寧夏吳忠市2022-2023學年高一下學期期末聯(lián)合調研考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1寧夏吳忠市2022-2023學年高一下學期期末聯(lián)合調研考試數(shù)學試題一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.在復平面內，復數(shù)（為虛數(shù)單位）對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗B〖解析〗，復數(shù)所對應的點為，位于第二象限.故選：B.2.下列關于幾何體特征的判斷正確的是（）A.一個斜棱柱的側面不可能是矩形B.底面是正多邊形的棱錐一定是正棱錐C.有一個面是邊形的棱錐一定是棱錐D.平行六面體的三組對面中，必有一組是全等的矩形〖答案〗C〖解析〗對于A中，斜棱柱的側面中，可以有的側面是矩形，所以A不正確；對于B中，根據(jù)正棱錐定義，底面是正多邊形且頂點在底面的射影為底面多邊形的中心的棱錐是正棱錐，所以B不正確；對于C中，根據(jù)棱錐的分類，可得有一個面是邊形的棱錐一定是棱錐，所以C正確；對于D中，平行六面體的三組對面中，必有一組是全等的平行四邊形，所以D錯誤.故選：C.3.若是夾角為的單位向量，則與的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，，所以，且，所以.故選：C.4.在中，，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗在中，，，由正弦定理得，因此，顯然，所以.故選：C.5.已知向量，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由向量，可得，且，則在上的投影向量為.故選：A.6.用平行于正四棱錐底面的平面去截該棱錐，把底面和截面之間的那部分多面體叫做正四棱臺，經(jīng)過正四棱臺不相鄰的兩條側棱的截面叫做該正四棱臺的對角面．若正四棱臺的上、下底面邊長分別為2，4，對角面面積為，則該棱臺的體積為（）A.28 B. C. D.74〖答案〗A〖解析〗因為正四棱臺的上、下底面邊長分別為，所以，設正四棱臺的高為，則，可得，正四棱臺的上底面面積為，下底面面積為，則該正棱臺的體積為.故選：A.7.已知直線與平面，則的充分條件可以是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗取長方體，由可令為，為，為平面，為平面，發(fā)現(xiàn)，故A選項錯誤；由可令為，為，為平面，為平面，發(fā)現(xiàn)不垂直，故B選項錯誤；由，可令為平面，為平面，為平面，發(fā)現(xiàn)不垂直，故C選項錯誤.故選：D.8.若線段上的點滿足，則稱點為線段的黃金分割點．對于頂角的等腰，若角的平分線交于點，則恰為的一個黃金分割點．利用上述結論，可以求出（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖：計算方便，特取，并設，因為所以又為角的平分線，則，又，所以，中，則，所以，又因為，所以，故由恰為的一個黃金分割點，只能有，可得，解得，所以，在中，由余弦定理可知，即．故選：B．二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.）9.設復數(shù)（為虛數(shù)單位），則下列說法正確的是（）A.“”是“”的必要條件B.若，則的最大值為1C.若，則D.，關于的方程在中最多可以有4個解〖答案〗AD〖解析〗對于A中，當時，可得，所以“”是“”的必要條件，所以A正確；對于B中，若，可得，表示點在以原點為圓心，半徑為的圓上，又由，所以，則表示點到的距離，其最大值為，所以B錯誤；對于C中，由，可得，所以表示以為首項，以為公比的等比數(shù)列，所以，所以C錯誤；對于D中，對于方程，可得，即，所以，若，則，可得，當時，有兩個相等的實數(shù)根，此時復數(shù)有1個；當時，有兩個不相等的實數(shù)根，此時復數(shù)有2個；當時，無根，此時復數(shù)不存在；若，則，可得，當時，有兩個相等的實數(shù)根，此時復數(shù)有1個；當時，有兩個不相等的實數(shù)根，此時復數(shù)有2個；當時，無根，此時復數(shù)不存在；綜上所述，復數(shù)最多有4個根，所以D正確.故選：AD.10.如圖，某八角鏤空窗的邊框呈正八邊形．已知正八邊形的邊長為，、為正八邊形內的點（含邊界），在上的投影向量為，則下列結論正確的是（）A. B.C.的最大值為 D.〖答案〗ABD〖解析〗對于A選項，正八邊形的內角為，易知，，A對；對于B選項，連接、，則為正八邊形外接圓的一條直徑，則，所以，，B對；對于C選項，如下圖所示：設在方向上的投影向量為，由圖形可知，當、分別在線段、上時，取最大值，且的最大值為，C錯；對于D選項，過點、分別作的垂線，垂足分別為點、，如下圖所示：當點在線段上時，取最小值，此時，，當點在線段上時，取最大值，此時，，綜上所述，，D對.故選：ABD.11.直三棱柱頂點都在球的表面上，，側面?zhèn)让?，則（）A.四棱錐的體積為B.三棱錐的體積為C.球的表面積為D.平面截該三棱柱所得截面的面積為〖答案〗ABC〖解析〗因為平面，平面，所以，且側面?zhèn)让?