝2，四邊形ABCD是正方形，∴DA＝2，∵PA＝x，DQ＝y(tǒng)，∴，∴y＝．∵點P在BC上移到C點時，PA最長，此時PA＝，又∵P是BC邊上與B、C不重合的任意一點，∴x的取值范圍是；2＜x＜2．【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用相似三角形對應(yīng)邊成比例求出函數(shù)關(guān)系式．8．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8m，BC=6m，點P由C點出發(fā)以2m/s的速度向終點A勻速移動，同時點Q由點B出發(fā)以1m/s的速度向終點C勻速移動，當一個點到達終點時另一個點也隨之停止移動．（1）經(jīng)過幾秒△PCQ的面積為△ACB的面積的？（2）經(jīng)過幾秒，△PCQ與△ACB相似？【答案】（1）2秒或4秒；（2）秒或秒【分析】（1）分別表示出線段PC和線段CQ的長后利用S△PCQ=S△ABC列出方程求解；（2）設(shè)運動時間為ts，△PCQ與△ACB相似，當△PCQ與△ACB相似時，則有或，分別代入可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值．【詳解】解：（1）設(shè)經(jīng)過x秒△PCQ的面積為△ACB的面積的，由題意得：PC=2xm，CQ=（6﹣x）m，則×2x（6﹣x）=××8×6，解得：x=2或x=4．故經(jīng)過2秒或4秒，△PCQ的面積為△ACB的面積的；（2）設(shè)運動時間為ts，△PCQ與△ACB相似．當△PCQ與△ACB相似時，則有或，所以，或，解得t=，或t=．因此，經(jīng)過秒或秒，△OCQ與△ACB相似；【點睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．9．（2017四川省遂寧市）如圖，直線與雙曲線相交于A（-1，2）和B（2，）兩點，與軸交于點C，與x軸交于點D．(1)求m，n的值；(2)在y軸上是否存在一點P，是△BCP與△OCD相似，若存在求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，點P有2個，即（0，﹣1）和（0，﹣3）．【分析】（1）把點A、B的坐標分別代入反比例函數(shù)解析式求得k、b的值，然后將點A、B的坐標分別代入一次函數(shù)解析式，利用方程組求得它們的值；（2）需要分類討論：，，由坐標與圖形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)進行解答．（1）解：∵A（﹣1，2）和B（2，b）在雙曲線（k≠0）上，∴k=﹣1×2=2b，解得b=﹣1，∴B（2，﹣1）．∵A（﹣1，2）和B（2，﹣1）在直線（m≠0）上，∴，解得：，∴m=-1，n=1；（2）在y軸上存在這樣的點P，理由如下：①如圖，過點B作交y軸于點P，∴△PCB∽△OCD，∵B（2，﹣1），∴P（0，﹣1）；②過點B作交y軸于點P，∴，由（1）知，，∴C（0，1），D（1，0），∴OC=OD，∴△OCD是等腰直角三角形，∴是等腰直角三角形，∴，∴（0，﹣3），∴這樣的點P有2個，即（0，﹣1）和（0，﹣3）．【點睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合應(yīng)用．正確求出反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式，熟練掌握一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．本題還考查了動點問題，根據(jù)題意，找出動點的位置是解題的關(guān)鍵．10．如圖，在中，，，點P從A點出發(fā)，沿著以每秒的速度向B點運動；同時點Q從C點出發(fā)，沿以每秒的速度向A點運動，設(shè)運動時間為x秒．（1）當時，求的值；（2）當x為何值時，；（3）是否存在某一時刻，使與相似？若存在，求出此時的長；若不存在，請說理由．【答案】（1）；（2）當x=時，PQ∥BC；（3）存在，AP的長為20cm或cm時，與相似.【分析】（1）當CQ=9時，可求出x，從而求出AP，即可求出BP，然后根據(jù)兩個三角形兩底上的高相等時，這兩個三角形的面積比等于這兩個底的比，即可解決問題；（2）由題可得AP=4x，CQ=3x，BP=20-4x，AQ=30-3x，若PQ∥BC，則有△APQ∽△ABC，然后運用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題；（3）題目未指定相似的對應(yīng)關(guān)系，應(yīng)分兩種情況討論，由BA=BC得∠A=∠C，要使△APQ∽△CQB，只需，列出方程求解即可．同理：要使時，建立方程求解即可得出結(jié)論．