2023-2024學(xué)年河南省信陽市息縣九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷(含解析)

2023-2024學(xué)年河南省信陽市息縣九年級第一學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題(每小題3分，共30分)

1.圍棋起源于中國，古代稱之為“弈”，至今已有4000多年的歷史.一棋譜中四部分的截

圖由黑白棋子擺成的圖案是中心對稱的是()

2.將一元二次方程x(x+1)=3-N化為一般形式為()

A.2x2+x—3B.2x2+x-3—0

C.-2x2+無-3=0D.2x2-x-3=0

3.用配方法解方程N(yùn)-4x-1=0時，配方后正確的是()

A.(尤+2)2=3B.(x+2)2=17C.(尤-2)2=5D.(尤-2)2—17

4.若關(guān)于x的一元二次方程x2-2x-k=Q沒有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是()

A.左>-1B.左》-1C.k<-1D.-1

5.二次函數(shù)y=2(尤-3)2+1的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()

A.(2,3)B.(2,1)C.(3,-1)D.(3,1)

6.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(-1,-2)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是()

A.(1,-2)B.(-1,2)C.(1,2)D.(-2,-1)

7.把拋物線y=x2向上平移3個單位，得到的拋物線是()

A.y=(x-3)2B.y=(x+3)2C.y=x2-3D.y—x1+'3

8.如圖，C,。在O。上，AB是直徑，ZD=64°,則()

D

A.64°B.34°C.26°D.24°

9.我國古代著作《四元玉鑒》記載“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，遣人去買幾株

椽.每株腳錢三文足，無錢準(zhǔn)與一株椽.”其大意為：現(xiàn)請人代買一批椽，這批株的價

錢為6210文.如果每株椽的運(yùn)費(fèi)是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運(yùn)費(fèi)恰好等于

一株椽的價錢.根據(jù)題意可列方程3x（x-1）=6210,其中無表示（）

A.剩余椽的數(shù)量B.這批椽的數(shù)量

C.剩余椽的運(yùn)費(fèi)D.每株椽的價錢

10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)8的坐標(biāo)為（6,0）,將△A3。繞著

點(diǎn)8順時針旋轉(zhuǎn)60°,得到△O8C,則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）

A.（3五，3）B.（3,3A/3）C.（6,3）D.（3,6）

二、填空題（每小題3分，共15分）

11.若一元二次方程N(yùn)-or-2=0的一個根為x=2,則a=.

12.《算學(xué)寶鑒》中記載了我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝提出的一個問題：“直田積八百六十四步,

之云闊不及長一十二步，問闊及長各幾步？”譯文：“一個矩形田地的面積等于864平

方步，且它的寬比長少12步，問長與寬各是多少步？”若設(shè)矩形田地的長為無步，則可

列方程為.

13.飛機(jī)著陸后滑行的距離S（單位：〃力關(guān)于滑行的時間r（單位：S）的函數(shù)解析式是S

=60-1.5凡飛機(jī)著陸后滑行米才能停下來.

14.如圖，一圓弧過方格的格點(diǎn)A、B、C,在方格中建立平面直角坐標(biāo)系，使點(diǎn)A的坐標(biāo)

為(0,3),則該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)是

15.如圖，在正方形ABCD中，將邊BC繞點(diǎn)8逆時針旋轉(zhuǎn)至8C,連接CC,DC,若N

CCD=90°,AB=5,則線段CD的長度為.

三、解答題(本大題共8個小題，共75分)

16.用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?

(1)x2-2x-15=0；

(2)2N+3尤=1；

(3)5(2x-1)2—x(2x-1).

17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△A8C的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-4,1).

(1)畫出△AbBiG,使得△4SC1與△ABC關(guān)于原點(diǎn)。對稱，并寫出Ci的坐標(biāo)；

(2)以。為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△4B2c2,畫出△AzB2c2并寫出

Ci的坐標(biāo).

18.已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4),且圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,3).

（1）求這個二次函數(shù)的表達(dá)式;

19.如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°.將△ABC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)得到△AB'C,在旋轉(zhuǎn)

過程中，當(dāng)點(diǎn)8落在的中點(diǎn)處時，求NA'的度數(shù).

