上海市重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題 (含解析)

上海市進(jìn)才中學(xué)2023學(xué)年第一學(xué)期期終考試數(shù)學(xué)學(xué)科試卷（時(shí)間120分鐘，滿分150分）（2024年1月）一?填空題（本大題滿分54分）共有12題，1-6題每題4分，7-12題每題5分1．已知直線，若，則的值為.2．直線與的夾角大小為.3．已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且它的傾斜角等于直線的傾斜角的倍，則直線的方程為．4．圓錐側(cè)面展開圖為圓心角為直角，半徑為2的扇形，則圓錐的體積為.5．已知橢圓與雙曲線有共同的焦點(diǎn)，則．6．拋物線的準(zhǔn)線與圓相交于A、B兩點(diǎn)，則．7．已知為圓上一點(diǎn)，為圓上一點(diǎn)，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最大值為.8．傳說古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等.“圓柱容球”是阿基米德最為得意的發(fā)現(xiàn).在一個(gè)“圓柱容球”模型中，若球的體積為，則該模型中圓柱的表面積為.9．已知，，是橢圓（）的左，右焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，為等腰三角形，，則C的離心率為．10．在正方體中，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)．①；②與所成角為；③平面；④與平面所成角的正弦值為．其中所有正確說法的序號(hào)是．

11．?dāng)?shù)學(xué)中有許多寓意美好的曲線，曲線被稱為“四葉玫瑰線”（如圖所示）.

給出下列三個(gè)結(jié)論：①曲線關(guān)于直線對(duì)稱；②曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過；③存在一個(gè)以原點(diǎn)為中心、邊長(zhǎng)為的正方形，使得曲線在此正方形區(qū)域內(nèi)（含邊界）.其中，正確結(jié)論的序號(hào)是.12．已知一個(gè)酒杯是由一個(gè)拋物線繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的，拋物線的方程為：，現(xiàn)在將一個(gè)半徑為的小球放入酒杯中，若小球能觸及杯子的最底部，則小球的半徑的取值范圍是.二?選擇題（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題有且只有一個(gè)正確答案.13．設(shè)是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面.下列命題中正確的命題是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則14．已知四面體是的重心，若，則（

）A．4 B． C． D．15．若雙曲線（，）的右焦點(diǎn)到其漸近線的距離為，則（

）A． B． C． D．16．已知拋物線，圓，若點(diǎn)、分別在、上運(yùn)動(dòng)，且設(shè)點(diǎn)，則的最小值為（

）．A． B． C． D．三?解答題（本大題滿分76分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟，17．如圖，四棱錐中，平面，，，，，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)B到平面的距離．18．已知圓和點(diǎn)．(1)過點(diǎn)向圓引切線，求切線方程；(2)過點(diǎn)的直線與圓交于，兩點(diǎn)，求弦中點(diǎn)的軌跡方程．19．如圖，在寬為14的路邊安裝路燈，燈柱高為8，燈桿是半徑為的圓的一段劣弧.路燈采用錐形燈罩，燈罩頂?shù)铰访娴木嚯x為10，到燈柱所在直線的距離為2.設(shè)為燈罩軸線與路面的交點(diǎn)，圓心在線段上.以為原點(diǎn)，以所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系.(1)當(dāng)點(diǎn)恰好為路面中點(diǎn)時(shí)，求此時(shí)圓的方程；(2)記圓心在路面上的射影為，且在線段上，求的最大值.20．如圖，在直角梯形中，，，且現(xiàn)以為一邊向外作正方形，然后沿邊將正方形翻折，使平面與平面垂直，如圖．

(1)求證：平面；(2)求與平面所成角的正弦值；(3)求二面角的正切值．21．已知橢圓，其上焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合.(1)求拋物線的方程；(2)若過點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，同時(shí)交拋物線于點(diǎn)（如圖1所示，點(diǎn)在橢圓與拋物線第一象限交點(diǎn)上方），試證明：；(3)若過點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，過點(diǎn)與直線垂直的直線交拋物線于點(diǎn)（如圖2所示），試求四邊形面積的最小值.參考答案與解析1．【分析】根據(jù)兩直線平行滿足的關(guān)系即可求解.【詳解】由可得，得，故答案為：2．【詳解】根據(jù)兩條直線的斜率和傾斜角，結(jié)合兩角差的正切公式求得正確答案.【分析】直線的斜率為，傾斜角設(shè)為，則為鈍角.直線的斜率為，傾斜角設(shè)為，則為銳角.設(shè)兩條直線的夾角為，則，所以?shī)A角大小為.故答案為：3．【分析】求出直線的傾斜角，從而可求得直線的傾斜角，即可得解.【詳解】解：直線的傾斜角為，所以直線的傾斜角為，所以直線的方程為．故答案為：x=-24．【分析】根據(jù)題中條件可得圓錐的母線長(zhǎng)及底面圓半徑，進(jìn)一步求得高后，利用體積公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)閳A錐側(cè)面展開圖為圓心角為直角，半徑為2的扇形，所以圓錐的母線長(zhǎng)為，底面周長(zhǎng)即扇形的弧長(zhǎng)為，所以底面圓的半徑，可得底面圓的面積為，又圓錐的高，所以圓錐的體積為，故答案為：.

