2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第7章立體幾何第4講空間直線平面垂直的判定與性質(zhì)課件

第四講空間直線、平面垂直的判定與性質(zhì)知識(shí)梳理·雙基自測(cè)知

識(shí)

梳

理知識(shí)點(diǎn)一直線與平面垂直1．直線與平面垂直(1)定義：若直線l與平面α內(nèi)的________一條直線都垂直，則直線l與平面α垂直．任意(2)判定與性質(zhì)

判定定理性質(zhì)定理文字語(yǔ)言如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直(線線垂直?線面垂直)垂直于同一平面的兩直線平行圖形語(yǔ)言l⊥al⊥ba∩b＝Pa∥b過一點(diǎn)垂直于已知平面的直線________________.過一點(diǎn)作垂直于已知平面的直線，則該點(diǎn)與垂足間的線段，叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的垂線段，________________叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的距離．一條直線與一個(gè)平面平行時(shí)，這條直線上_________________________，叫做這條直線到這個(gè)平面的距離．如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個(gè)平行平面間的距離．有且只有一條垂線段的長(zhǎng)度任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離2．直線與平面所成的角(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的________，叫做這條斜線和這個(gè)平面所成的角．若直線與平面平行或直線在平面內(nèi)，直線與平面所成角為______，若直線與平面垂直，直線與平面所成角為_______.銳角0知識(shí)點(diǎn)二平面與平面垂直1．二面角的有關(guān)概念(1)二面角：從一條直線出發(fā)的______________所組成的圖形叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作與棱________的射線，則兩射線所成的角叫做二面角的平面角．(3)二面角θ的范圍：θ∈[0，π]．兩個(gè)半平面垂直2．平面與平面垂直(1)定義：兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是____________，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直．(2)判定與性質(zhì)

判定定理性質(zhì)定理文字語(yǔ)言如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直．(線面垂直?面面垂直)兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直.(面面垂直?線面垂直)直二面角α⊥βa⊥ba⊥β歸

納

拓

展1．若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面．2．若一條直線垂直于一個(gè)平面，則它垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線(證明線線垂直的一個(gè)重要方法)．3．垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行．4．一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則這條直線與另一個(gè)平面也垂直．雙

基

自

測(cè)題組一走出誤區(qū)1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)直線l與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線都垂直，則l⊥α.()(2)垂直于同一個(gè)平面的兩平面平行．()(3)若直線a⊥α，b⊥α，則a∥b.()(4)若α⊥β，a⊥β，則a∥α.()(5)若直線a⊥平面α，直線b∥α，則直線a與b垂直．()(6)若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則α⊥β.()××√×√×題組二走進(jìn)教材2．(必修2P164T15)(2022·廣州中學(xué)教學(xué)研究會(huì)調(diào)研)如圖1，正方形SG1G2G3中，E、F分別是G1G2、G2G3的中點(diǎn)，D是EF的中點(diǎn)，如圖2，沿SE、SF、EF將正方形折成一個(gè)四面體，使G1、G2、G3重合，重合后的點(diǎn)記為G，則在四面體S－EGF中()A．SG⊥平面EFGB．SD⊥平面EFGC．GF⊥平面SEFD．GD⊥平面SEFA[解析]

由題意知SG⊥GF，SG⊥GE，GF∩GE＝G.∴SG⊥平面GEF，故選A.3．(必修2P152例4)(2022·河南許昌質(zhì)檢)在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)M，N分別為AB，BC的中點(diǎn)，則直線MN與平面DCA1所成角的大小為()A[解析]

連接AC、AD1，設(shè)AD1∩A1D＝H，連HC，易知AH⊥平面A1DC，MN∥AC，∴∠HCA即為MN與平面DCA1所成的角，題組三走向高考4．(2022·全國(guó)乙卷)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，則()A．平面B1EF⊥平面BDD1B．平面B1EF⊥平面A1BDC．平面B1EF∥平面A1ACD．平面B1EF∥平面A1C1DA[解析]

