中考數學專題15：函數關系式的建立方法探討

PAGE中考數學復習資料，精心整編吐血推薦,如若有用請打賞支持，感激不盡！【2017年中考攻略】專題15：函數關系式的建立方法探討“模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規(guī)律，求出結果、并討論結果的意義。這些內容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學習數學的興趣和應用意識?！边@是《課標》關于模型思想的一段描述。因此，各地中考試卷都有“方程（組）、不等式（組）、函數建模及其應用”類問題，專題5和6已經對方程（組）、不等式（組）的建模及其應用進行了探討，本專題再對函數建模及其應用進行探討。結合2016年全國各地中考的實例，我們從下面五方面進行函數關系式建立方法的探討：（1）應用待定系數建立函數關系式；（2）應用等量關系建立函數關系式；（3）應用幾何關系建立函數關系式；（4）應用分段分析建立函數關系式；（5）應用猜想探索建立函數關系式。一、應用待定系數建立函數關系式：待定系數法是解決求函數解析式問題的常用方法，求函數解析式是初中階段待定系數法的一個主要用途。這種方法適用于已知了函數類型（或函數圖象）的一類函數建模問題。確定直線或曲線方程就是要確定方程中x的系數與常數，我們常常先設它們?yōu)槲粗獢担鶕c在曲線上，點的坐標滿足方程的關系，將已知的條件代入方程，求出待定的系數與常數，寫出表達式。這是平面解析幾何的重要內容，是求曲線方程的有效方法。初中階段主要有正比例函數、一次函數、反比例函數、二次函數這幾類函數，前面三種分別可設y=kx，y=kx+b，的形式(其中k、b為待定系數，且k≠0)。而二次函數可以根據題目所給條件的不同，設成一般式y(tǒng)=ax2+bx+c(a、b、c為待定系數)，頂點式y(tǒng)=a(x－h(huán))2+k(a、k、h為待定系數)，交點式y(tǒng)=a(x－x1)(x－x2)(a、x1、x2為待定系數)三類形式。根據題意(可以是語句形式，也可以是圖象形式)，確定出a、b、c、k、x1、x2等待定系數，求出函數解析式。典型例題：例1：（2016江蘇南通3分）無論a取什么實數，點P(a－1，2a－3)都在直線l上，Q(m，n)是直線l上的點，則(2m－n＋3)2的值等于▲．【答案】16?！究键c】待定系數法，直線上點的坐標與方程的關系，求代數式的值。【分析】∵由于a不論為何值此點均在直線l上，∴令a=0，則P1（－1，－3）；再令a=1，則P2（0，－1）。設直線l的解析式為y=kx+b（k≠0），∴，解得?！嘀本€l的解析式為：y=2x－1。∵Q（m，n）是直線l上的點，∴2m－1=n，即2m－n=1?！?2m－n＋3)2=（1+3）2=16。例2：（2016山東聊城7分）如圖，直線AB與x軸交于點A（1，0），與y軸交于點B（0，﹣2）．（1）求直線AB的解析式；（2）若直線AB上的點C在第一象限，且S△BOC=2，求點C的坐標．【答案】解：（1）設直線AB的解析式為y=kx+b，∵直線AB過點A（1，0）、點B（0，﹣2），∴，解得。∴直線AB的解析式為y=2x﹣2。（2）設點C的坐標為（x，y），∵S△BOC=2，∴?2?x=2，解得x=2。∴y=2×2﹣2=2?！帱cC的坐標是（2，2）?！究键c】待定系數法，直線上點的坐標與方程的關系?！痉治觥浚?）設直線AB的解析式為y=kx+b，將點A（1，0）、點B（0，﹣2）分別代入解析式即可組成方程組，從而得到AB的解析式。（2）設點C的坐標為（x，y），根據三角形面積公式以及S△BOC=2求出C的橫坐標，再代入直線即可求出y的值，從而得到其坐標。例3：（2016湖南岳陽8分）游泳池常需進行換水清洗，圖中的折線表示的是游泳池換水清洗過程“排水﹣﹣清洗﹣﹣灌水”中水量y（m3）與時間t（min）之間的函數關系式．（1）根據圖中提供的信息，求整個換水清洗過程水量y（m3）與時間t（min）的函數解析式；（2）問：排水、清洗、灌水各花多少時間？【答案】解：（1）排水階段：設解析式為：y=kt+b，∵圖象經過（0，1500），（25，1000），∴，解得：?！嗯潘A段解析式為：y=﹣20t+1500。清洗階段：y=0。灌水階段：設解析式為：y=at+c，∵圖象經過（195，1000），（95，0），∴，解得：?！喙嗨A段解析式為：y=10t﹣950。（2）∵排水階段解析式為：y=﹣20t+1500，∴令y=0，即0=﹣20t+1500，解得：t=75?！嗯潘畷r間為75分鐘。清洗時間為：95﹣75=20（分鐘），∵根據圖象可以得出游泳池蓄水量為1500m3∴1500=10t﹣950，解得：t=245。故灌水所用時間為：245﹣95=150（分鐘）?！究键c】一次函數的應用，待定系數法，直線上點的坐標與方程的關系?！痉治觥浚?）根據圖象上點的坐標利用待定系數法分別得出排水階段解析式，以及清洗階段：y=0和灌水階段解析式即可。（2）根據（1）中所求解析式，即可得出圖象與x軸交點坐標，即可得出答案。例4：（2016湖南婁底3分）已知反比例函數的圖象經過點（﹣1，2），則它的解析式是【】 A．B．C．D．【答案】B。【考點】待定系數法求反比例函數解析式，曲線上點的坐標與方程的關系?！痉治觥吭O反比例函數圖象設解析式為，將點（﹣1，2）代入得，k=﹣1×2=﹣2。則函數解析式為。故選B。例5：（2016江蘇連云港12分）如圖，拋物線y＝－x2＋bx＋c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點O為坐標原點，點D為拋物線的頂點，點E在拋物線上，點F在x軸上，四邊形OCEF為矩形，且OF＝2，EF＝3，(1)求拋物線所對應的函數解析式；(2)求△ABD的面積；(3)將△AOC繞點C逆時針旋轉90°，點A對應點為點G，問點G是否在該拋物線上？請說明理由．【答案】解：(1)∵四邊形OCEF為矩形，OF＝2，EF＝3，∴點C的坐標為(0，3)，點E的坐標為(2，3)．把x＝0，y＝3；x＝2，y＝3分別代入y＝－x2＋bx＋c，得，解得?！鄴佄锞€所對應的函數解析式為y＝－x2＋2x＋3。