2022-2023學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)舉一反三系列專(zhuān)題6.1 線段、射線、直線【十大題型】（舉一反三）（蘇科版）含解析

2022-2023學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三系列專(zhuān)題6.1線段、射線、直線【十大題型】【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1線段、射線、直線概念辨析】 1【題型2線段、射線、直線的區(qū)別與聯(lián)系】 3【題型3計(jì)數(shù)問(wèn)題及其應(yīng)用】 3【題型4利用線段的和與差求線段長(zhǎng)度】 4【題型5線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算】 5【題型6線段n等分點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算】 6【題型7線段的數(shù)量關(guān)系】 8【題型8兩點(diǎn)間的距離】 9【題型9直線、線段的性質(zhì)】 11【題型10線段的長(zhǎng)短比較及其應(yīng)用】 12【知識(shí)點(diǎn)1線段、射線、直線】名稱(chēng)直線射線線段圖形BABAABABBABA端點(diǎn)個(gè)數(shù)無(wú)一個(gè)兩個(gè)表示法直線直線AB（BA）射線射線AB線段線段AB（BA）作法敘述作直線作直線AB作射線作射線AB作線段作線段AB連接AB延長(zhǎng)向兩端無(wú)限延長(zhǎng)向一端無(wú)限延長(zhǎng)不可延長(zhǎng)【題型1線段、射線、直線概念辨析】【例1】（2022·河北保定·七年級(jí)期末）《紅樓夢(mèng)》第57回有這么一句話，“自古道:‘千里姻緣一線牽’,管姻緣的有一位月下老兒，暗里只用一根紅線，把這兩個(gè)人的腳絆?。闭?qǐng)問(wèn)，這里所說(shuō)的“線”若是真的，則在數(shù)學(xué)中指的應(yīng)是（

）A．直線 B．射線 C．線段 D．以上都不對(duì)【變式1-1】（2022·全國(guó)·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．直線AB和直線BA表示同一條直線 B．過(guò)一點(diǎn)P只能作一條直線C．射線AB和射線BA表示同一條射線 D．射線a比直線b短【變式1-2】（2022·河北邢臺(tái)·七年級(jí)期中）若兩個(gè)圖形有公共點(diǎn)，則稱(chēng)這兩個(gè)圖形相交，否則稱(chēng)它們不相交．如圖，直線PA、PB和線段AB將平面分成五個(gè)區(qū)域（不包含邊界），若線段PQ與線段AB相交，則點(diǎn)Q落在的區(qū)域是（

）A．① B．② C．③ D．④或⑤【變式1-3】（2022·浙江寧波·七年級(jí)期末）如圖，平面內(nèi)有公共端點(diǎn)的六條射線OA,OB,OC,OD,OE,OF，從射線OA開(kāi)始按逆時(shí)針?lè)较蛞来卧谏渚€上寫(xiě)出數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，…則數(shù)字“2020”在（

）A．射線OA上 B．射線OB上 C．射線OD上 D．射線OF上【題型2線段、射線、直線的區(qū)別與聯(lián)系】【例2】（2022·山東·肥城市邊院鎮(zhèn)過(guò)村初級(jí)中學(xué)期末）平面上有三點(diǎn)A、B、C，如果AB=10，AC=7，BC=3，那么（

）A．點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上B．點(diǎn)C在線段AB上C．點(diǎn)C在直線AB外D．點(diǎn)C可能在直線AB上，也可能在直線AB外【變式2-1】（2022·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，對(duì)于直線AB，線段CD，射線EF，其中不能相交的圖是（）A． B． C． D．【變式2-2】（2022·天津北辰·七年級(jí)期末）如圖，辰辰同學(xué)根據(jù)圖形寫(xiě)出了四個(gè)結(jié)論：①圖中有兩條直線；②圖中有5條線段；③射線AC和射線AD是同一條射線；④直線BD經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．其中結(jié)論正確的結(jié)論是______．【變式2-3】（2022·山東·東平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)課時(shí)練習(xí)）如圖是四個(gè)圖形，每一個(gè)圖形都有相應(yīng)的一句描述，且所有圖形都畫(huà)在同一個(gè)平面上．①線段AB與射線MN不相交；②點(diǎn)C在線段AB上；③直線a和直線b不相交；④延長(zhǎng)射線AB，會(huì)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．其中正確的語(yǔ)句的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【題型3計(jì)數(shù)問(wèn)題及其應(yīng)用】【例3】（2022·山東·泰安市泰山區(qū)大津口中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）如圖是一段高鐵行駛路線圖，圖中字母表示的5個(gè)點(diǎn)表示5個(gè)車(chē)站，在這段路線上往返行車(chē)，需印制________種車(chē)票（任何兩站之間，往返兩種車(chē)票），需要__________種不同的票價(jià)．【變式3-1】（2022·湖南·長(zhǎng)沙市開(kāi)福區(qū)青竹湖湘一外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）一只小蟲(chóng)子欲從A點(diǎn)不重復(fù)經(jīng)過(guò)圖中的點(diǎn)或者線段，而最終到達(dá)目的地E，這只小蟲(chóng)子的不同走法共有（

）A．12種 B．13種 C．14種 D．15種【變式3-2】（2022·全國(guó)·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示，圖中過(guò)A點(diǎn)的直線共有________條，以A為端點(diǎn)的射線共有________條，以A為端點(diǎn)的線段共有________條．【變式3-3】（2022·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）若直線上有兩個(gè)點(diǎn)，則以這兩點(diǎn)為端點(diǎn)可以確定一條線段．請(qǐng)仔細(xì)觀察圖形，解決下列問(wèn)題：(1)如圖1，直線l上有3個(gè)點(diǎn)A，B，C，則可以確定條線段；(2)如圖2，直線l上有4個(gè)點(diǎn)A，B，C，D，則可以確定條線段；(3)若直線上有n個(gè)點(diǎn)，一共可以確定多少條線段？請(qǐng)寫(xiě)出解題過(guò)程．【題型4利用線段的和與差求線段長(zhǎng)度】【例4】（2022·北京朝陽(yáng)·七年級(jí)期末）一種零件的圖紙如圖所示，若AB＝10mm，BC＝50mm，CD＝20mm，則AD的長(zhǎng)為_(kāi)____mm．【變式4-1】（2022·湖南湘西·七年級(jí)期末）如圖，已知AD=65mm，BD=60mm，CD=15mm，求AB【變式4-2】（2022·陜西寶雞·七年級(jí)期末）如圖，P是線段AB上一點(diǎn)，AB=12cm，M、N兩點(diǎn)分別從P、B出發(fā)以1cms、3cms的速度同時(shí)向左運(yùn)動(dòng)（M在線段AP上，N在線段BP上），運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（1）若M、N運(yùn)動(dòng)1s時(shí)，且PN=3AM，求AP的長(zhǎng)；（2）若M、N運(yùn)動(dòng)到任一時(shí)刻時(shí)，總有PN=3AM，AP的長(zhǎng)度是否變化？若不變，請(qǐng)求出AP的長(zhǎng);若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）在（2）的條件下，Q是直線AB上一點(diǎn)，且AQ=PQ+BQ，求PQ的長(zhǎng)．【變式4-3】（2022·廣東廣州·七年級(jí)期中）已知A，B，C，D四點(diǎn)在同一條直線上，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)．(1)點(diǎn)D在線段AB上，且AB=6，BD=13BC(2)若點(diǎn)E是線段AB上一點(diǎn)，且AE=2BE，當(dāng)AD:BD=2:3時(shí)，線段CD與CE具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由．【知識(shí)點(diǎn)2利用線段的中點(diǎn)求線段長(zhǎng)度】線段上的一個(gè)點(diǎn)把線段分成相等的兩條線段，這個(gè)點(diǎn)叫做線段的中點(diǎn).【題型5線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算】【例5】（2022·重慶·西南大學(xué)附中七年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)D為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)C為DB的中點(diǎn)，若AB=16，DE=13AE，則線段ECA．7 B．203 C．6 【變式5-1】（2022·江蘇·沭陽(yáng)縣修遠(yuǎn)中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）已知點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，下列說(shuō)法：①AB=2AC；②BC=12AB；③AC=BC；④AC+BC=ABA．1 B．2 C．3 D．4【變式5-2】（2022·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)期末）如果一點(diǎn)在由兩條公共端點(diǎn)的線段組成的一條折線上且把這條折線分成長(zhǎng)度相等的兩部分，這點(diǎn)叫做這條折線的“折中點(diǎn)”．如圖，點(diǎn)D是折線A﹣C﹣B的“折中點(diǎn)”，請(qǐng)解答以下問(wèn)題：(1)當(dāng)AC＞BC時(shí)，點(diǎn)D在線段上；當(dāng)AC＝BC時(shí)，點(diǎn)D與重合；當(dāng)AC＜BC時(shí)，點(diǎn)D在線段上；(2)當(dāng)AC＜BC時(shí)，若E為線段AC中點(diǎn)，EC＝8cm，CD＝6cm，求CB的長(zhǎng)度．【變式5-3】（2022·江蘇·江陰市敔山灣實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）直線l上的三個(gè)點(diǎn)A、B、C，若滿足BC＝12AB，則稱(chēng)點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的“半距點(diǎn)”．如圖1，BC＝12AB，此時(shí)點(diǎn)C就是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)若M、N、P三個(gè)點(diǎn)在同一條直線m上，且點(diǎn)P是點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)N的“半距點(diǎn)”，MN＝6cm．(1)MP=_____cm(2)若點(diǎn)G也是直線m上一點(diǎn)，且點(diǎn)G是線段MP的中點(diǎn)，求線段GN的長(zhǎng)度．【題型6線段n等分點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算】【例6】（2022·湖南·郴州市明星學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）如圖所示，C，D兩點(diǎn)把線段AB分成了2：3：4三部分，M是AB的中點(diǎn)，DB＝12，求AM的長(zhǎng)．【變式6-1】（2022·江蘇·鼓樓實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）定義：數(shù)軸上的三點(diǎn)，如果其中一個(gè)點(diǎn)與近點(diǎn)距離是它與遠(yuǎn)點(diǎn)距離的12，則稱(chēng)該點(diǎn)是其他兩個(gè)點(diǎn)的“倍分點(diǎn)”．例如數(shù)軸上點(diǎn)A，B，C所表示的數(shù)分別為﹣1，0，2，滿足AB＝12BC，此時(shí)點(diǎn)B是點(diǎn)A，C的“倍分點(diǎn)”．已知點(diǎn)A，B，C，M，（1）A，B，C三點(diǎn)中，點(diǎn)是點(diǎn)M，N的“倍分點(diǎn)”；（2）若數(shù)軸上點(diǎn)M是點(diǎn)D，A的“倍分點(diǎn)”，則點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的數(shù)有個(gè)，分別是；（3）若數(shù)軸上點(diǎn)N是點(diǎn)P，M的“倍分點(diǎn)”，且點(diǎn)P在點(diǎn)N的右側(cè)，求此時(shí)點(diǎn)P表示的數(shù)．【變式6-2】（2022·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知線段AB=15cm，點(diǎn)C在線段AB上，且AC:CB=3:2(1)求線段AC，CB的長(zhǎng)；(2)點(diǎn)P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)且不與點(diǎn)A，B，C重合，線段AP的中點(diǎn)為M，設(shè)AP=m①請(qǐng)用含有m的代數(shù)式表示線段PC，MC的長(zhǎng)；②若三個(gè)點(diǎn)M，P，C中恰有一點(diǎn)是其它兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)，則稱(chēng)M，P，C三點(diǎn)為“共諧點(diǎn)”，請(qǐng)直接寫(xiě)出使得M，P，C三點(diǎn)為“共諧點(diǎn)”的m的值．【變式6-3】（2022·全國(guó)·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）小明在學(xué)習(xí)了比較線段的長(zhǎng)短時(shí)對(duì)下面一道問(wèn)題產(chǎn)生了探究的興趣：如圖1，點(diǎn)C在線段AB上，M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)．若AB＝12，AC＝8，求MN的長(zhǎng)．(1)根據(jù)題意，小明求得MN＝___________；(2)小明在求解（1）的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)MN的長(zhǎng)度具有一個(gè)特殊性質(zhì)，于是他先將題中的條件一般化，并開(kāi)始深入探究．設(shè)AB＝a，C是線段AB上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），小明提出了如下三個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你幫助小明解答．①如圖1，M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，則MN＝______________；②如圖2，M，N分別是AC，BC的三等分點(diǎn)，即AM=13AC，BN=③若M，N分別是AC，BC的n等分點(diǎn)，即AM=1nAC，BN=【題型7線段的數(shù)量關(guān)系】【例7】（2022·江蘇無(wú)錫·七年級(jí)期末）如圖，C、D是線段AB上兩點(diǎn)，且CD=3AD?2BC，則AC與BD的關(guān)系是（

