剛體的定軸轉(zhuǎn)動2

第第頁剛體的定軸轉(zhuǎn)動2西華高校物理

教學基本要求

一理解描寫剛體定軸轉(zhuǎn)動角速度和角加速度的物理意義，并掌控角量與線量的關系.

二理解力矩和轉(zhuǎn)動慣量概念，掌控剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定理.三理解角動量概念，掌控角動量定律，并能處理一般質(zhì)點在平面內(nèi)運動以及剛體繞定軸轉(zhuǎn)動狀況下的角動量守恒問題.

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教學基本要求

四理解剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動動能概念，能在有剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的問題中正確地應用機械能守恒定律.

能運用以上規(guī)律分析和解決包括質(zhì)點和剛體的簡約系統(tǒng)的力學問題.

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第四章剛體的定軸轉(zhuǎn)動一、剛體的運動二、剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律三、轉(zhuǎn)動慣量的計算四、剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律的應用五、剛體的角動量、角動量定理和角動量守恒定律六、轉(zhuǎn)動中的功和能

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五、剛體的角動量、角動量定理和角動量守恒定律1、剛體的角動量質(zhì)點對點的角動量為：

LrPrmv2

剛體上的一個質(zhì)元,繞固定軸做圓周運動角動量為：

Lirimivirimi所以剛體繞此軸的角動量為：

LLi(miri)J2ii

剛體對固定轉(zhuǎn)動軸的角動量L,等于它對該軸的轉(zhuǎn)動慣量J和角速度的乘積。

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2、剛體的角動量定理dL=A:微分形式：質(zhì)點系的角動量定理為：Mdt

dLMM外dt剛體是非常的質(zhì)點組,在定軸轉(zhuǎn)動中只考慮力矩和角動量平行于轉(zhuǎn)軸的份量，設轉(zhuǎn)軸為z軸,取角動量定理沿z軸的份量式有:

Mz外

dLzdt

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在定軸轉(zhuǎn)動中，可用標量表示：

dddML(J)JJdtdtdt剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律實質(zhì)是角動量定理沿固定軸方向的份量式的一種非常形式。B:積分形式

t

0

Mdt

L2

L1

dLL2L1L

左邊為對某個固定軸的外力矩的作用在某段時間內(nèi)的積累效果，稱為沖量矩；右邊為剛體對同一轉(zhuǎn)動軸的角動量的增量。

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J不變時,J也轉(zhuǎn)變時,3、角動量守恒定律

LJ2J1LJ22J11

dL在M中，假設M0,那么L常量.即L0dtL不變的含義為：剛體：不變非剛體：J不變M=0的緣由，可能F=0;r=0;F∥r.在定軸轉(zhuǎn)動中還有M≠0,但力與軸平行，即Mz=0,對定軸轉(zhuǎn)動沒有作用，那么剛體對此軸的角動量依舊守恒。

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很多現(xiàn)象都可以用角動量守恒來說明.

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自然界中存在多種守恒定律動量守恒定律能量守恒定律角動量守恒定律電荷守恒定律質(zhì)量守恒定律宇稱守恒定律等

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例1、如下圖,一質(zhì)量為m的子彈以水平速度射入一靜止懸于頂端長棒的下端,穿出后速度損失3/4,求子彈穿出后棒的角速度

。已知棒長為l,質(zhì)量為M.解:以f代表棒對子彈的阻力,對子彈有:3fdtm(vv0)4mv0子彈對棒的反作用力對棒的沖量矩為：

fldtlfJdt

M

因,

ff由兩式得

v0

mv

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3mv0l9mv01這里JMl24J4Ml3

NRM

請問:子彈和棒的總動量守恒嗎?為什么?總角動量守恒嗎?假設守恒,其方程應如何寫?

12mv0lmvlMl3

v0

m

v

例2、質(zhì)量分別為M1、M2,

半徑分別為R1、R2的兩勻稱圓柱,可分別繞它們本

身的軸轉(zhuǎn)動,二軸平行。

M1R1

M2R2

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原來它們沿同一轉(zhuǎn)向分別以

10,20的角速度勻速轉(zhuǎn)動,然后平移二軸使它們的邊緣

相接觸,如下圖.求最末在接觸處無相對滑動時,每個

M1R1

M2R2

圓柱的角速度1,2。對上述問題有以下的解法:在接觸處無相對滑動時,二圓柱邊緣的線速度一樣,故有

1R12R2

二圓柱系統(tǒng)角動量守恒故有

10J120J2J11J22

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1122其中J1M1R1,J2M2R222由以上二式就可解出1,2。這種解法對嗎?答：原解認為系統(tǒng)的總角動量為二圓柱各自對自己的軸的角動量之和是錯誤的，由于系統(tǒng)的總角動量只能對某一個軸進行計算。另當兩柱體邊緣沒有相對滑動時1,2方向相反，所以應為

1R12R2

正確的解法應對兩圓柱分別運用角動量定理，由于兩柱接觸時摩擦力大小相等、方向相反,力矩和沖量矩的大小正比于半徑,方向相同:R1fdtR1fdtJ1(110)R2fdtR2fdtJ2(220)

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消去fdt,得R1J1(110)R2R12從前已知R21

J2(220)

由此可解得:R1(J11R2J22R1)M1R11M2R22122J1R2J2R1R2(M1M2)R2(J22R1J11R2)M2R22M1R11222J1R2J2R1R1(M1M2)

1122其中J1M1R1,J2M2R222

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例3一雜技演員M由距水平蹺板高為h處自由下落到蹺板的一端A,并把蹺板另一端的演員N彈了起來.問演員N可彈起多高?

MhNBl

Cl/2

A

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設蹺板是勻質(zhì)的，長度為l,質(zhì)量為m',蹺板可繞中部支撐點C在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，演員的質(zhì)量均為m.假定演員M落在蹺板上，與蹺板的碰撞是完全非彈性碰撞.解碰撞前M落在A點的速度

vM(2gh)lu2

12

碰撞后的瞬間，M、N具有相同的線速度

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M、N和蹺板組成的系統(tǒng)，角動量守恒

ll1122mvMJ2mumlml22122MhNBl

Cl/2

A

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ll1122mvMJ2mumlml22122

mvMl26m(2gh)解得22ml12ml2(m6m)l演員N以u起跳，達到的

高度：

12

ul3m2h()h2g8gm6m222

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六、轉(zhuǎn)動中的功和能1、力矩的功

dWFdrFcos|dr|

FcosrdFcosrFcosrMdWMd稱為力矩的功。力矩對轉(zhuǎn)動物體作的功等于相應力矩和角位移的乘積。O

vdr

dr

FP

*

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2、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理剛體上全部質(zhì)元的動能之和為：

EK

112mivimi(ri)22i2i1122(miri)J22i2

剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能改變的緣由可以用力矩做功的效果來說明。將定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律兩邊乘以d再同時對積

分有:

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Md

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