河北省部分重點高中2023-2024學(xué)年高三年級上冊普通高考模擬（12月）數(shù)學(xué)試題

絕密★啟用前

2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)模擬試題

注意事項：

1.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘。

2.答卷前，考生務(wù)必將自己的班級和姓名填寫在答題紙上。

3.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題紙對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題紙上，寫在本試卷上無

效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題紙一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的.

1.若集合4={%,—3>0},貝N=（）

A.{0,1,2}B.{1,2}C.{0,1,2,3}D.{1,2,3}

2.在遞增的等比數(shù)列{a〃}中，若q—4=3,則公比q=（）

3.己知函數(shù)/■（耳=3'+%—6有一個零點x=%,則與屬于下列哪個區(qū)間（）

4.如圖是國家統(tǒng)計局發(fā)布的2022年5月至2023年5月全國煤炭進口走勢圖，每組數(shù)據(jù)中的增速是與上一年同

期相比的增速，則圖中X的值約為（）

150.7180

當(dāng)月進口fit（萬噸）—當(dāng)月增速（％）

全國煤炭進口月度走勢圖

A.90.2B.90.8C.91.4D.92.6

5.如圖是下列四個函數(shù)中某一個的部分圖象，則該函數(shù)為（）

x+1

B./(x)=

ex+1-1

X

C.f(x)=D./(%)=

(X+1)2

(x+吁

V2

6.已知離心率為——的橢圓/+=l（a〉6〉0）的左、右焦點分別為片，工，尸（%,%）是橢圓上位于第

2F

且cos/耳P&=—g,貝()

一象限的一點,

A/31A/3A/3

A.-----aB.一uC.-----aD.-----u

4232

7.已知對任意實數(shù)x,y,函數(shù)/(x)滿足/■(?+l)=/(x+l)+/(y+l),則/'(x)()

A.有對稱中心B.有對稱軸

C.是增函數(shù)D.是減函數(shù)

8.已知半徑為R的球中有一個內(nèi)接正四棱錐，底面邊長為a,當(dāng)正四棱錐的高為/i時，正四棱錐的體積取得最

大值丫，貝I（）

A.h=2aB.h=—aC.h=aD.h=—a

22

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知函數(shù)/（x）=lnx,則（）

A.是奇函數(shù)

B./（x）是增函數(shù)

C.曲線y=在x=e處的切線過原點

D.存在實數(shù)a，使得y="X）的圖象與y=ax的圖象關(guān)于直線y=龍對稱

10.先后兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，得到向上的點數(shù)分別為x,y,設(shè)事件A="x+y=5"，事件&=

“y=%2"，事件4="x+2y為奇數(shù)”，則（）

A-尸（A）=：B.尸（4）='

c.A與人相互獨立D.4與&相互獨立

11.已知復(fù)數(shù)z。=l—i,z=x+yi（x,yeR）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.方程|z-z0|=2表示的z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的軌跡是圓

B.方程|z-Zo|+|z-Zo|=2表示的z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的軌跡是橢圓

C.方程|z-z0|-卜-,=1表示的z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的軌跡是雙曲線的一支

D.方程z+；（z0+M=|2-20|表示的z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的軌跡是拋物線

1,x<0,

12.已知定義：e：=《則下列命題正確的是（）

+[e\x>0,

A.V/?eR+,（e：）"=efB,若西,々^,貝期中=6產(chǎn)

C.VXGR,ln（e：+1）-W?ln2D.若則就+琉=鐘丑

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若3cos2。-14cos。+7=0,貝！Icos2g=.

14.高三（1）班某競賽小組有3名男生和2名女生，現(xiàn)選派3人分別領(lǐng)取數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競賽資料，則至少

有一名女生的選派方法共有種.（用數(shù)字作答）

22

15.已知雙曲線C：=—1=]〉0）的左、右焦點分別為片，F(xiàn)2,其右支上有一點P滿足

ab

ZF｝PF2=60°,過點歹2向工的平分線引垂線交于點若叵”|=口，則雙曲線。的離心率e=

16.在正四棱錐尸—A3CD中，底面ABC。的邊長為2,APAC為正三角形，點M,N分別在PB,PD上,

S.PM=2MB,PN=2ND,過息A,M,N的截面交PC于點H,則四棱錐尸—的體積為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（本小題滿分10分）

已知公差為d的等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，且滿足4s“=〃（4+見+】+1）.

（1）證明：2an+d=2nd+1；

（2）若％=8,求-----1------1---1------.

a2a34""+i

18.（本小題滿分12分）

己知函數(shù)/（%）=J^sin（ox+o）的部分圖象如圖所示，閘<1，且NACB=90。.