）A．AC=BD B．2AC=BD C．3AC=2BD D．4AC=3BD【變式7-1】（2022·全國(guó)·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖1，已知線段AB=20cm，點(diǎn)M是線段AB上一點(diǎn)，點(diǎn)C在線段AM上，點(diǎn)D在線段BM上，C、D兩點(diǎn)分別從M、B出發(fā)以acm/s、bcm/s的速度沿直線(1)直接寫(xiě)出：a=____________，b=_____________；(2)若2cm<AM<4cm，當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)了3(3)如圖2，若AM=13AB，點(diǎn)N是直線AB上一點(diǎn)，且AN?BN=MN，求MN【變式7-2】（2022·全國(guó)·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖①、②所示，線段AB=20，線段CD=10，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，設(shè)AC=a．(1)當(dāng)a=4時(shí)，則DE的長(zhǎng)為_(kāi)_____．(2)在圖①中，計(jì)算DE的長(zhǎng)度（用含a的式子表示）(3)將圖①中的線段CD向右移動(dòng)到圖②的位置．①直接寫(xiě)出線段AC與線段DE滿足的數(shù)量關(guān)系．②在線段AC上有點(diǎn)F，滿足32AF+BE=12AC?AF【變式7-3】（2022·全國(guó)·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）某操作車(chē)間有一段直線型向左移動(dòng)的傳輸帶，A，B兩位操作工人站于傳輸帶同側(cè)且相距16米，操作組長(zhǎng)F也站在該側(cè)，且到A，B距離相等，傳輸帶上有一個(gè)8米長(zhǎng)的工具筐CE．(1)如圖1，當(dāng)CE位于A，B之間時(shí)，F(xiàn)發(fā)現(xiàn)工具筐的C端離自己只有1米，則工具筐C端離A米，工具筐E端離B米．(2)工具筐C端從B點(diǎn)開(kāi)始隨傳輸帶向左移動(dòng)直至工具筐E端到達(dá)以A點(diǎn)為止，這期間工具筐E端到B的距離BE和工具筐E端到F的距離EF存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，并用等式表示，（你可以在圖2中先畫(huà)一畫(huà)，再找找規(guī)律）【知識(shí)點(diǎn)3直線的性質(zhì)】經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線.簡(jiǎn)單地：兩點(diǎn)確定一條直線.兩條直線相交，只有一個(gè)交點(diǎn).【知識(shí)點(diǎn)4線段的性質(zhì)】?jī)牲c(diǎn)的所有連線中，線段最短。簡(jiǎn)稱(chēng)：兩點(diǎn)之間，線段最短。連接兩點(diǎn)間的線段的長(zhǎng)度，叫做這兩點(diǎn)的距離?！绢}型8兩點(diǎn)間的距離】【例8】（2022·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知線段AB＝10cm，有下列說(shuō)法：①不存在到A，B兩點(diǎn)的距離之和小于10cm的點(diǎn)；②線段AB上存在無(wú)數(shù)個(gè)到A，B兩點(diǎn)的距離之和等于10cm的點(diǎn)；③線段AB外存在無(wú)數(shù)個(gè)到A，B兩點(diǎn)的距離之和大于10cm的點(diǎn)．其中正確的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【變式8-1】（2022·河北石家莊·七年級(jí)期末）如圖，A、B、C、D表示四個(gè)車(chē)站的位置，A、B兩站之間的距離AB=a?b，B、C兩站之間的距離BC=2a?b，B、D兩站之間的距離BD=7(1)求C，D兩站之間的距離CD（用含a，b的式子表示）；(2)當(dāng)A，C兩站之間的距離AC=90km時(shí)，求C、D兩站之間的距離CD．【變式8-2】（2022·全國(guó)·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示，M是線段AB上一定點(diǎn)，AB=12cm，C，D兩點(diǎn)分別從點(diǎn)M，B出發(fā)以1cm/s，2cm/s的速度沿直線BA向左運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方向如箭頭所示（點(diǎn)C（1）當(dāng)點(diǎn)C，D運(yùn)動(dòng)了2s時(shí)，求AC+MD的值．（2）若點(diǎn)C，D運(yùn)時(shí)，總有MD=2AC，則AM=_______．（3）在（2）的條件下，N是直線AB上一點(diǎn)，且AN?BN=MN，求MNAB【變式8-3】（2022·江蘇淮安·七年級(jí)期末）【探索新知】如圖1，點(diǎn)C在線段AB上，圖中共有3條線段：AB、AC和BC，若其中有一條線段的長(zhǎng)度是另一條線段長(zhǎng)度的兩倍，則稱(chēng)點(diǎn)C是線段AB的“二倍點(diǎn)”.（1）①一條線段的中點(diǎn)這條線段的“二倍點(diǎn)”；（填“是”或“不是”）②若線段AB=20，C是線段AB的“二倍點(diǎn)”，則BC=（寫(xiě)出所有結(jié)果）【深入研究】如圖2，若線段AB=20cm，點(diǎn)M從點(diǎn)B的位置開(kāi)始，以每秒2cm的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.（2）問(wèn)t為何值時(shí)，點(diǎn)M是線段AB的“二倍點(diǎn)”；（3）同時(shí)點(diǎn)N從點(diǎn)A的位置開(kāi)始，以每秒1cm的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，并與點(diǎn)M同時(shí)停止.請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M是線段AN的“二倍點(diǎn)”時(shí)t的值.【題型9直線、線段的性質(zhì)】【例9】（2022·全國(guó)·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列現(xiàn)象：①用兩個(gè)釘子就可以把木條固定在墻上②從A地到B地架設(shè)電線，總是盡可能沿著線段AB架設(shè)③植樹(shù)時(shí)，只要確定兩棵樹(shù)的位置，就能確定同一行樹(shù)所在的直線④把彎曲的公路改直，就能縮短路程其中能用“兩點(diǎn)之間線段最短”來(lái)解釋的現(xiàn)象有（

）A．①④ B．①③ C．②④ D．③④【變式9-1】（2022·河南·鄭州市第四初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期末）值日生小明想把教室桌椅擺放整齊，為了將一列課桌對(duì)齊，他把這列課桌的最前面一張和最后面一張先拉成一條線，其余課桌按這條直線擺放，這樣做用到的數(shù)學(xué)知識(shí)是__________．【變式9-2】（2022·浙江紹興·七年級(jí)期末）如圖，在方格紙中，點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，H，K中，在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)有（

）．A．3組 B．4組 C．5組 D．6組【變式9-3】（2022·廣東汕尾·七年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)C在∠AOB的邊OA上，選擇合適的畫(huà)圖工具按要求畫(huà)圖．，（1）反向延長(zhǎng)射線OB，得到射線OD，在射線OD上取一點(diǎn)F，使得OF=OC；（2）使用量角器，畫(huà)出∠AOD的角平分線OE；（3）在射線OE上作一點(diǎn)P，使得CP+FP最?。唬?）寫(xiě)出你完成（3）的作圖依據(jù)：______．【題型10線段的長(zhǎng)短比較及其應(yīng)用】【例10】（2022·江蘇·無(wú)錫市華莊中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，在公路MN兩側(cè)分別有A1,A2,···,①車(chē)站的位置設(shè)在C點(diǎn)好于B點(diǎn)；②車(chē)站的位置設(shè)在B點(diǎn)與C點(diǎn)之間公路上任何一點(diǎn)效果一樣；③車(chē)站位置的設(shè)置與各段小公路的長(zhǎng)度無(wú)關(guān)；④車(chē)站的位置設(shè)在BC段公路的最中間處要好于設(shè)在點(diǎn)B及點(diǎn)C處．A．①③ B．③④ C．②③ D．②【變式10-1】（2022·全國(guó)·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在標(biāo)槍訓(xùn)練課上，小秦在點(diǎn)O處進(jìn)行了四次標(biāo)槍試投，若標(biāo)槍分別落在圖中M,N,P,Q的四個(gè)點(diǎn)處，則表示他最好成績(jī)的點(diǎn)是（

