常微分方程第三版

關(guān)于常微分方程第三版第一章緒論

常微分方程是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，是人們解決各種實(shí)際問(wèn)題的有效工具，它在幾何、力學(xué)、物理、電子技術(shù)、航空航天、生命科學(xué)、經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域等都有廣泛的應(yīng)用。第2頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天

微分方程差不多是和微積分同時(shí)先后產(chǎn)生的，1676年詹姆士·貝努力致牛頓的信中第一次提出微分方程。微分方程建立后，立即成為研究，了解和知曉現(xiàn)實(shí)世界的重要工具。1846年，數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家合作，通過(guò)求解微分方程發(fā)現(xiàn)了一顆有名的新星——海王星。1991年，科學(xué)家在阿爾卑斯山發(fā)現(xiàn)一個(gè)肌肉豐滿的冰人，據(jù)軀體所含碳原子消失的程度，通過(guò)求解微分方程，推斷這個(gè)冰人大約遇難于5000年以前，類似的實(shí)例還有很多。在微分方程發(fā)展的史中，數(shù)學(xué)家牛頓，萊布尼茨，雅各布·貝努利、歐拉、拉格朗日等等都做出了卓越的貢獻(xiàn)。第3頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、什么是微分方程？

方程對(duì)于學(xué)過(guò)中學(xué)數(shù)學(xué)的人來(lái)說(shuō)是比較熟悉的；在初等數(shù)學(xué)中就有各種各樣的方程，比如線性方程、二次方程、高次方程、指數(shù)方程、對(duì)數(shù)方程、三角方程和方程組等等。這些方程都是要把研究的問(wèn)題中的已知數(shù)和未知數(shù)之間的關(guān)系找出來(lái)，列出包含一個(gè)未知數(shù)或幾個(gè)未知數(shù)的一個(gè)或者多個(gè)方程式，然后取求方程的解。

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在實(shí)際工作中，常常出現(xiàn)一些特點(diǎn)和以上方程完全不同的問(wèn)題。比如：某個(gè)物體在重力作用下自由下落，要尋求下落距離隨時(shí)間變化的規(guī)律；火箭在發(fā)動(dòng)機(jī)推動(dòng)下在空間飛行，要尋求它飛行的軌道等，研究這些問(wèn)題所建立的數(shù)學(xué)方程不僅與未知函數(shù)有關(guān)，而且與未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有關(guān)，這就是我們要研究的微分方程。

解這類問(wèn)題的基本思想和初等數(shù)學(xué)解方程的基本思想很相似，也是要把研究的問(wèn)題中已知函數(shù)和未知函數(shù)之間的關(guān)系找出來(lái)，從列出的包含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的一個(gè)或幾個(gè)方程中去求得未知函數(shù)的表達(dá)式——即求解微分方程。第5頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、微分方程的研究?jī)?nèi)容1、利用初等函數(shù)或初等函數(shù)的積分形式來(lái)導(dǎo)出微分方程的通解，常微分方程的解包括通解和特解。能用初等積分求通解的是非常少的，因此，人們轉(zhuǎn)而研究特解的存在性問(wèn)題。2、利用數(shù)學(xué)分析或非線性分析理論來(lái)研究微分方程解的存在性、延展性、解對(duì)初值的連續(xù)性和可微性問(wèn)題。第6頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天5、微分方程的定性和穩(wěn)定性理論

1900年，希爾波特提出的23個(gè)問(wèn)題中的第16個(gè)問(wèn)題之一，至今未解決。4、微分方程的數(shù)值解法3、微分方程解析理論

由于絕大多數(shù)微分方程不能通過(guò)求積分得到，而理論上又證明了解的存在性，因此，人們將未知函數(shù)（即解）表示成級(jí)數(shù)形式，并引進(jìn)特殊函數(shù)，如，橢圓函數(shù)、阿貝爾函數(shù)、貝塞爾函數(shù)等，并使微分方程和函數(shù)論及復(fù)變函數(shù)聯(lián)系起來(lái)，產(chǎn)生了微分方程解析理論。第7頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天§1.1微分方程模型

微分方程:聯(lián)系著自變量,未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式.

為了定量地研究一些實(shí)際問(wèn)題的變化規(guī)律,往往是要對(duì)所研究的問(wèn)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化和假設(shè),建立數(shù)學(xué)模型,當(dāng)問(wèn)題涉及變量的變化率時(shí),該模型就是微分方程,下面通過(guò)幾個(gè)典型的例子來(lái)說(shuō)明建立微分方程模型的過(guò)程.第8頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1鐳的衰變規(guī)律:第9頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天解第10頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天例2RLC電路

如圖所示的R-L-C電路.它包含電感L,電阻R,電容C及電源e(t).設(shè)L,R,C均為常數(shù),e(t)是時(shí)間t的已知函數(shù).試求當(dāng)開(kāi)關(guān)K合上后,電路中電流強(qiáng)度I與時(shí)間t之間的關(guān)系.

第11頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天電路的基爾霍夫（Kirchhoff）第二定律:在閉合回路中,所有支路上的電壓的代數(shù)和為零.設(shè)當(dāng)開(kāi)關(guān)K合上后,電路中在時(shí)刻t的電流強(qiáng)度為I(t),

則電流經(jīng)過(guò)電感L,電阻R和電容的電壓降分別為

其中Q為電量.第12頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天由Kirchhoff第二定律,得到因?yàn)?/p>

于是得到這就是電流強(qiáng)度I與時(shí)間t所滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式.

