2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第5章平面向量與復(fù)數(shù)第1講平面向量的概念及其線性運(yùn)算課件

平面向量與復(fù)數(shù)考

情

探

究考題考點(diǎn)考向關(guān)鍵能力考查要求核心素養(yǎng)2023新課標(biāo)Ⅰ，3平面向量數(shù)量積的應(yīng)用由向量垂直求參數(shù)的值運(yùn)算求解基礎(chǔ)性數(shù)學(xué)運(yùn)算2023新課標(biāo)Ⅱ，13平面向量數(shù)量積的定義及夾角與模問(wèn)題求模運(yùn)算求解基礎(chǔ)性數(shù)學(xué)運(yùn)算2022新高考Ⅰ，3平面向量的概念及線性運(yùn)算向量的線性運(yùn)算運(yùn)算求解基礎(chǔ)性數(shù)學(xué)運(yùn)算考題考點(diǎn)考向關(guān)鍵能力考查要求核心素養(yǎng)2022新高考Ⅱ，4平面向量數(shù)量積的應(yīng)用由夾角相等求參數(shù)值運(yùn)算求解綜合性數(shù)學(xué)運(yùn)算2021新高考Ⅰ，10平面向量數(shù)量積的定義及夾角與模問(wèn)題利用坐標(biāo)運(yùn)算求解向量的模、數(shù)量積運(yùn)算求解綜合性數(shù)學(xué)運(yùn)算2021新高考Ⅱ，15平面向量數(shù)量積的定義及夾角與模問(wèn)題平面向量的數(shù)量積運(yùn)算求解基礎(chǔ)性數(shù)學(xué)運(yùn)算考題考點(diǎn)考向關(guān)鍵能力考查要求核心素養(yǎng)2020新高考Ⅱ，3平面向量的概念及線性運(yùn)算向量的線性運(yùn)算運(yùn)算求解基礎(chǔ)性邏輯推理數(shù)學(xué)運(yùn)算2020新高考Ⅰ，7平面向量數(shù)量積的應(yīng)用求數(shù)量積的取值范圍運(yùn)算求解綜合性數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理直觀想象2023新課標(biāo)Ⅰ，2復(fù)數(shù)的運(yùn)算復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算運(yùn)算求解基礎(chǔ)性數(shù)學(xué)運(yùn)算考題考點(diǎn)考向關(guān)鍵能力考查要求核心素養(yǎng)2023新課標(biāo)Ⅱ，1復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的幾何意義運(yùn)算求解基礎(chǔ)性數(shù)學(xué)運(yùn)算2022新高考Ⅰ，2復(fù)數(shù)的運(yùn)算復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算運(yùn)算求解基礎(chǔ)性數(shù)學(xué)運(yùn)算2022新高考Ⅱ，2復(fù)數(shù)的運(yùn)算復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算運(yùn)算求解基礎(chǔ)性數(shù)學(xué)運(yùn)算2021新高考Ⅰ，2復(fù)數(shù)的運(yùn)算復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算運(yùn)算求解基礎(chǔ)性數(shù)學(xué)運(yùn)算考題考點(diǎn)考向關(guān)鍵能力考查要求核心素養(yǎng)2021新高考Ⅱ，1復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的幾何意義運(yùn)算求解基礎(chǔ)性數(shù)學(xué)運(yùn)算2020新高考Ⅱ，2復(fù)數(shù)的運(yùn)算復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算運(yùn)算求解基礎(chǔ)性數(shù)學(xué)運(yùn)算2020新高考Ⅰ，2復(fù)數(shù)的運(yùn)算復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算運(yùn)算求解基礎(chǔ)性數(shù)學(xué)運(yùn)算【命題規(guī)律與備考策略】本章內(nèi)容分為兩部分，第一部分平面向量、第二部分復(fù)數(shù)．高考對(duì)第一部分內(nèi)容的考查以平面向量的基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算為主，考查與平面向量基本定理相關(guān)的線性運(yùn)算、向量的數(shù)量積運(yùn)算、向量的夾角、向量的模．試題以中低檔題為主，以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，分值為5分．高考對(duì)部分的考查依然是基礎(chǔ)與能力并存，在知識(shí)的形成過(guò)程、知識(shí)的遷移中滲透數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng)，重視函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸思想．高考對(duì)第二部分內(nèi)容的考查，一般出現(xiàn)在選擇題前2題中，比較簡(jiǎn)單，分值為5分．高考命題主要集中于：①?gòu)?fù)數(shù)的相關(guān)概念，如虛數(shù)、純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)等；②復(fù)數(shù)的幾何意義及復(fù)數(shù)的模的最值問(wèn)題；③復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，?？疾槌?、除法運(yùn)算；④虛數(shù)單位i的性質(zhì)．備考時(shí)，要掌握常見(jiàn)的知識(shí)與解題方法，加強(qiáng)對(duì)復(fù)數(shù)的概念的理解，提高運(yùn)算求解能力．第一講平面向量的概念及其線性運(yùn)算知識(shí)梳理·雙基自測(cè)知

