9.5 十字相乘法 蘇科版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)講與練

專題9.22十字相乘法（知識(shí)講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.熟練掌握首項(xiàng)系數(shù)為1的形如型的二次三項(xiàng)式的因式分解.2.基礎(chǔ)較好的同學(xué)可進(jìn)一步掌握首項(xiàng)系數(shù)非1的簡(jiǎn)單的整系數(shù)二次三項(xiàng)式的因式分解.3.對(duì)于再學(xué)有余力的學(xué)生可進(jìn)一步掌握分?jǐn)?shù)系數(shù)；實(shí)數(shù)系數(shù)；字母系數(shù)的二次三項(xiàng)式的因式分解.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、十字相乘法利用十字交叉線來(lái)分解系數(shù)，把二次三項(xiàng)式分解因式的方法叫做十字相乘法.對(duì)于二次三項(xiàng)式，若存在，則特別說(shuō)明：（1）在對(duì)分解因式時(shí)，要先從常數(shù)項(xiàng)的正、負(fù)入手，若，則同號(hào)(若，則異號(hào))，然后依據(jù)一次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)再確定的符號(hào)（2）若中的為整數(shù)時(shí)，要先將分解成兩個(gè)整數(shù)的積(要考慮到分解的各種可能)，然后看這兩個(gè)整數(shù)之和能否等于，直到湊對(duì)為止.要點(diǎn)二、首項(xiàng)系數(shù)不為1的十字相乘法在二次三項(xiàng)式(≠0)中，如果二次項(xiàng)系數(shù)可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即，常數(shù)項(xiàng)可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即，把排列如下：按斜線交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)，即，那么二次三項(xiàng)式就可以分解為兩個(gè)因式與之積，即.特別說(shuō)明：（1）分解思路為“看兩端，湊中間”（2）二次項(xiàng)系數(shù)一般都化為正數(shù)，如果是負(fù)數(shù)，則提出負(fù)號(hào)，分解括號(hào)里面的二次三項(xiàng)式，最后結(jié)果不要忘記把提出的負(fù)號(hào)添上.要點(diǎn)三、十字相乘法分解因式步驟:1、把二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別分解因數(shù)。2、嘗試十字圖,使經(jīng)過(guò)十字交叉線相乘后所得的數(shù)的和為一次項(xiàng)系數(shù)。3、確定合適的十字圖并寫出因式分解的結(jié)果。4、檢驗(yàn)?！镜湫屠}】類型一、因式分解??十字相乘法??1．閱讀與思考：利用多項(xiàng)式的乘法法則，可以得到，反過(guò)來(lái)，則有利用這個(gè)式子可以將某些二次項(xiàng)系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式分解因式。例如：將式子分解因式．這個(gè)式子的常數(shù)項(xiàng)，一次項(xiàng)系數(shù)，所以．解：．上述分解因式的過(guò)程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次項(xiàng)系數(shù)，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；再分解常數(shù)項(xiàng)，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項(xiàng)系數(shù)（如圖）．請(qǐng)仿照上面的方法，解答下列問題：（1）分解因式：；（2）分解因式：；（3）若可分解為兩個(gè)一次因式的積，寫出整數(shù)P的所有可能值．【答案】（1）；（2）；（3）±16，±8【分析】（1）直接利用十字相乘法分解因式得出答案；（2）直接利用十字相乘法分解因式得出答案；（3）利用十字相乘法分解因式得出所有的可能．