滬科版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三訓(xùn)練 專題2.3 勾股定理章末重難點(diǎn)突破訓(xùn)練卷（原卷版+解析）

第18章勾股定理章末重難點(diǎn)突破訓(xùn)練卷【滬科版】考試時(shí)間：100分鐘；滿分：100分學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________題號(hào)一二三總分得分注意事項(xiàng)：1．答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2．請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上第Ⅰ卷（選擇題）評(píng)卷人得分一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）（2020春?太原期中）下列長(zhǎng)度的三條線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是（）A．6，15，17 B．7，12，15 C．13，15，20 D．7，24，252．（3分）（2020春?海淀區(qū)校級(jí)期中）如圖，以直角三角形的一條直角邊和斜邊為一邊作正方形M和N，它們的面積分別為9平方厘米和25平方厘米，則直角三角形的面積為（）A．6平方厘米 B．12平方厘米 C．24平方厘米 D．3平方厘米3．（3分）（2020春?臨高縣期末）如圖，在水塔O的東北方向5m處有一抽水站A，在水塔的東南方12m處有一建筑工地B，在AB間建一條直水管，則水管的長(zhǎng)為（）A．10m B．13m C．14m D．8m4．（3分）（2020春?金寨縣期末）如圖，趙爽弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．設(shè)直角三角形兩條直角邊長(zhǎng)分別為a和b．若ab＝8，大正方形的邊長(zhǎng)為5，則小正方形的邊長(zhǎng)為（）A．1 B．2 C．3 D．45．（3分）（2023秋?沙河市期末）歷史上對(duì)勾股定理的一種證法采用了下列圖形：其中兩個(gè)全等的直角三角形邊AE、EB在一條直線上．證明中用到的面積相等關(guān)系是（）A．S△EDA＝S△CEB B．S△EDA+S△CEB＝S△CDB C．S四邊形CDAE＝S四邊形CDEB D．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四邊形ABCD6．（3分）（2020春?襄城區(qū)期末）如圖，有一個(gè)水池，水面是一邊長(zhǎng)為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度為（）尺．A．10 B．12 C．13 D．147．（3分）（2023秋?永安市期中）如圖，圓柱的底面直徑為16π，BC＝12，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面移動(dòng)到BC的中點(diǎn)SA．10 B．12 C．14 D．208．（3分）（2020春?郯城縣期中）已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC邊上的高AH＝8，則BC的長(zhǎng)是（）A．21 B．15 C．6 D．21或99．（3分）（2020春?靈山縣期末）在直角三角形ABC中，∠C＝90°，兩直角邊長(zhǎng)及斜邊上的高分別為a，b，h，則下列關(guān)系式成立的是（）A．2a2+2C．h2＝ab D．h2＝a2+b210．（3分）（2020春?思明區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分△ABC的外角∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝4，則CE2+CF2的值為（）A．8 B．16 C．32 D．64

第Ⅱ卷（非選擇題）評(píng)卷人得分二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）（2020春?樺南縣期末）在△ABC中，若其三條邊的長(zhǎng)度分別為9、12、15，則這個(gè)三角形的面積是．12．（3分）（2020春?重慶期末）如圖，所有陰影四邊形都是正方形，兩個(gè)空白三角形均為直角三角形，且A、B、C三個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別為2、3、4，則正方形D的面積為．13．（3分）（2020春?東湖區(qū)校級(jí)期中）探索勾股數(shù)的規(guī)律：觀察下列各組數(shù)：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）…請(qǐng)寫出下一數(shù)組：．14．（3分）（2020春?防城港期末）如圖，一根長(zhǎng)20cm的吸管置于底面直徑為9cm，高為12cm的圓柱形水杯中，吸管露在杯子外面的長(zhǎng)度最短是cm．15．（3分）（2020?揚(yáng)州）《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作之一，奠定了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架．如圖所示是其中記載的一道“折竹”問(wèn)題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，問(wèn)折者高幾何？”題意是：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問(wèn)折斷處離地面多高？