2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三系列專題6.6 圖形的位似變換【八大題型】（舉一反三）（蘇科版）含解析

2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三系列專題6.6圖形的位似變換【八大題型】【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1位似圖形的相關(guān)概念辨析】 1【題型2判斷位似中心】 2【題型3求位似圖形的相似比】 3【題型4求位似圖形的長(zhǎng)度】 4【題型5求位似圖形的面積】 5【題型6求位似圖形的周長(zhǎng)】 6【題型7求位似圖形的坐標(biāo)】 8【題型8格點(diǎn)中作位似圖形】 9【知識(shí)點(diǎn)1位似圖形】1、定義：一般的，如果兩個(gè)相似多邊形任意一組對(duì)應(yīng)頂點(diǎn),所在的直線都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)，且有=，那么這樣的兩個(gè)多邊形叫做位似多邊形，點(diǎn)叫做位似中心2、性質(zhì)：位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比3、畫圖步驟：（1）尺規(guī)作圖法：①確定位似中心；②確定原圖形中的關(guān)鍵點(diǎn)關(guān)于中心的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；=3\*GB3③描出新圖形（2）坐標(biāo)法：在平面直角坐標(biāo)系中，將一個(gè)多邊形每個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都乘于同一個(gè)數(shù)，所對(duì)應(yīng)的圖形與原圖形位似，位似中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，它們的相似比為【題型1位似圖形的相關(guān)概念辨析】【例1】（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）下列命題：①兩個(gè)相似多邊形面積之比等于相似比的平方：②兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)高之比等于它們的相似比；③在△ABC與△A'B'C'中，ABA'B'=ACA'CA．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式1-1】（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）下列語(yǔ)句中，不正確的是（

）A．位似的圖形都是相似的圖形B．相似的圖形都是位似的圖形C．位似圖形的位似比等于相似比D．位似中心可以在兩個(gè)圖形外部，也可以在兩個(gè)圖形內(nèi)部【變式1-2】（2022·四川達(dá)州·九年級(jí)期末）下列說(shuō)法中正確的有（

）①位似圖形都相似；②兩個(gè)等腰三角形一定相似；③兩個(gè)相似多邊形的面積比是2:3，則周長(zhǎng)比為4:9；④若一個(gè)矩形的四邊形分別比另一個(gè)矩形的四邊形長(zhǎng)2，那么這兩個(gè)矩形一定相似．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式1-3】（2022·山東青島·九年級(jí)單元測(cè)試）關(guān)于對(duì)位似圖形的4個(gè)表述中：①相似圖形一定是位似圖形，位似圖形一定是相似圖形；②位似圖形一定有位似中心；③如果兩個(gè)圖形是相似圖形，且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線所在的直線都經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)，那么，這兩個(gè)圖形是位似圖形；④位似圖形上任意兩點(diǎn)與位似中心的距離之比等于位似比．正確的個(gè)數(shù)()A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【題型2判斷位似中心】【例2】（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正方形OEFG和正方形ABCD是位似圖形，且點(diǎn)D與點(diǎn)G是一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)D2，2，點(diǎn)GA．(-2，0) B．(-1，0) C．【變式2-1】（2022·北京師大附中九年級(jí)階段練習(xí)）圖中的兩個(gè)三角形是位似圖形，它們的位似中心是（）A．點(diǎn)P B．點(diǎn)O C．點(diǎn)M D．點(diǎn)N【變式2-2】（2022·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）下列四邊形ABCD和四邊形EFGD是位似圖形，它們的位似中心是（）A．點(diǎn)E B．點(diǎn)F C．點(diǎn)G D．點(diǎn)D【題型3求位似圖形的相似比】【例3】（2022·湖北恩施·二模）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，△ABC與△DEF是位似圖形，則△ABC與△DEF的相似比為（

）．A．12 B．13 C．2【變式3-1】（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知△ABC與△DEF位似，位似中心為點(diǎn)O，△ABC的面積與△DEF面積之比為16：9，則CO:OF的值為（

）A．3：4 B．4：7 C．4：3 D．7：4【變式3-2】．（2022·福建廈門·模擬預(yù)測(cè)）如圖，把△AOB縮小后得到△COD，則△AOB與△COD的相似比為______．【變式3-3】（2022·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）△ABC三個(gè)頂點(diǎn)A(3,?6)、B(6,?2)、C(2,?-1)，以原點(diǎn)為位似中心，得到的位似圖形△A'B'C'三個(gè)頂點(diǎn)分別為A'(1,?2)，B'(2,?23)，C(23【題型4求位似圖形的長(zhǎng)度】【例4】（2022·重慶·一模）如圖，△ABC與△DEF是位似圖形，且位似中心為O，OB:OF=3:2，若線段AC=9，則線段DE的長(zhǎng)為（）A．2 B．4 C．6 D．8【變式4-1】（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知△ABC與△A′B′C′是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且OAOA'=12，若點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)C（1【變式4-2】（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(6,?3)、B(6,?0)兩點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心，相似比為13，把線段AB縮小后得到線段A'B'【變式4-3】（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4．若矩形AEFG與矩形ABCD位似，點(diǎn)F在矩形ABCD的內(nèi)部，且相似比為3:4，則點(diǎn)C、F之間的距離為_________．【題型5求位似圖形的面積】【例5】（2022·河北·石家莊外國(guó)語(yǔ)教育集團(tuán)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，△ABC與△ADE成位似圖形，位似中心為點(diǎn)A，若AD:AB=1:3，則△ADE與△ABC面積之比為（

）A．1:2 B．1:3 C．1:9 D．1:16【變式5-1】（2022·重慶市巴川中學(xué)校八年級(jí)期末）如圖，△ABC與△A'B'C'位似，位似中心為點(diǎn)O，OA'=2AA'，△ABC的面積為9，則△A'B'C'面積為（

）A．4 B．6 C．92 D．【變式5-2】（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知?ABCD的面積為24，以B為位似中心，作?ABCD的位似圖形?EBFG，位似圖形與原圖形的位似比為23，連接AG、DG．則△ADG【變式5-3】（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形A1B1C1A2與正方形A2B2C2A3是以O(shè)為位似中心的位似圖形，且位似比為，點(diǎn)A1，A2，A3在x軸上，延長(zhǎng)A3C2交射線OB【題型6求位似圖形的周長(zhǎng)】【例6】（2022·浙江溫州·二模）如圖，已知△ABC與△DEF是位似圖形，O是位似中心，若OA＝2OD，則△ABC與△DEF的周長(zhǎng)之比是（

）A．2：1 B．3：1 C．4：1 D．6：1【變式6-1】（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD與四邊形EFGH位似，位似中心是O，若OA∶OE＝1∶3，且四邊形ABCD的周長(zhǎng)為4，則四邊形EFGH的周長(zhǎng)為（

）A．12 B．16 C．20 D．24【變式6-2】（2022·重慶南岸·九年級(jí)期末）如圖，已知△ABC與△DEF位似，位似中心為點(diǎn)O，OA：OD＝1：3，且△ABC的周長(zhǎng)為2，則△DEF的周長(zhǎng)為（）A．4 B．6 C．8 D．18【變式6-3】（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，△ABC與△DEF位似，點(diǎn)O是位似中心．若OA:AD=2:3，△DEF與△ABC的周長(zhǎng)差為12cm，則△ABC的周長(zhǎng)為（