20.中秋節(jié)是我國傳統(tǒng)的節(jié)日之一.在中秋節(jié)來臨前夕，一名在校大學(xué)生抓住機(jī)會，利用“互

聯(lián)網(wǎng)+”自主創(chuàng)業(yè)，在某平臺上銷售一種月餅.平臺市場信息顯示，銷售此種月餅，每天

所獲的利潤y（元）與該月餅的售價無（元/盒）之間關(guān)系式是y=-N+lOOx-1600.

（1）當(dāng)售價定為每盒40元時，每天所獲得的利潤是多少？

(2)當(dāng)售價定為多少時，可使每天獲得最大利潤，最大利潤是多少？

(3)該商品的進(jìn)價是每盒多少元？【單位利潤=售價-進(jìn)價】

21.類比探究題：

(1)【舊知復(fù)習(xí)】一次函數(shù)和方程(組)以及不等式之間有著密切的聯(lián)系，通過一次函

數(shù)圖象可以求得一元一次方程的解，一元一次不等式的解集，二元一次方程組的解等，

所含的數(shù)學(xué)思想是,如圖1,直接寫出方程丘+匕=0的解為；

不等式kx+b>0的解集為；如圖2,寫出二元一次方程組的解

I2x+3y=7

為，不等式的解集為；

圖1圖2圖3期

(2)【類比應(yīng)用】類比一次函數(shù)的學(xué)習(xí)，可以延伸到其他函數(shù)，通過圖象解決方程及不

等式的問題.

已知，如圖3,函數(shù)y=-x2-3x+4的圖象與x軸的交點(diǎn)為A(-4,0),B(1,0),

則方程-N-3x+4=0的解為；不等式-N-3X+4>0的解集

為;

(3)【拓展拔高】如圖4,函數(shù)y=-x2-3尤+4的圖象與過(0,4)且平行于x軸的直

線交于兩點(diǎn)C(-3,4),D(0,4),根據(jù)圖象求：

①方程-N-3x+4=4的解；

②不等式-尤2-3X+4W4的解集.

22.閱讀材料，解答問題：

關(guān)于圓的引理

古希臘數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家阿基米德流傳于世的數(shù)學(xué)著作有10余種，下面是《阿基米德全

集》的《引理集》中記載的一個命題：

如圖1,A8是。。的弦，點(diǎn)C在。。上，于點(diǎn)。，在弦A8上取點(diǎn)E,使DE=

AD,點(diǎn)尸是標(biāo)上的一點(diǎn)，且諦=金，連接3/，貝!|

小穎對這個問題很感興趣，經(jīng)過思考，寫出了下面的證明過程：

證明：如圖2,連接C4,CE,CF,BC,

???CZ）_LA8于點(diǎn)0,DE=ADf

：.CA=CE,

：.ZCAE=ZCEA.

7CF=CA-

CF=CA（依據(jù)1）,/CBF=ZCBA.

:四邊形A2FC內(nèi)接于O。，

：.ZCAB+ZCFB=1SQ°.（依據(jù)2）

（1）上述證明過程中的依據(jù)1為______________________________，依據(jù)2

為;

（2）將上述證明過程補(bǔ)充完整.

圖1圖2

23.如圖1,正方形A2CD的邊長為5,點(diǎn)E為正方形邊上一動點(diǎn)，過點(diǎn)B作BPLAE

于點(diǎn)P,將AP繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得AP',連接PO.

（1）證明：PB=P'D.

（2）延長8尸交P。于點(diǎn)況判斷四邊形AP尸尸的形狀，并說明理由；

（3）若。尸=1,求線段AP的長度

選做題.

24.在平面直角坐標(biāo)系尤0y中，M（xi,yi）,N（尤2,>2）是拋物線y—ax^+bx+c（<?>0）

上任意兩點(diǎn)，設(shè)拋物線的對稱軸為

（1）若對于無i=l,無2=2,有yi=y2,求t的值;

(2)若對于0＜為＜1,1＜及＜2,都有yi＜”，求，的取值范圍.

參考答案

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1.圍棋起源于中國，古代稱之為“弈”，至今已有4000多年的歷史.一棋譜中四部分的截

圖由黑白棋子擺成的圖案是中心對稱的是（）

【分析】把一個圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那

么這個圖形就叫做中心對稱圖形，根據(jù)中心對稱圖形的概念求解.