(2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴拋物線的頂點坐標為D(1，4)?！唷鰽BD中AB邊的高為4。令y＝0，得－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3?！郃B＝3－(－1)＝4?！唷鰽BD的面積＝×4×4＝8。(3)如圖，△AOC繞點C逆時針旋轉90°，CO落在CE所在的直線上，由（1）(2)可知OA＝1，OC=3，∵點A對應點G的坐標為(3，2)?！弋攛＝3時，y＝－32＋2×3＋3＝0≠2，∴點G不在該拋物線上?！究键c】二次函數綜合題，矩形的性質，曲線圖上點的坐標與方程的關系，解一元二次方程，二次函數的性質，旋轉的性質?！痉治觥?1)在矩形OCEF中，已知OF、EF的長，先表示出C、E的坐標，然后利用待定系數法確定該函數的解析式。(2)根據(1)的函數解析式求出A、B、D三點的坐標，以AB為底、D點縱坐標的絕對值為高，可求出△ABD的面積。(3)根據旋轉條件求出點A對應點G的坐標，然后將點G的坐標代入拋物線的解析式中直接進行判定即可。例6：（2016江蘇無錫2分）若拋物線y=ax2+bx+c的頂點是A（2，1），且經過點B（1，0），則拋物線的函數關系式為▲．【答案】y=﹣x2+4x﹣3。【考點】待定系數法，曲線上點的坐標與方程的關系?！痉治觥俊邟佄锞€y=ax2+bx+c的頂點是A（2，1），∴可設拋物線的解析式為y=a（x﹣2）2+1。又∵拋物線y=a（x﹣2）2+1經過點B（1，0），∴（1，0）滿足y=a（x﹣2）2+1。∴將點B（1，0）代入y=a（x﹣2）2得，0=a（1﹣2）2即a=﹣1?！鄴佄锞€的函數關系式為y=﹣（x﹣2）2+1，即y=﹣x2+4x﹣3。例7：（2016浙江寧波12分）如圖，二次函數y=ax2+bx+c的圖象交x軸于A（﹣1，0），B（2，0），交y軸于C（0，﹣2），過A，C畫直線．（1）求二次函數的解析式；（2）點P在x軸正半軸上，且PA=PC，求OP的長；（3）點M在二次函數圖象上，以M為圓心的圓與直線AC相切，切點為H．①若M在y軸右側，且△CHM∽△AOC（點C與點A對應），求點M的坐標；②若⊙M的半徑為，求點M的坐標．【答案】解：（1）∵二次函數y=ax2+bx+c的圖象交x軸于A（﹣1，0），B（2，0）∴設該二次函數的解析式為：y=a（x+1）（x﹣2），將x=0，y=﹣2代入，得﹣2=a（0+1）（0﹣2），解得a=1?！鄴佄锞€的解析式為y=（x+1）（x﹣2），即y=x2﹣x﹣2。（2）設OP=x，則PC=PA=x+1，在Rt△POC中，由勾股定理，得x2+22=（x+1）2，解得，x=，即OP=。（3）①∵△CHM∽△AOC，∴∠MCH=∠CAO。（i）如圖1，當H在點C下方時，∵∠MCH=∠CAO，∴CM∥x軸，∴yM=﹣2?！鄕2﹣x﹣2=﹣2，解得x1=0（舍去），x2=1?！郙（1，﹣2）。（ii）如圖2，當H在點C上方時，∵∠M′CH=∠CAO，∴PA=PC。由（2）得，M′為直線CP與拋物線的另一交點，設直線CM′的解析式為y=kx﹣2，把P（，0）的坐標代入，得k﹣2=0，解得k=。∴y=x﹣2。由x﹣2=x2﹣x﹣2，解得x1=0（舍去），x2=。此時y=?！郙′（）。②在x軸上取一點D，如圖3，過點D作DE⊥AC于點E，使DE=，在Rt△AOC中，AC=。∵∠COA=∠DEA=90°，∠OAC=∠EAD，∴△AED∽△AOC，∴，即，解得AD=2。∴D（1，0）或D（﹣3，0）。過點D作DM∥AC，交拋物線于M，如圖則直線DM的解析式為：y=﹣2x+2或y=﹣2x﹣6。當﹣2x﹣6=x2﹣x﹣2時，即x2+x+4=0，方程無實數根，當﹣2x+2=x2﹣x﹣2時，即x2+x﹣4=0，解得?！帱cM的坐標為（）或（）。練習題：1.（2016上海市10分）某工廠生產一種產品，當生產數量至少為10噸，但不超過50噸時，每噸的成本y（萬元/噸）與生產數量x（噸）的函數關系式如圖所示．（1）求y關于x的函數解析式，并寫出它的定義域；（2）當生產這種產品的總成本為280萬元時，求該產品的生產數量．（注：總成本=每噸的成本×生產數量）2.（2016山東菏澤7分）如圖，一次函數的圖象分別與軸、軸交于點A、B，以線段AB為邊在第一象限內作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．求過B、C兩點直線的解析式．3.（2016甘肅蘭州4分）近視眼鏡的度數y(度)與鏡片焦距x(m)成反比例，已知400度近視眼鏡鏡片的焦距為0.25m，則y與x的函數關系式為【】A．B．C．D．4.（2016廣東佛山8分）(1)任選以下三個條件中的一個，求二次函數y=ax2＋bx＋c的解析式；①y隨x變化的部分數值規(guī)律如下表：x－10123y03430②有序數對（－1，0），（1，4），（3，0）滿足y=ax2＋bx＋c；③已知函數y=ax2＋bx＋c的圖象的一部分（如圖）．(2)直接寫出二次函數y=ax2＋bx＋c的三個性質．5.（2016山東萊蕪12分）如圖，頂點坐標為(2，－1)的拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與y軸交于點C(0，3)，與x軸交于A、B兩點．(1)求拋物線的表達式；(2)設拋物線的對稱軸與直線BC交于點D，連接AC、AD，求△ACD的面積；(3)點E為直線BC上一動點，過點E作y軸的平行線EF，與拋物線交于點F．問是否存在點E，使得以D、E、F為頂點的三角形與△BCO相似？若存在，求點E的坐標；若不存在，請說明理由．6.（2016山東濰坊11分）如圖，已知拋物線與坐標軸分別交于A(－2，O)、B(2，0)、C(0，－l)三點，過坐標原點O的直線y=kx與拋物線交于M、N兩點．分別過點C、D(0，－2)作平行于x軸的直線、．(1)求拋物線對應二次函數的解析式；(2)求證以ON為直徑的圓與直線相切；(3)求線段MN的長(用k表示)，并證明M、N兩點到直線的距離之和等于線段MN的長．二、應用等量關系建立函數關系式：等量關系法，又可稱作方程轉化法，即根據等量關系列出含有兩個未知數的等式（二元方程），然后整理成函數形式。