【詳解】（1）當CQ=9時，則x=3，則AP=4×3=12cm，PB=20-12=8cm，∴；（2）由題可得AP=4x，CQ=3x，∵BA=BC=20，AC=30，∴BP=20-4x，AQ=30-3x，若PQ∥BC，則有△APQ∽△ABC，∴，∴，解得：x=，∴當x=時，PQ∥BC；（3）存在，理由如下：∵BA=BC，∴∠A=∠C，使與相似，有兩種情況.I.要使△APQ∽△CQB，只需，此時，解得：x=，∴AP=4x=，II.要使，，，（舍或，，即：的長為或時與相似.【點睛】本題是對相似三角形的綜合考查，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、解方程、兩個三角形的面積比等于兩個底的比等知識是解決本題的關(guān)鍵.11．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝12，動點M從A點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿著AC方向向C點運動，動點N從C點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿著CB方向向B點運動，如果M，N兩點同時出發(fā)，當M到達C點處時，兩點都停止運動，設(shè)運動的時間為t秒，四邊形AMNB的面積為S．（1）用含t的代數(shù)式表示：CM＝，CN＝．（2）當t為何值時，△CMN與△ABC相似？（3）求S和t的關(guān)系式（寫出自變量t的取值范圍）；當t取何值時，S的最小，并求最小值．【答案】（1）CM＝6﹣t，CN＝2t；（2）t為3或1.2；（3）（t-3）2+27（0＜t＜6），t＝3，27【分析】（1）先由運動得出AM＝t，CN＝2t，繼而得出CM，即可得出結(jié)論；（2）分兩種情況，利用相似三角形得出的比例式建立方程求解，即可得出結(jié)論；（3）利用三角形的面積的差即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）由運動知，AM＝t，CN＝2t，∵AC＝6，∴CM＝AC﹣AM＝6﹣t，故答案為：6﹣t，2t；（2）由（1）知，CM＝6﹣t，CN＝2t，①當△CMN∽△CAB時，∴，∵AC＝6，BC＝12，∴，∴t＝3，②當△CMN∽△CBA，∴，∴，∴t＝1.2，即：t為3或1.2時，△CMN與△ABC相似；（3）由（1）知，CM＝6﹣t，CN＝2t，∴S四邊形AMNB＝S△ABC﹣S△CMN＝×6×12﹣×2t×（6﹣t）＝（t-3）2+27（0＜t＜6），當t＝3時，S四邊形AMNB最?。?7【點睛】本題是相似三角形綜合題，主要考查相似三角形的性質(zhì)和三角形的面積的計算方法，用分類討論的思想解決問題是解題的關(guān)鍵．12．如圖，在中，，，，動點從點出發(fā)，在邊上以每秒的速度向點勻速運動，同時動點從點出發(fā)，在邊上以每秒的速度向點勻速運動，設(shè)運動時間為秒（），連接．（1）用含的代數(shù)式表示；（2）若與相似，求的值．【答案】（1）；（2）t的值為或．【分析】（1）先根據(jù)運動速度求出CN的長，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出AB和BC的長，然后根據(jù)線段的和差即可得；（2）先求出BM的長，再根據(jù)相似三角形的判定分和兩種情況，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可得．【詳解】（1）由題意得：；（2）由題意得：由相似三角形的判定，分以下兩種情況：①當時在和中，，即解得②當時在和中，，即解得綜上，所求的t的值為或．【點睛】本題考查了列代數(shù)式、直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點，較難的是題（2），依據(jù)相似三角形的判定正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵．13．如圖，在中，，，點從點出發(fā)，沿以每秒的速度向點運動，同時點從點出發(fā)，沿以每秒的速度向點運動，設(shè)運動的時間為秒.（1）當為何值時，與相似？（2）當時，請直接寫出的值.【答案】（1）當或時，與相似；（2）【分析】（1）與相似，分兩種情況：當時，；當時,.分情況進行討論即可；（2）通過求出P,Q運動的時間，然后通過作為中間量建立所求的兩個三角形之間的關(guān)系，從而比值可求.【詳解】（1）由題意得，，①當時

即

解得：.②當時

即