解：選項(xiàng)A能找到這樣的一個點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所

以是中心對稱圖形；

選項(xiàng)8、C、。不能找到這樣的一個點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。后與原來的圖形重合,

所以不是中心對稱圖形；

故選：A.

【點(diǎn)評】此題主要考查了中心對稱圖形定義，關(guān)鍵是找出對稱中心.

2.將一元二次方程x（x+1）=3-N化為一般形式為（）

A.2x2+x=3B.2x2+x-3=0

C.-2x2+x-3=0D.2x2-x-3=0

【分析】首先去括號，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，把右邊化為0,變?yōu)橐话闶郊纯?

解：x（x+1）=3-x2,

x2+x=3-x2,

2x2+x-3=0.

故選:B.

【點(diǎn)評】此題主要考查了一元二次方程的一般形式是：aN+fcc+c=0（。，b,。是常數(shù)且。

#0)特別要注意a#O的條件.這是在做題過程中容易忽視的知識點(diǎn).在一般形式中依2

叫二次項(xiàng)，以叫一次項(xiàng)，c是常數(shù)項(xiàng).其中a,b,c分別叫二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，

常數(shù)項(xiàng).

3.用配方法解方程N(yùn)-4X-1=0時，配方后正確的是()

A.(尤+2)2=3B.(x+2)2=17C.(x-2)2=5D.(%-2)2=17

【分析】先把-1移到方程的右邊，然后方程兩邊都加4,再把左邊根據(jù)完全平方公式寫

成完全平方的形式即可.

解：Vx2-4x-1=0,

.'.x2-4x—l,

.,.x2-4x+4=1+4,

(尤-2)2=5.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程-配方法：將一元二次方程配成a+相)2=n(w、0)

的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法.

4.若關(guān)于x的一元二次方程N(yùn)-2x-左=。沒有實(shí)數(shù)根，則左的取值范圍是()

A.左>-1B.左》-1C.k<-1D.kW-1

【分析】由關(guān)于x的一元二次方程N(yùn)-2x-左=。沒有實(shí)數(shù)根，根據(jù)△的意義得到△<(),

即(-2)2-4X1X(-k)<0,然后解不等式即可得到上的取值范圍.

解：???關(guān)于x的一元二次方程x2-2x-k=0沒有實(shí)數(shù)根，

A<0,即(-2)2-4X1X(-%)<0,解得k<-1,

一的取值范圍是小V-1.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方ax2+bx+c—0(aWO)的根的判別式△=爐-4ac：當(dāng)A

>0,方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)A=0,方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)A<0,方程

沒有實(shí)數(shù)根.

5.二次函數(shù)y=2(尤-3)2+1的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()

A.(2,3)B.(2,1)C.(3,-1)D.(3,1)

【分析】二次函數(shù)y=a(尤-/?)2+k(aHO)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(〃，k).

解：根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式方程y=2(x-3)2+1知，該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)：(3,1).

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的三種形式.解答該題時，需熟悉二次

函數(shù)的頂點(diǎn)式方程y=a(x-/z)2+左中的爪人所表示的意義.

6.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(-1,-2)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是()

A.(1,-2)B.(-1,2)C.(1,2)D.(-2,-1)

【分析】根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)P(x,y),關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)是(-無，-y),

然后直接作答即可.

解：根據(jù)中心對稱的性質(zhì)，可知：點(diǎn)尸(-1,-2)關(guān)于原點(diǎn)。中心對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為

(1,2).

故選：C.

【點(diǎn)評】此題主要考查了關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，關(guān)鍵是掌握點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)

律.

7.把拋物線＞=%2向上平移3個單位，得到的拋物線是()

A.y—(尤-3)2B.y—(x+3)2C.y—x2-3D.y=x2+3

【分析】根據(jù)“左加右減，上加下減”的法則進(jìn)行解答即可.

解：把拋物線y=/向上平移3個單位，得到的拋物線是y=N+3.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知二次函數(shù)圖象平移的法則是解

答此題的關(guān)鍵.

A.64°B.34°C.26°D.24°

【分析】連接8C,先利用同弧所對的圓周角相等求出再根據(jù)直徑所對的圓周角是

直角求出NACB=90°,最后利用直角三角形兩銳角互余進(jìn)行計算即可解答.