解：（1）（2）（3）∵15=1×15；15=-15×（-1）；15=-3×（-5）；15=3×5，則p的可能值為1+15=16-1+（-15）=-16；-3+（-5）=-8；3+5=8；．∴整數(shù)p的所有可能值是±16，±8【點(diǎn)撥】此題考查了因式分解-十字相乘法，弄清題中的分解因式方法是解本題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】分解因式：；（2）．【答案】(1) (2)【分析】（1）利用十字相乘法即可得出答案；（2）利用十字相乘法即可得出答案．（1）解：；（2）解：．【點(diǎn)撥】本題考查了十字相乘法分解因式，要求靈活使用各種方法對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，一般來(lái)說(shuō)，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考慮運(yùn)用公式法分解．【變式2】因式分解：【答案】【分析】將（x-y）當(dāng)做一個(gè)整體，發(fā)現(xiàn)-50=-5×10，-5+10=5，因此利用十字相乘法進(jìn)行分解即可．解：=．【點(diǎn)撥】本題考查了利用十字相乘法進(jìn)行因式分解，對(duì)二次三項(xiàng)式進(jìn)行因式分解時(shí)，若無(wú)法使用公式法和提取公因式法因式分解，則考慮使用十字相乘法分解．本題中注意整體思想的運(yùn)用．類型二、因式分解??十字相乘法??2．因式分解：【答案】【分析】觀察到二次項(xiàng)系數(shù)2=1×2，常數(shù)項(xiàng)-9=-3×3，一次項(xiàng)系數(shù)-3=2×（-3）+1×3，因此用十字相乘法進(jìn)行分解即可．解：=．【點(diǎn)撥】本題考查了利用十字相乘法進(jìn)行因式分解，對(duì)二次三項(xiàng)式進(jìn)行因式分解時(shí)，若無(wú)法使用公式法和提取公因式法因式分解，則考慮使用十字相乘法分解．舉一反三：【變式1】分解因式：．【答案】【分析】先提取公因數(shù)，再用十字相乘法分解因式即可解：故答案為：；【點(diǎn)撥】本題考查了十字相乘法分解因式，能夠熟練運(yùn)用十字相乘法是解題的關(guān)鍵【變式2】運(yùn)用十字相乘法分解因式：； （2）； （3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）直接運(yùn)用x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）分解因式得出即可；（2）ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解的關(guān)鍵是把二次項(xiàng)系數(shù)a分解成兩個(gè)因數(shù)a1，a2的積a1?a2，把常數(shù)項(xiàng)c分解成兩個(gè)因數(shù)c1，c2的積c1?c2，并使a1c2+a2c1正好是一次項(xiàng)b，那么可以直接寫成結(jié)果：ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）；（3）同（2）；（4）把()當(dāng)作一個(gè)整體，運(yùn)用x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）分解因式得出即可解：（1）．（2）．（3）．（4）．【點(diǎn)撥】本題主要考查了十字相乘法分解因式；熟練掌握十字相乘法分解因式，正確分解常數(shù)項(xiàng)是解題關(guān)鍵．類型三、因式分解??十字相乘法??拓展提升3．(1)【閱讀與思考】整式乘法與因式分解是方向相反的變形．如何把二次三項(xiàng)式分解因式呢？我們已經(jīng)知道：．反過(guò)來(lái)，就得到：．我們發(fā)現(xiàn)，二次三項(xiàng)式的二次項(xiàng)的系數(shù)分解成，常數(shù)項(xiàng)分解成，并且把，，，，如圖1所示擺放，按對(duì)角線交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次項(xiàng)系數(shù)，那么就可以分解為，其中，位于圖的上一行，，位于下一行．