解得：，（舍去）綜上所述，當或時，與相似（2）當時，∵和等高，∴此時運動的時間為1秒則∵和等高∴∴∴.【點睛】本題主要考查相似三角形的判定及性質(zhì)，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.14．已知：Rt△OAB在直角坐標系中的位置如圖所示，點B的坐標為（4，2），P為OB的中點，點C為折線OAB上的動點，線段PC把Rt△OAB分割成兩部分，問：點C在什么位置時，分割得到的三角形與Rt△OAB相似？要求在圖上畫出所有符合要求的線段PC，并求出相應(yīng)的點C的坐標．【答案】作圖見解析，C點坐標為：（2，0）或（4，1）或（2.5，0）．【分析】由于點不確定，故分，，三種情況進行討論．【詳解】解：點的坐標為，，，，．如圖，當時，，即，，，；當時，，即，解得，，；當時，，即，解得，；綜上所述，點坐標為：或或．【點評】本題考查的是相似三角形的判定，在解答此題時要注意進行分類討論，不要漏解．15．如圖，點A（10，0），B（0，20），連接AB，動點M、N分別同時從點A，O出發(fā)，以1單位長度/秒和2單位長度/秒的速度向終點O、B移動，當其中一點到達終點時停止運動，移動時間為t秒．（1）用含t的代數(shù)式表示點M的坐標為______，點N的坐標為_____；（2）當t為何值時，△MON與△AOB相似．【答案】（1）（10-t，0）；（0，2t）；（2）當t=5s或2s時，△MON與△AOB相似．【分析】（1）根據(jù)路程＝速度×?xí)r間可求解；（2）分兩種情形列出方程即可解決問題．【詳解】解：（1）∵ON＝2tcm，OM＝（10?t）cm，∴N（0，2t），M（10?t，0）；故答案為：（10?t，0）；（0，2t）；（2）因為∠MON=∠AOB=90°當=時，△MON∽△AOB即=，解得t=5當=時，△MON∽△BOA即=，解得t=2所以當t=5s或2s時，△MON與△AOB相似．【點睛】本題是相似綜合題，考查相似三角形的判定和性質(zhì)、坐標與圖形的性質(zhì)、三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．16．如圖，在Rt中，，，，點P從點A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AB運動；同時，點Q從點B出發(fā)，以2cm/s的速度沿BC運動．當點Q到達點C時，P、Q兩點同時停止運動．設(shè)點P、Q運動時間為．當與相似時，的值是多少？【答案】的值是或【分析】分兩種情況討論，由相似三角形的性質(zhì)，列出等式，即可求解．【詳解】解：當△PBQ∽△ABC時，，即，解得，經(jīng)檢驗：是方程的解，當△PBQ∽△CBA時，，即，解得，經(jīng)檢驗：是方程的解，∴的值是或．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，利用分類討論的思想解決問題是解題的關(guān)鍵．17．如圖，四邊形OABC是矩形，點A的坐標為（0，6）點C的坐標為（4，0），點P從點A出發(fā)，沿AB以每秒2個單位長度的速度向點B出發(fā)，同時點Q從點B出發(fā)，沿BC以每秒3個單位長度的速度向點C運動，當點P與點B重合時，點P、Q同時停止運動．設(shè)運動時間為t秒．(1)當t=1時，請直接寫出△BPQ的面積為；(2)當△BPQ與△COQ相似時，求t的值；(3)當反比例函數(shù)y=（x>0）的圖象經(jīng)過點P、Q兩點時．①求k的值；②點M在x軸上，點N在反比例函數(shù)y=的圖象上，若以點M、N、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出所有滿足條件的M的坐標．【答案】(1)3(2)當△BPQ與△COQ相似時，t的值為或(3)①；②當以點M、N、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，點M的坐標為（，0）【分析】（1）由點，的運動速度，可找出當時點，的坐標，進而可得出，的長，再利用三角形的面積公式可求出此時的面積；（2）由可知分兩種情況考慮，①當時，利用相似三角形的性質(zhì)可得出關(guān)于的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出值；②當時，利用相似三角形的性質(zhì)可得出關(guān)于的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出值．綜上，此問得解；（3）①由題意可得出點，的坐標，利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征可得出關(guān)于，的方程，解之即可得出結(jié)論；②由①可得出點，的坐標，分為邊及為對角線兩種情況考慮：當為邊時，利用平行四邊形的性質(zhì)可求出值，進而可得出點的坐標，由點，重合可得出此種情況不存在；當為對角線時，利用對角線互相平分可求出的值，進而可得出點，的坐標．綜上，此問得解．（1）當時，點的坐標為，點的坐標為，，，．故答案為：3；（2）當運動時間為秒時，，，．與相似，，分兩種情況考慮：①當時，，即，解得：，，經(jīng)檢驗，，是原分式方程的解，符合題意，；②當時，，即，解得：，，經(jīng)檢驗，是原分式方程的解，且符合題意，；綜上所述：當與相似時，的值為或．（3）①依題意，得：點的坐標為，點的坐標為．反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點、兩點，，，．②由①可知：點的坐標為，點的坐標為．