解第13頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天英國(guó)人口學(xué)家馬爾薩斯（Malthus）在擔(dān)任牧師期間，查看了當(dāng)?shù)亟烫?00多年人口出生統(tǒng)計(jì)資料，發(fā)現(xiàn)：人口增長(zhǎng)率是一個(gè)常數(shù)。假設(shè)條件：凈相對(duì)增長(zhǎng)率（單位時(shí)間內(nèi)人口的凈增長(zhǎng)數(shù)與人口數(shù)之比）為常數(shù)

.例3人口模型解

Malthus模型：Logistic模型：第14頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天例4

傳染病模型:長(zhǎng)期以來(lái),建立傳染病的數(shù)學(xué)模型來(lái)描述傳染病的傳播過(guò)程,一直是各國(guó)有關(guān)專家和官員關(guān)注的課題.人們不能去做傳染病傳播的試驗(yàn)以獲取數(shù)據(jù),所以通常主要是依據(jù)機(jī)理分析的方法建立模型.第15頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天解:SI模型SIS模型SIR模型第16頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天例5生物種群模型

意大利生物學(xué)家棣安考納發(fā)現(xiàn)某海港在第一次世界大戰(zhàn)期間捕魚(yú)量減少而捕獲到的捕食魚(yú)占的百分比確急劇增加，為解釋這種現(xiàn)象，意大利數(shù)學(xué)家沃特拉（Volterra）建立了一個(gè)關(guān)于捕食魚(yú)和被食魚(yú)生長(zhǎng)情形的模型。

沃特拉把所有的魚(yú)分為兩類：被食魚(yú)與捕食魚(yú)，設(shè)t時(shí)刻被食魚(yú)的總數(shù)為x(t),而捕食魚(yú)的總數(shù)為y(t).第17頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天Volterra被捕食-捕食模型：Volterra模型：解第18頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天例6Lorenz方程

氣象學(xué)家洛倫茨在美國(guó)天氣預(yù)報(bào)中心工作，進(jìn)行數(shù)值天氣預(yù)報(bào)。他在20世紀(jì)60年代初開(kāi)始用數(shù)字計(jì)算機(jī)，曾簡(jiǎn)化氣象方程，最終得到后來(lái)被成為混沌（Choas）現(xiàn)象第一例的有名的氣象方程——Lorenz方程。第19頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天

微分方程模型的構(gòu)造方法：1、從已確定的自然規(guī)律（物理、力學(xué)知識(shí)）出發(fā)，考慮主要因素，忽略次要因素，提煉出自變量，未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式，即相應(yīng)微分方程。2、如果沒(méi)有直接的已知規(guī)律可參考，可應(yīng)用類比方法，建立模型。3、根據(jù)已發(fā)現(xiàn)的數(shù)據(jù)，通過(guò)分析數(shù)據(jù)的相互關(guān)系加上合理的邏輯推理，尋找相關(guān)規(guī)律建立相應(yīng)的模型。4、還可根據(jù)一定的目的，通過(guò)反復(fù)實(shí)驗(yàn)，尋找適合要求的模型。第20頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天牛頓(1642–1727)偉大的英國(guó)數(shù)學(xué)家,物理學(xué)家,天文學(xué)家和自然科學(xué)家.他在數(shù)學(xué)上的卓越貢獻(xiàn)是創(chuàng)立了微積分.1665年他提出正流數(shù)(微分)術(shù)

,次年又提出反流數(shù)(積分)術(shù),并于1671年完成《流數(shù)術(shù)與無(wú)窮級(jí)數(shù)》一書(shū)(1736年出版).他還著有《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》和《廣義算術(shù)》等

.第21頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天萊布尼茲(1646–1716)德國(guó)數(shù)學(xué)家,哲學(xué)家.他和牛頓同為微積分的創(chuàng)始人,他在《學(xué)藝》雜志上發(fā)表的幾篇有關(guān)微積分學(xué)的論文中,有的早于牛頓,所用微積分符號(hào)也遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓

.他還設(shè)計(jì)了作乘法的計(jì)算機(jī)

,系統(tǒng)地闡述二進(jìn)制計(jì)數(shù)法

,并把它與中國(guó)的八卦聯(lián)系起來(lái)

.第22頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天(雅各布第一·伯努利)

書(shū)中給出的伯努利數(shù)在很多地方有用,

伯努利(1654–1705)瑞士數(shù)學(xué)家,

位數(shù)學(xué)家.

標(biāo)和極坐標(biāo)下的曲率半徑公式,

1695年

版了他的巨著《猜度術(shù)》,上的一件大事,

而伯努利定理則是大數(shù)定律的最早形式.

年提出了著名的伯努利方程,他家祖孫三代出過(guò)十多

1694年他首次給出了直角坐

1713年出

這是組合數(shù)學(xué)與概率論史此外,

他對(duì)雙紐線,懸鏈線和對(duì)數(shù)螺線都有深入的研究.第23頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天歐拉(1707–1783)瑞士數(shù)學(xué)家.

他寫(xiě)了大量數(shù)學(xué)經(jīng)典著作,如《無(wú)窮小分析引論》,《微

還寫(xiě)了大量力學(xué),幾何學(xué),變分法教材.

他在工作期間幾乎每年都完成800頁(yè)創(chuàng)造性的論文.