A．6cm B．8cm C．10cm【題型7求位似圖形的坐標(biāo)】【例7】（2022·河北·泊頭市教師發(fā)展中心九年級(jí)期中）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（-4，2），B（-2，-2）．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心把△AOB縮小得到△A1OB1，△A1OB1與△AOB的位似比為12，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1【變式7-1】（2022·甘肅·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為位似中心，將△AOB縮小為原來(lái)的12，得到△COD，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，2），則AC的中點(diǎn)E【變式7-2】（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC中，A，B兩個(gè)頂點(diǎn)在x軸的上方，點(diǎn)C的坐標(biāo)是-1,0．以點(diǎn)C為位似中心，在x軸的下方作△ABC的位似圖形△A'B'C，并把△ABC的邊長(zhǎng)放大到原來(lái)的2倍．設(shè)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'的橫坐標(biāo)是A．-12m+3 B．-12m+1【變式7-3】（2022·山東·膠州市初級(jí)實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC與正方形ODEF是位似圖形，點(diǎn)O為位似中心，位似比為2：3，點(diǎn)B、E在第一象限，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），則點(diǎn)E的坐標(biāo)是_____．【題型8格點(diǎn)中作位似圖形】【例8】（2022·遼寧撫順·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（﹣2，2），B（﹣6，4），C（﹣4，8）．(1)畫出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的△A1B1C1；(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心，將△ABC縮小為原來(lái)的12，得到△A'B'C'，使△ABC與△A'B'C'位于位似中心兩側(cè)，請(qǐng)?jiān)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中畫出△A'B'C'(3)設(shè)△ABC與△△A'B'C'的周長(zhǎng)分別為l1、l2，則l1【變式8-1】（2022·河南南陽(yáng)·九年級(jí)期中）如圖，在正方形網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)O和△ABC的頂點(diǎn)均為小正方形的頂點(diǎn)．(1)以O(shè)為位似中心，在網(wǎng)格圖中作△A'B'C(2)證明△A'B【變式8-2】（2022·浙江寧波·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，9×9的方格都是由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成．?ABCD的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，請(qǐng)按以下要求在圖1，圖2中畫出相應(yīng)的格點(diǎn)圖形（頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上）．(1)畫出?ABCD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到的?AB'C'D(2)請(qǐng)以A為位似中心，作與?ABCD的面積比為14的位似圖形?AEFG【變式8-3】（2022·山西呂梁·九年級(jí)期末）如圖，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，分別按下列要求畫三角形．(1)在圖②中，請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格中畫一個(gè)與圖①△ABC相似的△DEF；(2)在圖③中，以O(shè)為位似中心，畫一個(gè)△A1B1C1，使它與△ABC的位似比為2：1．專題6.6圖形的位似變換【八大題型】【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1位似圖形的相關(guān)概念辨析】 1【題型2判斷位似中心】 4【題型3求位似圖形的相似比】 7【題型4求位似圖形的長(zhǎng)度】 10【題型5求位似圖形的面積】 12【題型6求位似圖形的周長(zhǎng)】 15【題型7求位似圖形的坐標(biāo)】 17【題型8格點(diǎn)中作位似圖形】 21【知識(shí)點(diǎn)1位似圖形】1、定義：一般的，如果兩個(gè)相似多邊形任意一組對(duì)應(yīng)頂點(diǎn),所在的直線都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)，且有=，那么這樣的兩個(gè)多邊形叫做位似多邊形，點(diǎn)叫做位似中心2、性質(zhì)：位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比3、畫圖步驟：（1）尺規(guī)作圖法：①確定位似中心；②確定原圖形中的關(guān)鍵點(diǎn)關(guān)于中心的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；=3\*GB3③描出新圖形（2）坐標(biāo)法：在平面直角坐標(biāo)系中，將一個(gè)多邊形每個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都乘于同一個(gè)數(shù)，所對(duì)應(yīng)的圖形與原圖形位似，位似中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，它們的相似比為【題型1位似圖形的相關(guān)概念辨析】【例1】（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）下列命題：①兩個(gè)相似多邊形面積之比等于相似比的平方：②兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)高之比等于它們的相似比；③在△ABC與△A'B'C'中，ABA'B'=ACAA．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及位似比的概念解答即可．【詳解】①正確，兩個(gè)相似多邊形面積之比等于相似比的平方；②正確，兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)高之比等于它們的相似比；③正確，根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似可得：在△ABC與△A′B′C′中，ABA④錯(cuò)誤，因?yàn)橐阎鰽BC及位似中心O，能夠作兩個(gè)三角形與△ABC位似，且位似比為2．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了命題的真假判斷，涉及到相似三角形的性質(zhì)和位似比的有關(guān)概念，熟記性質(zhì)概念是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）下列語(yǔ)句中，不正確的是（

）A．位似的圖形都是相似的圖形B．相似的圖形都是位似的圖形C．位似圖形的位似比等于相似比D．位似中心可以在兩個(gè)圖形外部，也可以在兩個(gè)圖形內(nèi)部【答案】B【分析】利用位似圖形的性質(zhì)分別判斷得出即可．【詳解】A、位似的圖形都是相似的圖形，正確，不合題意；B、相似的圖形不一定是位似的圖形，錯(cuò)誤，符合題意；C、位似圖形的位似比等于相似比，正確，不合題意；D、位似中心可以在兩個(gè)圖形外部，也可以在兩個(gè)圖形內(nèi)部，正確，不合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了位似圖形的性質(zhì)，正確掌握位似圖形的相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式1-2】（2022·四川達(dá)州·九年級(jí)期末）下列說(shuō)法中正確的有（

）①位似圖形都相似；②兩個(gè)等腰三角形一定相似；③兩個(gè)相似多邊形的面積比是2:3，則周長(zhǎng)比為4:9；④若一個(gè)矩形的四邊形分別比另一個(gè)矩形的四邊形長(zhǎng)2，那么這兩個(gè)矩形一定相似．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)位似變換的概念、相似多邊形的判定定理和性質(zhì)定理判斷．【詳解】解：①位似圖形都相似，本選項(xiàng)說(shuō)法正確；②兩個(gè)等腰三角形不一定相似，本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤；③兩個(gè)相似多邊形的面積比是2：3，則周長(zhǎng)比為2:④若一個(gè)矩形的四邊分別比另一個(gè)矩形的四邊長(zhǎng)2，那么這兩個(gè)矩形對(duì)應(yīng)邊的比不一定相等，兩個(gè)矩形不一定一定相似，本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤；∴正確的只有①；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是位似變換、相似多邊形的判定和性質(zhì)，掌握位似變換的概念、相似多邊形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2022·山東青島·九年級(jí)單元測(cè)試）關(guān)于對(duì)位似圖形的4個(gè)表述中：①相似圖形一定是位似圖形，位似圖形一定是相似圖形；②位似圖形一定有位似中心；③如果兩個(gè)圖形是相似圖形，且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線所在的直線都經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)，那么，這兩個(gè)圖形是位似圖形；④位似圖形上任意兩點(diǎn)與位似中心的距離之比等于位似比．正確的個(gè)數(shù)()A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)位似變換的概念和性質(zhì)對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】相似圖形不一定是位似圖形，位似圖形一定是相似圖形，①錯(cuò)誤；位似圖形一定有位似中心，②正確；根據(jù)位似的定義，除上述條件還需有對(duì)應(yīng)邊平行，或位于同一條直線上，③錯(cuò)誤；反例如下圖,△ABC∽△A1B1C1，并且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線所在的直線都經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)B1，但是這兩個(gè)三角形不是位似圖形.