）A．M B．PC．N D．Q【變式10-2】（2022·重慶巫山·七年級(jí)期末）如圖所示，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)A、B、C、D、E五個(gè)村莊位于同一條筆直的公路邊，相鄰兩個(gè)村莊的距離分別為AB＝1千米，BC＝3千米，CD＝2千米，DE＝1.5千米．鄉(xiāng)村扶貧改造期間，該鄉(xiāng)鎮(zhèn)打算在此間新建一個(gè)便民服務(wù)點(diǎn)M，使得五個(gè)村莊到便民服務(wù)點(diǎn)的距離之和最小，則這個(gè)最小值為_(kāi)________千米．【變式10-3】（2022·全國(guó)·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示，某公司有三個(gè)住宅區(qū)，A、B、C各區(qū)分別住有職工30人，15人，10人，且這三點(diǎn)在一條大道上（A，B，C三點(diǎn)共線），已知AB＝100米，BC＝200米．為了方便職工上下班，該公司的接送車(chē)打算在此間只設(shè)一個(gè)?？奎c(diǎn)，為使所有的人步行到?？奎c(diǎn)的路程之和最小，那么該?？奎c(diǎn)的位置應(yīng)設(shè)在（）A．點(diǎn)A B．點(diǎn)B C．A，B之間 D．B，C之間專(zhuān)題6.1線段、射線、直線【十大題型】【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1線段、射線、直線概念辨析】 1【題型2線段、射線、直線的區(qū)別與聯(lián)系】 4【題型3計(jì)數(shù)問(wèn)題及其應(yīng)用】 7【題型4利用線段的和與差求線段長(zhǎng)度】 9【題型5線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算】 13【題型6線段n等分點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算】 17【題型7線段的數(shù)量關(guān)系】 22【題型8兩點(diǎn)間的距離】 28【題型9直線、線段的性質(zhì)】 32【題型10線段的長(zhǎng)短比較及其應(yīng)用】 35【知識(shí)點(diǎn)1線段、射線、直線】名稱(chēng)直線射線線段圖形BABAABABBABA端點(diǎn)個(gè)數(shù)無(wú)一個(gè)兩個(gè)表示法直線直線AB（BA）射線射線AB線段線段AB（BA）作法敘述作直線作直線AB作射線作射線AB作線段作線段AB連接AB延長(zhǎng)向兩端無(wú)限延長(zhǎng)向一端無(wú)限延長(zhǎng)不可延長(zhǎng)【題型1線段、射線、直線概念辨析】【例1】（2022·河北保定·七年級(jí)期末）《紅樓夢(mèng)》第57回有這么一句話，“自古道:‘千里姻緣一線牽’,管姻緣的有一位月下老兒，暗里只用一根紅線，把這兩個(gè)人的腳絆?。闭?qǐng)問(wèn)，這里所說(shuō)的“線”若是真的，則在數(shù)學(xué)中指的應(yīng)是（

）A．直線 B．射線 C．線段 D．以上都不對(duì)【答案】C【分析】根據(jù)線段的定義解答即可．【詳解】解：“自古道：‘千里姻緣一線牽’，管姻緣的有一位月下老兒，暗里只用一根紅線，把這兩個(gè)人的腳絆?。闭?qǐng)問(wèn)，這里所說(shuō)的“線”若是真的，則在數(shù)學(xué)中指的應(yīng)是線段．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了線段，掌握線段的定義（有兩個(gè)端點(diǎn)的線）是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2022·全國(guó)·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．直線AB和直線BA表示同一條直線 B．過(guò)一點(diǎn)P只能作一條直線C．射線AB和射線BA表示同一條射線 D．射線a比直線b短【答案】A【分析】根據(jù)直線和射線的表示方法，和過(guò)一點(diǎn)可以做無(wú)數(shù)條直線，依次判斷A、C、B，再利用射線與直線不能進(jìn)行長(zhǎng)短的比較判斷D即可．【詳解】解：A、直線可以用兩個(gè)大寫(xiě)字母來(lái)表示，且直線沒(méi)有方向，所以AB和BA是表示同一條直線；故A正確．B、過(guò)一點(diǎn)P可以作無(wú)數(shù)條直線；故B錯(cuò)誤．C、射線AB和射線BA，端點(diǎn)不同，方向相反，故射線AB和射線BA表示不同的射線；故C錯(cuò)誤．D、射線和直線不能進(jìn)行長(zhǎng)短的比較；故D錯(cuò)誤．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了直線，射線的表示方法以及射線和直線的性質(zhì)，關(guān)鍵是要能夠區(qū)分直線與射線的不同點(diǎn)．【變式1-2】（2022·河北邢臺(tái)·七年級(jí)期中）若兩個(gè)圖形有公共點(diǎn)，則稱(chēng)這兩個(gè)圖形相交，否則稱(chēng)它們不相交．如圖，直線PA、PB和線段AB將平面分成五個(gè)區(qū)域（不包含邊界），若線段PQ與線段AB相交，則點(diǎn)Q落在的區(qū)域是（

）A．① B．② C．③ D．④或⑤【答案】B【分析】先根據(jù)線段PQ與線段AB有公共點(diǎn)確交點(diǎn)的位置在AB上，連結(jié)線段PS，利用線段的延長(zhǎng)線所在區(qū)域確定點(diǎn)Q落在區(qū)域②即可．【詳解】解：∵線段PQ與線段AB相交，設(shè)交點(diǎn)為S，∴點(diǎn)S在線段AB上，連結(jié)PS并延長(zhǎng)，點(diǎn)Q在PS的延長(zhǎng)線上，∵PS的延長(zhǎng)線在區(qū)域②∴點(diǎn)Q在區(qū)域②．故選擇B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段、射線和直線，延長(zhǎng)線，點(diǎn)與直線的位置關(guān)系：①點(diǎn)經(jīng)過(guò)直線，說(shuō)明點(diǎn)在直線上；②點(diǎn)不經(jīng)過(guò)直線，說(shuō)明點(diǎn)在直線外．【變式1-3】（2022·浙江寧波·七年級(jí)期末）如圖，平面內(nèi)有公共端點(diǎn)的六條射線OA,OB,OC,OD,OE,OF，從射線OA開(kāi)始按逆時(shí)針?lè)较蛞来卧谏渚€上寫(xiě)出數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，…則數(shù)字“2020”在（

）A．射線OA上 B．射線OB上 C．射線OD上 D．射線OF上【答案】C【分析】通過(guò)觀察已知圖形，發(fā)現(xiàn)共有六條射線，數(shù)字依次落在每條射線上，因此六個(gè)數(shù)字依次循環(huán)，算出2020有多少個(gè)循環(huán)即可．【詳解】解：通過(guò)觀察已知圖形，發(fā)現(xiàn)共有六條射線，∴數(shù)字1-2020每六個(gè)數(shù)字一個(gè)循環(huán)．∵2020÷6=336…4，∴2020在射線OD上．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字的變化類(lèi)，通過(guò)考察數(shù)字的所在線段，考查學(xué)生觀察和總結(jié)能力，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是計(jì)算出6個(gè)數(shù)字一個(gè)循環(huán)．題目整體較為簡(jiǎn)單，適合隨堂訓(xùn)練．【題型2線段、射線、直線的區(qū)別與聯(lián)系】【例2】（2022·山東·肥城市邊院鎮(zhèn)過(guò)村初級(jí)中學(xué)期末）平面上有三點(diǎn)A、B、C，如果AB=10，AC=7，BC=3，那么（

）A．點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上B．點(diǎn)C在線段AB上C．點(diǎn)C在直線AB外D．點(diǎn)C可能在直線AB上，也可能在直線AB外【答案】B【分析】根據(jù)AB＝10，AC＝7，BC＝3，有AB＝AC＋BC進(jìn)行判斷即可．【詳解】解答：解：如圖，在平面內(nèi)，AB＝10，∵AC＝7，BC＝3，∴點(diǎn)C為以A為圓心，7為半徑，與以B為圓心，3為半徑的兩個(gè)圓的交點(diǎn)，由于AB＝10＝7＋3＝AC＋BC，所以，點(diǎn)C在線段AB上，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查線段、射線、直線的意義，理解點(diǎn)與直線的位置關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2022·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，對(duì)于直線AB，線段CD，射線EF，其中不能相交的圖是（）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)直線、射線、線段的特點(diǎn)分析判斷即可；【詳解】AB是直線，CD是線段不能延伸，故不能相交；AB是直線，EF是射線，都可延伸，故可相交；CD是線段，不能延伸，故不能相交；EF是射線，延伸方向與直線AB不相交；故選ACD．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線、射線、線段的特點(diǎn)，準(zhǔn)確分析判斷是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2022·天津北辰·七年級(jí)期末）如圖，辰辰同學(xué)根據(jù)圖形寫(xiě)出了四個(gè)結(jié)論：①圖中有兩條直線；②圖中有5條線段；③射線AC和射線AD是同一條射線；④直線BD經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．其中結(jié)論正確的結(jié)論是______．【答案】①③【分析】根據(jù)直線、射線、線段的定義結(jié)合圖形即可分析判斷求解．【詳解】解：①直線是沒(méi)有端點(diǎn)，向兩邊無(wú)限延伸，圖中有兩條直線，分別是：直線BC和直線BD，故①說(shuō)法正確；②直線上兩點(diǎn)及兩點(diǎn)之間的部分是線段，圖中有6條線段，分別是：線段AB、線段BC、線段BD、線段AC、線段CD、線段AD，故②說(shuō)法錯(cuò)誤；③射線AC和射線AD是同一條射線，都是以點(diǎn)A為端點(diǎn)，同一方向的射線，故③說(shuō)法正確；④直線BD和直線BC相交于點(diǎn)B，直線BD經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，不經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，故④說(shuō)法錯(cuò)誤，故答案為：①③．【點(diǎn)睛】本題考查直線、射線、線段的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握并區(qū)分相關(guān)定義．【變式2-3】（2022·山東·東平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)課時(shí)練習(xí)）如圖是四個(gè)圖形，每一個(gè)圖形都有相應(yīng)的一句描述，且所有圖形都畫(huà)在同一個(gè)平面上．①線段AB與射線MN不相交；②點(diǎn)C在線段AB上；③直線a和直線b不相交；④延長(zhǎng)射線AB，會(huì)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．其中正確的語(yǔ)句的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根據(jù)直線、線段、射線的定義以及其性質(zhì)分別判斷得出即可．【詳解】解：①線段AB與射線MN不相交，根據(jù)圖形可得①正確；②根據(jù)圖形可得點(diǎn)C不在線段AB上，故②錯(cuò)誤；根據(jù)圖形可得出直線a和直線b會(huì)相交，故③錯(cuò)誤；④根據(jù)圖形可得出應(yīng)為延長(zhǎng)線段AB，會(huì)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，故④錯(cuò)誤．故正確的語(yǔ)句的個(gè)數(shù)是1，故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了直線、線段、射線的定義的應(yīng)用，正確根據(jù)題意畫(huà)出圖形是解題關(guān)鍵.【題型3計(jì)數(shù)問(wèn)題及其應(yīng)用】【例3】（2022·山東·泰安市泰山區(qū)大津口中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）如圖是一段高鐵行駛路線圖，圖中字母表示的5個(gè)點(diǎn)表示5個(gè)車(chē)站，在這段路線上往返行車(chē)，需印制________種車(chē)票（任何兩站之間，往返兩種車(chē)票），需要__________種不同的票價(jià)．【答案】