識(shí)

梳

理知識(shí)點(diǎn)一向量的有關(guān)概念1．向量：既有________又有________的量叫做向量，向量的大小叫做向量的________(或稱______)．2．零向量：____________的向量叫做零向量，其方向是________的，零向量記作______.3．單位向量：長(zhǎng)度等于______個(gè)單位的向量．4．平行向量：方向相同或________的________向量；平行向量又叫________向量．規(guī)定：0與任一向量________.大小方向長(zhǎng)度模長(zhǎng)度為0任意01相反非零共線平行5．相等向量：長(zhǎng)度________且方向________的向量．6．相反向量：長(zhǎng)度________且方向________的向量．相等相同相等相反知識(shí)點(diǎn)二向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算__________法則______________法則(1)交換律：a＋b＝__________；(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝__________________三角形平行四邊形b＋aa＋(b＋c)向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律減法向量a加上向量b的____________叫做a與b的差，即a＋(－b)＝a－b__________法則a－b＝a＋(－b)相反向量三角形向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律數(shù)乘實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)________記作λa(1)模：|λa|＝|λ||a|；(2)方向：當(dāng)λ>0時(shí)，λa與a的方向________；當(dāng)λ<0時(shí)，λa與a的方向________；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0設(shè)λ，μ是實(shí)數(shù)．(1)_________＝(λμ)a(2)(λ＋μ)a＝______________(3)λ(a＋b)＝______________.向量相同相反λ(μa)λa＋μaλa＋λb知識(shí)點(diǎn)三共線向量定理向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使____________.b＝λa歸

納

拓

展1．零向量與任何向量共線．4．首尾相連的一組向量的和為0.6．若a、b不共線，且λa＝μb，則λ＝μ＝0.雙

基

自

測(cè)題組一走出誤區(qū)1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)|a|與|b|是否相等，與a，b的方向無(wú)關(guān)．(

)(2)若a∥b，b∥c，則a∥c.(

)(4)當(dāng)兩個(gè)非零向量a，b共線時(shí)，一定有b＝λa，反之成立．(

)√××√題組二走進(jìn)教材BB4．(多選題)(必修2P15T4改編)如圖所示，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，在其中標(biāo)出了6個(gè)向量，則在這6個(gè)向量中()BC題組三走向高考A[解析]

∵D為△ABC的邊AB的中點(diǎn)，6．(2015·新課標(biāo)2,13,5分)設(shè)向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實(shí)數(shù)λ＝_______.[解析]

∵a、b不平行，∴a＋2b≠0，由題意可知存在唯一實(shí)數(shù)m，使得λa＋b＝m(a＋2b)，即(λ－m)·a＝(2m－1)b，考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究向量的基本概念——自主練透1.(多選題)(2023·山東煙臺(tái)月考)給出下列命題，其中敘述錯(cuò)誤的命題為()BCB．向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反C．|a|＋|b|＝|a－b|?a與b方向相反D．若向量a與b不共線，則a與b都是非零向量A．a(chǎn)＝b