（1）求。與夕的值；

[7

（2）若斜率為衛(wèi)丁的直線與曲線y=/（x）相切，求切點坐標.

19.（本小題滿分12分）

如圖，在四棱錐尸—ABCD中，QA_L平面ABCD,24=2,底面ABC。為直角梯形，ZBAD=9Q°,AB=2,

CD^AD=1,N是網(wǎng)的中點，點。分別在線段PD與AP上，且DM=2MP,AQ=〃QP.

（1）當(dāng)；1=1時，求平面也N與平面DNC的夾角大??；

（2）若MQ〃平面P6C,證明：〃=1+23

已知XG[0,1),/(x)=er.

(1)證明：%+1<

1X

1+Y

(2)比較〃2龍)與^—的大小.

21.(本小題滿分12分)

已知拋物線C："ZpxQo)上有一點尸(1,m)(加>0),F為拋物線C的焦點，E_?0,且

\EP\=42\PF\.

(1)求拋物線C的方程;

(2)過點P向圓E：[x+gj+V=/(點尸在圓外)引兩條切線，交拋物線。于另外兩點A,8,求證:

直線AB過定點.

22.(本小題滿分12分)

某排球教練帶領(lǐng)甲、乙兩名排球主力運動員訓(xùn)練排球的接球與傳球，首先由教練第一次傳球給甲、乙中的某位

運動員，然后該運動員再傳回教練.每次教練接球后按下列規(guī)律傳球：若教練上一次是傳給某運動員，則這次

有」的概率再傳給該運動員，有2的概率傳給另一位運動員.已知教練第一次傳給了甲運動員，且教練第〃次

33

傳球傳給甲運動員的概率為p“.

(1)求心，-3；

(2)求pn的表達式；

⑶設(shè)q“=|2p"_],證明：(qM-^.)(sinqM-sinq^)<~.

i=l乙

數(shù)學(xué)參考答案及評分細則

題號123456789101112

答案CBBDDCBCBCDACDACAC

1.C解析：???々AH-OOJ］,.,?低A）N={o,l,2,3}-故選C.

［命題意圖］該試題考查集合的補集與交集運算，數(shù)學(xué)能力思維方面主要考查運算思維與抽象思維.

532

2.B解析：由題得％=4￡=3,<23—=dyCi"—tZj=―,聯(lián)立可得q=3或q=—§（舍），故選B.

［命題意圖］該試題考查等比數(shù)列的運算，是高考?？键c，數(shù)學(xué)能力思維方面主要考查運算思維、變換思維、方

程思想等.

3.B解析：由題知/（x）在R上單調(diào)遞增，=6—5.5<0,/（1）=-2<0,\||=33—4.5,又

33—4.52>0,故選B.

［命題意圖］該試題考查零點存在定理和二分法，數(shù)學(xué)能力思維方面主要考查轉(zhuǎn)化思想和特值思想.

3958—2055

4.D解析：由題得增速X%=-------------x100%-92.6%,故選D.

~2055

［命題意圖］該試題考查統(tǒng)計知識，是高考熱點，數(shù)學(xué)能力思維方面主要考查數(shù)形結(jié)合和拓展思維.

5.D解析：對于A,函數(shù)/（x）的定義域為（YO,—3）（—3,—2）（―2,—l）l（一1,+°°）,A不正確；對于B,

/⑼WO,B不正確；對于C,結(jié)合題中圖象，/（4）=||>/（3）=||>/（2）=|,C不正確，故選D.

［命題意圖］該試題考查函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，是高考常考點，數(shù)學(xué)能力思維方面主要考查特值思想與數(shù)形結(jié)合

思想.

6.C解析：設(shè)|尸娟=根（根>a）,則歸閶=2〃一根，由6=，=#^,得2c=6a,由余弦定理得

\2

223a(

2299

3a=m+(2a-m^+-m(2a-m^,解得加=萬〃或加二,(合)，則Jx0+a+=丁’聯(lián)立橢

~T7

圓方程解得故選C.

［命題意圖］該試題考查橢圓的定義與性質(zhì)，是高考必考點，數(shù)學(xué)能力思維方面主要考查靜態(tài)思維與遷移思維.

7.B解析:Q=y=l,得/（2）=/（2）+/（2）,二（（2）=0；令x=y=T,得42）=2/（0）=0,二

/(0)=0；令y=-l,得y(l—x)=/(x+l)+/(O)=/(l+x),.../(%)的圖象關(guān)于直線關(guān)于x=l對稱,

故選B.