解：連接8C,

VZZ)=64O,

.-.ZD=ZB=64°,

為OO的直徑，

AZACB=90°,

：.ZBAC=90°-ZB=26°,

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

9.我國古代著作《四元玉鑒》記載“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，遣人去買幾株

椽.每株腳錢三文足，無錢準(zhǔn)與一株椽.”其大意為：現(xiàn)請人代買一批椽，這批株的價

錢為6210文.如果每株椽的運(yùn)費(fèi)是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運(yùn)費(fèi)恰好等于

一株椽的價錢.根據(jù)題意可列方程3x(x-1)=6210,其中尤表示()

A.剩余椽的數(shù)量B.這批椽的數(shù)量

C.剩余椽的運(yùn)費(fèi)D.每株椽的價錢

【分析】由每株椽的運(yùn)費(fèi)及“少拿一株椽后，剩下的椽的運(yùn)費(fèi)恰好等于一株椽的價錢”，

結(jié)合所列方程，即可找出尤表示這批椽的數(shù)量.

解：?.?每株椽的運(yùn)費(fèi)是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運(yùn)費(fèi)恰好等于一株椽的價

錢，

...所列方程中的尤表示這批椽的數(shù)量，3(x-1)表示一株椽的價錢，所用的等量關(guān)系為

單價X數(shù)量=總價.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，根據(jù)所列方程所用的等量關(guān)系，

找出未知數(shù)x的含義是解題的關(guān)鍵.

10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)8的坐標(biāo)為(6,0),將△ABO繞著

點(diǎn)2順時針旋轉(zhuǎn)60°,得到△OBC,則點(diǎn)C的坐標(biāo)是(

A.（3愿，3）B.（3,3時）C.（6,3）D.（3,6）

【分析】作軸于M，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出8C=OB=6,根據(jù)直角三角形30°

角所對的直角邊等于斜邊的一半求出BM,利用勾股定理列式求出CM,然后求出點(diǎn)C的

橫坐標(biāo)，再寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)即可.

解：作CMLx軸于

:點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6,0）,

：.BC=OB=6,

VZOBC=60°,

???2M=濡BC=3,CM=與BC=3通，

：.OM=OB-BM=6-3=3,

：.C（3,3百）.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，解直角三角形，求出。加、CM的長度是解

題的關(guān)鍵.

二、填空題（每小題3分，共15分）

11.若一元二次方程N(yùn)-依-2=0的一個根為x=2,則。=1.

【分析】把尤=2代入方程得出4-2a-2=0,再求出方程的解即可.

解：,一元二次方程N(yùn)-°龍-2=0的一個根為尤=2,

.".4-2a-2=0,

解得a=l,

故答案為：1.

【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程，一元二次方程的解和解一元一次方程等知識點(diǎn),

能熟記一元二次方程的解的定義是解此題的關(guān)鍵.

12.《算學(xué)寶鑒》中記載了我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝提出的一個問題：“直田積八百六十四步，

之云闊不及長一十二步，問闊及長各幾步？”譯文：“一個矩形田地的面積等于864平

方步，且它的寬比長少12步，問長與寬各是多少步？”若設(shè)矩形田地的長為無步，則可

列方程為x(x-12)=864.

【分析】如果設(shè)矩形田地的長為x步，那么寬就應(yīng)該是(%-12)步，根據(jù)面積為864,

即可得出方程.

解：設(shè)矩形田地的長為無步，那么寬就應(yīng)該是(%-12)步.

根據(jù)矩形面積=長乂寬，得：X(X-12)=864.

故答案為:x(%-12)=864.

【點(diǎn)評】本題為面積問題，考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，掌握好面積公式即

可進(jìn)行正確解答；矩形面積=矩形的長X矩形的寬.

13.飛機(jī)著陸后滑行的距離s(單位：相)關(guān)于滑行的時間M單位：s)的函數(shù)解析式是s

=60-1.5凡飛機(jī)著陸后滑行600米才能停下來.

【分析】將函數(shù)解析式配方成頂點(diǎn)式求出s的最大值即可得.

解：s=——f2+60/=——(.t-20)2+600,

22

/.當(dāng)f=20時，s取得最大值600,即飛機(jī)著陸后滑行600米才能停下來，

故答案為：600.

【點(diǎn)評】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意得出飛機(jī)滑行的距離即為s的最大值

是解題的關(guān)鍵.