答：折斷處離地面尺高．16．（3分）（2020春?齊齊哈爾期末）如圖，一只螞蟻從實(shí)心長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)A出發(fā)，沿長(zhǎng)方體的表面爬到對(duì)角頂點(diǎn)C1處（三條棱長(zhǎng)如圖所示），問(wèn)最短路線長(zhǎng)為．評(píng)卷人得分三．解答題（共6小題，滿分52分）17．（8分）（2020春?來(lái)賓期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ACD＝∠B．（1）求證：CD⊥AB；（2）如果AC＝8，BC＝6，求CD的長(zhǎng)．18．（8分）（2020春?涿鹿縣期中）如圖，某住宅小區(qū)在施工過(guò)程中留下了一塊空地（圖中的四邊形ABCD），經(jīng)測(cè)量，在四邊形ABCD中，AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，DA＝13m，∠B＝90°．（1）△ACD是直角三角形嗎？為什么？（2）小區(qū)為美化環(huán)境，欲在空地上鋪草坪，已知草坪每平方米80元，試問(wèn)鋪滿這塊空地共需花費(fèi)多少元？19．（8分）（2020春?塔河縣校級(jí)期末）如圖，∠C＝90°，AM＝CM，MP⊥AB于點(diǎn)P，求證：BP2＝AP2+BC2．20．（8分）（2020春?越城區(qū)期中）一艘輪船以20海里/時(shí)的速度由西向東航行，在途中接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)，臺(tái)風(fēng)中心正以40海里/時(shí)的速度由南向北移動(dòng)，距臺(tái)風(fēng)中心20海里的圓形區(qū)域（包括邊界）都屬于臺(tái)風(fēng)區(qū)域，當(dāng)輪船到A處時(shí)測(cè)得臺(tái)風(fēng)中心移到位于點(diǎn)A正南方的B處，且AB＝100海里．若這艘輪船自A處按原速度繼續(xù)航行，在途中是否會(huì)遇到臺(tái)風(fēng)？若會(huì)，則求出輪船最初遇到臺(tái)風(fēng)的時(shí)間；若不會(huì)，請(qǐng)說(shuō)明理由．21．（10分）（2020春?岳陽(yáng)期末）如圖，在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)A，B，其中AB＝AC，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)H（A、H、B在同一條直線上），并新修一條路CH，測(cè)得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．（1）問(wèn)CH是否為從村莊C到河邊的最近路？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算加以說(shuō)明；（2）求新路CH比原路CA少多少千米？22．（10分）（2020春?江陰市期中）【知識(shí)生成】我們已經(jīng)知道，通過(guò)不同的方法表示同一圖形的面積，可以探求相應(yīng)的等式，2002年8月在北京召開(kāi)了國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)，大會(huì)會(huì)標(biāo)如圖1所示，它是由四個(gè)形狀大小完全相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形，四個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)均分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c．（1）圖中陰影部分小正方形的邊長(zhǎng)可表示為；（2）圖中陰影部分小正方形的面積用兩種方法可分別表示為、（3）你能得出的a，b，c之間的數(shù)量關(guān)系是（等號(hào)兩邊需化為最簡(jiǎn)形式）；（4）一直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)為5和12，則其斜邊長(zhǎng)為【知識(shí)遷移】通過(guò)不同的方法表示同一幾何體的體積，也可以探求相應(yīng)的等式．如圖2是邊長(zhǎng)為a+b的正方體，被如圖所示的分割線分成8塊．（5）用不同方法計(jì)算這個(gè)正方體體積，就可以得到一個(gè)等式，這個(gè)等式可以為（6）已知a+b＝4，ab＝2，利用上面的規(guī)律求a3+b3的值．

第18章勾股定理章末重難點(diǎn)突破訓(xùn)練卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）（2020春?太原期中）下列長(zhǎng)度的三條線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是（）A．6，15，17 B．7，12，15 C．13，15，20 D．7，24，25【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)是直角三角形判定則可．如果有這種關(guān)系，這個(gè)就是直角三角形．