像這種借助畫十字交叉圖分解系數(shù)，從而幫助我們把二次三項(xiàng)式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，將式子分解因式的具體步驟為：首先把二次項(xiàng)的系數(shù)1分解為兩個(gè)因數(shù)的積，即，把常數(shù)項(xiàng)也分解為兩個(gè)因數(shù)的積，即；然后把1，1，2，按圖2所示的擺放，按對(duì)角線交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次項(xiàng)的系數(shù)，于是就可以分解為．請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真觀察和思考，嘗試在圖3的虛線方框內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)，并用“十字相乘法”分解因式：__________．(2)【理解與應(yīng)用】請(qǐng)你仔細(xì)體會(huì)上述方法并嘗試對(duì)下面兩個(gè)二次三項(xiàng)式進(jìn)行分解因式：①

__________；②

__________．(3)【探究與拓展】對(duì)于形如的關(guān)于，的二元二次多項(xiàng)式也可以用“十字相乘法”來(lái)分解，如圖4．將分解成乘積作為一列，分解成乘積作為第二列，分解成乘積作為第三列，如果，，，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都滿足十字相乘規(guī)則，則原式，請(qǐng)你認(rèn)真閱讀上述材料并嘗試挑戰(zhàn)下列問題：①

分解因式__________；②

若關(guān)于，的二元二次式可以分解成兩個(gè)一次因式的積，求的值．【答案】(1) (2)

(3)②43或【分析】（1）首先把二次項(xiàng)的系數(shù)1分解為兩個(gè)因數(shù)的積，即，把常數(shù)項(xiàng)也分解為兩個(gè)因數(shù)的積，即，寫出結(jié)果即可．（2）①把二次項(xiàng)系數(shù)2寫成，常數(shù)項(xiàng)寫成，滿足，寫出分解結(jié)果即可．②把項(xiàng)系數(shù)6寫成，把項(xiàng)系數(shù)2寫成，滿足，寫出分解結(jié)果即可．（3）①把項(xiàng)系數(shù)3寫成，把項(xiàng)系數(shù)-2寫成，常數(shù)項(xiàng)-4寫成滿足條件，寫出分解結(jié)果即可．②把項(xiàng)系數(shù)1寫成，把項(xiàng)系數(shù)-18寫成，常數(shù)項(xiàng)-24寫成或滿足條件，寫出分解結(jié)果，計(jì)算即可．解：（1）首先把二次項(xiàng)的系數(shù)1分解為兩個(gè)因數(shù)的積，即，把常數(shù)項(xiàng)也分解為兩個(gè)因數(shù)的積，即，所以．故答案為：．（2）①把二次項(xiàng)系數(shù)2寫成，，滿足，所以．故答案為：．②把項(xiàng)系數(shù)6寫成，把項(xiàng)系數(shù)2寫成，滿足，所以．故答案為：．（3）①把項(xiàng)系數(shù)3寫成，把項(xiàng)系數(shù)-2寫成，常數(shù)項(xiàng)-4寫成滿足條件，所以．故答案為：．②把項(xiàng)系數(shù)1寫成，把項(xiàng)系數(shù)-18寫成，常數(shù)項(xiàng)-24寫成或滿足條件，所以m=或m=，故m的值為43或-78．【點(diǎn)撥】本題考查了因式分解的十字相乘法，讀懂閱讀材料，理解其中的內(nèi)涵是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】【閱讀與思考】整式乘法與因式分解是方向相反的變形．如何把二次三項(xiàng)式進(jìn)行因式分解呢？我們已經(jīng)知道，a1xc1a2xc2a1a2x2a1c2xa2c1xc1c2a1ax2a1c2a2c1xc1c2．反過(guò)來(lái)，就得到：．我們發(fā)現(xiàn)，二次項(xiàng)的系數(shù)a分解成，常數(shù)項(xiàng)c分解成，并且把a(bǔ)1，a2，c1，c2如圖①所示擺放，按對(duì)角線交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于ax2+bx+c的一次項(xiàng)系數(shù)b，那么就可以分解為a1xc1a2xc2，其中a1，c1位于圖的上一行，a2，c2位于下一行．