設(shè)點的坐標為，點的坐標為，．分兩種情況考慮：當為邊時，，，點的坐標為，此時點，重合，不符合題意，此種情況不存在；當為對角線時，，，點的坐標為，，點的坐標為，．綜上所述：當以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，點的坐標為，．【點睛】本題考查了三角形的面積、相似三角形的性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征以及平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）找出當時點，的坐標；（2）利用相似三角形的性質(zhì)，找出關(guān)于的方程；（3）①利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，找出關(guān)于，的方程組；②分為邊及為對角線兩種情況，利用相似三角形的性質(zhì)求出點，的坐標．18．如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的邊BC與x軸、y軸的交點分別為C（8，0），B（0，6），CD＝5，拋物線y＝ax2﹣x+c（a≠0）過B，C兩點，動點M從點D開始以每秒5個單位長度的速度沿D→A→B→C的方向運動到達C點后停止運動．動點N從點O以每秒4個單位長度的速度沿OC方向運動，到達C點后，立即返回，向CO方向運動，到達O點后，又立即返回，依此在線段OC上反復(fù)運動，當點M停止運動時，點N也停止運動，設(shè)運動時間為t．(1)求拋物線的解析式；(2)求點D的坐標；(3)當點M，N同時開始運動時，若以點M，D，C為頂點的三角形與以點B，O，N為頂點的三角形相似，直接寫出t的值．【答案】(1)(2)（11，4）(3)或或【分析】（1）將點C（8，0），B（0，6）代入解析式，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；（2）作DE⊥x軸于點E，證明△BOC∽△CED，可得CE，DE長度，進而得到點D的坐標；（3）分為點M在AD，BC上兩種情況討論，當點M在AD上時，分為△BON∽△CDM和△BON∽△MDC兩種情況討論；當點M在BC上時，分為△BON∽△MCD和△BON∽△DCM兩種情況討論，即可求解．（1）解：將C（8，0），B（0，6）代入，得，解得，∴拋物線的解析式為：；（2）如圖，作DE⊥x軸于點E，∵C（8，0），B（0，6），∴OC＝8，OB＝6．∴BC＝10．∵∠BOC＝∠BCD＝∠DEC，∴△BOC∽△CED．∴．∴CE＝3，DE＝4．∴OE＝OC+CE＝11．∴D（11，4）．（3）若點M在DA上運動時，，當△BON∽△CDM，則，即不成立，舍去；當△BON∽△MDC，則，即解得：（負值舍去）若點M在BC上運動時，CM=25-5t．當△BON∽△MCD，則，即∴，當3＜t≤4時，ON=16-4t．∴解得（舍去），當4＜t≤5時，ON=4t-16，無解；當△BON∽△DCM，則，即∴ON=30-6t；當3＜t≤4時，ON=16-4t，∴30-6t=16-4t，解得t=7（舍去）；當4＜t≤5時，ON=4t-16，∴30-6t=4t-16，解得，綜上所述，以點M，D，C為頂點的三角形與以點B，O，N為頂點的三角形相似，t的值為；或或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與幾何圖形的綜合，涉及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟知以上知識的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．專題13二次函數(shù)中的相似1．在直角坐標系中，已知某二次函數(shù)的圖象經(jīng)過、，與軸的正半軸相交于點，若（相似比不為．（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）求的外接圓半徑；（3）在線段上是否存在點，使得以線段為直徑的圓與線段交于點，且以點、、為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．2．在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于、兩點（點在點的左側(cè)），與軸交于點，為的中點．（1）求的值；（2）拋物線的對稱軸與軸交于點，在直線上是否存在點，使得以點、、為頂點的三角形與相似？若存在，請求出點的坐標，若不存在，請說明理由；3．如圖，平面直角坐標系中，點、、在軸上，點、在軸上，，，，直線與經(jīng)過、、三點的拋物線交于、兩點，與其對稱軸交于．點為線段上一個動點（與、不重合），軸與拋物線交于點．（1）求經(jīng)過、、三點的拋物線的解析式；（2）是否存在點，使得以、、為頂點的三角形與相似？若存在，求出滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．