20

10【分析】先求得單程的車(chē)票數(shù)，在求出往返的車(chē)票數(shù)即可．【詳解】解：5個(gè)點(diǎn)中線段的總條數(shù)是4×5÷2=10（種），∵任何兩站之間，往返兩種車(chē)票，∴應(yīng)印制10×2=20（種），又∵往返票價(jià)是一樣的，∴需要10種票價(jià)，故答案為：20；10．【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)線段，解決本題的關(guān)鍵是掌握“直線上有n個(gè)點(diǎn)，則線段的數(shù)量有n(n?1)2【變式3-1】（2022·湖南·長(zhǎng)沙市開(kāi)福區(qū)青竹湖湘一外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）一只小蟲(chóng)子欲從A點(diǎn)不重復(fù)經(jīng)過(guò)圖中的點(diǎn)或者線段，而最終到達(dá)目的地E，這只小蟲(chóng)子的不同走法共有（

）A．12種 B．13種 C．14種 D．15種【答案】C【分析】根據(jù)題意按順序列舉即可解題．【詳解】解：這只小蟲(chóng)子的不同走法有：ABCDE、ABCDPE、ABCDPFE、ABPDE、ABPE、ABPFE、APBCDE、APDE、APE、APFE、AGFPBCDE、AGFPDE、AGFPE、AGFE，共14種，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查排列與組合問(wèn)題，是常見(jiàn)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．【變式3-2】（2022·全國(guó)·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示，圖中過(guò)A點(diǎn)的直線共有________條，以A為端點(diǎn)的射線共有________條，以A為端點(diǎn)的線段共有________條．【答案】