這種方法適用于“已知了關于變量之間的等量關系（含公式）”類函數建模題。常用的尋找等量關系的方法有：（1）從常見的數量關系中找等量關系；（2）從關鍵句中找等量關系；（3）從題中反映的（或隱蔽的）基本數量關系確定等量關系。（有關幾何問題的等量關系我們在下面介紹）典型例題：例1.（2016寧夏區(qū)10分）某超市銷售一種新鮮“酸奶”，此“酸奶”以每瓶3元購進，5元售出.這種“酸奶”的保質期不超過一天，對當天未售出的“酸奶”必須全部做銷毀處理.（1）該超市某一天購進20瓶酸奶進行銷售.若設售出酸奶的瓶數為x（瓶），銷售酸奶的利潤為y（元），寫出這一天銷售酸奶的利潤y（元）與售出的瓶數x（瓶）之間的函數關系式。為確保超市在銷售這20瓶酸奶時不虧本，當天至少應售出多少瓶？（2）小明在社會調查活動中，了解到近10天當中，該超市每天購進酸奶20瓶的銷售情況統(tǒng)計如下：每天售出瓶數17181920頻數1225根據上表，求該超市這10天每天銷售酸奶的利潤的平均數；（3）小明根據（2）中，10天酸奶的銷售情況統(tǒng)計，計算得出在近10天當中，其實每天購進19瓶總獲利要比每天購進20瓶總獲利還多.你認為小明的說法有道理嗎？試通過計算說明.【答案】解：（1）由題意知，這一天銷售酸奶的利潤y（元）與售出的瓶數x（瓶）之間的函數關系式為y=5x－60當5x－60≥0時，x≥12，∴當天至少應售出12瓶酸奶超市才不虧本。（2）在這10天當中，利潤為25元的有1天，30元的有2天，35元的有2天，40元的有5天，∴這10天中，每天銷售酸奶的利潤的平均數為（25+30×2+35×2+40×5）÷10=35.5。（3）小明說的有道理。理由如下：∵在這10天當中，每天購進20瓶獲利共計355元.而每天購進19瓶銷售酸奶的利潤y（元）與售出的瓶數x（瓶）之間的函數關系式為：y=5x－57在10天當中，利潤為28元的有1天，33元的有2天，38元的有7天，總獲利為28+33×2+38×7=360>355?！嘈∶髡f的有道理。【考點】一次函數的應用?！痉治觥浚?）根據此“酸奶”以每瓶3元購進，5元售出，該超市某一天購進20瓶酸奶進行銷售，即可得出y與x的函數關系式，再利用y大于0得出x的取值范圍。（2）根據頻數分布表得出總數，從而得出平均數即可。（3）利用每天購進19瓶銷售酸奶的利潤y（元）與售出的瓶數x（瓶）之間的函數關系式，得出在10天當中，利潤為28元的有1天，33元的有2天，8元的有7天，從而得出總利潤，比較即可得出答案。例2.（2016新疆區(qū)12分）庫爾勒某鄉(xiāng)A，B兩村盛產香梨，A村有香梨200噸，B村有香梨300噸，現將這些香梨運到C，D兩個冷藏倉庫．已知C倉庫可儲存240噸，D倉庫可儲存260噸，從A村運往C，D兩處的費用分別為每噸40元和45元；從B村運往C，D兩處的費用分別為每噸25元和32元．設從A村運往C倉庫的香梨為x噸，A，B兩村運香梨往兩倉庫的運輸費用分別為yA元，yB元．（1）請?zhí)顚懴卤恚⑶蟪鰕A，yB與x之間的函數關系式；CD總計Ax噸200噸B300噸總計240噸260噸500噸（2）當x為何值時，A村的運費較少？（3）請問怎樣調運，才能使兩村的運費之和最小？求出最小值．【答案】解：（1）填表如下：CD總計Ax噸（200﹣x）噸200噸B（240﹣x）噸（60+x）噸300噸總計240噸260噸500噸由題意得：yA=40x+45（200﹣x）=﹣5x+9000；yB=25（240﹣x）+32（60+x）=7x+7920。（2）對于yA=﹣5x+9000（0≤x≤200），∵k=﹣5＜0，∴此一次函數為減函數，∴當x=200噸時，yA最小，其最小值為﹣5×200+9000=8000（元）。（3）設兩村的運費之和為W（0≤x≤200），則W=yA+yB=﹣5x+9000+7x+7920=2x+16920，∵k=2＞0，∴此一次函數為增函數，∴當x=0時，W有最小值，W最小值為16920元?！喟慈缦路桨刚{運，兩村的運費之和最小，最小值為16920元。CDA0噸200噸B40噸240噸【考點】一次函數的應用。【分析】（1）由A村共有香梨200噸，從A村運往C倉庫x噸，剩下的運往D倉庫，故運往D倉庫為（200﹣x）噸，由A村已經運往C倉庫x噸，C倉庫可儲存240噸，故B村應往C倉庫運（240﹣x）噸，剩下的運往D倉庫，剩下的為300﹣（240﹣x），化簡后即可得到B村運往D倉庫的噸數，填表即可。由從A村運往C，D兩處的費用分別為每噸40元和45元；從B村運往C，D兩處的費用分別為每噸25元和32元，由表格中的代數式，即可分別列出yA，yB與x之間的函數關系式。（2）由第一問表示出的yA與x之間的函數關系式得到此函數為一次函數，根據x的系數為負數，得到此一次函數為減函數，且0≤x≤200，故x取最大200時，yA有最小值，即為A村的運費較少時x的值。（3）設兩村的運費之和為W，W=yA+yB，把第一問表示出的兩函數解析式代入，合并后得到W為關于x的一次函數，且x的系數大于0，可得出此一次函數為增函數，可得出x=0時，W有最小值，將x=0代入W關于x的函數關系式中，即可求出W的最小值。例3.（2016甘肅白銀10分）襯衫系列大都采用國家5.4標準號、型（通過抽樣分析取的平均值）．“號”指人的身高，“型”指人的凈胸圍，碼數指襯衫的領圍（領子大?。瑔挝痪鶠椋豪迕祝卤硎悄惺恳r衫的部分號、型和碼數的對應關系：號/型…170/84170/88175/92175/96180/100…碼數…3839404142…（1）設男士襯衫的碼數為y，凈胸圍為x，試探索y與x之間的函數關系式；（2）若某人的凈胸圍為108厘米，則該人應買多大碼數的襯衫？【答案】解：（1）根據表可以得到號碼每增大1，則凈胸圍增加4cm，則y與x一定是一次函數關系，函數關系式是：x=84+4（y－38），即（2）當x=108時，?！嗳裟橙说膬粜貒鸀?08厘米，則該人應買44碼的襯衫。【考點】一次函數的應用?！痉治觥浚?）根據表可以得到號碼每增大1，則凈胸圍增加4cm，則y與x一定是一次函數關系，函數關系式可以求得。（2）把x=108代入（1）所求的函數解析式，即可求得碼數。例4.