位似圖形上對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)與位似中心的距離之比等于位似比，④錯(cuò)誤．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查的是位似變換的概念和性質(zhì)，位似圖形的定義：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心．注意：①兩個(gè)圖形必須是相似形；②對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)；③對(duì)應(yīng)邊平行．【題型2判斷位似中心】【例2】（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正方形OEFG和正方形ABCD是位似圖形，且點(diǎn)D與點(diǎn)G是一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)D2，2，點(diǎn)GA．(-2，0) B．(-1，0) C．【答案】A【分析】根據(jù)兩個(gè)位似圖形對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)所在的直線相交于一點(diǎn)，交點(diǎn)就是位似中心，可得連接DG并延長(zhǎng)，其與x軸交點(diǎn)即為位似中心，用待定系數(shù)法求出直線DG解析式，即可求解．【詳解】解；連接DG并延長(zhǎng)交x軸于M，∵點(diǎn)D與點(diǎn)G是一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則可知兩個(gè)位似圖形在位似中心的同旁，位似中心就是點(diǎn)M，設(shè)直線DG解析式為；y=kx+b，將D2，22k+b=2b=1解得：k=1∴直線DG解析式為y=1令y=0，可得：x=-2，∴M(-2，即位似中心的坐標(biāo)是(-2，故選A．【點(diǎn)睛】考題考查了判斷位似中心和求解位似中心，待定系數(shù)法求一次函數(shù)，熟練掌握位似中心的定義是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2022·北京師大附中九年級(jí)階段練習(xí)）圖中的兩個(gè)三角形是位似圖形，它們的位似中心是（）A．點(diǎn)P B．點(diǎn)O C．點(diǎn)M D．點(diǎn)N【答案】A【分析】根據(jù)位似變換的定義：對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，交點(diǎn)就是位似中心．即位似中心一定在對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線上．【詳解】點(diǎn)P在對(duì)應(yīng)點(diǎn)M和點(diǎn)N所在直線上，∴兩個(gè)三角形的位似中心是：點(diǎn)P．故選A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了位似變換，正確掌握位似圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式2-2】（2022·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）下列四邊形ABCD和四邊形EFGD是位似圖形，它們的位似中心是（）A．點(diǎn)E B．點(diǎn)F C．點(diǎn)G D．點(diǎn)D【答案】D【分析】利用位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)進(jìn)行判斷．【詳解】四邊形ABCD和四邊形EFGD是位似圖形，它們的位似中心是點(diǎn)D．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了位似變換：兩位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)；對(duì)應(yīng)邊平行．【變式2-3】（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形ABCD與矩形EFGO是位似圖形，位似中心在y軸上，對(duì)應(yīng)點(diǎn)B、F的坐標(biāo)分別為（﹣4，4）、（2，1），則位似中心的坐標(biāo)為（）A．（0，1） B．（0，2） C．（0，3） D．（0，4）【答案】B【分析】如圖，連接BF交y軸于P，根據(jù)位似圖形的定義可得點(diǎn)P為位似中心，根據(jù)點(diǎn)B、F坐標(biāo)可得點(diǎn)C、G坐標(biāo)，可得CG的長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出GP的長(zhǎng)，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【詳解】如圖，連接BF交y軸于P，∵矩形ABCD與矩形EFGO是位似圖形，位似中心在y軸上，點(diǎn)B、F為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，∴點(diǎn)P為位似中心，∵四邊形ABCD和四邊形EFGO是矩形，點(diǎn)B，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為（﹣4，4），（2，1），∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0，1），BC=4，GF=2，OG=1，∴CG＝3，∵BC∥GF，∴△BCP∽△FGP，∴GPPC＝GFBC＝12，PC=CG解得：GP＝1，∴OP=OG+GP=2，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，2），故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查位似圖形的定義、相似三角形的判定與性質(zhì)，理解位似圖形的定義、熟練掌握相似三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．【題型3求位似圖形的相似比】【例3】（2022·湖北恩施·二模）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，△ABC與△DEF是位似圖形，則△ABC與△DEF的相似比為（

）．A．12 B．13 C．2【答案】D【分析】△ABC與△DEF是位似圖形，所以△ABC∽△DEF，根據(jù)勾股定理求出AB和DE即可解答．【詳解】解：∵△ABC與△DEF是位似圖形，∴△ABC∽△DEF，由圖可知AB=22+22=2∴AB∴△ABC與△DEF的相似比為2，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查位似圖形的性質(zhì)．【變式3-1】（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知△ABC與△DEF位似，位似中心為點(diǎn)O，△ABC的面積與△DEF面積之比為16：9，則CO:OF的值為（

）A．3：4 B．4：7 C．4：3 D．7：4【答案】C【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到AC∥DF，進(jìn)而證明△AOC∽△DOF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：∵△ABC與△DEF位似，∴△ABC∽△DEF，AC∥DF，∵△ABC的面積與△DEF面積之比為16：9，∴ACDF∴△AOC∽△DOF，∴OCOF故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是位似圖形、相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】．（2022·福建廈門·模擬預(yù)測(cè)）如圖，把△AOB縮小后得到△COD，則△AOB與△COD的相似比為______．【答案】5:2【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)，三角形的相似比等于OBOD【詳解】解：如圖所示，D2,0∵把△AOB縮小后得到△COD，∴位似比為OBOD=52，則△AOB與故答案為：5:2．【點(diǎn)睛】本題考查的是位似變換的性質(zhì)，掌握在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或?k是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2022·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）△ABC三個(gè)頂點(diǎn)A(3,?6)、B(6,?2)、C(2,?-1)，以原點(diǎn)為位似中心，得到的位似圖形△A'B'C'三個(gè)頂點(diǎn)分別為A'(1,?2)，B'(2,?23)，C(23【答案】1:3【分析】由△ABC三個(gè)頂點(diǎn)A（3，6）、B（6，2）、C（2，﹣1），以原點(diǎn)為位似中心，得到的位似圖形△A′B′C′三個(gè)頂點(diǎn)分別為A′（1，2），B′（2，23），C（23，﹣13），根據(jù)位似圖形的性質(zhì)，即可求得△A′B′C【詳解】解：∵△ABC三個(gè)頂點(diǎn)A（3，6）、B（6，2）、C（2，﹣1），以原點(diǎn)為位似中心，得到的位似圖形△A′B′C′三個(gè)頂點(diǎn)分別為A′（1，2），B′（2，23），C（23，﹣13），∴△A′B′C故答案為1：3．【點(diǎn)睛】本題考查了位似圖形的性質(zhì)．此題比較簡(jiǎn)單，注意以原點(diǎn)為位似中心的位似圖形的位似比是對(duì)應(yīng)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的比．【題型4求位似圖形的長(zhǎng)度】【例4】（2022·重慶·一模）如圖，△ABC與△DEF是位似圖形，且位似中心為O，OB:OF=3:2，若線段AC=9，則線段DE的長(zhǎng)為（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】利用位似圖形的概念得到AB∥DF，△ABC∽△DFE，進(jìn)而求出ABDF【詳解】解：∵△ABC與△DEF是位似圖形，∴AB∥DF，△ABC∽△DFE，∴ABDF=OB∵AC=9，∴9DE=3故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是位似變換的概念和性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)位似圖形概念得到AB∥DF，△ABC∽△DFE，是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知△ABC與△A′B′C′是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且OAOA'=12，若點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)C（1【答案】13【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)和已知求出A′、C′的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出A′C′即可．【詳解】∵△ABC與△A′B′C′是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且OAOA'=12，點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)C（12，1），∴A′（﹣2，0），C′（1，2），∴A′C′=(-2-1)2故答案為13．【點(diǎn)睛】本題考查了位似變換、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離公式等知識(shí)點(diǎn)，求出點(diǎn)A′和C′的坐標(biāo)是解答此題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(6,?3)、B(6,?0)兩點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心，相似比為13，把線段AB縮小后得到線段A'B'【答案】1【分析】已知A（6，3）、B（6，0）兩點(diǎn)則AB=3，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心，相似比為13，則A′B′：AB=1：3．即可得出A′B【詳解】∵A（6，3）、B（6，0），∴AB=3．又∵相似比為13，∴A′B′：AB=1：3，∴A′B【點(diǎn)睛】本題主要考查位似的性質(zhì)，位似比就是相似比．【變式4-3】（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4．若矩形AEFG與矩形ABCD位似，點(diǎn)F在矩形ABCD的內(nèi)部，且相似比為3:4，則點(diǎn)C、F之間的距離為_________．【答案】5【分析】連接AC，先由勾股定理求得AC=4，再根據(jù)矩形AEFG與矩形ABCD位似，點(diǎn)F在矩形ABCD的內(nèi)部，且相似比為3:4，得AFAC=34，即可求出AF長(zhǎng)，然后由CF=【詳解】解：如圖，連接AC，∵矩形ABCD，∴∠B=90°∴AC=AB∵矩形AEFG與矩形ABCD位似，點(diǎn)F在矩形ABCD的內(nèi)部，且相似比為3:4，∴點(diǎn)F在AC上，∴AFAC=3∴AF=35，∴CF=AC-AF=45-35=5，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，位似圖形的性質(zhì)，熟練掌握位似圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型5求位似圖形的面積】【例5】（2022·河北·石家莊外國(guó)語(yǔ)教育集團(tuán)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，△ABC與△ADE成位似圖形，位似中心為點(diǎn)A，若AD:AB=1:3，則△ADE與△ABC面積之比為（

）A．1:2 B．1:3 C．1:9 D．1:16【答案】C【分析】根據(jù)三角形面積比與位似比的關(guān)系求解．【詳解】解：由題意得△ADE與△ABC的位似比為1：3，∴△ADE與△ABC面積之比為13故選C．【點(diǎn)睛】本題考查位似三角形的應(yīng)用，熟練掌握位似三角形的面積比等于位似比的平方是解題關(guān)鍵．【變式5-1】（2022·重慶市巴川中學(xué)校八年級(jí)期末）如圖，△ABC與△A'B'C'位似，位似中心為點(diǎn)O，OA'=2AA'，△ABC的面積為9，則△A'B'C'面積為（