【答案】解：A、∵62+152≠172，∴該三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，不符合題意；B、∵72+122≠152，∴該三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，不符合題意；C、∵132+152≠202，∴該三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，不符合題意；D、∵72+242＝252，∴該三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，在應(yīng)用勾股定理的逆定理時(shí)，應(yīng)先認(rèn)真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗(yàn)證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，進(jìn)而作出判斷．2．（3分）（2020春?海淀區(qū)校級(jí)期中）如圖，以直角三角形的一條直角邊和斜邊為一邊作正方形M和N，它們的面積分別為9平方厘米和25平方厘米，則直角三角形的面積為（）A．6平方厘米 B．12平方厘米 C．24平方厘米 D．3平方厘米【分析】根據(jù)勾股定理求出另一條直角邊的長(zhǎng)，再根據(jù)直角三角形的面積公式求出直角三角形的面積．【答案】解：根據(jù)勾股定理可得直角三角形的另一邊長(zhǎng)為：25?9=可得這個(gè)直角三角形的面積為：12故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和直角三角形面積的求法，理解直角三角形的面積等于其兩直角邊長(zhǎng)乘積的一半是解題的關(guān)鍵．3．（3分）（2020春?臨高縣期末）如圖，在水塔O的東北方向5m處有一抽水站A，在水塔的東南方12m處有一建筑工地B，在AB間建一條直水管，則水管的長(zhǎng)為（）A．10m B．13m C．14m D．8m【分析】由題意可知東北方向和東南方向間剛好是一直角，利用勾股定理解圖中直角三角形即可．【答案】解：已知東北方向和東南方向剛好是一直角，∴∠AOB＝90°，又∵OA＝5m，OB＝12m，∴AB=OA2故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是勾股定理的應(yīng)用，正確運(yùn)用勾股定理，善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵．4．（3分）（2020春?金寨縣期末）如圖，趙爽弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．設(shè)直角三角形兩條直角邊長(zhǎng)分別為a和b．若ab＝8，大正方形的邊長(zhǎng)為5，則小正方形的邊長(zhǎng)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由題意可知：中間小正方形的邊長(zhǎng)為：a﹣b，根據(jù)勾股定理以及題目給出的已知數(shù)據(jù)即可求出小正方形的邊長(zhǎng)．【答案】解：由題意可知：中間小正方形的邊長(zhǎng)為：a﹣b，∵每一個(gè)直角三角形的面積為：12ab=∴4×12ab+（a﹣b）2＝5∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，∵正方形的邊長(zhǎng)a﹣b＞0，∴a﹣b＝3，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用勾股定理以及完全平方公式，本題屬于基礎(chǔ)題型．5．（3分）（2023秋?沙河市期末）歷史上對(duì)勾股定理的一種證法采用了下列圖形：其中兩個(gè)全等的直角三角形邊AE、EB在一條直線上．證明中用到的面積相等關(guān)系是（）A．S△EDA＝S△CEB B．S△EDA+S△CEB＝S△CDB C．S四邊形CDAE＝S四邊形CDEB D．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四邊形ABCD【分析】用三角形的面積和、梯形的面積來(lái)表示這個(gè)圖形的面積，從而證明勾股定理．【答案】解：∵由S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四邊形ABCD．可知12ab+12c2+12ab=12∴c2+2ab＝a2+2ab+b2，整理得a2+b2＝c2，∴證明中用到的面積相等關(guān)系是：S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四邊形ABCD．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的證明依據(jù)．此類證明要轉(zhuǎn)化成該圖形面積的兩種表示方法，從而轉(zhuǎn)化成方程達(dá)到證明的結(jié)果．6．（3分）（2020春?襄城區(qū)期末）如圖，有一個(gè)水池，水面是一邊長(zhǎng)為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度為（）尺．A．10 B．12 C．13 D．14【分析】找到題中的直角三角形，設(shè)水深為x尺，根據(jù)勾股定理解答．【答案】解：設(shè)水深為x尺，則蘆葦長(zhǎng)為（x+1）尺，根據(jù)勾股定理得：x2+（102）2＝（x+1）2解得：x＝12，蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度＝x+1＝12+1＝13（尺），答：蘆葦長(zhǎng)13尺．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查正確運(yùn)用勾股定理．善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵．7．（3分）（2023秋?