1

3

5【分析】根據(jù)直線沒(méi)有端點(diǎn)，射線有1個(gè)端點(diǎn)，線段有2個(gè)端點(diǎn)，據(jù)此分析即可求解．【詳解】解析：過(guò)A點(diǎn)的直線只有1條，即直線AC；以A為端點(diǎn)的射線共有3條，即射線AF（或AD）、射線AE（或AC）、射線AG；以A為端點(diǎn)的線段共有5條，即線段AF、AD、AE、AC、AB．故答案為：①1；②3；③5【點(diǎn)睛】本題考查了直線，射線，線段的認(rèn)識(shí)，掌握直線、射線、線段的端點(diǎn)的個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2022·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）若直線上有兩個(gè)點(diǎn)，則以這兩點(diǎn)為端點(diǎn)可以確定一條線段．請(qǐng)仔細(xì)觀察圖形，解決下列問(wèn)題：(1)如圖1，直線l上有3個(gè)點(diǎn)A，B，C，則可以確定條線段；(2)如圖2，直線l上有4個(gè)點(diǎn)A，B，C，D，則可以確定條線段；(3)若直線上有n個(gè)點(diǎn)，一共可以確定多少條線段？請(qǐng)寫(xiě)出解題過(guò)程．【答案】(1)3(2)6(3)n(n?1)2【分析】（1）根據(jù)線段定義即可求解．（2）根據(jù)線段的定義即可求解．（3）由（1）（2）找出規(guī)律即可求解．（1）解：由圖可得：直線l上有3個(gè)點(diǎn)A，B，C，可得線段AB、線段BC和線段AC，則可以確定3條線段，故答案為：3．（2）有圖可得：直線l上有4個(gè)點(diǎn)A，B，C，D，可得線段AB、線段AC、線段AD、線段BC、線段BD和線段CD，則可以確定6條線段，故答案為：6．（3）由（1），（2）可得，當(dāng)直線上有n個(gè)點(diǎn)，則：(n?1)+(n?2)+(n?3)+?+3+2+1=n?1+1【點(diǎn)睛】本題考查了線段的定義及數(shù)量關(guān)系，熟練掌握線段的定義及數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【題型4利用線段的和與差求線段長(zhǎng)度】【例4】（2022·北京朝陽(yáng)·七年級(jí)期末）一種零件的圖紙如圖所示，若AB＝10mm，BC＝50mm，CD＝20mm，則AD的長(zhǎng)為_(kāi)____mm．【答案】80【分析】根據(jù)AD＝AB+BC+CD即可得答案．【詳解】解：由圖可知：AD＝AB+BC+CD＝10+50+20＝80（mm）．故答案為：80．【點(diǎn)睛】本題考查了線段的和差，掌握連接兩點(diǎn)間的線段長(zhǎng)叫兩點(diǎn)間的距離是解本題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2022·湖南湘西·七年級(jí)期末）如圖，已知AD=65mm，BD=60mm，CD=15mm，求AB【答案】AB=5mm，【分析】結(jié)合已知條件根據(jù)AB=AD?BD解答，再根據(jù)BC=BD?CD求出解即可．【詳解】如圖，∵AD=65mm，BD=60mm，∴AB=AD?BD=65?60=5mm，BC=BD?CD=60?15=45【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段的和差，掌握線段之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2022·陜西寶雞·七年級(jí)期末）如圖，P是線段AB上一點(diǎn)，AB=12cm，M、N兩點(diǎn)分別從P、B出發(fā)以1cms、3cms的速度同時(shí)向左運(yùn)動(dòng)（M在線段AP上，N在線段BP上），運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（1）若M、N運(yùn)動(dòng)1s時(shí)，且PN=3AM，求AP的長(zhǎng)；（2）若M、N運(yùn)動(dòng)到任一時(shí)刻時(shí)，總有PN=3AM，AP的長(zhǎng)度是否變化？若不變，請(qǐng)求出AP的長(zhǎng);若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）在（2）的條件下，Q是直線AB上一點(diǎn)，且AQ=PQ+BQ，求PQ的長(zhǎng)．【答案】（1）3cm，證明見(jiàn)解析；（2）長(zhǎng)度不變，長(zhǎng)度為3cm，證明見(jiàn)解析；（3）6cm或12cm【分析】（1）根據(jù)路程、速度、時(shí)間公式算出M、N運(yùn)動(dòng)1s時(shí)所走的距離，根據(jù)總長(zhǎng)度算出PN+AM的長(zhǎng)度，根據(jù)PN=3AM分別算出PN和AM的長(zhǎng)，再根據(jù)AP=AM+MP算出AP的長(zhǎng)．（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)到t時(shí)刻，即可表示出PM和BN的長(zhǎng)度，根據(jù)總長(zhǎng)度表示出PN+AM的長(zhǎng)度，由已知條件PN=3AM，可以得到AM的長(zhǎng)度，則AP=AM+PM,即可求得．（3）由已知條件分析可知Q在AP間不符合題意，所以Q可能在PB間或AB的延長(zhǎng)線上，根據(jù)AQ=PQ+BQ，求得AP=BQ，從而求得與AB的關(guān)系．【詳解】（1）當(dāng)M、N運(yùn)動(dòng)1s時(shí)，PM=1cm，BN=3cm，∴PN+AM=8cm，∵PN=3AM，∴AM=2cm，PN=6cm，∴AP=PM+AM=3cm．（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)到t時(shí)刻，則PM=t，BN=3t，∴PN+AM=12?4t，∵PN=3AM，∴AM=3?t，∴AP=PM+AM=3cm，∴AP的長(zhǎng)度不變，長(zhǎng)度為3cm．（3）由已知條件可知，Q在AP間不符合題意，∴當(dāng)Q在PB間時(shí)，如圖1，由（2）可知AP=3cm，BP=9cm，∴PQ+BQ=BP=9=AQ，∵AQ=AP+PQ，∴AP=BQ，∴PQ=AQ?AP=6cm；當(dāng)Q在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2，由（2）可知AP=3cm，BP=9cm，∴AQ=AP+PB+BQ=3+9+BQ=12+BQ，∵AQ=BQ+PQ，∴PQ=AQ?BQ=12+BQ?BQ=12cm；綜上所述，PQ=6cm或12cm．．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)之間的距離，靈活運(yùn)用線段和、差、倍、分，轉(zhuǎn)化線段之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2022·廣東廣州·七年級(jí)期中）已知A，B，C，D四點(diǎn)在同一條直線上，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)．(1)點(diǎn)D在線段AB上，且AB=6，BD=13BC(2)若點(diǎn)E是線段AB上一點(diǎn)，且AE=2BE，當(dāng)AD:BD=2:3時(shí)，線段CD與CE具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)線段CD的長(zhǎng)度為2；(2)5CD=3CE或CD=15CE．理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)求出BC，根據(jù)題意計(jì)算即可；（2）分兩種情況討論，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上和點(diǎn)D在BA延長(zhǎng)線上時(shí)，利用設(shè)元的方法，分別表示出AB以及CD、CE的長(zhǎng)，即可得到CD與CE的數(shù)量關(guān)系．（1）解：如圖1，∵點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，AB=6，∴BC=12AB∵BD=13BC∴BD=1，∴CD=BC-BD=2；（2）解：5CD=3CE或CD=15CE．理由如下：當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上，如圖2，設(shè)AD=2x，則BD=3x，∴AB=AD+BD=5x，∵點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，∴AC=12AB=5∴CD=AC-AD=12x∵AE=2BE，∴AE=23AB=103CE=AE-AC=56x∴CDCE=12x56當(dāng)點(diǎn)D在BA延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3，設(shè)AD=2a，則BD=3a，∴AB=BD-AD=a，∵點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，∴AC=12AB=1∴CD=AC+AD=52a∵AE=2BE，∴AE=23AB=23CE=AE-AC=16a∴CDCE=52a16綜上，5CD=3CE或CD=15CE．【點(diǎn)睛】本題考查的是兩點(diǎn)間的距離，正確理解線段中點(diǎn)的概念和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．解第2問(wèn)注意分類(lèi)討論．【知識(shí)點(diǎn)2利用線段的中點(diǎn)求線段長(zhǎng)度】線段上的一個(gè)點(diǎn)把線段分成相等的兩條線段，這個(gè)點(diǎn)叫做線段的中點(diǎn).【題型5線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算】【例5】（2022·重慶·西南大學(xué)附中七年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)D為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)C為DB的中點(diǎn)，若AB=16，DE=13AE，則線段ECA．7 B．203 C．6 【答案】C【分析】應(yīng)用一條線上的線段和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．【詳解】解：∵點(diǎn)D為線段AB的中點(diǎn)，∴AD＝BD＝12AB＝1∵AD＝AE＋DE，DE＝13AE∴AE＋13AE∴AE＝6，DE＝2，∵點(diǎn)C為DB的中點(diǎn)，∴CD＝12BD＝1∴CE＝DE＋CD＝2＋4＝6，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一條線上各個(gè)線段關(guān)系，看清圖中線段關(guān)系，熟練掌握兩點(diǎn)間的距離計(jì)算方法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2022·江蘇·沭陽(yáng)縣修遠(yuǎn)中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）已知點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，下列說(shuō)法：①AB=2AC；②BC=12AB；③AC=BC；④AC+BC=ABA．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】先畫(huà)圖，再結(jié)合點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，可得AB=2AC,BC=1【詳解】解：如圖，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，∴AB=2AC,BC=1故①，②，③，④都符合題意；故選D【點(diǎn)睛】本題考查的是中點(diǎn)的含義，線段的和差關(guān)系，掌握線段的中點(diǎn)的定義是解本題的關(guān)鍵.【變式5-2】（2022·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)期末）如果一點(diǎn)在由兩條公共端點(diǎn)的線段組成的一條折線上且把這條折線分成長(zhǎng)度相等的兩部分，這點(diǎn)叫做這條折線的“折中點(diǎn)”．如圖，點(diǎn)D是折線A﹣C﹣B的“折中點(diǎn)”，請(qǐng)解答以下問(wèn)題：(1)當(dāng)AC＞BC時(shí)，點(diǎn)D在線段上；當(dāng)AC＝BC時(shí)，點(diǎn)D與重合；當(dāng)AC＜BC時(shí)，點(diǎn)D在線段上；(2)當(dāng)AC＜BC時(shí)，若E為線段AC中點(diǎn)，EC＝8cm，CD＝6cm，求CB的長(zhǎng)度．【答案】(1)AC，點(diǎn)C，BC(2)28cm【分析】（1）由“折中點(diǎn)”的定義判斷（2）由“折中點(diǎn)”的定義判斷D在BC上，列式計(jì)算即可（1）解：當(dāng)AC＞BC時(shí)，由“折中點(diǎn)”的定義可知點(diǎn)D在線段AC上；當(dāng)AC＝BC時(shí)，點(diǎn)D與點(diǎn)C重合當(dāng)AC＜BC時(shí)，點(diǎn)D在線段BC上（2）如下圖，∵E為線段AC中點(diǎn)∴AE=EC=8cm∴BD=AE+EC+CD=8+8+6=22(cm)∴CB=BD+DC=22+6=28(cm)【點(diǎn)睛】本題考查了線段的加減，理解新定義“折中點(diǎn)”并畫(huà)出圖形是解題關(guān)鍵．【變式5-3】（2022·江蘇·江陰市敔山灣實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）直線l上的三個(gè)點(diǎn)A、B、C，若滿足BC＝12AB，則稱(chēng)點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的“半距點(diǎn)”．如圖1，BC＝12AB，此時(shí)點(diǎn)C就是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)若M、N、P三個(gè)點(diǎn)在同一條直線m上，且點(diǎn)P是點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)N的“半距點(diǎn)”，MN＝6cm．(1)MP=_____cm(2)若點(diǎn)G也是直線m上一點(diǎn)，且點(diǎn)G是線段MP的中點(diǎn)，求線段GN的長(zhǎng)度．【答案】(1)3或9(2)92cm【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)P是點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)N的“半距點(diǎn)”，可得PN=1（2）根據(jù)點(diǎn)G是線段MP的中點(diǎn)，結(jié)合（1）分兩種情況即可求得線段GN的長(zhǎng)度（1）如圖所示：第一種情況：∵點(diǎn)P是點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)N的“半距點(diǎn)”，∴PN=1∵M(jìn)N=6cm，P∴M第二種情況：∵M(jìn)N=6cm，P∴M綜上：MP的長(zhǎng)度為3cm或9cm（2）如圖所示：第一種情況：點(diǎn)G1是線段M∴M∴G第二種情況：點(diǎn)G2是線段M∴M∴G綜上：線段GN的長(zhǎng)度為92cm或【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，準(zhǔn)確理解概念并作出圖形是解題關(guān)鍵．【題型6線段n等分點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算】【例6】（2022·湖南·郴州市明星學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）如圖所示，C，D兩點(diǎn)把線段AB分成了2：3：4三部分，M是AB的中點(diǎn)，DB＝12，求AM的長(zhǎng)．【答案】13.5【分析】根據(jù)比例設(shè)出AC、CD、DB的長(zhǎng)度，然后根據(jù)DB的長(zhǎng)度求出三條線段的長(zhǎng)度，從而得到AB的長(zhǎng)度，再根據(jù)點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)求出AM的長(zhǎng)度．【詳解】解：設(shè)AC＝2x，CD＝3x，DB＝4x，∵DB＝12，∴4x＝12，解得x＝3，∴AC＝2×3＝6，CD＝3×3＝9，∴AB＝AC+CD+DB＝27，又M為AB中點(diǎn)，∴AM＝12AB【點(diǎn)睛】本題考查了線段的和差倍分，以及中點(diǎn)的計(jì)算，根據(jù)比例設(shè)出線段AC、CD、BD的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2022·江蘇·鼓樓實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）定義：數(shù)軸上的三點(diǎn)，如果其中一個(gè)點(diǎn)與近點(diǎn)距離是它與遠(yuǎn)點(diǎn)距離的12，則稱(chēng)該點(diǎn)是其他兩個(gè)點(diǎn)的“倍分點(diǎn)”．例如數(shù)軸上點(diǎn)A，B，C所表示的數(shù)分別為﹣1，0，2，滿足AB＝12BC，此時(shí)點(diǎn)B是點(diǎn)A，C的“倍分點(diǎn)”．已知點(diǎn)A，B，C，M，（1）A，B，C三點(diǎn)中，點(diǎn)是點(diǎn)M，N的“倍分點(diǎn)”；（2）若數(shù)軸上點(diǎn)M是點(diǎn)D，A的“倍分點(diǎn)”，則點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的數(shù)有個(gè)，分別是；（3）若數(shù)軸上點(diǎn)N是點(diǎn)P，M的“倍分點(diǎn)”，且點(diǎn)P在點(diǎn)N的右側(cè)，求此時(shí)點(diǎn)P表示的數(shù)．【答案】（1）B；（2）4；﹣2，﹣4，1，﹣7；（3）212【分析】（1）利用“倍分點(diǎn)”的定義即可求得答案；（2）設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為x，利用“倍分點(diǎn)”的定義，分兩種情況討論即可求出答案；（3）利用“倍分點(diǎn)”的定義，結(jié)合點(diǎn)P在點(diǎn)N的右側(cè)，分兩種情況討論即可求出答案．【詳解】解：（1）∵BM=0-（-3）=3，BN=6-0=6，∴BM=12BN∴點(diǎn)B是點(diǎn)M，N的“倍分點(diǎn)”；（2）AM=-1-（-3）=2，設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為x，①當(dāng)DM=12AM時(shí)，DM∴|x-（-3）|=1，解得：x=-2或-4，②當(dāng)AM=12DM時(shí)，DM=2AM∴|x-（-3）|=4，解得：x=1或-7，綜上所述，則點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的數(shù)有4個(gè)，分別是-2，-4，1，-7，故答案為：4；-2，-4，1，-7；（3）MN=6-（-3）=9，當(dāng)PN=12MN時(shí)，PN=12×9=∵點(diǎn)P在點(diǎn)N的右側(cè)，∴此時(shí)點(diǎn)P表示的數(shù)為212當(dāng)MN=12PN時(shí)，PN=2MN∵點(diǎn)P在點(diǎn)N的右側(cè)，∴此時(shí)點(diǎn)P表示的數(shù)為24，綜上所述，點(diǎn)P表示的數(shù)為212【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸結(jié)合新定義“倍分點(diǎn)”，正確理解“倍分點(diǎn)”的含義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2022·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知線段AB=15cm，點(diǎn)C在線段AB上，且AC:CB=3:2(1)求線段AC，CB的長(zhǎng)；(2)點(diǎn)P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)且不與點(diǎn)A，B，C重合，線段AP的中點(diǎn)為M，設(shè)AP=m①請(qǐng)用含有m的代數(shù)式表示線段PC，MC的長(zhǎng)；②若三個(gè)點(diǎn)M，P，C中恰有一點(diǎn)是其它兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)，則稱(chēng)M，P，C三點(diǎn)為“共諧點(diǎn)”，請(qǐng)直接寫(xiě)出使得M，P，C三點(diǎn)為“共諧點(diǎn)”的m的值．【答案】(1)AC=9cm，CB=6cm(2)①PC=(9?m)cm或(9?m)cm，【分析】（1）由AC:CB=3:2可得AC=35AB，CB=25（2）①分點(diǎn)P在線段AC上和點(diǎn)P在線段CB上兩種情況分別計(jì)算即可；②分點(diǎn)P在線段AC上和點(diǎn)P在線段CB上兩種情況列方程，可求得m的值．（1）∵AB=15cm，點(diǎn)C在線段AB上，且∴AC=35（2）∵M(jìn)為線段AP的中點(diǎn)∴AM=MP=1①當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時(shí)PC=AC?AP=(9?m)cm，當(dāng)點(diǎn)P在線段CB上時(shí)PC=AP?AC=(m?9)cm，②當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時(shí)，則MP=PC∴1解得：m=6當(dāng)點(diǎn)P在線段CB上時(shí)，則MC=PC∴9?解得：m=12綜上所述，m=6或12【點(diǎn)睛】本題考查了求線段長(zhǎng)度，線段中點(diǎn)的意義及線段的和差，掌握線段中點(diǎn)的意義、線段的和差是解題的關(guān)鍵．注意（2）小題要分類(lèi)討論．【變式6-3】（2022·全國(guó)·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）小明在學(xué)習(xí)了比較線段的長(zhǎng)短時(shí)對(duì)下面一道問(wèn)題產(chǎn)生了探究的興趣：如圖1，點(diǎn)C在線段AB上，M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)．若AB＝12，AC＝8，求MN的長(zhǎng)．(1)根據(jù)題意，小明求得MN＝___________；(2)小明在求解（1）的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)MN的長(zhǎng)度具有一個(gè)特殊性質(zhì)，于是他先將題中的條件一般化，并開(kāi)始深入探究．設(shè)AB＝a，C是線段AB上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），小明提出了如下三個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你幫助小明解答．①如圖1，M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，則MN＝______________；②如圖2，M，N分別是AC，BC的三等分點(diǎn)，即AM=13AC，BN=③若M，N分別是AC，BC的n等分點(diǎn)，即AM=1nAC，BN=【答案】(1)6(2)①12a；②MN=【分析】（1）由AB=12，AC=8，得BC=AB-AC=4，根據(jù)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，即得CM=12AC=4，CN=12BC=2，故MN=CM+（2）①由M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，知CM=12AC，CN=12BC，即得MN=12AC+12BC=12AB，故②由AM=13AC，BN=13BC，知CM=23AC，CN=23BC，即得MN=CM+CN=23AC+23BC=23③由AM=1nAC，BN=1nBC，知CM=n?1nAC，CN=n?1nBC，即得MN=CM+CN=n?1nAC+n?1nBC=n?1n（1）解：∵AB=12，AC=8，∴BC=AB-AC=4，∵M(jìn)，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，∴CM=12AC=4，CN=12∴MN=CM+CN=6；故答案為：6；（2）解：①∵M(jìn)，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，∴CM=12AC，CN=12∴MN=12AC+12BC=1∵AB=a，∴MN=12a故答案為：12a②∵AM=13AC，BN=13∴CM=23AC，CN=23∴MN=CM+CN=23AC+23BC=2∵AB=a，∴MN=23a③∵AM=1nAC，BN=1n∴CM=n?1nAC，CN=n?1n∴MN=CM+CN=n?1nAC+n?1nBC=n?1∵AB=a，∴MN=n?1na故答案為：n?1na【點(diǎn)睛】本題考查了線段的中點(diǎn)、線段的和差，解題的關(guān)鍵是掌握線段中點(diǎn)的定義及線段和差運(yùn)算．【題型7線段的數(shù)量關(guān)系】【例7】（2022·江蘇無(wú)錫·七年級(jí)期末）如圖，C、D是線段AB上兩點(diǎn)，且CD=3AD?2BC，則AC與BD的關(guān)系是（