（2016湖北荊門3分）已知：多項式x2﹣kx+1是一個完全平方式，則反比例函數的解析式為【】A．B．C．或D．或【答案】C?！究键c】完全平方式，待定系數法求反比例函數解析式?！痉治觥俊叨囗検絰2﹣kx+1是一個完全平方式，∴k=±2。把k=±2分別代入反比例函數的解析式得：或。故選C。例6.（2016北京市7分）已知二次函數在和時的函數值相等。求二次函數的解析式；若一次函數的圖象與二次函數的圖象都經過點A，求m和k的值；設二次函數的圖象與x軸交于點B,C（點B在點C的左側），將二次函數的圖象在點B,C間的部分（含點B和點C）向左平移個單位后得到的圖象記為C，同時將（2）中得到的直線向上平移n個單位。請結合圖象回答：當平移后的直線與圖象G有公共點時，n的取值范圍?！敬鸢浮拷猓海?）∵二次函數在和時的函數值相等，∴二次函數圖象的對稱軸為。∴，解得?！喽魏瘮到馕鍪綖椤＃?）∵二次函數圖象經過A點，∴，A（－3，－6）。又∵一次函數的圖象經過A點，∴，解得。（3）由題意可知，二次函數在點B，C間的部分圖象的解析式為，，則向左平移后得到的圖象C的解析式為，。此時一次函數的圖象平移后的解析式為?！咂揭坪蟮闹本€與圖象C有公共點，∴兩個臨界的交點為與?！喈敃r，，即；當時，，即?！唷究键c】二次函數綜合題，二次函數的性質，曲線上點的坐標與方程的關系，平移的性質?！痉治觥浚?）由二次函數在和時的函數值相等，可知二次函數圖象的對稱軸為，從而由對稱軸公式可求得，從而求得二次函數的解析式。（2）由二次函數圖象經過A點代入可求得，從而由一次函數的圖象經過A點，代入可求得。（3）根據平移的性質，求得平移后的二次函數和一次函數表達式，根據平移后的直線與圖象C有公共點，求得公共點的坐標即可。例7.（2016浙江嘉興、舟山12分）某汽車租賃公司擁有20輛汽車．據統(tǒng)計，當每輛車的日租金為400元時，可全部租出；當每輛車的日租金每增加50元，未租出的車將增加1輛；公司平均每日的各項支出共4800元．設公司每日租出工輛車時，日收益為y元．（日收益=日租金收入一平均每日各項支出）（1）公司每日租出x輛車時，每輛車的日租金為元（用含x的代數式表示）；（2）當每日租出多少輛時，租賃公司日收益最大？最大是多少元？（3）當每日租出多少輛時，租賃公司的日收益不盈也不虧？【答案】解：（1）1400﹣50x。（2）根據題意得：y=x（﹣50x+1400）﹣4800=﹣50x2+1400x﹣4800=﹣50（x﹣14）2+5000。當x=14時，在范圍內，y有最大值5000?！喈斎兆獬?4輛時，租賃公司日收益最大，最大值為5000元。（3）要使租賃公司日收益不盈也不虧，即：y=0，即：50（x﹣14）2+5000=0，解得x1=24，xz=4，∵x=24不合題意，舍去。∴當日租出4輛時，租賃公司日收益不盈也不虧。【考點】二次函數的應用，二次函數的最值，解一元二次方程。【分析】（1）∵某汽車租賃公司擁有20輛汽車．據統(tǒng)計，當每輛車的日租金為400元時，可全部租出，當每輛車的日租金每增加50元，未租出的車將增加1輛，∴當全部未租出時，每輛租金為：400+20×50=1400元，∴公司每日租出x輛車時，每輛車的日租金為：1400﹣50x。（2）根據已知得到的二次函數關系應用二次函數的最值求得日收益的最大值即可。（3）要使租賃公司日收益不盈也不虧，即：y=50（x-14）2+5000=0，求出x即可。例8.（2016江蘇常州7分）某商場購進一批L型服裝（數量足夠多），進價為40元/件，以60元/件銷售，每天銷售20件。根據市場調研，若每件每降1元，則每天銷售數量比原來多3件?，F商場決定對L型服裝開展降價促銷活動，每件降價x元（x為正整數）。在促銷期間，商場要想每天獲得最大銷售利潤，每件降價多少元？每天最大銷售毛利潤為多少？（注：每件服裝銷售毛利潤指每件服裝的銷售價與進貨價的差）【答案】解：根據題意，商場每天的銷售毛利潤Z=（60－40－x）（20＋3x）=－3x2＋40x+400∴當時，函數Z取得最大值?！選為正整數，且，∴當x=7時，商場每天的銷售毛利潤最大，最大銷售毛利潤為－3·72＋40·7+400=533。答：商場要想每天獲得最大銷售利潤，每件降價7元，每天最大銷售毛利潤為533元。【考點】二次函數的應用，二次函數的最值?！痉治觥壳蟪龆魏瘮档淖钪担页鰔最接近最值點的整數值即可。例9.（2016江蘇鹽城12分）知識遷移：當且時，因為≥,所以≥,從而≥(當時取等號).記函數,由上述結論可知：當時,該函數有最小值為.直接應用：已知函數與函數,則當_________時,取得最小值為_________.變形應用：已知函數與函數,求的最小值,并指出取得該最小值時相應的的值.實際應用：已知某汽車的一次運輸成本包含以下三個部分：一是固定費用,共元；二是燃油費,每千米為元；三是折舊費,它與路程的平方成正比,比例系數為.設該汽車一次運輸的路程為千米,求當為多少時,該汽車平均每千米的運輸成本最低？最低是多少元？【答案】解：直接應用：1；2。變形應用：∵，∴有最小值為。當，即時取得該最小值。實際應用：設該汽車平均每千米的運輸成本為元，則，∴當(千米)時,該汽車平均每千米的運輸成本最低，最低成本為元。例10.（2016湖北鄂州10分）某私營服裝廠根據2011年市場分析，決定2016年調整服裝制作方案，準備每周（按120工時計算）制作西服、休閑服、襯衣共360件，且襯衣至少60件。已知每件服裝的收入和所需工時如下表：服裝名稱西服休閑服襯衣工時/件收入（百元）/件321設每周制作西服x件，休閑服y件，襯衣z件。請你分別從件數和工時數兩個方面用含有x,y的代數式表示襯衣的件數z。求y與x之間的函數關系式。問每周制作西服、休閑服、襯衣各多少件時，才能使總收入最高？最高總收入是多少？【答案】解：（1）從件數方面：z=360－x－y，從工時數方面：由x+y+z=120整理得：z=480－2x－y。（2）由（1）得360－x－y=480－2x－y，整理得：y=360－3x。（3）由題意得總收入s=3x＋2y＋z=3x＋2（360－3x）＋2x=－x＋720由題意得，解得30≤x≤120。由一次函數的性質可知，當x=30的時候，s最大，即當每周生產西服30件，休閑服270件，襯衣60件時，總收入最高，最高總收入是690百元。