）A．4 B．6 C．92 D．【答案】A【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到△ABC∽△A'B'C'，AB∥A'B'，可得△OAB∽△OA'B'，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到ABA【詳解】解：∵△ABC與△A'B'C'位似，∴△ABC∽△A'B'C'，AB∥A'B'，∴△OAB∽△OA'B'，∴ABA∴△ABC的面積：△A'B'C'的面積＝9：4，∵△ABC的面積為9，∴△A'B'C'的面積為：4，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是位似變換、相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知?ABCD的面積為24，以B為位似中心，作?ABCD的位似圖形?EBFG，位似圖形與原圖形的位似比為23，連接AG、DG．則△ADG【答案】4【分析】延長(zhǎng)EG交CD于點(diǎn)H，由題意可得四邊形AEHD是平行四邊形，則可得此平行四邊形的面積為8，從而可得△ADG的面積．【詳解】延長(zhǎng)EG交CD于點(diǎn)H，如圖，∵四邊形ABCD是平行四邊形，四邊形EBFG是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC；BF∥EG，∴AD∥EG，∴四邊形AEHD是平行四邊形，∴S△ADG∵位似圖形與原圖形的位似比為23∴BE=2即AE=1∴S?AEHD∴S△ADG故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了位似圖形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形A1B1C1A2與正方形A2B2C2A3是以O(shè)為位似中心的位似圖形，且位似比為，點(diǎn)A1，A2，A3在x軸上，延長(zhǎng)A3C2交射線OB【答案】2【分析】根據(jù)位似圖形的概念求出OA2，根據(jù)正方形的面積公式計(jì)算，總結(jié)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答即可．【詳解】解：∵正方形A1B1C1A2與正方形A2B2C2A3是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且相似比為12∴A1∵A1B1⊥x軸，A2B2⊥x軸，∴A1B1∥A2B2，∴OA1B1∽△OA2B2，∴OA∵OA1=1，∴OA2=2，∴A1A2=1，∴正方形A1B1C1A2的面積=1=40，∵OA1=A1A2=A1B1=1，∴∠B1OA1=45°，∴OA2=A2B2=2，∴正方形A2B2C2A3的面積=2×2=41，∵A3B3⊥x軸，∴OA3=A3B3=4，∴正方形A3B3C3A4的面積=4×4=16=42，……則正方形A2021B2021C2021A2022的面積為42021-1=42020=24040，故答案為：24040．【點(diǎn)睛】本題考查的是位似圖形的性質(zhì)、圖形的變化規(guī)律，掌握位似圖形的性質(zhì)、相似多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型6求位似圖形的周長(zhǎng)】【例6】（2022·浙江溫州·二模）如圖，已知△ABC與△DEF是位似圖形，O是位似中心，若OA＝2OD，則△ABC與△DEF的周長(zhǎng)之比是（

）A．2：1 B．3：1 C．4：1 D．6：1【答案】A【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到△AOB∽△DOE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出AB：DE，根據(jù)相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比解答即可．【詳解】解：∵△ABC與△DEF是位似圖形，∴AB∥DE，∴△AOB∽△DOE，∴AB∴△ABC與△DEF的周長(zhǎng)之比是2：1．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查的是位似變換的概念和性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)．【變式6-1】（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD與四邊形EFGH位似，位似中心是O，若OA∶OE＝1∶3，且四邊形ABCD的周長(zhǎng)為4，則四邊形EFGH的周長(zhǎng)為（

）A．12 B．16 C．20 D．24【答案】A【分析】根據(jù)位似的性質(zhì)，可知兩個(gè)四邊形的周長(zhǎng)之比也為1∶3，即可得解．【詳解】解：由題知：OA∶OE＝1∶3∴3C故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了位似圖形的性質(zhì)，知道位似圖形周長(zhǎng)比等于相似比是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2022·重慶南岸·九年級(jí)期末）如圖，已知△ABC與△DEF位似，位似中心為點(diǎn)O，OA：OD＝1：3，且△ABC的周長(zhǎng)為2，則△DEF的周長(zhǎng)為（）A．4 B．6 C．8 D．18【答案】B【分析】由△ABC與△DEF是位似圖形，且OA:OD=1:3知△ABC與△DEF的位似比是1:3，從而得出△ABC周長(zhǎng)：△DEF周長(zhǎng)=1:3，由此即可解答．【詳解】解：∵△ABC與△DEF是位似圖形，且OA:OD=1:3，∴△ABC與△DEF的位似比是1:3．則△ABC周長(zhǎng)：△DEF周長(zhǎng)=1:3，∵△ABC的周長(zhǎng)為2，∴△DEF周長(zhǎng)=2×3=6故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了位似變換：位似圖形的任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與位似中心在同一直線上，它們到位似中心的距離之比等于相似比，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其對(duì)應(yīng)的周長(zhǎng)比等于相似比．【變式6-3】（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，△ABC與△DEF位似，點(diǎn)O是位似中心．若OA:AD=2:3，△DEF與△ABC的周長(zhǎng)差為12cm，則△ABC的周長(zhǎng)為（

A．6cm B．8cm C．10cm【答案】B【分析】根據(jù)：位似圖形高、周長(zhǎng)的比都等于相似比即可解答．求出△DEF與△ABC的相似比為5:2即可．【詳解】∵OA:AD=2:3∴OA:OD=2:5∴△DEF與△ABC的周長(zhǎng)比為5:2∵△DEF與△ABC的周長(zhǎng)差為12∴△ABC的周長(zhǎng)=12×2故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了位似比，熟練的掌握位似圖形高、周長(zhǎng)的比都等于相似比是解題的關(guān)鍵．【題型7求位似圖形的坐標(biāo)】【例7】（2022·河北·泊頭市教師發(fā)展中心九年級(jí)期中）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（-4，2），B（-2，-2）．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心把△AOB縮小得到△A1OB1，△A1OB1與△AOB的位似比為12，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1【答案】（-2，1）或（2，-1）【分析】根據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為位似中心的位似圖形，如果相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k計(jì)算，得到答案．【詳解】解∶∵以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心把△AOB縮小得到△A1OB1，△∴點(diǎn)A1的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)與點(diǎn)A的橫縱坐標(biāo)的比值為12或∵A（-4，2），∴A1的坐標(biāo)為(-4×12故答案為∶(-2，1)或(2，-1)．【點(diǎn)睛】本題考查的是位似變換的概念和性質(zhì)，掌握在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為位似中心的位似圖形，如果相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2022·甘肅·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為位似中心，將△AOB縮小為原來(lái)的12，得到△COD，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，2），則AC的中點(diǎn)E【答案】（1，12【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)計(jì)算，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)．【詳解】∵以原點(diǎn)O為位似中心，將△AOB縮小為原來(lái)的12，得到△COD，點(diǎn)A∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4×（-12），2×（-1∴AC的中點(diǎn)E的坐標(biāo)是（1，12故答案為：（1，12【點(diǎn)睛】本題考查的是位似變換的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k,那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k.【變式7-2】（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC中，A，B兩個(gè)頂點(diǎn)在x軸的上方，點(diǎn)C的坐標(biāo)是-1,0．以點(diǎn)C為位似中心，在x軸的下方作△ABC的位似圖形△A'B'C，并把△ABC的邊長(zhǎng)放大到原來(lái)的2倍．設(shè)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'的橫坐標(biāo)是A．-12m+3 B．-12m+1【答案】A【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)得出△ABC的邊長(zhǎng)放大到原來(lái)的2倍，F(xiàn)O=m，CF=m+1，CE=12（m+1），進(jìn)而得出點(diǎn)B【詳解】解：過(guò)點(diǎn)B’作B’F⊥x軸，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸，∵點(diǎn)C的坐標(biāo)是（-1，0）．以點(diǎn)C為位似中心，在x軸的下方作△ABC的位似圖形△A′B′C，并把△ABC的邊長(zhǎng)放大到原來(lái)的2倍．點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′的橫坐標(biāo)是m，∴FO=m，CF=m+1，∴CE=12（m∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是：-12（m+1）-1=-12（故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是位似圖形的概念、相似三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線、靈活運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2022·山東·膠州市初級(jí)實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC與正方形ODEF是位似圖形，點(diǎn)O為位似中心，位似比為2：3，點(diǎn)B、E在第一象限，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），則點(diǎn)E的坐標(biāo)是_____．【答案】（6，6）．【分析】利用位似變換的概念和相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答即可.【詳解】解：∵正方形OABC與正方形ODEF是位似圖形，點(diǎn)O為位似中心，位似比為2：3，∴OAOD=解得，OD＝6，OF＝6，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（6，6），故答案為：（6，6）．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形、正方形的性質(zhì)以及位似變換的概念，掌握位似和相似的區(qū)別與聯(lián)系是解答本題的關(guān)鍵.【題型8格點(diǎn)中作位似圖形】【例8】（2022·遼寧撫順·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（﹣2，2），B（﹣6，4），C（﹣4，8）．(1)畫出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的△A1B1C1；(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心，將△ABC縮小為原來(lái)的12，得到△A'B'C'，使△ABC與△A'B'C'位于位似中心兩側(cè)，請(qǐng)?jiān)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中畫出△A'B'C'(3)設(shè)△ABC與△△A'B'C'的周長(zhǎng)分別為l1、l2，則l1【答案】(1)作圖見解析(2)作圖見解析(3)2：1【分析】（1）按照要求作圖即可，如圖1；（2）按照要求作圖即可，如圖1；（3）根據(jù)周長(zhǎng)比等于位似比計(jì)算求解即可．（1）解：由題意知，A,B,C關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)分別為-2,-2，（2）解：由題意知，△ABC與△A∴A,B,C對(duì)應(yīng)的位似點(diǎn)的點(diǎn)坐標(biāo)分別為1,-1，（3）解：由題意知△ABC與△A∴l(xiāng)故答案為：2:1．【點(diǎn)睛】本題考查了畫軸對(duì)稱圖形，位似圖形，位似圖形的性質(zhì)等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握對(duì)稱與位似的知識(shí)并靈活運(yùn)用．【變式8-1】（2022·河南南陽(yáng)·九年級(jí)期中）如圖，在正方形網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)O和△ABC的頂點(diǎn)均為小正方形的頂點(diǎn)．(1)以O(shè)為位似中心，在網(wǎng)格圖中作△A'B'C(2)證明△A'B【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)位似變換的性質(zhì)畫出圖形即可；（2）先用勾股定理算出兩個(gè)三角形的各邊長(zhǎng)，然后根據(jù)對(duì)應(yīng)邊的比相同即可證明結(jié)論．（1）解：如圖△A（2）證明：小正方形邊長(zhǎng)為1，∴BC=9，AB=62+32B'C'∵ABA'B'=∴ABA∴△A【點(diǎn)睛】本題考查作圖?位似變換、相似三角形的判定，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，理解題意、靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．【變式8-2】（2022·浙江寧波·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，9×9的方格都是由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成．?ABCD的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，請(qǐng)按以下要求在圖1，圖2中畫出相應(yīng)的格點(diǎn)圖形（頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上）．(1)畫出?ABCD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到的?AB'C'D(2)請(qǐng)以A為位似中心，作與?ABCD的面積比為14的位似圖形?AEFG【答案】(1)作圖見解析(2)作圖見解析【詳解】（1）如圖1