）A．AC=BD B．2AC=BD C．3AC=2BD D．4AC=3BD【答案】C【分析】先分別表示出AC和BD，即可求出兩者的關(guān)系．【詳解】解：∵AC=AD-CD=AD-3AD+2BC=2BC-2AD=2(BC-AD)，BD=BC-CD=BC-3AD+2BC=3BC-3AD=3(BC-AD)，∴ACBD∴3AC=2BD，

故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查線段的計(jì)算，熟練掌握線段的和差是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2022·全國(guó)·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖1，已知線段AB=20cm，點(diǎn)M是線段AB上一點(diǎn)，點(diǎn)C在線段AM上，點(diǎn)D在線段BM上，C、D兩點(diǎn)分別從M、B出發(fā)以acm/s、bcm/s的速度沿直線(1)直接寫(xiě)出：a=____________，b=_____________；(2)若2cm<AM<4cm，當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)了3(3)如圖2，若AM=13AB，點(diǎn)N是直線AB上一點(diǎn)，且AN?BN=MN，求MN【答案】(1)1，3(2)8cm(3)MN=13【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性得出a-1=0，b-3=0，求解即可；（2）當(dāng)C、D運(yùn)動(dòng)3s時(shí)，MC=3cm，（3）分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)N在線段AB上時(shí)；當(dāng)點(diǎn)N在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)；利用線段間的數(shù)量關(guān)系求解即可．（1）解：∵|a?1|+|b?3|=0∴a-1=0，b-3=0，∴a=1，b=3，故答案為：1；3；（2）當(dāng)C、D運(yùn)動(dòng)3s時(shí)，MC=3cm，∴AC+MD=AB?MC?BD=20?3?9=8(cm（3）當(dāng)點(diǎn)N在線段AB上時(shí)，∵AN?BN=MN，又∵AN?AM=MN，∴BN=AM=1∴MN=AB?AM?BN=1當(dāng)點(diǎn)N在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，∵AN?BN=MN，又∵AN?BN=AB，∴MN=AB．綜上所述，MN=13AB【點(diǎn)睛】題目主要考查絕對(duì)值的非負(fù)性及點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，線段間的數(shù)量關(guān)系等，理解題意，根據(jù)圖象得出線段間的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．【變式7-2】（2022·全國(guó)·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖①、②所示，線段AB=20，線段CD=10，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，設(shè)AC=a．(1)當(dāng)a=4時(shí)，則DE的長(zhǎng)為_(kāi)_____．(2)在圖①中，計(jì)算DE的長(zhǎng)度（用含a的式子表示）(3)將圖①中的線段CD向右移動(dòng)到圖②的位置．①直接寫(xiě)出線段AC與線段DE滿足的數(shù)量關(guān)系．②在線段AC上有點(diǎn)F，滿足32AF+BE=12AC?AF【答案】(1)2(2)a(3)①AC=2DE，②AF=【分析】（1）先求出BC的長(zhǎng)，然后根據(jù)中點(diǎn)定義求CE，最后根據(jù)DE=CD-CE計(jì)算即可；（2）解題的方法和步驟和（1）相同；（3）①先根據(jù)線段的和差關(guān)系和中點(diǎn)定義用a表示出DE，結(jié)合AC=a，即可求出結(jié)果；②整理32AF+BE=12AC?AF得到4AF=a?（1）解：BC=AB-AC=20-4=16，∵E是BC的中點(diǎn)，∴CE=12BCDE=CD-CE=10-8=2；（2）解：BC=AB-AC=20-a=20-a，∵E是BC的中點(diǎn)，∴CE=BC=1∴DE=CD?CE=10?1（3）解：①DE=CD?CE=CD?1∵AC=a，∴AC=2DE；-②32∴3AF+2∴4AF=AC?2BE=AC?BC=a?20?a∴AF=a【點(diǎn)睛】本題考查了線段的和與差和線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用線段的和差關(guān)系和中點(diǎn)的定義求線段長(zhǎng)．【變式7-3】（2022·全國(guó)·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）某操作車(chē)間有一段直線型向左移動(dòng)的傳輸帶，A，B兩位操作工人站于傳輸帶同側(cè)且相距16米，操作組長(zhǎng)F也站在該側(cè)，且到A，B距離相等，傳輸帶上有一個(gè)8米長(zhǎng)的工具筐CE．(1)如圖1，當(dāng)CE位于A，B之間時(shí)，F(xiàn)發(fā)現(xiàn)工具筐的C端離自己只有1米，則工具筐C端離A米，工具筐E端離B米．(2)工具筐C端從B點(diǎn)開(kāi)始隨傳輸帶向左移動(dòng)直至工具筐E端到達(dá)以A點(diǎn)為止，這期間工具筐E端到B的距離BE和工具筐E端到F的距離EF存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，并用等式表示，（你可以在圖2中先畫(huà)一畫(huà)，再找找規(guī)律）【答案】(1)7，1(2)EF?BE＝8或EF＋BE＝8或BE?EF＝8【分析】（1）根據(jù)線段的和差可得答案；（2）分三種情況：當(dāng)點(diǎn)C在線段BF上時(shí)或當(dāng)點(diǎn)C在線段AF上時(shí)或當(dāng)點(diǎn)C在線段BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，正確畫(huà)出圖形即可得到結(jié)論．（1）解：由題意得，AB＝16m，∵F到A，B距離相等，∴AF＝BF＝8m，∵CE＝8m，CF＝1m，∴EF＝8?1＝7m，BE＝8?7＝1m．故答案為：7，1；（2）①當(dāng)點(diǎn)C在線段BF上時(shí)，如圖，設(shè)BC＝x，則BE＝8?x，EF＝16?x，∴EF?BE＝（16?x）?（8?x）＝8；②當(dāng)點(diǎn)C在線段AF上時(shí)，如圖，設(shè)BC＝x，則BE＝x?8，EF＝16?x，∴EF＋BE＝（16?x）＋（x?8）＝8；③當(dāng)點(diǎn)C在線段BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，設(shè)BC＝x，則BE＝x?8，EF＝x?16，∴BE?EF＝（x?8）?（x?16）＝8；綜上，EF?BE＝8或EF＋BE＝8或BE?EF＝8．【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)間的距離，熟練掌握線段的和差是解題關(guān)鍵．【知識(shí)點(diǎn)3直線的性質(zhì)】經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線.簡(jiǎn)單地：兩點(diǎn)確定一條直線.兩條直線相交，只有一個(gè)交點(diǎn).【知識(shí)點(diǎn)4線段的性質(zhì)】?jī)牲c(diǎn)的所有連線中，線段最短。簡(jiǎn)稱(chēng)：兩點(diǎn)之間，線段最短。連接兩點(diǎn)間的線段的長(zhǎng)度，叫做這兩點(diǎn)的距離?！绢}型8兩點(diǎn)間的距離】【例8】（2022·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知線段AB＝10cm，有下列說(shuō)法：①不存在到A，B兩點(diǎn)的距離之和小于10cm的點(diǎn)；②線段AB上存在無(wú)數(shù)個(gè)到A，B兩點(diǎn)的距離之和等于10cm的點(diǎn)；③線段AB外存在無(wú)數(shù)個(gè)到A，B兩點(diǎn)的距離之和大于10cm的點(diǎn)．其中正確的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【分析】根據(jù)線段上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離的和等于線段的長(zhǎng)，線段外的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離的和大于線段的長(zhǎng)，可得答案．【詳解】解：已知AB＝10cm，①不存在到A，B兩點(diǎn)的距離之和小于10cm的點(diǎn)，正確，符合題意；②線段AB上存在無(wú)數(shù)個(gè)到A、B兩點(diǎn)的距離之和等于10cm的點(diǎn)，正確，符合題意；③線段AB外存在無(wú)數(shù)個(gè)到A、B兩點(diǎn)的距離之和大于10cm的點(diǎn)，正確，符合題意，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，熟知線段上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離的和等于線段的長(zhǎng)，線段外的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離的和大于線段的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．【變式8-1】（2022·河北石家莊·七年級(jí)期末）如圖，A、B、C、D表示四個(gè)車(chē)站的位置，A、B兩站之間的距離AB=a?b，B、C兩站之間的距離BC=2a?b，B、D兩站之間的距離BD=7(1)求C，D兩站之間的距離CD（用含a，b的式子表示）；(2)當(dāng)A，C兩站之間的距離AC=90km時(shí)，求C、D兩站之間的距離CD．【答案】(1)3(2)44km【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離列出代數(shù)式即可；（2）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離列出CD的代數(shù)式進(jìn)行解答．（1）解：CD=BD?BC====（2）AC=a?b+2a?b=3a?2b當(dāng)AC=90km∵3∴∴CD=3【點(diǎn)睛】本題考查整式的加減、線段的和差等知識(shí)，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．【變式8-2】（2022·全國(guó)·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示，M是線段AB上一定點(diǎn)，AB=12cm，C，D兩點(diǎn)分別從點(diǎn)M，B出發(fā)以1cm/s，2cm/s的速度沿直線BA向左運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方向如箭頭所示（點(diǎn)C（1）當(dāng)點(diǎn)C，D運(yùn)動(dòng)了2s時(shí)，求AC+MD的值．（2）若點(diǎn)C，D運(yùn)時(shí)，總有MD=2AC，則AM=_______．（3）在（2）的條件下，N是直線AB上一點(diǎn)，且AN?BN=MN，求MNAB【答案】（1）6cm；（2）4；（3）13【分析】（1）由題意得CM=2cm，BD=4cm，根據(jù)AC+MD=AM-CM+BM-BD=AB-CM-BD可得答案；（2）根據(jù)C、D的運(yùn)動(dòng)速度知BD=2MC，再由已知條件MD=2AC求得MB=2AM，所以AM=13AB（3）分點(diǎn)N在線段AB上時(shí)和點(diǎn)N在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)分別求解可得．【詳解】解：（1）當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)了2s時(shí)，CM=2cm，BD=4cm∵AB=12cm，CM=2cm，BD=4cm，∴AC+MD=AM-CM+BM-BD=AB-CM-BD=12-2-4=6（cm）；（2）根據(jù)C、D的運(yùn)動(dòng)速度知：BD=2MC，∵M(jìn)D=2AC，∴BD+MD=2（MC+AC），即MB=2AM，∵AM+BM=AB，∴AM+2AM=AB，∴AM=13AB故答案為：4；（3）①當(dāng)點(diǎn)N在線段AB上時(shí)，如圖1，∵AN-BN=MN，又∵AN-AM=MN，∴BN=AM=4，∴MN=AB-AM-BN=12-4-4=4，∴MNAB②當(dāng)點(diǎn)N在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2，∵AN-BN=MN，又∵AN-BN=AB，∴MN=AB=12，∴MNAB綜上：MNAB的值為1【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，靈活運(yùn)用線段的和、差、倍、分轉(zhuǎn)化線段之間的數(shù)量關(guān)系是十分關(guān)鍵的一點(diǎn).【變式8-3】（2022·江蘇淮安·七年級(jí)期末）【探索新知】如圖1，點(diǎn)C在線段AB上，圖中共有3條線段：AB、AC和BC，若其中有一條線段的長(zhǎng)度是另一條線段長(zhǎng)度的兩倍，則稱(chēng)點(diǎn)C是線段AB的“二倍點(diǎn)”.（1）①一條線段的中點(diǎn)這條線段的“二倍點(diǎn)”；（填“是”或“不是”）②若線段AB=20，C是線段AB的“二倍點(diǎn)”，則BC=（寫(xiě)出所有結(jié)果）【深入研究】如圖2，若線段AB=20cm，點(diǎn)M從點(diǎn)B的位置開(kāi)始，以每秒2cm的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.（2）問(wèn)t為何值時(shí)，點(diǎn)M是線段AB的“二倍點(diǎn)”；（3）同時(shí)點(diǎn)N從點(diǎn)A的位置開(kāi)始，以每秒1cm的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，并與點(diǎn)M同時(shí)停止.請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M是線段AN的“二倍點(diǎn)”時(shí)t的值.【答案】（1）①是；②10或203或403；（2）5或103或203【分析】（1）①可直接根據(jù)“二倍點(diǎn)”的定義進(jìn)行判斷；②可分為三種情況進(jìn)行討論，分別求出BC的長(zhǎng)度即可；（2）用含t的代數(shù)式分別表示出線段AM、BM、AB，然后根據(jù)“二倍點(diǎn)”的意義，分類(lèi)討論得結(jié)果；（3）用含t的代數(shù)式分別表示出線段AN、NM、AM，然后根據(jù)“二倍點(diǎn)”的意義，分類(lèi)討論．【詳解】解：（1）①因?yàn)榫€段的中點(diǎn)把該線段分成相等的兩部分，該線段等于2倍的中點(diǎn)一側(cè)的線段長(zhǎng)．∴一條線段的中點(diǎn)是這條線段的“二倍點(diǎn)”故答案為：是.②∵AB=20，C是線段AB的“二倍點(diǎn)”，當(dāng)AB=2BC時(shí)，BC=1當(dāng)AC=2BC時(shí)，BC=1當(dāng)BC=2AC時(shí)，BC=2故答案為：10或203或40（2）當(dāng)AM=2BM時(shí)，20-2t=2×2t，解得：t=103當(dāng)AB=2AM時(shí)，20=2×（20-2t），解得：t=5；當(dāng)BM=2AM時(shí)，2t=2×（20-2t），解得：t=203答：t為103或5或20（3）當(dāng)AN=2MN時(shí)，t=2[t-（20-2t）]，解得：t=8；當(dāng)AM=2NM時(shí)，20-2t=2[t-（20-2t）]，解得：t=152當(dāng)MN=2AM時(shí)，t-（20-2t）=2（20-2t），解得：t=607答：t為152或8或60【點(diǎn)睛】本題考查了方程的解法、線段的和差等知識(shí)點(diǎn)，題目需根據(jù)“二倍點(diǎn)”的定義分類(lèi)討論，理解“二倍點(diǎn)”是解決本題的關(guān)鍵．【題型9直線、線段的性質(zhì)】【例9】（2022·全國(guó)·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列現(xiàn)象：①用兩個(gè)釘子就可以把木條固定在墻上②從A地到B地架設(shè)電線，總是盡可能沿著線段AB架設(shè)③植樹(shù)時(shí)，只要確定兩棵樹(shù)的位置，就能確定同一行樹(shù)所在的直線④把彎曲的公路改直，就能縮短路程其中能用“兩點(diǎn)之間線段最短”來(lái)解釋的現(xiàn)象有（

