廣東省2023學年高考模擬 數(shù)學試題及答案

高三數(shù)學

注意事項：

L答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后.用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂

黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在

答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.本試卷主要考試內容:高考全部內容。

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的.

1.設。={-2,—1,0,123}*={0,2},8={工8=4},則Cu(A(JB)=

A.{-14,3}B.{-2,-1,0,1,3}C.{-2,-1,1,3}D.{-1,0,1,3)

2.復數(shù)？=(l+9i)(8+5i)在復平面內對應的點位于

倒A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知點F為拋物線C：/=2拉(Q>0)的焦點，點P(4,TM)在拋物線C上,且|PF|=6,則p=

KA.2B.4C.6D.8

4.(2x-i)6展開式中的常數(shù)項為

■K

A-60B.60C.120D.-120

5.若正整數(shù)a的所有真因數(shù)(即不是自身的因數(shù))之和等于仇正整數(shù)6的所有真因數(shù)之和等于

就

a,則稱。和6是一對“親和數(shù)”.約兩千五百年前,古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)第一對親和

數(shù)：284和220.220的所有真因數(shù)為1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110；284的所有真因數(shù)為

1,2,4,71,142.若分別從284和220的所有真因數(shù)中各隨機抽取一個數(shù)，則取出的兩個數(shù)的

和為奇數(shù)的槪率是

A1214「26門29

A.—R15?二C.7TDFE

05co5555

6.已知橢圓C：^+f=l的左焦點為F,P是C上一點,M(3,D，則IPMI+IPF|的最大值為

10I

A.7B.8C.9D.11

7.“打水漂”是一種游戲，通過一定方式投擲石片，使石片在水面上實現(xiàn)多次彈跳,彈跳次數(shù)越多

越好.小趙同學在玩??打水漂”游戲時,將一石片按一定方式投擲出去，石片第一次接觸水面時

的速度為20m/s,然后石片在水面上繼續(xù)進行多次彈跳.不考慮其他因素，假設石片每一次

接觸水面時的速度均為上一次的85%,若石片接觸水面時的速度低于6m/s,石片就不再彈

跳，沉入水底，則小趙同學這次“打水漂”石片的彈跳次數(shù)為(參考數(shù)據(jù)：lg2=?0.3,lg3心

0.48,1g17Pl..23)

A.6B.7C.8D.9

帥工21三o<zV2

8.已知函數(shù)/(N)=[2、'則方程3"(公了+8f(z)+4=0在區(qū)間(0,10口上的實

2/(N—2),4>2,

【髙三數(shù)學第1頁(共4頁)】?23-319C-

根個數(shù)為

A.8B.10C.16D.18

二、選擇題:本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求.全部選對的得5分,部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.據(jù)某地統(tǒng)計局發(fā)布的數(shù)據(jù)，現(xiàn)將8月份至12月份當?shù)氐娜司率杖朐鲈鲩L率/%

長率數(shù)據(jù)制成如圖所示的折線圖，已知8月份當?shù)氐娜司率杖霝?

2000元，現(xiàn)給岀如下信息,其中不正確的信息為:

A.9月份當?shù)厝司率杖霝?980元2

B.10月份當?shù)厝司率杖霝?040元J

C.11月份當?shù)厝司率杖肱c8月份相同-1

D.這四個月中.當?shù)?2月份人均月收入最低-2

10.為了得到函數(shù)y=sin(4H—卷)的圖象，只需將函數(shù)y=sin(z+*)的圖象

O0

A.所有點的橫坐標縮短到原來的J，縱坐標不變，再把得到的圖象向右平移登個單位長度

4o

B.所有點的橫坐標縮短到原來的;，縱坐標不變，再把得到的圖象向左平移當個單位長度

4o

C.向右平移占個單位長度.再把得到的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的2，縱坐標不變

D.向左平移9個單位長度，再把得到的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的;，縱坐標不變

1Q

11.若°=1唯3+1限2,6=1密4+1。&3L1密5+1限4,4=石.則

A.a>d>bB.d>b>cC.a>c>bD.a>d>c

12.如圖?正方體ABCD-AiBCQ的棱長為2,動點P,Q分別在線段CiD,AC上，則

A.異面直線DQ和BG所成的角為；y4\

B.點A到平面BQD的距離為竽/j

C.若P,Q分別為線段GD,AC的中點,則PQ〃平面ABCQ

D,線段PQ長度的最小值為零

三、填空題:本題共4小題,每小題5分，共20分..

13.已知向量a=(3,-D,b=(l,Q,若|a-b|2=|a|2+B|z,則1=▲.