4．如圖，已知拋物線的頂點坐標是，且經(jīng)過點，又與軸交于點、（點在點左邊），與軸交于點．（1）拋物線的表達式是；（2）四邊形的面積等于；（3）問：與相似嗎？并說明你的理由；（4）設(shè)拋物線的對稱軸與軸交于點．另一條拋物線經(jīng)過點與不重合），且頂點為，對稱軸與軸交于點，并且以、、為頂點的三角形與以點、、為頂點的三角形全等，求、的值．（只需寫出結(jié)果，不必寫解答過程）．5．如圖，已知拋物線交軸于點和點，交軸于點．（1）求此拋物線的解析式．（2）過點作交拋物線于點，求四邊形的面積．（3）在軸上方的拋物線上是否存在一點，過作軸于點，使以、、三點為頂點的三角形與相似．若存在，請求出點的坐標；否則，請說明理由．6．如圖，在直角坐標系中，，且，．（1）分別過點、作軸的垂線，垂足是、．求證：；（2）求點的坐標；（3）設(shè)過、、三點的拋物線的對稱軸為直線，在直線上求點，使得．7．如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于點和點（點在點右側(cè)），與軸交于點．（1）請說明、、的乘積是正數(shù)還是負數(shù)；（2）若，求這個二次函數(shù)的解析式．8．已知，如圖二次函數(shù)的圖象與軸交于點，與軸交于點，，點，拋物線的對稱軸為，直線交拋物線于點．（1）求二次函數(shù)的解析式并寫出點坐標；（2）點是中點，點是線段上一動點，當和相似時，求點的坐標．9．如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交點（1）求拋物線的解析式以及頂點的坐標；（2）若是線段的中點，連接，猜想線段與線段之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）在坐標軸上是否存在點，使得以、、為頂點的三角形與相似？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．10．如圖，拋物線與軸相交于、，與軸相交于點，過點作軸，交拋物線點．（1）求梯形的面積；（2）若梯形的對角線、交于點，求點的坐標，并求經(jīng)過、、三點的拋物線的解析式；（3）點是直線上一點，且與相似，求符合條件的點坐標．11．如圖，直線與軸，軸分別交于，兩點，拋物線經(jīng)過點和點，點是拋物線與軸的另一個交點．（1）求拋物線的解析式和頂點坐標；（2）若點在拋物線的對稱軸上，能使的周長最小，請求出點的坐標；（3）若直線與線段交于點（不與點，重合），則是否存在這樣的直線，使得以，，為頂點的三角形與相似？若存在，求出該直線的函數(shù)表達式及點的坐標；若不存在，請說明理由．12．已知二次函數(shù)的圖象與軸分別交于、兩點（點在點的左邊），以為直徑作，與軸正半軸交于，點為劣弧上一動點，連接、兩弦相交于點，連接，，（1）求點的坐標；（2）若的半徑為3時，求的值；（3）請?zhí)剿鳟旤c運動到什么位置時，使得與相似，并給予證明．13．如圖，拋物線經(jīng)過，，三點．（1）求出拋物線的解析式；（2）是拋物線上一動點，過作軸，垂足為，是否存在點，使得以，，為頂點的三角形與相似？若存在，請求出符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由；（3）在直線上方的拋物線上有一點，使得的面積最大，求出點的坐標．14．如圖，已知拋物線經(jīng)過點、點，與軸交于點．（1）求拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式；（2）點在拋物線上，過點且與軸平行的直線與直線交于點，當四邊形的面積最大時，求點的坐標；（3）當時，作的角平分線，交拋物線于點．①求點和點的坐標；②在直線上是否存在點，使得以、、為頂點的三角形與相似，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．15．如圖，已知拋物線（且與軸分別交于、兩點，點在點左邊，與軸交于點，連接，過點作交拋物線于點，0為坐標原點．（1）用表示點的坐標，；（2）若，連接，①求出點的坐標；②在軸上找點，使以、、為頂點的三角形與相似，求出點坐標；（3）若在直線上存在唯一的一點，連接、，使，求的值．16．如圖，在平面直角坐標系中，點、的坐標分別為、，二次函數(shù)的圖象為．（1）向上平移拋物線，使平移后的拋物線經(jīng)過點，求拋物線的表達式；（2）平移拋物線，使平移后的拋物線經(jīng)過點、兩點，拋物線與軸交于點，求拋物線的表達式以及點的坐標；（3）在（2）的條件下，記中點為，點為拋物線對稱軸上一點，當與相似時，求點的坐標．17．如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線、、為常數(shù)且經(jīng)過原點和，且對稱軸為直線（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）在拋物線上是否存在點，使中邊上的高為？