）A．①④ B．①③ C．②④ D．③④【答案】C【分析】直接利用直線的性質(zhì)和線段的性質(zhì)分別判斷得出答案．【詳解】解：①用兩個(gè)釘子就可以把木條固定在墻上，利用的是兩點(diǎn)確定一條直線，故此選項(xiàng)不合題意；②從A地到B地架設(shè)電線，總是盡可能沿著線段AB架設(shè)，能用“兩點(diǎn)之間，線段最短”來(lái)解釋?zhuān)蚀诉x項(xiàng)符合題意；③植樹(shù)時(shí)，只要確定兩棵樹(shù)的位置，就能確定同一行樹(shù)所在的直線，利用的是兩點(diǎn)確定一條直線，故此選項(xiàng)不合題意；④把彎曲的公路改直，就能縮短路程，能用“兩點(diǎn)之間，線段最短”來(lái)解釋?zhuān)蚀诉x項(xiàng)符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了直線的性質(zhì)和線段的性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式9-1】（2022·河南·鄭州市第四初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期末）值日生小明想把教室桌椅擺放整齊，為了將一列課桌對(duì)齊，他把這列課桌的最前面一張和最后面一張先拉成一條線，其余課桌按這條直線擺放，這樣做用到的數(shù)學(xué)知識(shí)是__________．【答案】?jī)牲c(diǎn)確定一條直線．【分析】利用直線的性質(zhì)進(jìn)而分析得出即可．【詳解】解：先把最前面一張和最后面一張先拉成一條線，其余課桌按這條直線擺放，這樣做用到的數(shù)學(xué)知識(shí)是：兩點(diǎn)確定一條直線．故答案為：兩點(diǎn)確定一條直線．【點(diǎn)睛】此題主要考查了直線的性質(zhì)，正確將實(shí)際生活知識(shí)與數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系是解題關(guān)鍵．【變式9-2】（2022·浙江紹興·七年級(jí)期末）如圖，在方格紙中，點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，H，K中，在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)有（

）．A．3組 B．4組 C．5組 D．6組【答案】C【分析】利用網(wǎng)格作圖即可.【詳解】如圖：在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)有A、B、C；B、E、K；C、H、E；D、E、F；D、H、K，共5組，故選：C【點(diǎn)睛】此題考查了直線的有關(guān)概念，在網(wǎng)格中找到相應(yīng)的直線是解答此題的關(guān)鍵.【變式9-3】（2022·廣東汕尾·七年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)C在∠AOB的邊OA上，選擇合適的畫(huà)圖工具按要求畫(huà)圖．，（1）反向延長(zhǎng)射線OB，得到射線OD，在射線OD上取一點(diǎn)F，使得OF=OC；（2）使用量角器，畫(huà)出∠AOD的角平分線OE；（3）在射線OE上作一點(diǎn)P，使得CP+FP最??；（4）寫(xiě)出你完成（3）的作圖依據(jù)：______．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析；（4）兩點(diǎn)之間線段最短【分析】（1）又O為圓心，OC為半徑畫(huà)弧交OB的反向延長(zhǎng)射線OD交于點(diǎn)F；（2）先用量角器測(cè)出∠AOD的度數(shù)，再得出一半的度數(shù)的位置，該點(diǎn)與O連接即可得出OE．（3）連接CF交OE有點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求．（4）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短解決問(wèn)題．【詳解】解：（1）如圖，射線OD，點(diǎn)F即為所求．（2）如圖，射線OE即為所求．（3）如圖，點(diǎn)P即為所求．（4）兩點(diǎn)之間線段最短．故答案為：兩點(diǎn)之間線段最短．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖，角平分線的定義，兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)．解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)．【題型10線段的長(zhǎng)短比較及其應(yīng)用】【例10】（2022·江蘇·無(wú)錫市華莊中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，在公路MN兩側(cè)分別有A1,A2,···,①車(chē)站的位置設(shè)在C點(diǎn)好于B點(diǎn)；②車(chē)站的位置設(shè)在B點(diǎn)與C點(diǎn)之間公路上任何一點(diǎn)效果一樣；③車(chē)站位置的設(shè)置與各段小公路的長(zhǎng)度無(wú)關(guān)；④車(chē)站的位置設(shè)在BC段公路的最中間處要好于設(shè)在點(diǎn)B及點(diǎn)C處．A．①③ B．③④ C．②③ D．②【答案】A【分析】可結(jié)合題意及圖形，逐一對(duì)四個(gè)選項(xiàng)本身進(jìn)行分析，確定對(duì)錯(cuò)即可．【詳解】解：①車(chē)站朝M方向始終有4個(gè)工廠，車(chē)站朝N方向始終有3個(gè)工廠，通過(guò)測(cè)量發(fā)現(xiàn)車(chē)站的位置設(shè)在C點(diǎn)好于B點(diǎn)，故原來(lái)的結(jié)論正確，符合題意；②車(chē)站設(shè)在B點(diǎn)與C點(diǎn)之間公路上，車(chē)站朝M方向始終有4個(gè)工廠，車(chē)站朝N方向始終有3個(gè)工廠，所以在這一段任何一點(diǎn)，效果不一樣，故原來(lái)的結(jié)論錯(cuò)誤，不符合題意；③工廠到車(chē)站的距離是線段的長(zhǎng)，指的是兩點(diǎn)之間的距離，和各段的彎曲的小公路無(wú)關(guān)，故原來(lái)的結(jié)論正確，符合題意；④車(chē)站的位置設(shè)在BC段公路的最中間處要好于設(shè)在點(diǎn)B處，車(chē)站的位置設(shè)在BC段公路的最中間處不好于設(shè)在點(diǎn)C處，故原來(lái)的結(jié)論錯(cuò)誤，不符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)之間線段最短的問(wèn)題，解題關(guān)鍵是具有較強(qiáng)的理解能力及分析能力，實(shí)際這道題根本不需要計(jì)算．【變式10-1】（2022·全國(guó)·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在標(biāo)槍訓(xùn)練課上，小秦在點(diǎn)O處進(jìn)行了四次標(biāo)槍試投，若標(biāo)槍分別落在圖中M,N,P,Q的四個(gè)點(diǎn)處，則表示他最好成績(jī)的點(diǎn)是（