永安市期中）如圖，圓柱的底面直徑為16π，BC＝12，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面移動(dòng)到BC的中點(diǎn)SA．10 B．12 C．14 D．20【分析】先把圓柱的側(cè)面展開(kāi)，連接AS，利用勾股定理即可得出AS的長(zhǎng)．【答案】解：如圖所示，∵在圓柱的截面ABCD中AB=16π，∴AB=12×16π×∴AS=8故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是平面展開(kāi)﹣?zhàn)疃搪窂絾?wèn)題，根據(jù)題意畫出圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖，利用勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵．8．（3分）（2020春?郯城縣期中）已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC邊上的高AH＝8，則BC的長(zhǎng)是（）A．21 B．15 C．6 D．21或9【分析】高線AH可能在三角形的內(nèi)部也可能在三角形的外部，本題應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論．分別依據(jù)勾股定理即可求解．【答案】解：如圖所示，在Rt△ABH中，∵AB＝17，AH＝8，∴BH=1在Rt△ACH中，∵AC＝10，AH＝8，∴CH=1∴當(dāng)AH在三角形的內(nèi)部時(shí)，如圖1，BC＝15+6＝21；當(dāng)AH在三角形的外部時(shí)，如圖2，BC＝15﹣6＝9．∴BC的長(zhǎng)是21或9．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理，在解答此題時(shí)要進(jìn)行分類討論，不要漏解．9．（3分）（2020春?靈山縣期末）在直角三角形ABC中，∠C＝90°，兩直角邊長(zhǎng)及斜邊上的高分別為a，b，h，則下列關(guān)系式成立的是（）A．2a2+2C．h2＝ab D．h2＝a2+b2【分析】設(shè)斜邊為c，根據(jù)勾股定理得出c=a【答案】解：設(shè)斜邊為c，根據(jù)勾股定理得出c=a∵12ab=1∴ab=a2+b2?h，即a2b2＝a2h2+∴a2即1a故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方是解答此題的關(guān)鍵．10．（3分）（2020春?思明區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分△ABC的外角∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝4，則CE2+CF2的值為（）A．8 B．16 C．32 D．64【分析】根據(jù)角平分線的定義推出△ECF為直角三角形，然后根據(jù)勾股定理求得CE2+CF2＝EF2，即可得出結(jié)果．【答案】解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ACE=12∠ACB，∠ACF=1即∠ECF=12（∠ACB+∠ACD）＝90又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ECB＝∠MEC＝∠ECM，∠DCF＝∠CFM＝∠MCF，∴CM＝EM＝MF＝4，∴EF＝8，由勾股定理得：CE2+CF2＝EF2＝64，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的定義、勾股定理、直角三角形的判定；熟練掌握勾股定理，證明三角形是直角三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）（2020春?樺南縣期末）在△ABC中，若其三條邊的長(zhǎng)度分別為9、12、15，則這個(gè)三角形的面積是54．【分析】利用勾股定理逆定理可判斷出△ABC為直角三角形，然后再求面積即可．【答案】解：∵92+122＝152，∴△ABC為直角三角形，∴這個(gè)三角形的面積是：12故答案為：54．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理逆定理，關(guān)鍵是掌握勾股定理的逆定理將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，作用是判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形．必須滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷．12．（3分）（2020春?重慶期末）如圖，所有陰影四邊形都是正方形，兩個(gè)空白三角形均為直角三角形，且A、B、C三個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別為2、3、4，則正方形D的面積為29．【分析】設(shè)正方形D的面積為x，根據(jù)圖形得出方程4+16＝x﹣9，求出即可．【答案】解：設(shè)正方形D的面積為x，∵正方形A、B、C的邊長(zhǎng)分別為2、3、4，∴正方形的面積分別為4、9、16，根據(jù)圖形得：4+16＝x﹣9，解得：x＝29，故答案為：29．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)題意得出方程，題目比較典型，難度適中．13．（3分）（2020春?東湖區(qū)校級(jí)期中）探索勾股數(shù)的規(guī)律：觀察下列各組數(shù)：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）…請(qǐng)寫出下一數(shù)組：（11，60，61）．