（2）如圖2，3【點(diǎn)睛】本題考查圖形的旋轉(zhuǎn)、位似，旋轉(zhuǎn)時(shí)，找準(zhǔn)旋轉(zhuǎn)三要素（旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度）是關(guān)鍵，注意位似圖形兩種情況．【變式8-3】（2022·山西呂梁·九年級(jí)期末）如圖，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，分別按下列要求畫三角形．(1)在圖②中，請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格中畫一個(gè)與圖①△ABC相似的△DEF；(2)在圖③中，以O(shè)為位似中心，畫一個(gè)△A1B1C1，使它與△ABC的位似比為2：1．【答案】(1)畫圖見解析(2)畫圖見解析【分析】（1）利用網(wǎng)格特點(diǎn)和相似的判定，畫出DE=2（2）利用網(wǎng)格特點(diǎn)，延長(zhǎng)AO到A1使A1O=2AO，延長(zhǎng)BO到B1使B1O=2BO，延長(zhǎng)CO到C1使C1O=2CO，從而得到△A1B1C1．(1)解：如圖②，△DFE為所作；由題意可得：AB=1,BC=5而DE=2∴DE∴△ABC與△DEF相似．(2)如圖③，△A1B1C1為所作．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-位似變換：相似三角形的判定，掌握畫位似圖形的一般步驟為：確定位似中心；分別連接并延長(zhǎng)位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點(diǎn)；根據(jù)位似比，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；順次連接上述各點(diǎn)，得到放大或縮小的圖形．專題6.7相似三角形的證明與計(jì)算專項(xiàng)訓(xùn)練（60道）【蘇科版】考卷信息：本套訓(xùn)練卷共60題，針對(duì)性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強(qiáng)學(xué)生對(duì)相似三角形的證明與計(jì)算的理解！一．解答題（共30小題）1．（2022·遼寧·大連市第三十四中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在ΔABC中，點(diǎn)D在AB邊上，∠ABC=∠ACD.（1）求證：ΔABC∽ΔACD；（2）若AD=4,AB=9求AC的長(zhǎng).2．（2022·廣西賀州·九年級(jí)期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，CF⊥BE于點(diǎn)F，求FC的長(zhǎng)．3．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D．求證：△ACD∽△ABC．4．（2022·上海·九年級(jí)期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，BC=8，點(diǎn)E、F是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，且BE=EF=FD，AE的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)G，GF的延長(zhǎng)線交AD于點(diǎn)H．（1）求HD的長(zhǎng)；（2）設(shè)△BEG的面積為a，求四邊形AEFH的面積．（用含a的代數(shù)式表示）5．（2022·湖南省岳陽(yáng)開發(fā)區(qū)長(zhǎng)嶺中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）已知：如圖，∠ABD=∠C，AD=2,AC=8，求AB．6．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知，如圖，△ABC中，AB＝4，BC＝8，D為BC邊上一點(diǎn)，BD＝2．求證：△ABD∽△CBA．7．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，∠1=∠2，ABAE8．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，在矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°，將∠MPN繞點(diǎn)P從PB處開始順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，PM交邊AB于點(diǎn)E，PN交邊AD于點(diǎn)F，當(dāng)PE旋轉(zhuǎn)至PA處時(shí)，∠MPN的旋轉(zhuǎn)隨即停止.（1）如圖2，在旋轉(zhuǎn)中發(fā)現(xiàn)當(dāng)PM經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，PN也經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，求證：△ABP∽△PCD（2）如圖3，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，PEPF（3）設(shè)AE=m，連結(jié)EF，則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)m為何值時(shí)，△BPE與△PEF相似.9．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D為BC邊上一點(diǎn)，E為AC邊上一點(diǎn)，且∠ADE=30°，求證：△ABD∽△DCE．10．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，AB=BC，AD=DE，連接BD，CE，求CEBD11．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，AD是角平分線，點(diǎn)E是邊AC上一點(diǎn)，且滿足∠ADE=∠B．(1)證明：ΔADB～(2)若AE=3，AD=5，求AB的長(zhǎng)．12．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，△ABC與△ADE中，∠C＝∠E，∠1＝∠2；（1）證明：△ABC∽△ADE．（2）請(qǐng)你再添加一個(gè)條件，使△ABC≌△ADE．你補(bǔ)充的條件為：．13．（2022·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，BD、CE是△ABC的高．（1）求證：△ACE∽△ABD；（2）若BD＝8，AD＝6，DE＝5，求BC的長(zhǎng)．14．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，AB//EF//CD，E為AD與BC的交點(diǎn)，F(xiàn)在15．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）如圖1，將直角三角板的直角頂點(diǎn)放在正方形ABCD上，使直角頂點(diǎn)與D重合，三角板的一邊交AB于點(diǎn)P，另一邊交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q．則DPDQ（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）將（1）中“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，且AD＝2，CD＝4，其他條件不變．①如圖2，若PQ＝5，求AP長(zhǎng)．②如圖3，若BD平分∠PDQ．則DP的長(zhǎng)為．16．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）感知：（1）數(shù)學(xué)課上，老師給出了一個(gè)模型：如圖1，∠BAD=∠ACB=∠AED=90°，由∠1+∠2+∠BAD=180°，∠2+∠D+∠AED=180°，可得∠1=∠D；又因?yàn)锳CB=∠AED=90°，可得△ABC∽△DAE，進(jìn)而得到應(yīng)用：（2）實(shí)戰(zhàn)組受此模型的啟發(fā)，將三等角變?yōu)榉侵苯?，如圖2，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，點(diǎn)P是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），點(diǎn)D是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠APD=∠B．①求證：△ABP∽②當(dāng)點(diǎn)P為BC中點(diǎn)時(shí)，求CD的長(zhǎng)；拓展：（3）在（2）的條件下如圖2，當(dāng)△APD為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出BP的長(zhǎng)．17．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D，E分別在BC，AB上，且∠ADE＝60°．求證：△ADC∽△DEB．18．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是BC上一線，連接AE，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn)，且∠AFE=∠B．求證：△ADF∽△DEC；19．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB、AC上，DC與BE相交于點(diǎn)O，且DO=2，BO=DC=6，OE=3．求證：△DOE∽△COB．20．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)C，∠DME＝∠A＝∠B，且DM交AC于點(diǎn)F，ME交BC于點(diǎn)G.寫出圖中的所有相似三角形，并選擇一對(duì)加以證明．21．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，D、E、F分別是△ABC的三邊BC,CA,AB的中點(diǎn)．求證：△DEF∽△ABC．22．（2022·福建·廈門市第五中學(xué)八年級(jí)期中）定義：若一個(gè)三角形最長(zhǎng)邊是最短邊的2倍，我們把這樣的三角形叫做“和諧三角形”．在△ABC中，點(diǎn)F在邊AC上，D是邊BC上的一點(diǎn)，AB＝BD，點(diǎn)A，D關(guān)于直線l對(duì)稱，且直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F．（1）如圖1，求作點(diǎn)F；（用直尺和圓規(guī)作圖保留作圖痕跡，不寫作法）（2）如圖2，△ABC是“和諧三角形”，三邊長(zhǎng)BC，AC，AB分別a，b，c，且滿足下列兩個(gè)條件：a≠2b，和a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1．①求a，b之間的等量關(guān)系；②若AE是△ABD的中線．求證：△ACE是“和諧三角形”．23．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，點(diǎn)F在邊AB上，BC2=BF?BA，CF與DE相交于點(diǎn)G．（1）求證：DF?AB=BC?DG；（2）當(dāng)點(diǎn)E為AC中點(diǎn)時(shí)，求證：2DF?EG=AF?DG．24．（2022·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝20cm，AC＝15cm，在這個(gè)直角三角形內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正方形，正方形的一邊FG在BC上，另兩個(gè)頂點(diǎn)E、H分別在邊AB、AC上．（1）求BC邊上的高；（2）求正方形EFGH的邊長(zhǎng)．25．（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，E是CD上的一點(diǎn)，F(xiàn)是BC的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CE=CF，BE的延長(zhǎng)線交DF于點(diǎn)G，求證：△BGF∽△DCF．26．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，F(xiàn)為四邊形ABCD邊CD上一點(diǎn)，連接AF并延長(zhǎng)交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，已知∠D=∠DCE．（1）求證：△ADF∽△ECF；（2）若ABCD為平行四邊形，AB=6，EF=2AF，求FD的長(zhǎng)度．27．（2022·安徽安慶·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DE，交AC于點(diǎn)F．（1）如圖①，當(dāng)CEEB=1（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BC于點(diǎn)G，求證：CG=12