14.如圖，一圓弧過方格的格點(diǎn)A、B、C,在方格中建立平面直角坐標(biāo)系，使點(diǎn)A的坐標(biāo)

【分析】由題意建立直角坐標(biāo)系，由垂徑定理得到該圓弧所在圓的圓心是弦AC、A3的

垂直平分線的交點(diǎn)，于是得到該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo).

解：由題意建立直角坐標(biāo)系，如圖，

?.?該圓弧所在圓的圓心是弦AC、48的垂直平分線的交點(diǎn)O,

該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)是(1,0).

【點(diǎn)評】本題考查坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，垂徑定理，關(guān)鍵是由垂徑定理得到該圓弧所在圓

的圓心是弦AC、AB的垂直平分線的交點(diǎn).

15.如圖，在正方形ABC。中，將邊繞點(diǎn)2逆時針旋轉(zhuǎn)至連接CC,DC,若/

CCD=90°,AB=5,則線段CD的長度為而

【分析】過點(diǎn)B作于點(diǎn)E,證明△BCE四△CZ)C(AAS),由全等三角形的性

質(zhì)得出CE=CD,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)求出CE=CE=CD,由勾股定理可

得出答案.

：.BC=CD,ZBCD=90°,

：.ZBCE+ZCCD=90°,

:NBCE+/CBE=90°,

：.ZC'CD=ZCBE,

又,：NBEC=NCCD,

在△口工1和△CZ)C中，

，ZCBE=ZCZCD

，ZBEC=ZCC?D，

BC=CD

二.△BCE會"DC(AAS),

：.CE=CD,

,/將邊BC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)至BC,

：.BC=BC=CD=5,

又；BE_LCC,

：.CE=CE=CD,

?：CD2+CC1=CD2,

A5CD2=25,

：.CD=^(負(fù)值舍去)，

故答案為：

【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，全等

三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

三、解答題(本大題共8個小題，共75分)

16.用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?

(1)X2-2x-15=0；

(2)2N+3x=l；

(3)5(2x-1)2=x(2x-1).

【分析】(1)方程利用配方法求出解即可；

(2)方程利用公式法求出解即可；

(3)方程利用因式分解法求出解即可.

解：(1)■-2x-15=0,

.*.x2-2x=15,

.*.x2-2x+l=15+1,即(x-1)2=16,

Ax-1=±4,

??xi——5fX2='~3；

(2)2x2+3x—1,

整理得：2x2+3x-1=0,

VA=32-4X2X(-1)=9+8=17>0,

._-3±VTF

??x=--一~-，

.-3+717-3-^17

,,xr—4-，x2=―4—；

(3)5C2x-1)2=x(2x-1),

.'.5(2尤-1)2-x(2尤-1)=0,

(2x-1)[5(2x-1)-x]=0,

(2尤-1)(9x-5)=0,

；.2x-1=0或9x-5=0,

.15

??Xl=pX2V

【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接開平方法、配方法、因式

分解法、求根公式法，熟練掌握各種方法是解答本題的關(guān)鍵.

17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△A8C的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-4,1).

(1)畫出△AbBiG,使得△A1SG與△ABC關(guān)于原點(diǎn)。對稱，并寫出Ci的坐標(biāo)；

(2)以。為旋轉(zhuǎn)中心，將AABC逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△4B2c2,畫出△A2&C2并寫出

Ci的坐標(biāo).

y

r5-

【分析】(1)根據(jù)中心對稱的性質(zhì)找到A,B,C的對稱點(diǎn)4,Bi,Ci,順次連接得到

△AiBiCi,根據(jù)坐標(biāo)系寫出點(diǎn)的坐標(biāo)即可求解；

（2）根據(jù)中心對稱的性質(zhì)找到A,B,C的旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)A2,BI,C2,順次連接得到△A2&C2,

根據(jù)坐標(biāo)系寫出點(diǎn)的坐標(biāo)即可求解.

解：（1）如圖，△4B1C1即為所求

yA

1----------1—r--1—r5--------------1----------1—i---------1—

I111R11111

I______I__I______ILA________I______I___I______i___

（2）如圖，ZVh&Cz即為所求.

C2（-1,-4）.