【分析】先找出每組勾股數(shù)與其組數(shù)的關(guān)系，找出規(guī)律，再根據(jù)此規(guī)律進(jìn)行解答．【答案】解：∵（3，4，5）：3＝2×1+1，4＝2×12+2×1，5＝2×12+2×1+1；（5，12，13）：5＝2×2+1，12＝2×22+2×2，13＝2×22+2×2+1；（7，24，25）：7＝2×3+1，24＝2×32+2×3，25＝2×32+2×3+1；（9，40，41）：9＝2×4+1，40＝2×42+2×4，41＝2×42+2×4+1；∴下一組數(shù)為：11＝2×5+1，60＝2×52+2×5，61＝2×52+2×5+1，故答案為：（11，60，61）．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股數(shù)，根據(jù)所給的每組勾股數(shù)找出各數(shù)與組數(shù)的規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵．14．（3分）（2020春?防城港期末）如圖，一根長(zhǎng)20cm的吸管置于底面直徑為9cm，高為12cm的圓柱形水杯中，吸管露在杯子外面的長(zhǎng)度最短是5cm．【分析】根據(jù)勾股定理求出h的最短距離，進(jìn)而可得出結(jié)論．【答案】解：如圖，當(dāng)吸管、底面直徑、杯子的高恰好構(gòu)成直角三角形時(shí)，h最短，此時(shí)AB=92+1故h最短＝20﹣15＝5（cm）；故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問(wèn)題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．15．（3分）（2020?揚(yáng)州）《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作之一，奠定了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架．如圖所示是其中記載的一道“折竹”問(wèn)題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，問(wèn)折者高幾何？”題意是：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問(wèn)折斷處離地面多高？答：折斷處離地面4.55尺高．【分析】根據(jù)題意結(jié)合勾股定理得出折斷處離地面的高度即可．【答案】解：設(shè)折斷處離地面x尺，根據(jù)題意可得：x2+32＝（10﹣x）2，解得：x＝4.55．答：折斷處離地面4.55尺．故答案為：4.55．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意正確應(yīng)用勾股定理是解題關(guān)鍵．16．（3分）（2020春?齊齊哈爾期末）如圖，一只螞蟻從實(shí)心長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)A出發(fā)，沿長(zhǎng)方體的表面爬到對(duì)角頂點(diǎn)C1處（三條棱長(zhǎng)如圖所示），問(wèn)最短路線長(zhǎng)為5．【分析】分別利用從不同的表面得出其路徑長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案．【答案】解：如圖1，AC1=6如圖2，AC1=4如圖3，AC1=2故沿長(zhǎng)方體的表面爬到對(duì)面頂點(diǎn)C處，只有圖2最短，其最短路線長(zhǎng)為：5，故答案為：5．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平面展開(kāi)圖最短路徑問(wèn)題，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．三．解答題（共6小題，滿分52分）17．（8分）（2020春?來(lái)賓期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ACD＝∠B．（1）求證：CD⊥AB；（2）如果AC＝8，BC＝6，求CD的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)∠ACB＝90°，得出∠A+∠B＝90°，根據(jù)∠ACD＝∠B，得出∠A+∠ACD＝90°，再根據(jù)兩銳角互余的三角形是直角三角形即可得出答案．（2）根據(jù)勾股定理求得AB的長(zhǎng)度，然后利用等面積法求得CD的長(zhǎng)度．【答案】（1）證明：∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵∠ACD＝∠B，∴∠A+∠ACD＝90°，∴∠ADC＝90°，∴CD⊥AB．（2）解：在直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，由勾股定理得AB=A∵12?AB?CD=12?AC∴CD=AC?BC【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出∠A+∠B＝90°．18．（8分）（2020春?涿鹿縣期中）如圖，某住宅小區(qū)在施工過(guò)程中留下了一塊空地（圖中的四邊形ABCD），經(jīng)測(cè)量，在四邊形ABCD中，AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，DA＝13m，∠B＝90°．（1）△ACD是直角三角形嗎？為什么？（2）小區(qū)為美化環(huán)境，欲在空地上鋪草坪，已知草坪每平方米80元，試問(wèn)鋪滿這塊空地共需花費(fèi)多少元？