28．（2022·上海市徐匯中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，已知△ABC中，AB=AC，點(diǎn)E、F在邊BC上，滿足∠EAF=∠C求證：（1）BF?CE=AB2（2）AE29．（2022·山東泰安·中考真題）小明將兩個(gè)直角三角形紙片如圖（1）那樣拼放在同一平面上，抽象出如圖（2）的平面圖形，∠ACB與∠ECD恰好為對(duì)頂角，∠ABC=∠CDE=90°，連接BD，AB=BD，點(diǎn)F是線段CE上一點(diǎn)．探究發(fā)現(xiàn)：（1）當(dāng)點(diǎn)F為線段CE的中點(diǎn)時(shí)，連接DF（如圖（2），小明經(jīng)過(guò)探究，得到結(jié)論：BD⊥DF．你認(rèn)為此結(jié)論是否成立？_________．（填“是”或“否”）拓展延伸：（2）將（1）中的條件與結(jié)論互換，即：若BD⊥DF，則點(diǎn)F為線段CE的中點(diǎn)．請(qǐng)判斷此結(jié)論是否成立．若成立，請(qǐng)寫出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．問(wèn)題解決：（3）若AB=6,CE=9，求AD的長(zhǎng)．30．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，AD⊥BC于點(diǎn)D，ED延長(zhǎng)后交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求證：△AEF∽△ABC．31．（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE．點(diǎn)M，N分別是BD，CE的中點(diǎn)，連接AM，AN，MN．（1）求證：△CAE≌△BAD；（2）求證：△AMN∽△ABC；（3）若AC＝6，AE＝4，∠EAC＝60°，求AN的長(zhǎng)．32．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在①DP?PB=CP?PA，②∠BAP=∠CDP，③DP?AB=CD?PB這三個(gè)條件中選擇其中一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，使命題正確，并證明．問(wèn)題：如圖，四邊形ABCD的兩條對(duì)角線交于P點(diǎn)，若（填序號(hào)）求證：△ABP～△DCP．33．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC=90°，且AB是AD，BC的比例中項(xiàng)，求證：BD⊥AC．34．（2022·甘肅蘭州·中考真題）如圖，在△ABC中，過(guò)點(diǎn)C作CD(1)求證：四邊形AFCD是平行四邊形．(2)若GB=3，BC=6，35．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，E是邊BC的中點(diǎn)，DF⊥AE于點(diǎn)F．(1)求證：AFBE(2)已知AB=8,BC=12，求AF的長(zhǎng)．36．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在?ABCD中，AC，BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，連接MC交BD于點(diǎn)N，ON＝1．(1)求證：△DMN∽△BCN；(2)求BD的長(zhǎng)；(3)若△DCN的面積為2，直接寫出四邊形ABNM的面積．37．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在菱形ABCD中，∠ABC=120°，點(diǎn)E、F分別是邊AB、AD上兩點(diǎn)，滿足AE=DF，BF與DE相交于點(diǎn)G．（1）如圖1，連接BD．求證：△DAE≌△BDF；（2）如圖2，連接CG．①求證：BG+DG=CG；②若FG=m，GC=n，求線段DG的長(zhǎng)（用含m、n的代數(shù)式表示）．38．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）將一副三角尺如圖1放置，其中AD為Rt△ABC中BC邊上的高，DE，DF分別交AB，AC于點(diǎn)M和N．(1)求證：△AMD∽△CND；(2)如圖2，將Rt△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，此時(shí)EF∥BC，且E，A，F(xiàn)共線，判斷AEAD39．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，四邊形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，點(diǎn)P是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且PD⊥AD．（1）證明：∠BDC=∠PDC；（2）若AC與BD相交于點(diǎn)E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的長(zhǎng)．40．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知線段AB∥CD，AD與BC相交于點(diǎn)K，E是線段AD上一動(dòng)點(diǎn)，（1）若BK＝73KC，求CD（2）聯(lián)結(jié)BE，若BE平分∠ABC，則當(dāng)AE＝12AD時(shí)，猜想線段AB、BC、CD（3）試探究：當(dāng)BE平分∠ABC，且AE＝1nAD（n＞2）時(shí)，線段AB、BC，CD41．（2022·山東濟(jì)寧·中考真題）如圖,在△ABC中,AB=AC，點(diǎn)P在BC上．(1)求作:△PCD,使點(diǎn)D在AC上，且△PCD∽△ABP；(要求:尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡,不寫作法)(2)在(1)的條件下,若∠APC=2∠ABC，求證:PD//AB．42．（2022·浙江杭州·中考真題）如圖，在銳角三角形ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AC，AB上，AG⊥BC于點(diǎn)G，AF⊥DE于點(diǎn)F，∠EAF=∠GAC．（1）求證：△ADE∽△ABC；（2）若AD=3，AB=5，求AFAG43．（2022·浙江杭州·中考真題）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在AB，BC，AC邊上，DE∥AC，EF∥AB．（1）求證：△BDE∽△EFC．（2）設(shè)AFFC①若BC＝12，求線段BE的長(zhǎng)；②若△EFC的面積是20，求△ABC的面積．44．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD為正方形，且E是邊BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥DE于F點(diǎn)，交AC于H點(diǎn)，交CD于G點(diǎn)．(1)求證：△BGC∽△DGF；(2)求證：GD?AB=DF?BG；(3)若點(diǎn)G是DC中點(diǎn)，求GFCE45．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝5cm，點(diǎn)D在BC上，且CD＝3cm，現(xiàn)有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A和點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)P以1cm/s的速度沿AC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q以1.25cm/s的速度沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PE∥BC交AD于點(diǎn)E，連接EQ，設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts（t＞0）．(1)CP＝________，CQ＝________．（用含t的代數(shù)式表示）(2)連接PQ，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，不論t取何值時(shí)，總有線段PQ與線段AB平行，為什么？46．（2022·河南洛陽(yáng)·九年級(jí)期中）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D在邊BC上，BD=13BC將線段DB繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至DE，記旋轉(zhuǎn)角為α，連接BE，CE，以CE為斜邊在其一側(cè)作等腰直角三角形CEF