B．a(chǎn)＝2bC．a(chǎn)∥b且|a|＝|b| D．a(chǎn)∥b且方向相同D名師點(diǎn)撥：1．相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性．2．共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無(wú)關(guān)．3．平行向量就是共線向量，二者是等價(jià)的；但相等向量不僅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量．向量的線性運(yùn)算——多維探究角度1向量加、減法的幾何意義

設(shè)非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，則()A．a(chǎn)⊥b

B．|a|＝|b|C．a(chǎn)∥b

D．|a|>|b|A[解析]

解法一：利用向量加法的平行四邊形法則．從而四邊形ABCD為矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.解法二：∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2.∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b.∴a·b＝0.∴a⊥b.角度2向量的線性運(yùn)算BA．3m－2n

B．－2m＋3nC．3m＋2n

D．2m＋3nB角度3根據(jù)向量線性運(yùn)算求參數(shù)C[解析]

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，連接AF，在△AEF中，名師點(diǎn)撥：平面向量線性運(yùn)算問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略1．考查向量加法或減法的幾何意義．2．求已知向量的和或差．一般共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法則，求差用三角形法則；求首尾相連的向量的和用三角形法則．3．與三角形綜合，求參數(shù)的值．求出向量的和或差，與已知條件中的式子比較，求得參數(shù)．4．與平行四邊形綜合，研究向量的關(guān)系．畫(huà)出圖形，找出圖中的相等向量、共線向量，將所求向量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)平行四邊形或三角形中求解．【變式訓(xùn)練】1．(角度1)(2022·湖北宜昌一中月考)已知a，b是兩個(gè)非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，則下列說(shuō)法正確的是()A．a(chǎn)＋b＝0B．a(chǎn)＝bC．a(chǎn)與b共線反向D．存在正實(shí)數(shù)λ，使a＝λb[解析]

因?yàn)閍，b是兩個(gè)非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，所以a與b共線同向，故D正確．DD解法二：如圖，連接BD，A共線向量定理及其應(yīng)用——師生共研

設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線．(2)試確定實(shí)數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線．[分析]

(1)利用向量證明三點(diǎn)共線時(shí)，首先要證明兩個(gè)非零向量共線，然后再說(shuō)明兩向量有公共點(diǎn)，這時(shí)才能說(shuō)明三點(diǎn)共線；(2)利用共線向量定理求解．又∵它們有公共點(diǎn)B，∴A，B，D三點(diǎn)共線．(2)∵ka＋b與a＋kb共線，∴存在實(shí)數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb.∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a，b是不共線的兩個(gè)非零向量，[引申]

本例(2)中，若ka＋b與a＋kb反向，則k＝________；若ka＋b與a＋kb同向，則k＝______.[解析]

由本例可知ka＋b與a＋kb反向時(shí)λ<0，從而k＝－1；ka＋b與a＋kb同向時(shí)λ>0，從而k＝1.－11名師點(diǎn)撥：平面向量共線的判定方法1．向量b與非零向量a共線的充要條件是存在唯一實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.要注意通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，要注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用．2．證明三點(diǎn)共線問(wèn)題，可用向量共線來(lái)解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線．【變式訓(xùn)練】B[解析]

由題意知，因?yàn)镸，N，Q三點(diǎn)共線，故存在實(shí)數(shù)λ，即a－2b＝λ[a－(k＋1)b]，解得λ＝1，k＝1.故選B.2．已知向量a，b，c中任意兩個(gè)都不共線，并且a＋b與c共線，b＋c與a共線，那么a＋b＋c等于()A．a(chǎn) B．b

C．c D．0D[解析]

解法一：∵a＋b與c共線，∴a＋b＝λ1c.①又∵b＋c與a共線，∴b＋c＝λ2a.②由①得：b＝λ1c－a.∴b＋c＝λ1c－a＋c＝(λ1＋1)c－a＝λ2a.∴a＋b＋c＝－c＋c＝0.故選D.解法二：①－②得a－c＝λ1c－λ2a∴λ1＝－1、λ2＝－1，∴a＋b＋c＝0.名師講壇·素養(yǎng)提升易錯(cuò)警示——都是零向量“惹的禍”

下列命題正確的是