【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)作圖，畫中心對稱圖形，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),

中心對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

18.已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,4）,且圖象經(jīng)過點(diǎn)（2,3）.

（1）求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）列表描點(diǎn)畫出這個二次函數(shù)的圖象.

尤

y八

5-

4-

3-

2-

【分析】(1)由待定系數(shù)法即可求解；

(2)取點(diǎn)描點(diǎn)繪制函數(shù)圖象即可.

解：(1)由題意得，函數(shù)的表達(dá)式為：(x-1)2+4,

將(2,3)代入上式得：3=〃(2-1)2+4,

解得：a=-1,

故拋物線的表達(dá)式為：y=-(x-1)2+生

(2)取點(diǎn)如下：

x…-10123

y???03430

描點(diǎn)繪制函數(shù)圖象如下:

【點(diǎn)評】本題考查的是用待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式，題目難度不大.

19.如圖，在RtaABC中，ZC=90°.將△ABC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)得到△A'2'C,在旋轉(zhuǎn)

過程中，當(dāng)點(diǎn)8落在的中點(diǎn)處時，求NA'的度數(shù).

【分析】利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合直角三角形的性質(zhì)得出ACB次是等邊三角形，進(jìn)而得出

答案.

解：將△ABC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ABC,

：.CB=CB',ZA=ZA',

?:點(diǎn)B'可以恰好落在A3的中點(diǎn)處，

點(diǎn)夕是AB的中點(diǎn).

VZACB=90°，

：.CB'^—AB^BB',

2

：.CB=CB'=BB',

即acg夕是等邊三角形.

/.ZB=60°.

,：ZACB=90°,

：.ZA=ZA;=30°.

【點(diǎn)評】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等邊三角形的判定等知識，正確掌握直角三角形

的性質(zhì)是解答本題關(guān)鍵.

20.中秋節(jié)是我國傳統(tǒng)的節(jié)日之一.在中秋節(jié)來臨前夕，一名在校大學(xué)生抓住機(jī)會，利用“互

聯(lián)網(wǎng)+”自主創(chuàng)業(yè)，在某平臺上銷售一種月餅.平臺市場信息顯示，銷售此種月餅，每天

所獲的利潤y(元)與該月餅的售價x(元/盒)之間關(guān)系式是y=-N+ioox-1600.

(1)當(dāng)售價定為每盒40元時，每天所獲得的利潤是多少？

(2)當(dāng)售價定為多少時，可使每天獲得最大利潤，最大利潤是多少？

(3)該商品的進(jìn)價是每盒多少元？【單位利潤=售價-進(jìn)價】

【分析】(1)把x=40代入y=-x2+100x-1600求出y值即可；

(2)y=-N+100x-1600=-(x2-100x+502-2500)-1600=-(x-50)2+900,再根

據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得答案；

(3)在y=-N+ioox-1600中，令y=0求出尤的值并檢驗(yàn)可得答案.

解：(1)把x=40代入y=72+100.1600得：

尸-1600+4000-1600=800,

???當(dāng)售價定為每盒40元時，每天所獲得的利潤是800元；

(2)Vy=-N+i00x-1600=-(N_i00x+502-2500)-1600=-(尤-50)2+900,且

-1<0,

當(dāng)尤=50時，y取最大值900,

...當(dāng)售價定為每盒50元時，每天所獲得的利潤最大，最大利潤是900元；

(3)在尸-N+lOOx-1600中，令y=0得-N+ioox-1600=0,

解得尤=20或&=80(不符合題意，舍去),

，該商品的進(jìn)價是每盒20兀.

【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，能靈活應(yīng)用二次函數(shù)性質(zhì).

21.類比探究題:

（1）【舊知復(fù)習(xí)】一次函數(shù)和方程（組）以及不等式之間有著密切的聯(lián)系，通過一次函

數(shù)圖象可以求得一元一次方程的解，一元一次不等式的解集，二元一次方程組的解等，

所含的數(shù)學(xué)思想是函數(shù)思想，如圖1,直接寫出方程日+%=0的解為x=2；不

等式kx+b>0的解集為尤>2；如圖2,寫出二元一次方程組的解為

------------I2x+3y=7

圖1圖2圖3附

（2）【類比應(yīng)用】類比一次函數(shù)的學(xué)習(xí)，可以延伸到其他函數(shù)，通過圖象解決方程及不

等式的問題.