14.已知直線4H+3、+2n2=0與圓C：(x+3)2+(>—1)2=1相交.則整數(shù)m的一個取值可能

是▲,

15.用總長11m的鋼條制作一個長方體容器的框架，若所制容器底面一邊的長比另一邊的長多

1,則最大容積為▲n?；此時容器的高為▲一

(本題第一空3分,第二空2分)/\?

16.半正多面體亦稱“阿基米德體”“阿基米德多面體”，是以邊數(shù)不全相同的八，

正多邊形為面的多面體.某半正多面體由4個正三角形和4個正六邊形小、［

構成，其可由正四面體切割而成,如圖所示.已知MN=1,若在該半正多《:夫?生

面體內放一個球，則該球表面積的最大值為▲.

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四、解答題:本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）

在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知a=4,6=5慮',C=45°.

⑴求c；

（2）求sin2A.

18.（12分）

某地博物館為了解該地區(qū)電視觀眾對考古知識的興趣情況，隨機抽取了200名觀看過《回望

2022——國內國際十大考古新聞》的觀眾進行調查.下圖是根據(jù)調查結果繪制的200名觀眾

收看該節(jié)目時間的頻率分布直方圖.

頻率

8暇

54

52

a

0.002—|

0^12030405060708090時間/分鐘

將收看該節(jié)目時間不低于80分鐘的觀眾稱為“考古熱愛者”.將上述調査所得到的頻率視為

概率.

（D求岀a的值，并估計該地區(qū)的觀眾收看《回望2022——國內國際十大考古新聞》的平均

時間（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）；

（2）現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機抽樣的方法抽取10名觀眾，記被抽取的10名

觀眾中的“考古熱愛者”人數(shù)為X,求X的數(shù)學期望；

（3）按是否為“考古熱愛者”用分層抽樣的方法從這200名觀眾中抽取10名觀眾，再從抽取的

10名觀眾中隨機抽取3名,Y表示抽取的觀眾中是“考古熱愛者”的人數(shù)，求Y的分布列.

19.（12分）

已知數(shù)列｝的前n項和為S”,4=2,S.=%+i+1.

（1）求伝“｝的通項公式；

（2）若求數(shù)列仍"的前"項和

【高三數(shù)學第3頁（共4頁）】?23-319C-

20.（12分）

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為2的菱形,/ABC=60°,PB=PC,O為BC的中

點QP丄AC.

⑴證明:平面PBC丄平面ABCD.

（2）若芯=2靜，且二面角E-AB-D的大小為60°,求四棱錐P-ABCD的體積.

21.（12分）

已知雙曲線E：與一/=1（￡>0,心>0）的右頂點為A（2,0），直線I過點P（4,0）,當直線I與*

Q-o強

雙曲線E有且僅有一個公共點時，點A到直線I的距離為緡.

（D求雙曲線E的標準方程；

（2）若直線2與雙曲線E交于M,N兩點，且工軸上存在一點Q（t,0）,使得NMQP=/NQPg

恒成立，求￡.選

2-

羯

22.（12分）

明

已知定義域為R的函數(shù)，（工）=沢，+。（1一工）在（0,+8）上的最小值為1.

（1）求實數(shù)&的值；

（2）若方程/（X）=t有兩個不同的實數(shù)根Z1，22，證明:4+4>2.畐

【高三數(shù)學第4頁（共4頁）】?23-319C-

高三數(shù)學參考答案

1.A因為B={-2,2},所以AUB={-2,0,2},所以k(AUB)={-l,l,3〉.

2.B因為z=(l+9i)(8+5i)=-37+77i,所以z在復平面內對應的點位于第二象限.

3.B由題意可得4+咅=6.解得p=4.

6

4.B(2.T-T=)展幵式的通項為7'卄1=&(2彳)6-，(一/=尸=02?《—1)々6-歩，

《JCVJ*

令6一等廠=0,得r=4,所以展開式中的常數(shù)項為02"—1尸=60.

5.C若取出的兩個數(shù)的和為奇數(shù)，則取出的兩個數(shù)為一奇一偶，

所以取出的兩個數(shù)的和為奇數(shù)的概率

6.C設C的右焦點為F',由橢圓的定義可得|PF'|+|PF|=2a=8"PM|+|PF|=|PM|+8-|PF'|48+

IMF'|=9.

7.C設這次“打水漂''石片的彈跳次數(shù)為.r,由題意得20X0.85，<6,得0.85,V0.3,得o->log?.s;0.3.因為

log”850.3=］黑=1g^-2=lgl^Flg5-2=1g晶lg；一產(chǎn)7,4,所以.r>7.4,即工=8.

平移2個單位長度，再將所得圖象上所有點的縱坐標伸長為原來的2倍得到的，作出函數(shù)義工)在(0,10］上

的圖象,如圖所示.由圖可知，方程/(外=一十，/⑺=一2在區(qū)間(0.10］上根的個數(shù)分別為10,6.