【考點】一次函數和一元一次不等式組的應用。【分析】（1）根據題目中的已知條件分別從件數和工時數兩個方面用含x，y的關系式表示z。（2）由（1）整理得：y=360－3x。（3）由題意得s=3x+2y+z，化為一個自變量，得到關于x的一次函數。由題意得，解得30≤x≤120，從而根據一次函數的性質作答。練習題：1.（2016青海省8分）夏都花卉基地出售兩種花卉，其中馬蹄蓮每株3.5元，康乃馨每株5元．如果同一客戶所購的馬蹄蓮數量多于1000株，那么所有的馬蹄蓮每株還可優(yōu)惠0.5元．現某鮮花店向夏都花卉基地采購馬蹄蓮800～1200株、康乃馨若干株，本次采購共用了7000元．然后再以馬蹄蓮每株4.5元、康乃馨每株7元的價格賣出，問：該鮮花店應如何采購這兩種鮮花才能使獲得的利潤最大？（注：800～1200株表示采購株數大于或等于800株，且小于或等于1200株；利潤=銷售所得金額﹣進貨所需金額）2.（2016四川巴中9分）某商品的進價為每件50元，售價為每件60元，每個月可賣出200件。如果每件商品的售價上漲1元，則每個月少賣10件（每件售價不能高于72元）。設每件商品的售價上漲x元（x為整數），每個月的銷售利潤為y元，（1）求y與x的函數關系式，并直接寫出x的取值范圍；（2）每件商品的售價定為多少元時，每個月可獲得最大利潤？最大月利潤是多少元？3.（2016遼寧錦州10分）某商店經營兒童益智玩具，已知成批購進時的單價是20元.調查發(fā)現：銷售單價是30元時，月銷售量是230件，而銷售單價每上漲1元，月銷售量就減少10件，但每件玩具售價不能高于40元.設每件玩具的銷售單價上漲了x元時（x為正整數），月銷售利潤為y元.（1）求y與x的函數關系式并直接寫出自變量x的取值范圍.（2）每件玩具的售價定為多少元時，月銷售利潤恰為2520元？（3）每件玩具的售價定為多少元時可使月銷售利潤最大？最大的月利潤是多少？4.（2016福建漳州10分）某校為實施國家“營養(yǎng)早餐”工程，食堂用甲、乙兩種原料配制成某種營養(yǎng)食品，已知這兩種原料的維生素C含量及購買這兩種原料的價格如下表：現要配制這種營養(yǎng)食品20千克，要求每千克至少含有480單位的維生素C.設購買甲種原料x千克．(1)至少需要購買甲種原料多少千克?(2)設食堂用于購買這兩種原料的總費用為y元，求y與x的函數關系式．并說明購買甲種原料多少千克時，總費用最少?5.（2016湖北十堰10分）某工廠計劃生產A、B兩種產品共50件，需購買甲、乙兩種材料．生產一件A產品需甲種材料30千克、乙種材料10千克；生產一件B產品需甲、乙兩種材料各20千克．經測算，購買甲、乙兩種材料各1千克共需資金40元，購買甲種材料2千克和乙種材料3千克共需資金105元．（1）甲、乙兩種材料每千克分別是多少元？（2）現工廠用于購買甲、乙兩種材料的資金不超過38000元，且生產B產品不少于28件，問符合條件的生產方案有哪幾種？（3）在（2）的條件下，若生產一件A產品需加工費200元，生產一件B產品需加工費300元，應選擇哪種生產方案，使生產這50件產品的成本最低？（成本=材料費+加工費）6.（2016湖北恩施8分）小丁每天從某報社以每份0.5元買進報紙200分，然后以每份1元賣給讀者，報紙賣不完，當天可退回報社，但報社只按每份0.2元退給小丁，如果小丁平均每天賣出報紙x份，純收入為y元．（1）求y與x之間的函數關系式（要求寫出自變量x的取值范圍）；（2）如果每月以30天計算，小丁每天至少要買多少份報紙才能保證每月收入不低于2000元？7.（2016湖南益陽8分）為響應市政府“創(chuàng)建國家森林城市”的號召，某小區(qū)計劃購進A、B兩種樹苗共17棵，已知A種樹苗每棵80元，B種樹苗每棵60元．（1）若購進A、B兩種樹苗剛好用去1220元，問購進A、B兩種樹苗各多少棵？（2）若購買B種樹苗的數量少于A種樹苗的數量，請你給出一種費用最省的方案，并求出該方案所需費用．8.（2016湖南常德7分）某工廠生產A、B兩種產品共50件，其生產成本與利潤如下表：A種產品B種產品成本（萬元／件）0.60.9利潤（萬元／件）0.20.4若該工廠計劃投入資金不超過40萬元，且希望獲利超過16萬元，問工廠有哪幾種生產方案？哪種生產方案獲利潤最大？最大利潤是多少？9.（2016湖南郴州8分）某校為開展好大課間活動，欲購買單價為20元的排球和單價為80元的籃球共100個．（1）設購買排球數為x（個），購買兩種球的總費用為y（元），請你寫出y與x的函數關系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（2）如果購買兩種球的總費用不超過6620元，并且籃球數不少于排球數的3倍，那么有哪幾種購買方案？（3）從節(jié)約開支的角度來看，你認為采用哪種方案更合算？10.（2016四川內江9分）某市為創(chuàng)建省衛(wèi)生城市，有關部門決定利用現有的4200盆甲種花卉和3090盆乙種花卉，搭配A、B兩種園藝造型共60個，擺放于入城大道的兩側，搭配每個造型所需花卉數量的情況下表所示，結合上述信息，解答下列問題：（1）符合題意的搭配方案有幾種？（2）如果搭配一個A種造型的成本為1000元，搭配一個B種造型的成本為1500元，試說明選用那種方案成本最低？最低成本為多少元？造型花卉甲乙A8040B5070三、應用幾何關系建立函數關系式：即在幾何問題中，應用幾何中的數量等量關系建立函數關系式。常用的數量等量關系有面積公式，勾股定理，比例線段（相似三角形的相似比），銳角三角函數，有關圓的公式等。典型例題：例1.（2016黑龍江哈爾濱3分）李大爺要圍成一個矩形菜園，菜園的一邊利用足夠長的墻，用籬笆圍成的另外三邊總長應恰好為24米．要圍成的菜園是如圖所示的矩形ABCD．設BC邊的長為x米，AB邊的長為y米，則y與x之間的函數關系式是【】．(A)y=－2x+24(0<x<12)(B)y=－x＋12(0<x<24)(c)y=2x－24(0<x<12)(D)y=x－12(0<x<24)【答案】B。【考點】由實際問題抽象出函數關系式（幾何問題）。