，所以，且，平面，所以平面，因為，所以，，所以四棱錐的體積，故A正確；B：，故B正確；C：取的中點，連結，點是線段的中點，由條件可知，垂直于上下底面，且分別是上下底面三角形外接圓的圓心，所以點是三棱柱外接球的球心，，所以球的表面積為，故C正確；D：點三點共線，所以平面截該三棱柱所得截面為三角形，其中，，，所以，所以，所以，故D錯誤.故選：ABC.12.某數(shù)學建模活動小組在開展主題為“空中不可到達兩點的測距問題的探究活動中，抽象并構建了如圖所示的幾何模型，該模型中MA，NB均與水平面ABC垂直．在已測得可直接到達的兩點間距離AC，BC的情況下，四名同學用測角儀各自測得下列四組角中的一組角的度數(shù)，其中一定能唯一確定M，N之間的距離的有（）A.∠MCA，∠NCB，∠ABC B.∠ACB，∠NCB，∠MCNC.∠MCA，∠NCB，∠MCN D.∠MCA，∠NCB，∠ACB〖答案〗CD〖解析〗記，，，，，，，，，，，，，先從C選項入手：已知，在中，由，可確定；同理，在中，可確定；在中，由及余弦定理，可確定，故C正確；再考察D選項：已知，在中，由及余弦定理，可確定；在中，由，可確定；同理，在中，可確定，由，①可確定，故D正確；A選項：已知，同B選項，可確定，在中，已知，解三角形知可能有兩解，例如若，則，解得或2，代入①使也有兩個值，故A錯誤；B選項：已知，同C，D選項，可確定，在中，由勾股定理，得，在中，由余弦定理，得，②聯(lián)立①②，得解此關于的二元方程組，可得，但此二元二次方程組可能有兩解，例如若，得解得或故B錯誤．故選：CD．三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13.已知，在復平面內對應的點為為滿足的點的集合所對應的圖形，則的面積為_________．〖答案〗〖解析〗設，，因為，所以，即，表示的是以原點為圓心，2為半徑和5為半徑的兩個圓環(huán)的部分，如圖所示：故的面積為.故〖答案〗為：.14.已知，若非零向量與的夾角等于與的夾角，則的坐標可以是_________．（寫出一個滿足題意要求的向量的坐標即可）〖答案〗〖解析〗設，則，即，所以，所以，，故，，不妨令，則.故〖答案〗為：.15.已知圓錐的母線長為3，軸截面（過圓錐的軸的平面截圓錐所得截面）等腰三角形的頂角記為是底面圓的直徑，點是的中點．若側面展開圖中，為直角三角形，則_________，該圓錐中過兩條母線的最大截面的面積為_________．〖答案〗〖解析〗如圖，圓錐，以及右側是圓錐的展開圖，，，點是的中點，在側面展開圖中，為直角三角形，即，所以，即展開圖中的是等邊三角形，則展開圖中，，展開圖扇形的圓心角為，弧長為，設底面半徑為，則，得，即，所以，，，所以，所以圓錐軸截面的頂角為銳角，圓錐中過兩條母線的等腰三角形的頂角小于等于，所以圓錐中過兩條母線的等腰三角形的頂角的正弦值的最大值為，圓錐中過兩條母線的最大截面等腰三角形的面積.故〖答案〗為：.16.在三棱錐中，平面，則與所成的角的余弦值為_________．〖答案〗〖解析〗過點作，且，連接，四邊形是平行四邊形，所以與所成的角為或其補角，因為平面，平面，所以，，又，且，所以，，又，所以，則，又，，，所以，中，.故〖答案〗為：.四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）17.等腰梯形中，是的中點，與交于點．（1）設，試用表示和；（2）求與夾角的余弦值．解：（1），過作的平行線交于，于是四邊形是平行四邊形，故，又，則，則是正三角形，故，則，故，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，所以.（2）與夾角等于與的夾角，，，所以，又，類似的，所以，所以，即與夾角的余弦值為．18.在中，，是的中點．（1）求的內角的余弦值；（2）設在直線上，試確定滿足的點的具體位置．解：（1）設，則，由余弦定理得．（2）設，，因為是的中點，所以，所以，因為在直線上，故可設，其中，所以，因為，所以，即，展開得，即，由（1）知，則，解得，所以，點是邊的靠近點的三等分點.19.在平面四邊形中，點在直線的兩側，，，四個內角分別用表示，.（1）求；（2）求與的面積之和的最大值.解：（1）在中，由余弦定理得：，解得：，，即，.（2）設，則，，，四點共圓，且為該圓的直徑，，，，，在中，，，，，，，，當，即時，，故與的面積和的最大值為.20.四棱錐中，．（1）求證：平面平面；（2）當平面時，求直線與平面所成的角的正切值．解：（1）證明：取的中點，連接，因為，則四邊形為邊長為1的正方形，可得，由，可得，所以，又由，可得，所以，因為，且平面，所以平面，因為平面，所以平面平面．（2）過點作交的延長線于點，連接，由（1）知平面，所以平面，所以為與平面所成的角，因為，所以為等腰直角三角形，所以，又因為平面，且平面，所以，所以，因為平面，且平面，所以，所以，即與平面所成角的正切值為．21.如圖，在中，點是的內心，過點且平行于的直線與分別相交于點的內角所對的邊分別記為．（1）求的值；（2）若，求的取值范圍．解：（1）法一：連接并延長交于，因為是的平分線，所以，所以，又，所以，因，所以，所以，所以，即，所以，同理，連接，由和為的內心得，，所以，同理，所以，所以，即，所以．法二：連接并延長交于點，連接，因為平分，所以，所以，同理，所以，又，所以，由正弦定理，得．（2）因為，所以，由（1）得，即，所以，所以，所以，即的取值范圍為．22.如圖，在正三棱柱中，為的中點，點在上，，點在直線上，對于線段上異于兩端點的任一點，恒有平面．（1）求證：平面平面；（2）當?shù)拿娣e取得最大值時，求二面角的余弦值．解：（1）在線段上取異于兩端點的兩點，因為對于線段上異于兩端點的任一點