正方體中DD1⊥EF，又AC⊥BD，EF∥AC，∴BD⊥EF，∴EF⊥平面BDD1，EF?平面B1EF，從而平面B1EF⊥平面BDD1，∴A正確；若平面B1EF⊥平面A1BD，則BD⊥平面B1EF，∴BD⊥B1E，又BB1⊥BD，∴BD⊥平面BB1E，又AD⊥平面BB1E，∴AD∥BD這與AD、BD相交矛盾，∴B錯(cuò)誤；取A1B1的中點(diǎn)H，則AH∥B1E，由于AH與平面A1AC相交，故平面B1EF∥平面A1AC不成立，C錯(cuò)誤；取AD的中點(diǎn)M，很明顯四邊形A1B1FM為平行四邊形，則A1M∥B1F，由于A1M與平面A1C1D相交，故平面B1EF∥平面A1C1D不成立，D錯(cuò)誤．故選A.5.(2023·新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷)如圖，三棱錐A－BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E為BC的中點(diǎn)．(1)證明：BC⊥DA；[解析]

(1)證明：連接AE，DE，因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，DB＝DC，所以DE⊥BC①，因?yàn)镈A＝DB＝DC，∠ADB＝∠ADC＝60°，所以△ACD與△ABD均為等邊三角形，∴AC＝AB，從而AE⊥BC②，由①②，AE∩DE＝E，AE，DE?平面ADE，所以BC⊥平面ADE，而AD?平面ADE，所以BC⊥DA.∴AE2＋DE2＝4＝AD2，∴AE⊥DE，又∵AE⊥BC，DE∩BC＝E，DE，BC?平面BCD，∴AE⊥平面BCD.以點(diǎn)E為原點(diǎn)，ED，EB，EA所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)平面DAB與平面ABF的一個(gè)法向量分別為n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)，考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究空間垂直關(guān)系的基本問題——自主練透1.(2024·江蘇部分四星級(jí)高中調(diào)研)設(shè)m，n，l是三條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，在下列命題中，真命題為()A．若m⊥n，n⊥l，則m⊥lB．若α⊥β，β⊥γ，則α⊥γC．若m⊥α，m∥n，n∥β，則α⊥βD．若m∥n，m∥α，則n∥αC[解析]

若m⊥n，n⊥l，則m∥l或m，l相交或m，l異面，所以A錯(cuò)誤；若α⊥β，β⊥γ，則α∥γ或α，γ相交，所以B錯(cuò)誤；若m⊥α，m∥n，則n⊥α，又n∥β，則α⊥β，所以C正確；若m∥n，m∥α，則n?α或n∥α，所以D錯(cuò)誤．故選C.2．(多選題)(2022·湖南名校聯(lián)考)對(duì)于不同直線m，n和不同平面α，β，有如下四個(gè)命題，其中正確的是()A．若m⊥α，n∥β，m⊥n，則α∥βB．若m⊥α，m∥n，n?β，則α⊥βC．若n⊥α，n⊥β，m⊥α，則m⊥βD．若m⊥α，m⊥n，則n∥αBC[解析]

選項(xiàng)A，若m⊥α，n∥β，m⊥n，則α與β可能相交可能平行，故A不正確；選項(xiàng)B，若m⊥α，m∥n，則n⊥α，又n?β，所以α⊥β，故B正確；選項(xiàng)C，若n⊥α，n⊥β，則α∥β，又m⊥α，所以m⊥β，故C正確；選項(xiàng)D，若m⊥α，m⊥n，則n∥α或n?α，故D不正確．故選BC.名師點(diǎn)撥：解決這類線、面位置關(guān)系判定的問題一般是利用正方體模型或畫圖分析解決，其實(shí)最好的辦法是筆當(dāng)線，紙、手掌當(dāng)面動(dòng)態(tài)演示．【變式訓(xùn)練】1．(多選題)(2022·江蘇泰州調(diào)研)已知直線l與平面α相交于點(diǎn)P，則()A．α內(nèi)不存在直線與l平行B．α內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與l垂直C．α內(nèi)所有直線與l是異面直線D．至少存在一個(gè)過l且與α垂直的平面[解析]