【分析】由實際問題抽象出函數關系式關鍵是找出等量關系，本題等量關系為“用籬笆圍成的另外三邊總長應恰好為24米”，結合BC邊的長為x米，AB邊的長為y米，可得BC＋2AB=24，即x＋2y=24，即y=－x＋12。因為菜園的一邊是足夠長的墻，所以0<x<24。故選B。例2.（2016黑龍江牡丹江3分）已知等腰三角形周長為20，則底邊長y關于腰長x的函數圖象是【】．【答案】D?！究键c】函數的圖象，等腰三角形的性質，三角形的三邊關系，解一元一次不等式組?！痉治觥坑傻妊切沃荛L為20，則底邊長y關于腰長x的關系為y+2x＝20，即y＝20－2x。由三角形兩邊之和大于第三邊。兩邊之差小于第三邊的三邊關系，得x－x＜y＜x－x，即0＜20－2x＜2x，解得5＜x＜10。符合y＝20－2x（5＜x＜10）是選項D。故選D。例3.（2016湖南湘潭6分）已知一次函數y=kx+b（k≠0）圖象過點（0，2），且與兩坐標軸圍成的三角形面積為2，求此一次函數的解析式．【答案】解：∵一次函數y=kx+b（k≠0）圖象過點（0，2），∴b=2。令y=0，則?！吆瘮祱D象與兩坐標軸圍成的三角形面積為2，∴，即。當k＞0時，=2，解得k=1；當k＜0時，=－2，解得k=﹣1?！啻撕瘮档慕馕鍪綖椋簓=x+2或y=﹣x+2?！究键c】待定系數法求一次函數解析式。【分析】先根據一次函數y=kx+b（k≠0）圖象過點（0，2）可知b=0，再用k表示出函數圖象與x軸的交點，利用三角形的面積公式求解即可。例4.（2016山東聊城3分）如圖，在直角坐標系中，正方形的中心在原點O，且正方形的一組對邊與x軸平行，點P（3a，a）是反比例函數（k＞0）的圖象上與正方形的一個交點．若圖中陰影部分的面積等于9，則這個反比例函數的解析式為▲．【答案】。【考點】待定系數法，曲線上點的坐標與方程的關系，反比例函數圖象的對稱性，正方形的性質?！痉治觥坑煞幢壤瘮档膶ΨQ性可知陰影部分的面積和正好為小正方形面積的，設小正方形的邊長為b，圖中陰影部分的面積等于9可求出b的值，從而可得出直線AB的表達式，再根據點P（3a，a）在直線AB上可求出a的值，從而得出反比例函數的解析式：∵反比例函數的圖象關于原點對稱，∴陰影部分的面積和正好為小正方形的面積。設正方形的邊長為b，則b2=9，解得b=6。∵正方形的中心在原點O，∴直線AB的解析式為：x=3?！唿cP（3a，a）在直線AB上，∴3a=3，解得a=1。∴P（3，1）。∵點P在反比例函數（k＞0）的圖象上，∴k=3×1=3。∴此反比例函數的解析式為：。例5.（2016江蘇無錫8分）如圖，在邊長為24cm的正方形紙片ABCD上，剪去圖中陰影部分的四個全等的等腰直角三角形，再沿圖中的虛線折起，折成一個長方體形狀的包裝盒（A．B．C．D四個頂點正好重合于上底面上一點）．已知E、F在AB邊上，是被剪去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設AE=BF=x（cm）．（1）若折成的包裝盒恰好是個正方體，試求這個包裝盒的體積V；（2）某廣告商要求包裝盒的表面（不含下底面）面積S最大，試問x應取何值？【答案】解：（1）根據題意，知這個正方體的底面邊長a=x，EF=a=2x，∴x+2x+x=24，解得：x=6。則a=6，∴V=a3=（6）3=432（cm3）；（2）設包裝盒的底面邊長為acm，高為hcm，則a=x，，∴S=4ah+a2=?！?＜x＜12，∴當x=8時，S取得最大值384cm2。【考點】二次函數的應用?！痉治觥浚?）根據已知得出這個正方體的底面邊長a=x，EF=a=2x，再利用AB=24cm，求出x即可得出這個包裝盒的體積V。（2）利用已知表示出包裝盒的表面，從而利用函數最值求出即可。例6.（2016黑龍江大慶6分）將一根長為16厘米的細鐵絲剪成兩段．并把每段鐵絲圍成圓，設所得兩圓半徑分別為和.（1）求與的關系式，并寫出的取值范圍；（2）將兩圓的面積和S表示成的函數關系式，求S的最小值．【答案】解：（1）由題意，有2πr1+2πr2=16π，則r1+r2=8?！遰1＞0，r2＞0，∴0＜r1＜8?！鄏1與r2的關系式為r1+r2=8，r1的取值范圍是0＜r1＜8厘米。（2）∵r1+r2=8，∴r2=8﹣r1。又∵，∴當r1=4厘米時，S有最小值32π平方厘米?！究键c】二次函數的應用。119281【分析】（1）由圓的周長公式表示出半徑分別為r1和r2的圓的周長，再根據這兩個圓的周長之和等于16π厘米列出關系式即可。（2）先由（1）可得r2=8﹣r1，再根據圓的面積公式即可得到兩圓的面積和S表示成r1的函數關系式，然后根據函數的性質即可求出S的最小值。例7.（2016遼寧鐵嶺3分）如圖，□ABCD的AD邊長為8，面積為32，四個全等的小平行四邊形對稱中心分別在□ABCD的頂點上，它們的各邊與□ABCD的各邊分別平行，且與□ABCD相似.若小平行四邊形的一邊長為x，且0＜x≤8，陰影部分的面積的和為y，則y與x之間的函數關系的大致圖象是【】A.B.C.D.【答案】D?！究键c】動點問題的函數圖象，平行四邊形的性質，相似多邊形的性質。【分析】∵四個全等的小平行四邊形對稱中心分別在□ABCD的頂點上，∴陰影部分的面積的和等于一個小平行四邊形的面積。∵□ABCD的AD邊長為8，面積為32，小平行四邊形的一邊長為x，陰影部分的面積的和為y，且小平行四邊形與□ABCD相似，∴，即。又∵0＜x≤8，∴縱觀各選項，只有D選項圖象符合y與x之間的函數關系的大致圖象。故選D。例8.（2016上海市14分）如圖，在半徑為2的扇形AOB中，∠AOB=90°，點C是弧AB上的一個動點（不與點A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分別為D、E．（1）當BC=1時，求線段OD的長；（2）在△DOE中是否存在長度保持不變的邊？如果存在，請指出并求其長度，如果不存在，請說明理由；（3）設BD=x，△DOE的面積為y，求y關于x的函數關系式，并寫出它的定義域．【答案】解：（1）∵點O是圓心，OD⊥BC，BC=1，∴BD=BC=。又∵OB=2，∴。（2）存在，DE是不變的。如圖，連接AB，則?！逥和E是中點，∴DE=。（3）∵BD=x，∴。∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠AOB=900?！唷?+∠3=45°。過D作DF⊥OE，垂足為點F?！郉F=OF=。由△BOD∽△EDF，得，即，解得EF=x?！郞E=?！唷！究键c】垂徑定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性質，三角形中位線定理，相似三角形的判定和性質?！痉治觥浚?）由OD⊥BC，根據垂徑定理可得出BD=BC=，在Rt△BOD中利用勾股定理即可求出OD的長。（2）連接AB，由△AOB是等腰直角三角形可得出AB的長，再由D和E是中點，根據三角形中位線定理可得出DE=。（3）由BD=x，可知，由于∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠2+∠3=45°，過D作DF⊥OE，則DF=OF=，EF=x，OE=，即可求得y關于x的函數關系式?！?，點C是弧AB上的一個動點（不與點A、B重合），∴。例9.（2016江蘇無錫10分）如圖1，A．D分別在x軸和y軸上，CD∥x軸，BC∥y軸．點P從D點出發(fā)，以1cm/s的速度，沿五邊形OABCD的邊勻速運動一周．記順次連接P、O、D三點所圍成圖形的面積為Scm2，點P運動的時間為ts．已知S與t之間的函數關系如圖2中折線段OEFGHI所示．（1）求A．B兩點的坐標；（2）若直線PD將五邊形OABCD分成面積相等的兩部分，求直線PD的函數關系式．【答案】解：（1）在圖1中，連接AD，設點A的坐標為（a，0），由圖2知，當點P到達點A時，DO+OA=6，即DO=6﹣AO=6﹣a，S△AOD=4，∴DO?AO=4，即（6﹣a）a＝4?！郺2﹣6a+8=0，解得a=2或a=4。由圖2知，DO＞3，∴AO＜3?！郺=2?！郃的坐標為（2，0），D點坐標為（0，4）。在圖1中，延長CB交x軸于M，由圖2，知AB=11﹣6＝5，CB=12﹣11＝1?！郙B=4﹣1＝3?！??！郞M=2+4＝6?！郆點坐標為（6，3）。（2）顯然點P一定在AB上．設點P（x，y），連PC．PO，則S四邊形DPBC=S△DPC+S△PBC=S五邊形OABCD=（S矩形OMCD﹣S△ABM）=9，∴×6×（4﹣y）+×1×（6﹣x）=9，即x+6y=12①。同理，由S四邊形DPAO=9可得2x+y=9②。聯立①②，解得x=，y=?！郟（，）。設直線PD的函數關系式為y=kx+4，將P（，）代入，得=k+4。解得，k=﹣?！嘀本€PD的函數關系式為y=﹣x+4?！究键c】動點問題，一次函數綜合題，矩形的性質，勾股定理，待定系數法，直線上點的坐標與方程的關系?！痉治觥浚?）連接AD，設點A的坐標為（a，0），由圖2得出DO=6﹣AO和S△AOD=4，即可得出DO?AO=4，從而得出a的值，再根據圖2得出A的坐標。延長CB交x軸于M，根據D點的坐標得出AB=5，CB=1，即可由勾股定理求出AM，從而得出點B的坐標。（2）設點P（x，y），連PC．PO，得出S四邊形DPBC和S四邊形DPAO的面積，再進行整理，即可得出x與y的關系，聯立求出x、y的值，即可得出P點的坐標。再用待定系數法求出設直線PD的函數關系式。例10.（2016江蘇常州9分）已知，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，點M為邊BC的中點，點P為邊CD上的動點（點P異于C、D兩點）。連接PM，過點P作PM的垂線與射線DA相交于點E（如圖）。設CP=x，DE=y。（1）寫出y與x之間的函數關系式▲；（2）若點E與點A重合，則x的值為▲；（3）是否存在點P，使得點D關于直線PE的對稱點D′落在邊AB上？若存在，求x的值；若不存在，請說明理由?！敬鸢浮拷猓海?）y=－x2＋4x。（2）或。（3）存在。過點P作PH⊥AB于點H。則∵點D關于直線PE的對稱點D′落在邊AB上，∴PD′=PD=4－x，ED′=ED=y=－x2＋4x，EA=AD－ED=x2－4x＋2，∠PD′E=∠D=900。在Rt△D′PH中，PH=2，D′P=DP=4－x，D′H=?！摺螮D′A=1800－900－∠PD′H=900－∠PD′H=∠D′PH，∠PD′E=∠PHD′=900，∴△ED′A∽△D′PH?！?，即，即，兩邊平方并整理得，2x2－4x＋1=0。解得?！弋敃r，y=，∴此時，點E已在邊DA延長線上，不合題意，舍去（實際上是無理方程的增根）?！弋敃r，y=，∴此時，點E在邊AD上，符合題意?！喈敃r，點D關于直線PE的對稱點D′落在邊AB上?！究键c】矩形的性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理，折疊對稱的性質，解無理方程?！痉治觥浚?）∵CM=1，CP=x，DE=y，DP=4－x，且△MCP∽△PDE，∴，即?！鄖=－x2＋4x。（2）當點E與點A重合時，y=2，即2=－x2＋4x，x2－4x＋2=0。解得。（3）過點P作PH⊥AB于點H，則由點D關于直線PE的對稱點D′落在邊AB上，可得△ED′A與△D′PH相似，由對應邊成比例得得關于x的方程即可求解。注意檢驗。練習題：1.（2016黑龍江哈爾濱6分）小磊要制作一個三角形的鋼架模型，在這個三角形中，長度為x(單位：cm)的邊與這條邊上的高之和為40cm，這個三角形的面積S(單位：cm2)隨x(單位：cm)的變化而變化．（1）請直接寫出S與x之間的函數關系式(不要求寫出自變量x的取值范圍)；（2）當x是多少時，這個三角形面積S最大?最大面積是多少?2.（2016遼寧營口12分）如圖，四邊形ABCD是邊長為60的正方形硬紙片，剪掉陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使A、B、C、D四個點重合于圖中的點P，正好形成一個底面是正方形的長方體包裝盒．(1)若折疊后長方體底面正方形的面積為1250，求長方體包裝盒的高；(2)設剪掉的等腰直角三角形的直角邊長為，長方體的側面積為S，求S與的函數關系式，并求為何值時，S的值最大．3.（2016江蘇蘇州9分）如圖，正方形ABCD的邊AD與矩形EFGH的邊FG重合，將正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移動，移動開始前點A與點F重合.