已知，如圖3,函數(shù)y=-N-3x+4的圖象與x軸的交點(diǎn)為A（-4,0）,B（1,0）,

則方程-爐-3x+4=0的解為x=-4或1；不等式-爐_3.r+4>0的解集為―-4

<x<l；

（3）【拓展拔高】如圖4,函數(shù)y=-N_3尤+4的圖象與過（0,4）且平行于x軸的直

線交于兩點(diǎn)C（-3,4）,。（0,4）,根據(jù)圖象求：

①方程-x2-3x+4=4的解；

②不等式-N-3x+4W4的解集.

【分析】（1）利用函數(shù)思想，觀察函數(shù)圖象即可求解；

（2）利用函數(shù)思想，將等式或不等式理解為交點(diǎn)問題，再觀察函數(shù)圖象即可求解；

（3）利用函數(shù)思想，將等式或不等式理解為圖象交點(diǎn)和函數(shù)的關(guān)系，即可求解；

解：（1）一次函數(shù)和方程（組）以及不等式之間有著密切的聯(lián)系，通過一次函數(shù)圖象可

以求得一元一次方程的解，一元一次不等式的解集，二元一次方程組的解等，所含的數(shù)

學(xué)思想是函數(shù)思想，方程丘+6=0的解為：x=2；不等式區(qū)+。>0的解集為了>2；二元

一次方程組的解為[x=2,不等式歷x+bi》次+歷的解集為：x<2,

I2x+3y=7[y=l

故答案為：函數(shù)思想，x=2；x>2；.（X=2,尤（2；

Iy=l

（2）從函數(shù)圖象看，方程-N-3x+4=0的解為％=-4或1,不等式-N-3x+4>0的

解集為：-4<x<l；

故答案為：彳=-4或1,-4<x<l；

（3）從函數(shù)圖象看，①方程-x2-3x+4=4的解為：尤=-3或0；

②不等式-x2-3x+4W4的解集為：x20或尤W-3.

【點(diǎn)評】本題為二次函數(shù)綜合題，涉及到一元二次不等式（組）、解方程（組）等，運(yùn)

用函數(shù)思想是解題的關(guān)鍵.

22.閱讀材料，解答問題：

關(guān)于圓的引理

古希臘數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家阿基米德流傳于世的數(shù)學(xué)著作有10余種，下面是《阿基米德全

集》的《引理集》中記載的一個命題：

如圖1,A8是。。的弦，點(diǎn)C在。。上，CDLA8于點(diǎn)。，在弦A8上取點(diǎn)E,使。E=

AD,點(diǎn)尸是標(biāo)上的一點(diǎn)，且市=金，連接3/，貝!|

小穎對這個問題很感興趣，經(jīng)過思考，寫出了下面的證明過程：

證明：如圖2,連接CA,CE,CF,BC,

：C￡）_LA8于點(diǎn)。，DE=AD,

：.CA=CE.

：.ZCAE=ZCEA.

?CF=CA-

J.CF^CA（依據(jù)1）,NCBF=NCBA.

:四邊形A2FC內(nèi)接于O。，

：.ZCAB+ZCFB=180°.（依據(jù)2）

（1）上述證明過程中的依據(jù)1為在同圓中相等的弧所對的弦相等，依據(jù)2為圓

內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)；

（2）將上述證明過程補(bǔ)充完整.

圖1圖2

【分析】(1)利用等腰三角形的判定和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)解答即可；

(2)在原題的基礎(chǔ)上利用全等三角形的判定與性質(zhì)解答即可得出結(jié)論.

【解答】(1)解：上述證明過程中的依據(jù)1為在同圓中相等的弧所對的弦相等，依據(jù)2

為圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ).

故答案為：在同圓中相等的弧所對的弦相等，圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)；

(2)證明：如圖2,連接CA,CE,CF,BC,

:CZ)_LA8于點(diǎn)。，DE=AD,

：.CA=CE.

：.ZCAB=ZCEA.

?,CF=CA，

J.CF^CA,

：.ZCBF=ZCBA.

:四邊形A2FC內(nèi)接于O。，

：.ZCAB+ZCFB=1SO°,

VZCEA+ZC￡B=180°,

：.ZCFB=ZCEB,

在△CFB和