(1)如圖1，當(dāng)α＝180°時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段AF與線段BE的數(shù)量關(guān)系；(2)當(dāng)0°＜α＜180°時(shí)，①如圖2，（1）中線段AF與線段BE的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；②如圖3，當(dāng)B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，連接AE，判斷四邊形AECF的形狀，并說(shuō)明理由．47．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在正方形ABCD中，E是BC上的點(diǎn)連接AE.作BF⊥AE垂足為H，交CD于F作CG//AE，交BF于G.求證：(1)CG=BH；(2)FC48．（2022·山東淄博·八年級(jí)期末）如圖1，已知矩形ABCD對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是邊AB上一點(diǎn)，CE與BD相交于點(diǎn)F，連結(jié)OE．(1)若點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，求OFFB(2)如圖2，若點(diǎn)F為OB中點(diǎn)，求證：AE＝2BE．(3)如圖2，若OE⊥AC，BE＝1，且OF＝k·BF，請(qǐng)用k的代數(shù)式表示AC2．49．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）【操作發(fā)現(xiàn)】如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)N、M分別在邊BC、CD上，連結(jié)AM、AN、MN．∠MAN＝45°，將△AMD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，得到△ABE．易證：△ANM≌△ANE，從而得DM+BN＝MN．【實(shí)踐探究】（1）在圖①條件下，若CN＝3，CM＝4，則正方形ABCD的邊長(zhǎng)是．（2）如圖②，點(diǎn)M、N分別在邊CD、AB上，且BN＝DM．點(diǎn)E、F分別在BM、DN上，∠EAF＝45°，連接EF，猜想三條線段EF、BE、DF之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【拓展】（3）如圖③，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，點(diǎn)M、N分別在邊DC、BC上，連結(jié)AM，AN，已知∠MAN＝45°，BN＝1，求DM的長(zhǎng)．

50．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是BC邊上動(dòng)點(diǎn)(不與B,C重合)．連接AE,過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AE,交DC于點(diǎn)F．(1)求證：△ABE～△ECF；(2)連接AF，試探究當(dāng)點(diǎn)E在BC什么位置時(shí)，∠BAE=∠EAF，請(qǐng)證明你的結(jié)論．51．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）綜合與實(shí)踐問(wèn)題情境：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D為斜邊AB上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合）．(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖①，當(dāng)AC=BC時(shí)，把線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE，連接DE，BE．①∠CBE的度數(shù)為______；②探究發(fā)現(xiàn)AD和BE有什么數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫出你的探究過(guò)程；(2)探究證明：如圖2，當(dāng)BC=2AC時(shí)，把線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后并延長(zhǎng)為原來(lái)的兩倍，記為線段CE．①在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，請(qǐng)判斷AD與BE有什么數(shù)量關(guān)系？并證明；②若AC=2，在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)△CBE的形狀為等腰三角形時(shí)，直接寫出此時(shí)△CBE的面積．52．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是邊AB上的中線，EF垂直平分CD，分別交AC，BC于E，F(xiàn)，連接DE，DF．(1)求證：△OCE∽△OFD．(2)當(dāng)AE=7，BF=24時(shí)，求線段EF的長(zhǎng)．53．（2022·河南駐馬店·九年級(jí)期末）如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝22，點(diǎn)D、E分別在邊AC、AB上，AD＝DE＝12AB，連接DE．將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為θ（1）[問(wèn)題發(fā)現(xiàn)]①當(dāng)θ＝0°時(shí)，BECD＝；②當(dāng)θ＝180°時(shí)，BECD＝（2）[拓展研究]試判斷：當(dāng)0°≤θ＜360°時(shí)，BECD（3）[問(wèn)題解決]在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，BE的最大值為．54．（2022·福建泉州·九年級(jí)期中）如圖1，設(shè)D為銳角△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠ADB=∠ACB+90°．（1）求證：∠CAD+∠CBD=90°；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥BD，BE=BD，連接EC，若AC?BD=AD?BC，①求證：△ACD∽△BCE；②求AB?CDAC?BD55．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）所謂黃金分割，指的是把長(zhǎng)為L(zhǎng)的線段分為兩部分，使其中較長(zhǎng)部分對(duì)于全部之比，等于較短部分對(duì)于該部分之比，其比值是5-1(1)如圖①，在△ABC中，∠A＝36°，AB=AC，∠ACB的平分線CD交腰AB于點(diǎn)D．請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)知識(shí)證明：點(diǎn)D為腰AB的黃金分割點(diǎn)：(2)如圖②，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD為斜邊AB上的高，AD>BD，AB=5+1，若點(diǎn)D是AB56．（2022·山東·淄博市臨淄區(qū)教學(xué)研究室八年級(jí)期末）在矩形ABCD中，AE⊥BD于點(diǎn)E，點(diǎn)P是邊AD上一點(diǎn)．（1）若BP平分∠ABD，交AE于點(diǎn)G，PF⊥BD，如圖（1），證明四邊形AGFP是菱形；（2）若PE⊥EC，如圖（2），求證：AE?AB=DE?AP．57．（2022·湖南衡陽(yáng)·九年級(jí)期末）如圖，在ΔABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一點(diǎn)，且BE=BD．（1）求證：ΔABE∽ΔACD；（2）若BD=1，CD=2，求AEAD58．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）[教材呈現(xiàn)]下面是華師大九年級(jí)上最數(shù)學(xué)教材第76頁(yè)的部分內(nèi)容．如圖，E是矩形ABCD的邊CB上的一點(diǎn)，AF⊥DE于點(diǎn)F，AB=3，AD=2，CE=1，證明△AFD∽△DCE，并計(jì)算點(diǎn)A到直線DE的距離（結(jié)果保留根號(hào)）．結(jié)合圖①，完成解答過(guò)程．[拓展]（1）在圖①的基礎(chǔ)上，延長(zhǎng)線段AF交邊CD于點(diǎn)G，如圖②，則FG的長(zhǎng)為；（2）如圖③，E、F是矩形ABCD的邊AB、CD上的點(diǎn)，連接EF，將矩形ABCD沿EF翻折，使點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)D'與點(diǎn)B重合，點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A'．若AB=4，AD=3，則EF的長(zhǎng)為．59．（2022·江蘇蘇州·九年級(jí)專題練習(xí)）(定義：長(zhǎng)寬比為n∶1（n為正整數(shù)）的矩形稱為n矩形．下面，我們通過(guò)折疊的方式折出一個(gè)2矩形，如圖a所示．操作1：將正方形ABEF沿過(guò)點(diǎn)A的直線折疊，使折疊后的點(diǎn)B落在對(duì)角線AE上的點(diǎn)G處，折痕為AH．操作2：將FE沿過(guò)點(diǎn)G的直線折疊，使點(diǎn)F、點(diǎn)E分別落在邊AF，BE上，折痕為CD．則四邊形ABCD為2矩形．(1)證明：四邊形ABCD為2矩形；(2)點(diǎn)M是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)．①如圖b，O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，若點(diǎn)N在邊BC上，OM⊥ON，連接MN．求ON：OM的值；②若AM＝AD，點(diǎn)N在邊BC上，當(dāng)△DMN的周長(zhǎng)最小時(shí)，求NB：CN的值；③連接CM，作BR⊥CM，垂足為R．若AB＝22，則DR的最小值＝60．（2022·四川廣元·二模）（1）如圖1，正方形ABCD與調(diào)研直角△AEF有公共頂點(diǎn)A，∠EAF＝90°，連接BE、DF，將△AEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直線BE、DF相交所成的角為β，則BEDF＝________；β（2）如圖2，矩形ABCD與Rt△AEF有公共頂點(diǎn)A，∠EAF＝90°，且AD＝2AB，AF＝2AE，連接BE、DF，將Rt△AEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直線BE、DF相交所成的角為β，請(qǐng)求出BEDF的值及β（3）若平行四邊形ABCD與△AEF有公共項(xiàng)點(diǎn)A，且∠BAD＝∠EAF＝α(0°＜α＜180°)，AD＝kAB，AF＝kAE(k≠0)，將△AEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直線BE、DF相交所成的銳角的度數(shù)為β，則：①BEDF②請(qǐng)直接寫出α和β之間的關(guān)系式．專題6.7相似三角形的證明與計(jì)算專項(xiàng)訓(xùn)練（60道）【蘇科版】考卷信息：本套訓(xùn)練卷共60題，針對(duì)性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強(qiáng)學(xué)生對(duì)相似三角形的證明與計(jì)算的理解！一．解答題（共60小題）1．（2021·遼寧·大連市第三十四中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在ΔABC中，點(diǎn)D在AB邊上，∠ABC=∠ACD.（1）求證：ΔABC∽ΔACD；（2）若AD=4,AB=9求AC的長(zhǎng).【答案】（1）見解析；（2）6【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定即可求出答案．（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出答案．【詳解】解：（1）證明：∵∠ABC=∠ACD，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD；（2）解：∵△ABC∽△ACD，∴ACAD=AB解得：AC=6.【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)與判定，屬于基礎(chǔ)題型．2．（2022·廣西賀州·九年級(jí)期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，CF⊥BE于點(diǎn)F，求FC的長(zhǎng)．【答案】2.4【分析】根據(jù)已知可證明△ABE~?FCB，然后利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：∵AD∥BC，∴∠AEB=∠CBF，