故方程3E/(.r)］2+8/(.r)+4=0在區(qū)間(0,10］上的實根個數(shù)為16.

9.ACD因為8月份當?shù)厝司率杖霝?000元,9月份當?shù)厝司率杖氲脑鲩L率為0,所以9月份當?shù)厝司?/p>

收入為2000元，故A錯誤；

因為10月份當?shù)厝司率杖氲脑鲩L率為2%,所以10月份當?shù)厝司率杖霝?000X(1+2%)=2040元，故

B正確；

因為11月份當?shù)厝司率杖氲脑鲩L率為1%,所以11月份當?shù)厝司率杖霝?040X(l+l%)>2000,故C

錯誤；

因為12月份當?shù)厝司率杖氲脑鲩L率為-1%,所以12月份當?shù)厝司率杖霝?040X(l+l%)(l-l%)>

2000,故D錯誤.

10.AC將y=sin(H+*)圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的》.縱坐標不變,再把得到的圖象向右平移專

個單位長度,得到函數(shù)y=sin(4_r-拳的圖象,A正確.將卡sin(z+*)的圖象向右平移f個單位長度，

再把得到的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的小.縱坐標不變，得到函數(shù)ksin(4才一青)的圖象.C

正確.

11.ABD設函數(shù)/\了)=了+},易得/(了)在［1,+8)上單調遞增.因為■■|■=log22'i'=log278<log23,=

logs3^=logs/27>log.34,logs4=1+logs3>1+1。軟爲>l+log」+=log［5>l,所以/(log?3)>f(4)

JJ4乙

1q

>/(log34)>/(log15),即a=log?3+log32>d=3>/>=log34-rlogt3>c=logt5+logs4.

【高三數(shù)學?參考答案第1頁(共4頁)】?23-319C-

12.BCD因為A4〃BG，所以異面直線DC和BG所成的角即為DC和Aj所成的角/ADC因為A&

=AC=CD,.所以△△，（：為等邊三角形,即NADC="1?，故A錯誤.

連接AG（圖略），因為V\—■[￡＞=■]-ABD,所以45厶/°?h=-^-S/\ABD,GC.

因為s△矽"=2乃,SAABD=2,所以厶=挈，所以點A到平面BCD的距離為挈.故B正確.

當P.Q分別為線段GD,AC的中點時，則PQ為△BGD的中位線，

所以PQ〃BG，所以PQ〃平面ABCD,,故C正確.

過P作PM±CD于M,過M作MQ丄AC于Q,連接PQ（圖略）.此時PQ最短.

設DP=z,因為為等腰直角三角形，所以PM='^-x,CM=CD-DM=2-x.

因為△CQM也是等腰直角三角形，所以乂＜2=親河=專乂（2—理）=&-步.

因為△PMQ為直角三角形，

所以PQ=PAf+MQ=（g.r）z+（五一|?了》=4^一夜r+2=U（工一零）z十4,

cZ4433

當工=挈時,PQ“““=^，所以D正確.

13.3因為a—￡＞=（2,-l-；D,所以4+0+1）2=10+1+2,解得;1=3.

14.3（或4,5,6,只需填寫一個答案即可）圓心C（—3,1）到直線4H+3y+2m=O的距離4=超專義?，由

也色里＜1,得2＜小＜7,所以整數(shù)m的所有可能取值為3,4,5,6.

15.靑等設容器底面的長、寬分別為工一+l.則容器的高為I1一m（H+D=Q一2工.

記容器的體積為丫⑴.則V（J-）=zO+1）（4-2z）=-2/一■^+】工（0＜了＜卷），因為V，（了）=

一6経一』工+[=一:（22-1）（122+7）.所以V（外在（0,春）上單調遞增，在（焉，《）上單調遞減,所以

乙44乙L.O

V（z）“*x=V（+）=看.此時高為亳

16.竽當球的表面積最大時.該球的球心即半正多面體所在正四面體的外接球的球心，記球心為（）'.該半正

多面體所在的正四面體的高為乃.點。到正六邊形所在平面的距離為呼，到正三角形所在平面的距離為

嗜.故當球的表面積最大時，該球的半徑為多表面積為當.

17.解：（1）因為cZ=aZ+〃-2McosC,且a=4,6=5四,C=45°,

所以僕=16+50-2X4X5貶義號=26,...................................................................................................3分

所以c=儂..........................................................................4分

（2）因為且a=4,c=-/2^,

sinAsinC

所以...........................................................6分

c13

因為aV仇所以A為銳角，所以cosA=*夢，..................................8分

19

故sin2A=2sinAcosA=y^........................................................................................................................10分

18.解：（1）由題意可得0.002X10+0.012X10+0.020X10+0.022X10+0.020X10+0.014X10+aX10=1,

解得a=0.010,...............................................................................................................................................2分

【高三數(shù)學?參考答案第2頁（共4頁）】?23-319C-

估計該地區(qū)的觀眾收看《回望2022——國內國際十大考古新聞》的平均時間為彳=0.002X10X25+0.012

X10X35+0.020X10X45+0.022X10X55+0.020X10X65+0.014X10X75+0.010X10X85=57.8.