像這種借助畫十字交叉圖分解系數(shù)，從而幫助我們把二次三項(xiàng)式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，將式子分解因式的具體步驟為：首先把二次項(xiàng)的系數(shù)1分解為兩個(gè)因數(shù)的積，即1=1×1，把常數(shù)項(xiàng)－6也分解為兩個(gè)因數(shù)的積，即－6=2×(－3)；然后把1，1，2，－3按圖②所示的擺放，按對(duì)角線交叉相乘再相加的方法，得到1×(－3)+1×2=－1，恰好等于一次項(xiàng)的系數(shù)－1，于是就可以分解為(x2)(x3)．請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真觀察和思考，嘗試在圖③的虛線方框內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)，并用“十字相乘法”分解因式：=．【理解與應(yīng)用】請(qǐng)你仔細(xì)體會(huì)上述方法并嘗試對(duì)下面兩個(gè)二次三項(xiàng)式進(jìn)行分解因式：（1）=；（2）=．【探究與拓展】對(duì)于形如的關(guān)于x，y的二元二次多項(xiàng)式也可以用“十字相乘法”來(lái)分解．如圖④，將a分解成mn乘積作為一列，c分解成pq乘積作為第二列，f分解成jk乘積作為第三列，如果mqnpb，pkqje，mknjd，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都滿足十字相乘規(guī)則，則原式=mxpyjnxqyk，請(qǐng)你認(rèn)真閱讀上述材料并嘗試挑戰(zhàn)下列問題：（1）分解因式=；（2）若關(guān)于x，y的二元二次式可以分解成兩個(gè)一次因式的積，求m的值；（3）已知x，y為整數(shù)，且滿足，請(qǐng)寫出一組符合題意的x，y的值．【答案】閱讀與思考：圖見分析，x-3x2；理解與應(yīng)用：（1）x12x7；（2）2xy3x2y；探究與拓展：（1）x2y13xy4；（2）43或-78；（3）x=－1，y=0．【分析】【閱讀與思考】利用十字相乘法，畫十字交叉圖，即可；【理解與應(yīng)用】（1）利用十字相乘法，畫十字交叉圖，即可；（2）利用十字相乘法，畫十字交叉圖，即可；【探究與拓展】（1）根據(jù)二元二次多項(xiàng)式的十字相乘法，畫十字交叉圖，即可得到答案；（2）根據(jù)二元二次多項(xiàng)式的十字相乘法，畫十字交叉圖，即可求解；（3）根據(jù)二元二次多項(xiàng)式的十字相乘法，對(duì)方程進(jìn)行分解因式，化為二元一次方程，進(jìn)而即可求解．【閱讀與思考】畫十字交叉圖：∴=（x-3)(x+2)故答案是：x-3x2；【理解與應(yīng)用】（1）畫十字交叉圖：∴2x25x7=x12x7，故答案是：x12x7；（2）畫十字交叉圖：∴6x27xy2y2=2xy3x2y，故答案是：2xy3x2y；【探究與拓展】（1）畫十字交叉圖：∴3x25xy2y2x9y4x2y13xy4，故答案是：x2y13xy4；（2）如圖，∵關(guān)于x，y的二元二次式x2+7xy－18y2－5x+my－24可以分解成兩個(gè)一次因式的積，∴存在1×1=1，9×(－2)=－18，(－8)×3=－24，7=1×(－2)+1×9，－5=1×(－8)+1×3，∴m=9×3+(－2)×(－8)=43或m=9×(－8)+(－2)×3=－78．∴m的值為：43或－78；（3）∵，∴，畫十字交叉圖：∴，∴或，∵x，y為整數(shù)，∴x=－1，y=0是一組符合題意的值．【點(diǎn)撥】本題主要考查十字相乘法分解因式以及應(yīng)用，理解并掌握閱讀材料中的“畫十字交叉圖”，是解題的關(guān)鍵．【變式2】閱讀下面材料，解答后面的問題：“十字相乘法”能將二次三項(xiàng)式分解因式，對(duì)于形如的關(guān)于，的二次三項(xiàng)式來(lái)說(shuō)，方法的關(guān)鍵是將項(xiàng)系數(shù)分解成兩個(gè)因數(shù)，的積，即，將項(xiàng)系數(shù)分解成兩個(gè)因式，的積，即，并使正好等于項(xiàng)的系數(shù)，那么可以直接寫成結(jié)果：例：分解因式：解：如圖1，其中，，而所以而對(duì)于形如的關(guān)于，的二元二次式也可以用十字相乘法來(lái)分解．