）A．M B．PC．N D．Q【答案】C【分析】比較線段的長(zhǎng)短，即可得到ON＞OP＞OQ＞OM，進(jìn)而得出表示他最好成績(jī)的點(diǎn)．【詳解】如圖所示，ON＞OP＞OQ＞OM，∴表示他最好成績(jī)的點(diǎn)是點(diǎn)N，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要參考了比較線段的長(zhǎng)短，比較兩條線段長(zhǎng)短的方法有兩種：度量比較法、重合比較法．【變式10-2】（2022·重慶巫山·七年級(jí)期末）如圖所示，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)A、B、C、D、E五個(gè)村莊位于同一條筆直的公路邊，相鄰兩個(gè)村莊的距離分別為AB＝1千米，BC＝3千米，CD＝2千米，DE＝1.5千米．鄉(xiāng)村扶貧改造期間，該鄉(xiāng)鎮(zhèn)打算在此間新建一個(gè)便民服務(wù)點(diǎn)M，使得五個(gè)村莊到便民服務(wù)點(diǎn)的距離之和最小，則這個(gè)最小值為_(kāi)________千米．【答案】12.5##12【分析】分類(lèi)討論當(dāng)便民服務(wù)點(diǎn)分別在A、B、C、D、E時(shí)，根據(jù)線段的和與差計(jì)算即可．【詳解】當(dāng)便民服務(wù)點(diǎn)在A或E時(shí)，由A、E為兩端點(diǎn)，可知此時(shí)五個(gè)村莊到便民服務(wù)點(diǎn)的距離之和最長(zhǎng)；當(dāng)便民服務(wù)點(diǎn)M在B時(shí)，五個(gè)村莊到便民服務(wù)點(diǎn)的距離之和為AB+BC+BD+BE=1+3+(3+2)+(3+2+1.5)=15.5千米；當(dāng)便民服務(wù)點(diǎn)M在C時(shí)，五個(gè)村莊到便民服務(wù)點(diǎn)的距離之和為AC+BC+CD+CE=(1+3)+3+2+(2+1.5)=12.5千米；當(dāng)便民服務(wù)點(diǎn)M在D時(shí)，五個(gè)村莊到便民服務(wù)點(diǎn)的距離之和為AD+BD+CD+DE=(1+3+2)+(3+2)+2+1.5=14.5千米．綜上可知當(dāng)便民服務(wù)點(diǎn)M在C時(shí)，五個(gè)村莊到便民服務(wù)點(diǎn)的距離之和最小，最小值為12.5千米．故答案為：12.5．【點(diǎn)睛】本題考查線段的和與差．利用分類(lèi)討論的思想是解題關(guān)鍵．【變式10-3】（2022·全國(guó)·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示，某公司有三個(gè)住宅區(qū)，A、B、C各區(qū)分別住有職工30人，15人，10人，且這三點(diǎn)在一條大道上（A，B，C三點(diǎn)共線），已知AB＝100米，BC＝200米．為了方便職工上下班，該公司的接送車(chē)打算在此間只設(shè)一個(gè)?？奎c(diǎn)，為使所有的人步行到?？奎c(diǎn)的路程之和最小，那么該?？奎c(diǎn)的位置應(yīng)設(shè)在（）A．點(diǎn)A B．點(diǎn)B C．A，B之間 D．B，C之間【答案】A【分析】此題為數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，由題意設(shè)一個(gè)?？奎c(diǎn)，為使所有的人步行到?？奎c(diǎn)的路程之和最小，肯定要盡量縮短兩地之間的里程，就用到兩點(diǎn)間線段最短定理．【詳解】解：①以點(diǎn)A為停靠點(diǎn)，則所有人的路程的和＝15×100+10×300＝4500（米），②以點(diǎn)B為?？奎c(diǎn)，則所有人的路程的和＝30×100+10×200＝5000（米），③以點(diǎn)C為?？奎c(diǎn)，則所有人的路程的和＝30×300+15×200＝12000（米），④當(dāng)在AB之間?？繒r(shí)，設(shè)?？奎c(diǎn)到A的距離是m，則（0＜m＜100），則所有人的路程的和是：30m+15（100﹣m）+10（300﹣m）＝4500+5m＞4500，⑤當(dāng)在BC之間?？繒r(shí)，設(shè)?？奎c(diǎn)到B的距離為n，則（0＜n＜200），則總路程為30（100+n）+15n+10（200﹣n）＝5000+35n＞4500．∴該停靠點(diǎn)的位置應(yīng)設(shè)在點(diǎn)A；故選A．【點(diǎn)睛】此題為數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，考查知識(shí)點(diǎn)為兩點(diǎn)之間線段最短．專(zhuān)題6.2角【十二大題型】【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1角的概念及角的度量】 2【題型2角的單位及其換算】 2【題型3角的計(jì)數(shù)問(wèn)題】 3【題型4鐘面上角的特征】 4【題型5方向角】 5【題型6與角平分線相關(guān)的角的運(yùn)算】 7【題型7與角n等分線相關(guān)的角的運(yùn)算】 8【題型8在三角板中的角的運(yùn)算】 11【題型9余角和補(bǔ)角的計(jì)算】 13【題型10同（等）角的余角和補(bǔ)角相等的運(yùn)用】 14【題型11對(duì)頂角的識(shí)別及其性質(zhì)】 16【題型12平行、垂直】 17【知識(shí)點(diǎn)1角的概念】定義一：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊．定義二：一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)過(guò)的平面部分是角的內(nèi)部．【知識(shí)點(diǎn)2角的表示方法】表示方法A圖例A記法適用范圍用三個(gè)大寫(xiě)字母表示BOBOAOB或BOA任何情況下都適應(yīng).表示端點(diǎn)的字母必須寫(xiě)在中間.用一個(gè)大寫(xiě)字母表示AAA以這個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的角只有一個(gè).用數(shù)字表示111任何情況下都適用.但必須在靠近頂點(diǎn)處加上弧線表示角的范圍，并注上數(shù)字或希臘字母.用希臘字母表示【題型1角的概念及角的度量】【例1】（2022·甘肅蘭州·七年級(jí)期末）下列說(shuō)法中正確的是（

）A．由兩條射線組成的圖形叫做角B．角的大小與角的兩邊長(zhǎng)度有關(guān)C．角的兩邊是兩條射線D．用放大鏡看一個(gè)角，角的度數(shù)變大了【變式1-1】（2022·山東淄博·期中）∠ACB的兩邊分別是（

A．射線AC、BC B．射線CA，CB C．線段AC，BC D．直線CA，CB【變式1-2】（2022·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，用量角器度量∠AOB，可以讀出∠AOB的度數(shù)為_(kāi)_____°．【變式1-3】（2022·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．∠AOB也可用∠O來(lái)表示B．∠β與∠BOC是同一個(gè)角C．圖中共有三個(gè)角：∠AOB，∠AOC，∠BOCD．∠1與∠AOB是同一個(gè)角【題型2角的單位及其換算】【例2】（2022·山東煙臺(tái)·期中）若∠1=25°15′，∠2=25°13′3A．∠3>∠1>∠2 B．∠2>∠1>∠3 C．∠1>∠3>∠2 D．∠1>∠2>∠3【變式2-1】（2022·全國(guó)·七年級(jí)單元測(cè)試）下面等式成立的是（

）A．83.5°=83C．15°48'【變式2-2】（2022·江蘇·江陰市敔山灣實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）計(jì)算：(1)45°10′﹣21°35′20′′；(2)48°39′+67°31′﹣21°17′；(3)42°16′+18°23′×2．【變式2-3】（2022·天津南開(kāi)·七年級(jí)期末）如圖1是一個(gè)14【題型3角的計(jì)數(shù)問(wèn)題】【例3】（2022·福建龍巖·七年級(jí)期末）在銳角∠AOB內(nèi)部，畫(huà)出1條射線，可以畫(huà)出3個(gè)銳角；畫(huà)出2條不同的射線，可以畫(huà)出6個(gè)銳角；畫(huà)出3條不同的射線，可以畫(huà)出10個(gè)銳角．照此規(guī)律，畫(huà)19條不同的射線，可以畫(huà)出銳角的個(gè)數(shù)為（）A．165 B．186 C．199 D．210【變式3-1】（2022·山東·泰安市泰山區(qū)樹(shù)人外國(guó)語(yǔ)學(xué)校期中）如圖所示，∠AOB=90°，則圖中銳角有（）A．12個(gè) B．14個(gè) C．15個(gè) D．16個(gè)【變式3-2】（2022·黑龍江牡丹江·七年級(jí)期末）如圖，線段條數(shù)為m，小于平角的角的個(gè)數(shù)為n，則n?m的值為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【變式3-3】（2022·湖南婁底·七年級(jí)期末）在一幅七巧板中，有我們學(xué)過(guò)的（

）A．8個(gè)銳角，6個(gè)直角，2個(gè)鈍角 B．12個(gè)銳角