∵∠A=90°，∠CFB=90°，∴△ABE∽△FCB

∴ABFC∵BC=3，E是AD的中點(diǎn)，∴AE=1.5，∴BE=2.5，∴2FC=∴FC=2.4．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．3．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D．求證：△ACD∽△ABC．【答案】見解析【分析】根據(jù)兩個(gè)角相等的兩個(gè)三角形相似進(jìn)行證明即可．【詳解】證明：∵CD⊥AB于D．∴∠ADC=∠ACB=90°，∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，解題關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理，準(zhǔn)確運(yùn)用進(jìn)行推理證明．4．（2021·上海·九年級(jí)期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，BC=8，點(diǎn)E、F是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，且BE=EF=FD，AE的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)G，GF的延長(zhǎng)線交AD于點(diǎn)H．（1）求HD的長(zhǎng)；（2）設(shè)△BEG的面積為a，求四邊形AEFH的面積．（用含a的代數(shù)式表示）【答案】（1）2；（2）7a【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得AD//BC，根據(jù)相似三角形的判定得△BEG∽△DEA，△BFG∽△DFH，由BE=EF=FD可得出BEED（2）由BE=EF可得△BEG與△EFG的面積相等，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方可得S△AED與S△DFH的值，S△AED【詳解】解：（1）∵平行四邊形ABCD，BC=8，∴AD//BC，∴△BEG∽△DEA，△BFG∽△DFH，∴BEED=BG∵BE=EF=FD，∴BEED=1∴BG=12AD=4，HD=1∴HD=2；（2）∵BE=EF，∴S△BEG∴S△BFG∵△BEG∽△DEA，△BFG∽△DFH，BEED=1∴S△AED=4a，∴四邊形AEFH的面積=S△AED-S△DFH=【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2021·湖南省岳陽(yáng)開發(fā)區(qū)長(zhǎng)嶺中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）已知：如圖，∠ABD=∠C，AD=2,AC=8，求AB．【答案】4【分析】由∠A＝∠A，∠ABD＝∠C可證明△ADB∽△ABC，由相似三角形的性質(zhì)可知ADAB=AB【詳解】解：∵∠A＝∠A，∠ABD＝∠C，∴△ADB∽△ABC．∴ADAB=AB解得：AB＝4（負(fù)值已舍去）．∴AB＝4．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是相似三角形的性質(zhì)和判定，由相似三角形的性質(zhì)得到2AB6．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知，如圖，△ABC中，AB＝4，BC＝8，D為BC邊上一點(diǎn)，BD＝2．求證：△ABD∽△CBA．【答案】見解析；【分析】由AB＝4，BC＝8，BD＝2可知ABCB=BDBA，再由∠ABD＝∠CBA可得△【詳解】證明：∵AB＝4，BC＝8，BD＝2，∴ABCB又∵∠ABD＝∠CBA，∴△ABD∽△CBA．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解決本題的關(guān)鍵．7．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，∠1=∠2，ABAE【答案】見解析【分析】根據(jù)∠1=∠2得到∠BAC=∠EAD，結(jié)合ABAE【詳解】解：∵∠1=∠2，∴∠1+∠CAE=∠2+∠CAE，∴∠BAC=∠EAD，且ABAE∴△ABC∽△AED，由相似三角形對(duì)應(yīng)角相等可知：∴∠C=∠D．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握相似三角形的判定方法是解決本題的關(guān)鍵．8．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，在矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°，將∠MPN繞點(diǎn)P從PB處開始順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，PM交邊AB于點(diǎn)E，PN交邊AD于點(diǎn)F，當(dāng)PE旋轉(zhuǎn)至PA處時(shí)，∠MPN的旋轉(zhuǎn)隨即停止.（1）如圖2，在旋轉(zhuǎn)中發(fā)現(xiàn)當(dāng)PM經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，PN也經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，求證：△ABP∽△PCD（2）如圖3，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，PEPF（3）設(shè)AE=m，連結(jié)EF，則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)m為何值時(shí)，△BPE與△PEF相似.【答案】（1）見解析；（2）PEPF的值是定值，該定值為12；（3）當(dāng)m=0或【分析】（1）因?yàn)樵诰匦沃?，所以只要再證明∠BAP=∠CPD即可；（2）證明邊比為定值，考慮相似三角形，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BC于G，創(chuàng)造△PGF并證明其與△EBP相似；（3）使△BPE∽△PFE，那么BEPE【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形

∴∠B=∠C=90°

∴∠BAP+∠BPA=90°∵∠MPN=90°

∴∠CPD+∠BPA=90°

∴∠BAP=∠CPD∴△ABP∽△PCD

（2）過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BC于G

∴∠FGP=90°

∴∠FGP=∠B，∠PFG+∠FPG=90°易知四邊形ABGF是矩形，∴FG=AB=2∵∠MPN=90°

∴∠EPB+∠FPG=90°

∴∠EPB=∠FPG∴△EBP∽△PGF

∴PE∴PEPF的值是定值，該定值為1（3）∵AE=m

∴BE=2-m①當(dāng)BEPE∵∠B=∠EPF=90°

∴△BPE∽△PFE∴BEBP∴2-m1∴m=②當(dāng)BPPE∵∠B=∠EPF=90°

∴△BPE∽△PEF∴BPBE∴12-m∴m=0

綜上，當(dāng)m=0或32【點(diǎn)睛】本題考察了相似三角形的判定定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交；兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等；三邊對(duì)應(yīng)成比例；兩角對(duì)應(yīng)相等以及性質(zhì)定理：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例.9．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D為BC邊上一點(diǎn)，E為AC邊上一點(diǎn)，且∠ADE=30°，求證：△ABD∽△DCE．【答案】見解析【分析】利用三角形的外角性質(zhì)證明∠EDC=∠DAB，即可證明△ABD∽△DCE．【詳解】證明：∵AB=AC，且∠BAC=120°，∴∠ABD=∠ACB=30°，∵∠ADE=30°，∴∠ABD=∠ADE=30°，∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB，∴∠EDC=∠DAB，∴△ABD∽△DCE．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形相似的判定、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)，利用三角形的外角性質(zhì)證明∠EDC=∠DAB是解題的關(guān)鍵．10．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，AB=BC，AD=DE，連接BD，CE，求CEBD【答案】2【分析】由等腰直角三角形的性質(zhì)可推出∠DAE=∠