α內(nèi)的直線與l相交或異面，A對(duì)，C錯(cuò)；直線l與它在平面α內(nèi)的射影m所確定的平面β與平面α垂直，D對(duì)；平面α內(nèi)與射影m垂直的直線也與l垂直，顯然這樣的直線有無(wú)數(shù)條，B對(duì)．故選ABD.ABD2．(2024·河南名校聯(lián)考)已知m，n，l是三條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，m⊥l，m⊥α，n⊥l，n⊥β，則下列命題錯(cuò)誤的是()A．若m⊥n，則α⊥βB．若m∥n，則α∥βC．若m∥β，則α∥βD．若m⊥β，則n⊥α[解析]

若m∥β，則m⊥n，所以α⊥β，C錯(cuò)誤．C直線與平面垂直的判定與性質(zhì)——多維探究角度1線、面垂直的判定[解析]

解法一：取AD的中點(diǎn)O，連接SO，OE，OF.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，O，E分別是AD，BC的中點(diǎn)，所以EO綉AB，所以EO⊥AD.因?yàn)椤鱏AD是等邊三角形，所以SO⊥AD.因?yàn)镾O∩OE＝O，所以AD⊥平面SOE.因?yàn)镾E?平面SOE，所以AD⊥SE.因?yàn)镾A＝2AB，所以△SOE是等腰三角形．因?yàn)镕是SE的中點(diǎn)，所以O(shè)F⊥SE.因?yàn)镺F∩AD＝O，所以SE⊥平面ADF.如圖，連接AE，DE，因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，所以AE＝DE＝2.所以SD＝DE，SA＝AE.又F為SE的中點(diǎn)，所以DF⊥SE，AF⊥SE.因?yàn)镈F∩AF＝F，所以SE⊥平面ADF.解法三：由解法一易得AD，OE，SO兩兩互相垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O－xyz，角度2線、面垂直的性質(zhì)(2023·廣東潮州模擬(節(jié)選))如圖，在斜三棱柱BCE－ADF中，側(cè)面ABCD⊥側(cè)面ABEF，AB＝AD＝AF＝2，∠ADC＝∠AFE＝60°，M為CD上的中點(diǎn)．證明：EM⊥BF.[解析]

連接AE，AM，由AB＝AD＝AF＝2，∠ADC＝∠AFE＝60°，可知四邊形ABCD，ABEF均為含60°的菱形，故AE⊥BF當(dāng)M為CD的中點(diǎn)時(shí)，則AM⊥AB，又側(cè)面ABCD⊥側(cè)面ABEF，AB＝側(cè)面ABCD∩側(cè)面ABEF，故AM⊥平面ABEF，從而AM⊥BF，AE∩AM＝A，所以BF⊥平面AEM，又EM?平面AEM，故EM⊥BF.角度3直線與平面所成的角(2022·江蘇無(wú)錫高三期末)正方體ABCD－A1B1C1D1中，M是正方形ABCD的中心，則直線B1M與平面A1C1B所成角的正弦值為()D[解析]