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由；（3）如圖2，設(shè)拋物線與軸的另一交點為，點在拋物線上，滿足，若是直線下方的拋物線上且到的距離最大的點，試求出所有滿足的點的坐標（點、、分別與點、、對應(yīng)）．18．如圖，設(shè)拋物線與軸交于兩個不同的點、，對稱軸為直線，頂點記為點．且．（1）求的值和拋物線的解析式；（2）已知過點的直線交拋物線于另一點．若點在軸上，以點、、為頂點的三角形與相似，求點的坐標；（3）在（2）的條件下，的外接圓半徑等于．（直接寫答案）19．已知：二次函數(shù)的圖象與軸交于，與軸交于點，（1）求該二次函數(shù)的關(guān)系式；（2）求點的坐標，并判斷的形狀，說明理由；（3）點是該拋物線軸上方的一點，過點作軸于點，是否存在，使得與相似？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．20．如圖，已知過坐標原點的拋物線經(jīng)過，，，兩點，且、是方程兩根，拋物線頂點為．（1）求拋物線的解析式；（2）若點在拋物線上，點在拋物線的對稱軸上，且以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，求點的坐標；（3）是拋物線上的動點，過點作軸，垂足為，是否存在點使得以點、、為頂點的三角形與相似？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．21．已知：如圖，拋物線的頂點坐標是，與軸的交點為．（1）求拋物線的解析式；（2）若，，是（1）中拋物線上的點，，垂足為，．①求點的坐標；②試判定以為直徑的圓與軸有怎樣的位置關(guān)系，并說明理由．專題13二次函數(shù)中的相似1．在直角坐標系中，已知某二次函數(shù)的圖象經(jīng)過、，與軸的正半軸相交于點，若（相似比不為．（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）求的外接圓半徑；（3）在線段上是否存在點，使得以線段為直徑的圓與線段交于點，且以點、、為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）（相似比不為，，又，，，點，，設(shè)圖象經(jīng)過、、三點的函數(shù)解析式是，則：，解得，，，這個函數(shù)的解析式是；（2）（相似比不為，．又，是外接圓的直徑．；（3）點在以為直徑的圓上，，①當時，點在的中垂線上，點是的中點，是的中點．，點，，即；②當時，△，，點，即．③當時，點顯然不能在線段上．綜上，符合題意的點存在，有兩解：，或1．2．在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于、兩點（點在點的左側(cè)），與軸交于點，為的中點．（1）求的值；（2）拋物線的對稱軸與軸交于點，在直線上是否存在點，使得以點、、為頂點的三角形與相似？若存在，請求出點的坐標，若不存在，請說明理由；【解答】解：（1）拋物線與軸交于點，．．（2）拋物線的解析式為．可求拋物線與軸的交點，．可求點的坐標．由圖知，點在軸下方的直線上時，是鈍角三角形，不可能與相似，所以點一定在軸上方．此時與有一個公共角，兩個三角形相似存在兩種情況：①當時，由于為的中點，此時為的中點，可求點坐標為．②當時，，解得：．如圖（2）過點作軸，垂足為，．是的中點，，由勾股定理得：，，，由勾股定理得：的坐標為，3．如圖，平面直角坐標系中，點、、在軸上，點、在軸上，，，，直線與經(jīng)過、、三點的拋物線交于、兩點，與其對稱軸交于．點為線段上一個動點（與、不重合），軸與拋物線交于點．（1）求經(jīng)過、、三點的拋物線的解析式；（2）是否存在點，使得以、、為頂點的三角形與相似？若存在，求出滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1），，，，，，，設(shè)函數(shù)解析式為，，解得，經(jīng)過、、三點的拋物線的解析式為：（2），；所以直線；聯(lián)立，解得，，，；設(shè)點坐標為，，則；；由條件容易求得，，若以、、為頂點的三角形與相似，則為等腰直角三角形；①以為直角頂點，為斜邊；，即：，解得，（不合題意舍去），；②以為直角頂點，為斜邊；，即：，解得，（不合題意舍去），故存在符合條件的點，且點坐標為，或，．4．如圖，已知拋物線的頂點坐標是，且經(jīng)過點，又與軸交于點、（點在點左邊），與軸交于點．（1）拋物線的表達式是；（2）四邊形的面積等于；（3）問：與相似嗎？并說明你的理由；（4）設(shè)拋物線的對稱軸與軸交于點．另一條拋物線經(jīng)過點與不重合），且頂點為，對稱軸與軸交于點，并且以、、為頂點的三角形與以點、、為頂點的三角形全等，求、的值．（只需寫出結(jié)果，不必寫解答過程）．【解答】解：（1）設(shè)的解析式為，由圖象可知：過，，三點．解得：拋物線的解析式為．（2）．拋物線的頂點的坐標為；過作軸于，由圖象可知：，，，；令，則，解得，，則．；；．（平方單位）．（3）如圖，過作于，則．．