5．4【分析】求出橢圓的焦點(diǎn)，再解方程，即得解.【詳解】解：由題意得橢圓的焦點(diǎn)為和，所以，所以．故答案為：46．2【分析】首先求拋物線的準(zhǔn)線方程，再根據(jù)直線與圓相交的弦長(zhǎng)公式，即可求解.【詳解】的準(zhǔn)線方程為，圓心到直線的距離為，所以弦長(zhǎng).故答案為：27．【分析】確定出兩圓的圓心和半徑，然后根據(jù)四點(diǎn)共線求解出的最大值.【詳解】圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，所以，當(dāng)且僅當(dāng)共線，且在中間時(shí)取等號(hào)，所以點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最大值為，故答案為：.8．【分析】借助球體體積公式及圓柱表面積公式計(jì)算即可得.【詳解】設(shè)球的半徑為，則圓柱的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，則球的體積為，所以，所以圓柱表面積為.故答案為：.9．【分析】由題設(shè)，結(jié)合余弦定理得到橢圓參數(shù)的齊次方程，進(jìn)而求離心率.【詳解】由為等腰三角形，，則，

又，可得，所以，可得.故答案為：10．②③【分析】連接，連接交于，連接，易得，由平行公理判斷①；利用線面垂直性質(zhì)及判定判斷②③；轉(zhuǎn)化為求與平面所成角，結(jié)合線面角定義及已知求其正弦值判斷④.【詳解】連接，連接交于，連接，則是中點(diǎn)，所以是的中點(diǎn)，則，而，故不成立，①錯(cuò)；

如下圖，，面，面，則，由，面，則面，面，所以與垂直，②對(duì)；

如下圖，若為中點(diǎn)，連接，顯然，則面即為面，由題設(shè)易知：，則，即，由面，面，則，，面，則面，即平面，③對(duì)；

如下圖，由面面，則與平面所成角，即為與平面所成角，由面，連接，則或其補(bǔ)角即為所求線面角，在中，，所以，④錯(cuò).