【分析】（1）先在Rt△ABC中，利用勾股定理可求AC，在△ACD中，易求AC2+CD2＝AD2，再利用勾股定理的逆定理可知△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°；（2）分別利用三角形的面積公式求出△ABC、△ACD的面積，兩者相加即是四邊形ABCD的面積，再乘以80，即可求總花費(fèi)．【答案】解：（1）如圖，連接AC，在Rt△ABC中，∵AB＝3m，BC＝4m，∠B＝90°，AB2+CB2＝AC2∴AC＝5cm，在△ACD中，AC＝5cmCD＝12m，DA＝13m，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°；（2）∵S△ABC=12×3×4＝6，S△ACD=∴S四邊形ABCD＝6+30＝36，費(fèi)用＝36×80＝2880（元）．答：鋪滿這塊空地共需花費(fèi)2880元．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理、勾股定理的逆定理的應(yīng)用、三角形的面積公式．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長(zhǎng)，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．19．（8分）（2020春?塔河縣校級(jí)期末）如圖，∠C＝90°，AM＝CM，MP⊥AB于點(diǎn)P，求證：BP2＝AP2+BC2．【分析】在直角三角形中，利用勾股定理得到AB2﹣AC2+（AM2﹣MP2）＝BC2+（MC2﹣MP2）①，AM2﹣MP2＝AP2②，MC2+BC2﹣MP2＝BM2﹣MP2＝BP2③．把②③代入①證得結(jié)論．【答案】證明：∵△ABC是直角三角形，∠C＝90°，∴AB2＝BC2+AC2，則AB2﹣AC2＝BC2．又∵在直角△AMP中，AP2＝AM2﹣MP2，∴AB2﹣AC2+（AM2﹣MP2）＝BC2+（AM2﹣MP2）．又∵AM＝CM，∴AB2﹣AC2+（AM2﹣MP2）＝BC2+（MC2﹣MP2），①∵△APM是直角三角形，∴AM2＝AP2+MP2，則AM2﹣MP2＝AP2，②∵△BPM與△BCM都是直角三角形，∴BM2＝BP2+MP2＝MC2+BC2，MC2+BC2﹣MP2＝BM2﹣MP2＝BP2，③把②③代入①，得AB2﹣AC2+AP2＝BP2，即BP2＝AP2+BC2．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理．正確利用等量代換是解題的難點(diǎn)．20．（8分）（2020春?越城區(qū)期中）一艘輪船以20海里/時(shí)的速度由西向東航行，在途中接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)，臺(tái)風(fēng)中心正以40海里/時(shí)的速度由南向北移動(dòng)，距臺(tái)風(fēng)中心20海里的圓形區(qū)域（包括邊界）都屬于臺(tái)風(fēng)區(qū)域，當(dāng)輪船到A處時(shí)測(cè)得臺(tái)風(fēng)中心移到位于點(diǎn)A正南方的B處，且AB＝100海里．若這艘輪船自A處按原速度繼續(xù)航行，在途中是否會(huì)遇到臺(tái)風(fēng)？若會(huì)，則求出輪船最初遇到臺(tái)風(fēng)的時(shí)間；若不會(huì)，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】假設(shè)途中會(huì)遇到臺(tái)風(fēng)，且最初遇到的時(shí)間為th，此時(shí)輪船位于C處，臺(tái)風(fēng)中心移到E處，連接CE，由題意得：AC＝20t，AE＝AB﹣BE＝100﹣40t，EC＝20，根據(jù)勾股定理可得（20t）2+（100﹣40t）2＝202，方程無(wú)解，進(jìn)而可得不會(huì)受影響．【答案】解：不會(huì)受影響，假設(shè)途中會(huì)遇到臺(tái)風(fēng)，且最初遇到的時(shí)間為th，此時(shí)輪船位于C處，臺(tái)風(fēng)中心移到E處，連接CE，則AC＝20t，AE＝AB﹣BE＝100﹣40t，AC2+AE2＝EC2．（20t）2+（100﹣40t）2＝202，整理得：5t2﹣20t+24＝0∵△＝（﹣20）2﹣4×5×24＜0∴方程無(wú)實(shí)數(shù)根，∴不會(huì)受影響．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．21．（10分）（2020春?岳陽(yáng)期末）如圖，在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)A，B，其中AB＝AC，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)H（A、H、B在同一條直線上），并新修一條路CH，測(cè)得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．（1）問(wèn)CH是否為從村莊C到河邊的最近路？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算加以說(shuō)明；（2）求新路CH比原路CA少多少千米？【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理解答即可；（2）根據(jù)勾股定理解答即可．【答案】解：（1）是，理由是：在△CHB中，∵CH2+BH2＝（1.2）2+（0.9）2＝2.25，BC2＝2.25，∴CH2+BH2＝BC2，∴CH⊥AB，所以CH是從村莊C到河邊的最近路；（2）設(shè)AC＝x千米，在Rt