，又；，；在和中，，，；，，．．（4）①當，，此時點的坐標可能為，，．②當，，此時點的坐標可能是，，，，綜上所述可得出、的值．，，，，，，．5．如圖，已知拋物線交軸于點和點，交軸于點．（1）求此拋物線的解析式．（2）過點作交拋物線于點，求四邊形的面積．（3）在軸上方的拋物線上是否存在一點，過作軸于點，使以、、三點為頂點的三角形與相似．若存在，請求出點的坐標；否則，請說明理由．【解答】解：（1）拋物線過和，解得（2）令，，解得，，，，，過點作軸于，則為等腰直角三角形令，則，點在拋物線上，解得，（不符合題意）四邊形的面積；（3）假設(shè)存在，．軸于點，．在中，．在中，設(shè)點的橫坐標為，則①點在軸左側(cè)時，則（?。┊敃r，有，即解得（舍去）（舍去）（ⅱ）當時有即解得：（舍去），②點在軸右側(cè)時，則（?。┊敃r有，解得（舍去），（ⅱ）當時有即解得：（舍去），，，存在點，使以、、三點為頂點的三角形與相似點的坐標為，，，．6．如圖，在直角坐標系中，，且，．（1）分別過點、作軸的垂線，垂足是、．求證：；（2）求點的坐標；（3）設(shè)過、、三點的拋物線的對稱軸為直線，在直線上求點，使得．【解答】（1）證明：，且，，，，，；（2）解：分別作軸，軸，垂足分別是、；，，而，；又，；，則，，所以點（3）解：，縱坐標相同，拋物線的對稱軸為直線，當點在直線上且距距離為2時，與面積相等，點的坐標為，或，．7．如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于點和點（點在點右側(cè)），與軸交于點．（1）請說明、、的乘積是正數(shù)還是負數(shù)；（2）若，求這個二次函數(shù)的解析式．【解答】解：（1）由于拋物線過，因此．根據(jù)圖形有：，，因此，．，即、、的乘積是負數(shù)．（2），，，，即，即點坐標為．設(shè)拋物線的解析式為．由于拋物線過點，因此，．因此拋物線的解析式為．8．已知，如圖二次函數(shù)的圖象與軸交于點，與軸交于點，，點，拋物線的對稱軸為，直線交拋物線于點．（1）求二次函數(shù)的解析式并寫出點坐標；（2）點是中點，點是線段上一動點，當和相似時，求點的坐標．【解答】解：（1）由題可得：，解得：，二次函數(shù)的解析式為．點在拋物線上，，點的坐標為．（2）過點作于點，如圖，點，點，，，，，．點為的中點，．令得，解得：，，點為，．①若，則，，解得：，，點的坐標為；②若，則，，，，點的坐標為，．綜上所述：點的坐標為或，．9．如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交點（1）求拋物線的解析式以及頂點的坐標；（2）若是線段的中點，連接，猜想線段與線段之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）在坐標軸上是否存在點，使得以、、為頂點的三角形與相似？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式是：，把代入得：，解得：，，，答：拋物線的解析式是，頂點的坐標是．（2）線段與線段之間的數(shù)量關(guān)系是．證明：過作軸于，過作軸于，，，為的中點，，，，，由勾股定理得：，過作軸于，則，，由勾股定理得：，，（已求出），．（3）坐標軸上存在點，使得以、、為頂點的三角形與相似，點的坐標是，，．10．如圖，拋物線與軸相交于、，與軸相交于點，過點作軸，交拋物線點．（1）求梯形的面積；（2）若梯形的對角線、交于點，求點的坐標，并求經(jīng)過、、三點的拋物線的解析式；（3）點是直線上一點，且與相似，求符合條件的點坐標．【解答】解：（1），當時，，解得：，，當時，，，，，軸，點的縱坐標也是，把代入得：，解得：，，點的坐標是：，，．所以梯形的面積是8．（2）由拋物線的對稱性有，過作于，，，，，設(shè)：經(jīng)過、、三點的拋物線的解析式為：，把代入解得：，所以經(jīng)過、、三點的拋物線的解析式是：，即．（3）當點在的右側(cè)，當時，，，，設(shè)，，由勾股定理得：，（此時舍去），，，；當時，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，當點在的左側(cè)，由題意有鈍角鈍角，此時不存在．所以符合條件的點坐標是和，．11．如圖，直線與軸，軸分別交于，兩點，拋物線經(jīng)過點和點，點是拋物線與軸的另一個交點．（1）求拋物線的解析式和頂點坐標；（2）若點在拋物線的對稱軸上，能使的周長最小，請求出點的坐標；（3）若直線與線段交于點（不與點，重合），則是否存在這樣的直線，使得以，，為頂點的三角形與相似？若存在，求出該直線的函數(shù)表達式及點的坐標；若不存在，請說明理由．【解答】（1）解：直線，當時，，當時，，，，，把代入得：，，頂點坐標是，答：拋物線的解析式是，頂點坐標是．（2）解：根據(jù)對稱由，得到的坐標是，作關(guān)于對稱軸（直線的對稱點，連接交直線于，則為符合條件的點，的坐標是，設(shè)直線的解析式是，把、的坐標代入得：，解得：，，，把代入得：，答：的坐標是．