故答案為：②③11．①②【解析】將代入也成立得①正確；利用不等式可得，故②正確；聯(lián)立得四個(gè)交點(diǎn)，滿足條件的最小正方形是以為中點(diǎn)，邊長(zhǎng)為2的正方形，故③不正確.【詳解】對(duì)于①，將代入得成立，故曲線關(guān)于直線對(duì)稱，故①正確；對(duì)于②，因?yàn)?，所以，所以，所以曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過，故②正確；對(duì)于③，聯(lián)立得，從而可得四個(gè)交點(diǎn)，，，，依題意滿足條件的最小正方形是各邊以為中點(diǎn)，邊長(zhǎng)為2的正方形，故不存在一個(gè)以原點(diǎn)為中心、邊長(zhǎng)為的正方形，使得曲線在此正方形區(qū)域內(nèi)（含邊界），故③不正確.故答案為：①②【點(diǎn)睛】本題考查了由曲線方程研究曲線的對(duì)稱性，考查了不等式知識(shí)，考查了求曲線交點(diǎn)坐標(biāo)，屬于中檔題.12．【分析】分析軸截面，設(shè)出小球?qū)?yīng)的圓心和拋物線上任意一點(diǎn)，根據(jù)的最小值在處取到結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求解出結(jié)果.【詳解】取軸截面進(jìn)行分析，設(shè)小球?qū)?yīng)的圓心為，拋物線上任意一點(diǎn)，且，所以，當(dāng)?shù)淖钚≈翟谔幦〉綍r(shí)，此時(shí)小球能觸及杯底，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，，所以，故此時(shí)半徑的取值范圍是，故答案為：.13．D【分析】根據(jù)題意，由空間中直線與平面的位置關(guān)系，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】若，則與相交或平行，故A錯(cuò)誤；若，則或，故B錯(cuò)誤；若，則或，故C錯(cuò)誤；若，則，故D錯(cuò)誤；故選：D14．B【分析】取的中點(diǎn)，根據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則及空間向量基本定理計(jì)算可得.【詳解】取的中點(diǎn)，所以，又，可得，所以.故選：B.15．A【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式及雙曲線的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】易知雙曲線的一條漸近線為，故到其距離為，所以.故選：A16．B【分析】要使最小，則需最大，根據(jù)拋物線的定義可得，，然后整理?yè)Q元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值.【詳解】如圖，設(shè)圓心為，則為拋物線的焦點(diǎn)，該拋物線的準(zhǔn)線方程為，設(shè)，由拋物線的定義得，要使最小，則需最大，如圖，最大時(shí)，經(jīng)過圓心，且圓的半徑為1，，且，所以，令，則，所以，由，而，得，取得最小值，則的最小值為．故選：B．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求圓上的動(dòng)點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離之和最大（?。┺D(zhuǎn)化為求圓心到定點(diǎn)的距離的加半徑（減半徑）.17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）設(shè)是的中點(diǎn)，連接，，證明四邊形是平行四邊形，可得，再根據(jù)線面平行的判定定理即可得證；（2）先證明，再利用等體積法求解即可.【詳解】（1）證明：取中點(diǎn)，連接、，由于是的中點(diǎn)，則，，由于，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，由于上，平面，所以平面.（2）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，由于，，所以四邊形是平行四邊形，由于，所以，由于平面，所以平面，又平面，所以，在中，，所以，?由得，即，所以，即點(diǎn)B到平面的距離為.18．(1)或(2)【分析】（1）分直線斜率是否存在進(jìn)行討論，依據(jù)是直線和圓相切等價(jià)于圓心到直線的距離等于圓的半徑.（2）畫出圖形，并由題意可知，從而可知點(diǎn)的軌跡方程是圓，注意到點(diǎn)在已知圓內(nèi)部，故點(diǎn)的軌跡方程對(duì)有限制.【詳解】（1）由題意可知：圓的圓心，半徑，對(duì)于過點(diǎn)的直線，當(dāng)斜率不存在時(shí)，則，此時(shí)圓心到直線的距離，即符合題意；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，則，即，可得，解得，故直線；綜上所述：所求直線方程為或．（2）如圖所示：因?yàn)橄抑悬c(diǎn)為，則由垂徑定理可知，故點(diǎn)在以為直徑的圓上，即點(diǎn)在以為圓心，以1為半徑的圓上，故點(diǎn)的軌跡方程為：，又由題意可知：點(diǎn)在圓內(nèi)，所以聯(lián)立方程，解得：，即弦中點(diǎn)的軌跡方程為．19．(1)(2)【分析】（1）以O(shè)為原點(diǎn)，以所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)圓心，根據(jù)圓心C到A，P的距離相等得到，再由圓心在直線PQ上聯(lián)立求解.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，燈罩軸線所在直線方程為，易得；當(dāng)時(shí)，設(shè)燈罩軸線所在方程為：，令得到，然后由，利用基本不等式求解.【詳解】（1）則，∴直線的方程為．設(shè)，則，兩式相減得：，又，解得，∴．所以圓的方程為.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，燈罩軸線所在直線方程為，此時(shí)當(dāng)時(shí)，燈罩軸線所在方程為：，令可得，即，∵H在線段OQ上，∴，解得．∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)．∴的最大值為．20．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)定理和線面垂直的判定定理證明即可；（2）以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，求出直線的方向向量與平面的法向量，由線面角的向量公式求解即可；（3）由二面角的向量公式結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解即可.【詳解】（1）證明：在正方形中，，又平面平面，且平面平面，平面，平面，又平面，，在直角梯形中，，，得．在中，，，，．，，平面平面．（2）以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?，，根?jù)正方形得，所以，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)椋?，所以，即取，則，設(shè)與平面所成角為，，．所以與平面所成角的正弦值為．（3）因?yàn)槠矫妫允瞧矫娴囊粋€(gè)法向量，設(shè)二面角的大小為，根據(jù)圖形可知為銳角，所以，所以，所以，即二面角的正切值為．21．(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）由拋物線方程，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，分別聯(lián)立橢圓與直線方程以及拋物線與直線方程，結(jié)合弦長(zhǎng)公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（3）根據(jù)題意，分直線斜率