...................................................................................................................................................................4分

⑵“考古熱愛者”對應的頻率為0.01X10=9...........................................................................................5分

用頻率估計概率，可知從該地區(qū)大量電視觀眾中,隨機抽取1名觀眾，該觀眾是“考古熱愛者”的概率為靑,

則X?B(103)，所以X的數(shù)學期望E(x)=ioxt=l........................................................................7分

⑶根據(jù)分層抽樣原則知,抽取的10人中，有“考古熱愛者"10X4=l人，非“考古熱愛者"10X今=9人，

.........................................................................................................................................................8分

則丫所有可能的取值為0,1............................................................................................................................9分

因為p(y=o)=急=存卩(丫=1)=豊=赤...........................................11分

所以y的分布列為

丫01

73

ploTo

12分

19.解：(1)當”=1時,S=az+1,解得例=1....................................................................................................1分

當時.《二，"?丄1'兩式相減得a.+i=2a”，所以a”=<22寸—=2"-、.....................4分

ST=%+1,

由=2不滿足上式，故a,,={f:「工。...................................................5分

⑵“尸師=小2........................................................................................................................6分

T?=2+2X2n+3X2'+4X22H?2"一"

6

2T?=4+2X2l+3X22+4X23H-----k”?2,1-l............................................................................................

兩式相減得一T”=-2+2+21+2?+23H-----i-2"-2-n-2"T=(1-”)?...............................10分

夕

所以T,,=S-1)?2”T+2........................................................................................................................12

分

20.(1)證明：因為PB=PC,O為8c的中點，所以OP丄BC............................................................................1

分

因為OP丄AC,且ACflBC=C，所以OP丄平面ABCD,...........................................................................3分

因為。PU平面PBC,所以平面PBC丄平面ABCD....................................................................................4

(2)解:連接OA.因為△AEC為等邊三角形，所以OA丄BC,所以OB,QA,OP兩兩垂直.以。為原點，

次，示分別為了軸i軸.匸軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系....................5分

設OP=，.則P(0,0,z),B(l,0,0),C(-1.0,0),A(0.y3,0),t'

因為3=2遂，所以E(F《,0,第,...............................6分/頭

所以差=(一告,0,專).防=(-1,卮0)........................................................7分、丁奕「落/\

設平面EAB的法向量為m=(z,y,z),--------

Itn?BE=—^-x+^-z=0,zTT,卜

則，33令之=2.得.37,2).................................9分

--Ar~,5

'm?8入=—?r+為y=0,

平面ABD的一個法向量為〃=(0,0,l),

因為二面角E-AB-D的大小為60°,

所以cos60。=尸W=-^=^==-1-,...................................................................................................10分

lmllnl71^

解得￡=3,11分

【高三數(shù)學?參考答案第3頁(共4頁)】?23-319C?

0fUZVP-AK*D=SABCDX3=2^/3................................................................................................................12分

21.解：(D因為雙曲線E的右頂點為A(2,0),所以。=2................................................................................1分

當直線/與雙曲線E有且僅有一個公共點時,直線/平行于雙曲線E的一條漸近線...............2分

不妨設直線I的方程為)=?■(2—4),即/憂一”一46=0,

所以點A到直線/的距離〃=^^=2=緡，所以。=百厶...............................3分

Vlr+a-'5

因為,2=<?+/，所以Z>=l,c=75,

故雙曲線E的方程為4-y=i....................................................................................................................5分

(2)設直線I的方程為/=my+4,M(ii，券),N(i2,北),

仔=加？+4,

)〃

聯(lián)立方號程，組f得G/_4V+&N+12=0,...............................................................................7分

則M+yz=-^^,yiyz=^|zp，"2-4#0且4>0............................................................................8分

因為NMQP=NNQP,所以直線/與雙曲線E的右支交于M,N兩點，

19

所以巾北=；^^<0,即/e[o,4)?...........................................................................................................9分

因為NMQP=NNQP,

所以1Qw+kQV="T■―=----$4_-------$7~：=0,...............................................................10分

JCi-IJ?2~t4-1my2H-4-Z

所以(my>-F4—z)+jr2(tny\+4-Z)=2myiy2+(4—E)(yi+y?)=〃，？1一(4一/)〃?竺.="：；；_:)=0,

所以C=L..........................................