（3）解：存在，分兩種情況：①，此時，，點坐標為：，；②當與不平行時，，可求得，此時直線的解析式為：，點的坐標為：，答：存在，當時，直線的函數(shù)表達式是，點的坐標是，；當與不平行時，直線的函數(shù)表達式是，點的坐標是．12．已知二次函數(shù)的圖象與軸分別交于、兩點（點在點的左邊），以為直徑作，與軸正半軸交于，點為劣弧上一動點，連接、兩弦相交于點，連接，，（1）求點的坐標；（2）若的半徑為3時，求的值；（3）請?zhí)剿鳟旤c運動到什么位置時，使得與相似，并給予證明．【解答】解：（1）由拋物線的解析式可得對稱軸為：；由于、是拋物線與軸的交點，且是的直徑，由拋物線和圓的對稱性知：．（2）若的半徑為3，則，；則拋物線的解析式為：；故．（3）當點運動到劣弧的中點時，與相似；證明：如圖；是劣弧的中點，；又是的直徑，，．13．如圖，拋物線經(jīng)過，，三點．（1）求出拋物線的解析式；（2）是拋物線上一動點，過作軸，垂足為，是否存在點，使得以，，為頂點的三角形與相似？若存在，請求出符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由；（3）在直線上方的拋物線上有一點，使得的面積最大，求出點的坐標．【解答】解：（1）該拋物線過點，可設(shè)該拋物線的解析式為．將，代入，得，解得，此拋物線的解析式為；（2）存在．如圖，設(shè)點的橫坐標為，則點的縱坐標為，當時，，．又，①當，在拋物線上，，，，，即．解得，（舍去），．②當時，，即．解得，（均不合題意，舍去）當時，，當時，，，①或②，把代入得：，，解得：第一個方程的解是（舍去）（舍去），第二個方程的解是，（舍去）求出，，則，當時，，．①或，則：，，解得：第一個方程的解是（舍去），（舍去），第二個方程的解是（舍去），，時，，則，綜上所述，符合條件的點為或或，（3）如圖，設(shè)點的橫坐標為，則點的縱坐標為．過作軸的平行線交于．由題意可求得直線的解析式為．點的坐標為．，，，當時，面積最大，．14．如圖，已知拋物線經(jīng)過點、點，與軸交于點．（1）求拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式；（2）點在拋物線上，過點且與軸平行的直線與直線交于點，當四邊形的面積最大時，求點的坐標；（3）當時，作的角平分線，交拋物線于點．①求點和點的坐標；②在直線上是否存在點，使得以、、為頂點的三角形與相似，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）拋物線經(jīng)過點、點，，解得，拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式為；（2）由拋物線可得，，，直線為：，設(shè)點的坐標為，則，，四邊形的面積面積面積，，當時，，點坐標為；（3）①過點作軸于，，，，，，平分，，，即軸，當時，，解得，，，，，直線為：，當時，解得，，當時，，；②直線，直線，，，在直線上存在滿足條件的點，設(shè)，由題可得，，，（?。┤鐖D所示，當時，，即，解得，；（ⅱ）如圖所示，當時，，即，解得，．綜上所述，點的坐標為或．15．如圖，已知拋物線（且與軸分別交于、兩點，點在點左邊，與軸交于點，連接，過點作交拋物線于點，0為坐標原點．（1）用表示點的坐標，；（2）若，連接，①求出點的坐標；②在軸上找點，使以、、為頂點的三角形與相似，求出點坐標；（3）若在直線上存在唯一的一點，連接、，使，求的值．【解答】解：（1）當時，，點的坐標為．故答案為：；（2）①，拋物線的解析式為．當時，，則點，；當時，，，則點，點，，．，，，，即．設(shè)直線的解析式為，則，解得：，直線的解析式為，聯(lián)立，解得：或，點的坐標為；②過點作軸于，如圖1，則，，，．，．Ⅰ．若，則．，，，，，點的坐標為，即，；Ⅱ．若，則，，，點的坐標為，即，；綜上所述：滿足條件的點坐標為，或，；（3）直線上存在唯一的一點，使得，以為直徑的圓與直線相切于點，圓心記為，連接，如圖2，則有，．當時，，則點，當時，，解得，，則點，，，，，，，．，，，，，，解得：．16．如圖，在平面直角坐標系中，點、的坐標分別為、，二次函數(shù)的圖象為．（1）向上平移拋物線，使平移后的拋物線經(jīng)過點，求拋物線的表達式；（2）平移拋物線，使平移后的拋物線經(jīng)過點、兩點，拋物線與軸交于點，求拋物線的表達式以及點的坐標；（3）在（2）的條件下，記中點為，點為拋物線對稱軸上一點，當與相似時，求點的坐標．【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為，拋物線經(jīng)過點，，，拋物線的解析式為；（2）設(shè)拋物線的解析式為，拋物線經(jīng)過點、，，解得：，拋物線的解析式為．當時，，故點的坐標為；（3）過點作軸于點，則有，，．的坐標為，．點為中點，．在中，，，，，，．若點在點的下方，則，由與相似可得或為，與三角形內(nèi)角和矛盾，該情況不存在．點必在點的上方．①若，如圖1，則，，點的坐標為；②若，如圖2，則，，點的坐