解法一：連接B1D1交A1C1于H，連接BD，DB1，DB1∩BH＝O，BH∩B1M＝N，易證B1D⊥平面A1C1B.∴∠B1NO即為B1M與平面A1C1B所成的角，且B1O⊥ON.設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，名師點(diǎn)撥：1．證明線線垂直的常用方法(1)利用特殊圖形中的垂直關(guān)系．如：直徑所對(duì)圓周角是直角；菱形對(duì)角線互相垂直；等腰三角形底邊上的中線、頂角平分線垂直底邊．等等．(2)若知某些線段長(zhǎng)度，常利用勾股定理的逆定理．(3)利用直線與平面垂直的性質(zhì)．(4)向量法：a⊥b?a·b＝0.2．證明線面垂直的常用方法(1)線面垂直的判定定理：l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，a∩b＝P?l⊥α.(2)面面垂直的性質(zhì)定理：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β.(3)性質(zhì)：①a∥b，b⊥α?a⊥α；②α∥β，a⊥β?a⊥α.3．求直線與平面所成角的方法(1)定義法：①作，在直線上選取恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)向平面引垂線，確定垂足的位置是關(guān)鍵；②證，證明所作的角為直線與平面所成的角；③求，通過解三角形，求角．【變式訓(xùn)練】證明：PA⊥平面PBC.則∠APB＝90°，所以PA⊥PB，同理PA⊥PC，又PC∩PB＝P，所以PA⊥平面PBC.證法二：因?yàn)椤鰽BC是底面圓O的內(nèi)接正三角形，且AE為底面直徑，所以AE⊥BC.因?yàn)镈O(即PO)垂直于底面，BC在底面內(nèi)，所以PO⊥BC.又因?yàn)镻O?平面PAE，AE?平面PAE，PO∩AE＝O，所以BC⊥平面PAE.又因?yàn)镻A?平面PAE，所以PA⊥BC.設(shè)AE∩BC＝F，則F為BC的中點(diǎn)，連接PF.因此PA2＋PF2＝AF2，從而PA⊥PF.又因?yàn)镻F∩BC＝F，所以PA⊥平面PBC.證法三：空間直角坐標(biāo)系法所以AP⊥BP，AP⊥CP.又BP∩CP＝P，故AP⊥平面PBC.(1)證明：BD⊥PA；(2)求PD與平面PAB所成的角的正弦值．[解析]

(1)證明：在四邊形ABCD中，作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，因?yàn)镃D∥AB，AD＝CD＝CB＝1，AB＝2，所以AD2＋BD2＝AB2，所以AD⊥BD，因?yàn)镻D⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PD⊥BD，又PD∩AD＝D，所以BD⊥平面PAD，又因PA?平面PAD，所以BD⊥PA.(2)解法一：連接PE，又PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AB.∴AB⊥平面PDE，∴平面PAB⊥平面PDE.∴∠DPE為PD與平面PAB所成的角．解法二：如圖，以點(diǎn)D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面PAB的法向量n＝(x，y，z)，兩個(gè)平面垂直的判定與性質(zhì)——師生共研證明：平面PAD⊥平面ABCD.[證明]

證法一：取AB的中點(diǎn)F，連接BD，DF.在四邊形ABCD中，BC⊥CD，AB∥CD，故四邊形ABCD為直角梯形，又AB＝2BC＝2CD＝2，又由CD∥BF，CD＝BF，所以四邊形BCDF為正方形，故BD⊥PD.由PD∩AD＝D，PD?平面PAD，AD?平面PAD，從而BD⊥平面PAD，又BD?平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD.證法二：取AD的中點(diǎn)O，AB的中點(diǎn)F，連接PO，BO，DF.在四邊形ABCD中，BC⊥CD，AB∥CD，故四邊形ABCD為直角梯形，又AB＝2BC＝2CD＝2，故CD∥BF，且CD＝BF＝BC＝1，所以四邊形BCDF為正方形，所以△PAD≌△FAD，從而∠APD＝∠AFD＝90°，由AO∩BO＝O，AO?平面ABCD，OB?平面ABCD，從而PO⊥平面ABCD，又PO?平面PAD，所以平面PAD⊥平面ABCD.名師點(diǎn)撥：1．判定面面垂直的方法(1)面面垂直的定義；(2)面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β)．(一般在一個(gè)平面內(nèi)找交線的垂線，證此線與另一面垂直．)2．在已知面面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化．在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直．3.【變式訓(xùn)練】(2024·廣東珠海實(shí)驗(yàn)中學(xué)適應(yīng)性考試(節(jié)選))如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，△APD是等腰直角三角形，∠APD是頂角．求證：平面PAB⊥平面PCD.[證明]

因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，AD⊥CD，又平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD?平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，因?yàn)锳P?平面PAD，所以CD⊥AP，因?yàn)椤鰽PD是等腰直角三角形，∠APD是頂角，所以AP⊥PD，又PD∩DC＝D，PD?平面PCD，DC?平面PCD，所以AP⊥平面PCD，又AP?平面PAB，所以平面PAB⊥