［命題意圖］該試題考查抽象函數(shù)的性質(zhì)，是高考常考點，數(shù)學(xué)能力思維方面主要考查賦值思維與抽象思維.

8.C解析：設(shè)球心到底面的距離為％,則/z=A+x,a=史-聲,；.V=|(R+x『(R—x),則

n=/氏+力(尺+%)(2尺_2%)?31尺+%+尺+；+24—2J,當(dāng)且僅當(dāng)尺+%=2尺—2x,即x=g時取

4R4R

等號，此時人=——，a=——，即/z=a,故選C.

33

［命題意圖］該試題考查球內(nèi)接正棱錐的最值問題，是高考的常考點，數(shù)學(xué)能力思維方面主要考查建模思維與化

歸思維

9.BCD解析：根據(jù)函數(shù)性質(zhì)可得A錯誤，B正確；對于C,f'(x)=~,在x=e處的切線斜率為工，切線方

xe

程為y—l=—e),即*=a，顯然過原點，C正確；當(dāng)a=e時，y=/(x)的圖象與y=優(yōu)的圖象關(guān)于

e

直線y=X對稱，D正確，故選BCD.

［命題意圖］該試題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及反函數(shù)等，數(shù)學(xué)能力思維方面主要考查運

算思想和數(shù)形結(jié)合思想.

41

10.ACD解析：滿足事件A的有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)共四種情形，其概率尸(4)=去=§A正

確；滿足事件人的有(1,1),(2,4)共兩種情形，其概率P(4)=L,B不正確；尸(4)=！，滿足事件

182

4A的有(i，4)，(3,2)共兩種情形，P(AA)='=P(A)P(A)，c正確；滿足事件的只有(1，

18

1)一種情形，P(4A)=L=P(4)P(A),D正確，故選ACD.

36

［命題意圖］該試題考查古典概型以及事件的相互獨立性，是高考?？键c之一，數(shù)學(xué)能力思維方面主要考查分類

思維和運算思維.

1LAC解析：由復(fù)數(shù)模的幾何意義知A正確；由橢圓的定義知2a＞閨月但2=，-故B不正確；同

理由雙曲線的定義知C正確；對于D,由復(fù)數(shù)的幾何意義知Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點到兩定點的距離相等，軌跡

是直線，故D不正確，故選AC.

［命題意圖］該試題考查復(fù)數(shù)模的幾何意義、共輾復(fù)數(shù)等，是高考必考點，數(shù)學(xué)能力思維方面主要考查跳躍思維

與認知思維.

12.AC解析：對于A,顯然正確；對于B,令占=一1,%=2,則e：1-琉=?2,e^1+X2=e,錯誤；同理D也

錯誤；對于C,當(dāng)%<0時，ln（e：+l）—±=ln2—2>ln2，成立，當(dāng)%>0時，

''22

X（X%、

ln（e：+1）—土=ln（e*+1）-Ine?=lnJ+e，>ln2,正確，故選AC.

2\）

［命題意圖］該試題考查新情境、新定義下的數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用.是高考熱點題目，數(shù)學(xué)能力思維方面主要考查創(chuàng)新

思維和探索思維.

71

13.一一解析：由已知得6cos92。—3—14cos6?+7=0,解得cosd=—或cos6>=2（舍），故

93

7

cos28=2cos~9。一1=——.

9

［命題意圖］該試題考查倍角公式以及一元二次方程，是高考?？键c，數(shù)學(xué)能力思維方面主要考查方程思想和運

算思想.

14.54解析：由題得選派方法共有（€：；蠟+€：；（^）人：=54種.

［命題意圖］該試題考查排列組合知識，數(shù)學(xué)能力思維方面主要考查分類思想和抽象思維.

15.-y-解析:延長巴H交可尸于點0,貝！I國Q|=b,???/耳尸工=60。，=則國4=2a,

NFQF?=120。，在心中，由余弦定理得4c2=4/+廿+2ab，即2。=3》，則e=J1+（1=半.

［命題意圖］該試題考查雙曲線的定義與性質(zhì)、余弦定理，數(shù)學(xué)能力思維方面主要考查方程思想和拓展思維.

16.—解析:如圖，連接班）,交AC于點。，平面4VW交PC于點H,交PO于點G,：=

9

PN=2ND,：.PG=2GO,即點G是的重心，也是AB4c的重心，是PC的中點，

PC±AH,?：PC±BD,PCLMN,又AHMN=G,PCX平面AMHN,故

T71r.rr1ATTHT4^/6

VvP-AMHN=—3?PHe—2?AHeA*/7V=---9-?