如圖2．將分解成乘積作為一列，分解成乘積作為第二列，分解成乘積作為第三列，如果，，即第1、2列，第2、3列和第1、3列都滿足十字相乘規(guī)則，則原式例：分解因式解：如圖3，其中，，而，，所以請(qǐng)同學(xué)們通過(guò)閱讀上述材料，完成下列問題：（1）分解因式：①．②．（2）若關(guān)于，的二元二次式可以分解成兩個(gè)一次因式的積，求的值．【答案】（1）；；（2）61或-82．【分析】（1）結(jié)合題意畫出圖形，即可得出結(jié)論；（2）用十字相乘法把能分解的幾種情況全部列出求出m的值即可．解：（1）①如下圖，其中，所以，；②如下圖，其中，而，所以，；（2）如下圖，其中，而或，∴若關(guān)于，的二元二次式可以分解成兩個(gè)一次因式的積，的值為61或-82．【點(diǎn)撥】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是因式分解-十字相乘法，讀懂題意，掌握十字相乘法分解因式的步驟是解此題的關(guān)鍵．類型四、因式分解??十字相乘法??應(yīng)用4．我們知道，分解因式與整式乘法是互逆的運(yùn)算．在分解因式的練習(xí)中我們也會(huì)遇到下面的問題，請(qǐng)你根據(jù)情況解答：已知，，是的三邊且滿足，判斷的形狀；兩位同學(xué)將一個(gè)二次三項(xiàng)式分解因式時(shí)，其中一位同學(xué)因看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)而分解成，另一位同學(xué)因看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)而分解成，請(qǐng)你求出原來(lái)的多項(xiàng)式并將原式分解因式．【答案】(1)等邊三角形 (2)【分析】（1）先根據(jù)單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式把原式化簡(jiǎn)，再根據(jù)完全平方公式變形，根據(jù)偶次方的非負(fù)性得到，，根據(jù)等邊三角形的概念求解；（2）由于含字母的二次三項(xiàng)式的一般形式為其中、、均為常數(shù)，且，所以可設(shè)原多項(xiàng)式為看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)即值看錯(cuò)而與的值正確，根據(jù)因式分解與整式的乘法互為逆運(yùn)算，可將運(yùn)用多項(xiàng)式的乘法法則展開求出與的值；同樣，看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)即值看錯(cuò)而與的值正確，可將運(yùn)用多項(xiàng)式的乘法法則展開求出的值，進(jìn)而得出答案．（1）解：，，，，，，，為等邊三角形；（2）解：設(shè)原多項(xiàng)式為其中、、均為常數(shù)，且．，，；又，，原多項(xiàng)式為，將它分解因式，得：．【點(diǎn)撥】本題主要考查的是因式分解的應(yīng)用，掌握完全平方公式、偶次方的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】有足夠多的長(zhǎng)方形和正方形卡片（如圖1），分別記為1號(hào)，2號(hào)，3號(hào)卡片．如果選取4張3號(hào)卡片，拼成如圖2所示的一個(gè)正方形，請(qǐng)用2種不同的方法表示陰影部分的面積（用含，的式子表示）．①方法1：________；方法2：________；②請(qǐng)寫出，，三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系：________．若，求的值．如圖3，選取1張1號(hào)卡片，2張2號(hào)卡片，3張3號(hào)卡片，可拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（無(wú)縫隙不重疊），請(qǐng)畫出該長(zhǎng)方形，根據(jù)圖形的面積關(guān)系，分解因式：________．【答案】(1)①，；② (2)20圖見詳解，【分析】（1）①?gòu)摹罢w”和“部分”兩個(gè)方面分別表示陰影部分的面積即可；②由①中兩種方法所表示的面積相等可