［命題意圖］該試題考查截面問題、線面垂直、求幾何體體積以及三角形重心的性質(zhì)等，數(shù)學(xué)能力思維方面主要

考查空間想象以及邏輯推理.

p

17.解：(1)當(dāng)〃=1時，4sl=。]+。2+1，即2〃i=d+l,

:?c1tl=q+(〃-l)d=](d+l)+(〃-l)d,即2c1rl+d=2〃d+1.

(2):生=8,二.16+d=6d+l,解得d=3,an=3n—lf

-1_1_lp_______

anan+i(3〃-1)(3〃+2)3(3〃-13n+2y

111￡11111

---------1-----------F,??H-------------------1------------1-...+

a2a3”AA+I35583n-l3〃+2

=lfl__11n

3(23n+2)2(3n+2)

［命題意圖］該試題考查數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列的定義與性質(zhì)、裂項求和等，數(shù)學(xué)能力思維方面主要考查變換思

維和跳躍思維.

18.解：（1）如圖，過點C向x軸引垂線交于點。，

由正弦曲線的性質(zhì)知AT>=306,

由射影定理知CD?=而CD=6,：.3=3DBDB,

DB=1,

2JI兀

T=4=——,解得①二—

a)2

由/[g)=0,得￡+9=2左〃(左eZ),當(dāng)左=0時，夕=—

(2)由⑴知/(x)=^/^sin1x-/〈X)=1?cos(1x-

令/(x)=*",二c°s［5x—=，則gx—?=2k乃±?(keZ),

.,.工=4左或1=4左+1(左62),

其切點坐標為4左或4左+1,j左wZ).

［命題意圖］該試題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、射影定理、導(dǎo)數(shù)的幾何意義等，數(shù)學(xué)能力思維方面主要考查探

索思維和拓展思維.

19.解：(1)建立如圖所示的空間直角坐標系，則。(1,0,0)，C(l,l,0),3(0,2,0),P(0,0,2).

當(dāng)4=1時，Mp0,lj,N(0,罩),

則MN=1_g,l,o1,

DN=(-1,1,1),C7V=(-l,0,l).

設(shè)平面"DN的法向量為切=(x,y,z),平面DNC的法向量為〃=(。,瓦。),

-gx+y=0且-x+y+z=0,—a+c=0S.—a+b+c=0,令y=l,a=l,

則拓=(2,1,1),n=(1,0,1),

：.C°S"G=—=2,

\/V6xV22

平面又DN與平面DNC的夾角大小為30°.

(2)證明：設(shè)M(無由。得(1—=x',—y',2—z'),

：.M

同理由AQ=〃QP,得Q[O,O,=1L,o,._2￡

I1+/7yI1+Jll+〃1+2,

PB=(O,2,-2),BC=(1,-1,O),設(shè)平面Q3C的法向量為。=(%,%,zj,

2%—2zi=0且%=0,令%=1,則p=(1,1,1),

/.p-MQ=Q,則一一―+^———=0,即〃=1+24.

1+21+〃1+2

［命題意圖］該試題考查空間向量中的求夾角、線面平行等問題，是高考?？键c，數(shù)學(xué)能力思維方面主要考查創(chuàng)

新思維和數(shù)形結(jié)合思想.

20解：(1)證明：要證％+1</(%)?」一，即證x+l<e'Y」一

1X1X

設(shè)/z(%)=e"—%—1,”(x)=e'—1,

由”(九)>0,得光>0；由/z'(x)v0,得xvO,

:.7z(x)在％=0處取得最小值,BP>^(0)=0,Aex>x+1.

當(dāng)xw[0,1)時，:e*2x+1,用一x代替尤，得匕一”21—%>0,

.1.er<-^―,結(jié)論成立,

1-x

：.不等式x+l</(x)<-^―成立.

1X

(2)V/(2x)=e2\由題即證e"(l—力與右(1+力的大小，

令g(兄)=1(1—%)—(1+%),1g，(%)二%(匕-"—e)

當(dāng)xe°，；]時，er—eTO,，g(九)單調(diào)遞減，

[+尤

???g(O)=O,g(x)vo,BPex(l-x)<e^(l+x),即有e2y——,得證.

1-X

［命題意圖］該試題考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，是高考必考點，數(shù)學(xué)能力思維方面主要考查構(gòu)造思想和等價變換.

21.解：（1）由