在移動過程中，邊AD始終與邊FG重合，連接CG，過點A作CG的平行線交線段GH于點P，連接PD.已知正方形ABCD的邊長為1cm，矩形EFGH的邊FG、GH的長分別為4cm、3cm.設正方形移動時間為x（s），線段GP的長為y（cm），其中0≤x≤2.5.⑴試求出y關于x的函數關系式，并求出y=3時相應x的值；⑵記△DGP的面積為S1，△CDG的面積為S2．試說明S1－S2是常數；⑶當線段PD所在直線與正方形ABCD的對角線AC垂直時，求線段PD的長.4.（2016江蘇蘇州8分）如圖，已知半徑為2的⊙O與直線l相切于點A，點P是直徑AB左側半圓上的動點，過點P作直線l的垂線，垂足為C，PC與⊙O交于點D，連接PA、PB，設PC的長為.⑴當時，求弦PA、PB的長度；⑵當x為何值時，的值最大？最大值是多少？5.（2016湖北鄂州12分）已知：如圖一，拋物線與x軸正半軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，直線經過A、C兩點，且AB=2.（1）求拋物線的解析式；（2）若直線DE平行于x軸并從C點開始以每秒1個單位的速度沿y軸正方向平移，且分別交y軸、線段BC于點E、D，同時動點P從點B出發(fā)，沿BO方向以每秒2個單位速度運動，（如圖2）；當點P運動到原點O時，直線DE與點P都停止運動，連DP，若點P運動時間為t秒；設，當t

為何值時，s有最小值，并求出最小值。（3）在（2）的條件下，是否存在t的值，使以P、B、D為頂點的三角形與△ABC相似；若存在，求t的值；若不存在，請說明理由。6.（2016湖北孝感12分）)如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交于點A(－1，0)、B(3，0)，與y軸交于點C(0，3)．(1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標；(2)若P為線段BD上的一個動點，過點P作PM⊥x軸于點M，求四邊形PMAC的面積的最大值和此時點P的坐標；(3)若點P是拋物線第一象限上的一個動點，過點P作PQ∥AC交x軸于點Q．當點P的坐標為時，四邊形PQAC是平行四邊形；當點P的坐標為時，四邊形PQAC是等腰梯形(直接寫出結果，不寫求解過程)．7.（2016湖南株洲8分）如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米．M點在線段CA上，從C向A運動，速度為1米/秒；同時N點在線段AB上，從A向B運動，速度為2米/秒．運動時間為t秒．（1）當t為何值時，∠AMN=∠ANM？（2）當t為何值時，△AMN的面積最大？并求出這個最大值．8.（2016湖南衡陽10分）如圖，A、B兩點的坐標分別是（8，0）、（0，6），點P由點B出發(fā)沿BA方向向點A作勻速直線運動，速度為每秒3個單位長度，點Q由A出發(fā)沿AO（O為坐標原點）方向向點O作勻速直線運動，速度為每秒2個單位長度，連接PQ，若設運動時間為t（0＜t＜）秒．解答如下問題：（1）當t為何值時，PQ∥BO？（2）設△AQP的面積為S，①求S與t之間的函數關系式，并求出S的最大值；②若我們規(guī)定：點P、Q的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），則新坐標（x2﹣x1，y2﹣y1）稱為“向量PQ”的坐標．當S取最大值時，求“向量PQ”的坐標．9.（2016遼寧阜新12分）在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與x軸交于A（－3，0），B（1，0）兩點，與y軸交于點C．（1）求這個二次函數的關系解析式；（2）點P是直線AC上方的拋物線上一動點，是否存在點P，使△ACP的面積最大？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由；考生注意：下面的（3）、（4）、（5）題為三選一的選做題，即只能選做其中一個題目，多答時只按作答的首題評分，切記?。。?）在平面直角坐標系中，是否存在點Q，使△BCQ是以BC為腰的等腰直角三角形？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，說明理由；（4）點Q是直線AC上方的拋物線上一動點，過點Q作QE垂直于x軸，垂足為E．是否存在點Q，使以點B、Q、E為頂點的三角形與△AOC相似？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，說明理由；（5）點M為拋物線上一動點，在x軸上是否存在點Q，使以A、C、M、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，說明理由．10.（2016貴州安順14分）如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的邊長OA、OC分別為12cm、6cm，點A、C分別在y軸的負半軸和x軸的正半軸上，拋物線y=ax2+bx+c經過點A、B，且18a+c=0．（1）求拋物線的解析式．（2）如果點P由點A開始沿AB邊以1cm/s的速度向終點B移動，同時點Q由點B開始沿BC邊以2cm/s的速度向終點C移動．①移動開始后第t秒時，設△PBQ的面積為S，試寫出S與t之間的函數關系式，并寫出t的取值范圍．②當S取得最大值時，在拋物線上是否存在點R，使得以P、B、Q、R為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出R點的坐標；如果不存在，請說明理由．四、應用分段分析建立函數關系式：對于自變量的不同的取值范圍，函數有著不同的對應法則，這樣的函數通常叫做分段函數。它是一個函數，而不是幾個函數。它的函數關系式的建立，就得分段分析，應用前述方法分別進行，最后歸納。典型例題：例1.（2016廣東廣州12分）某城市居民用水實行階梯收費，每戶每月用水量如果未超過20噸，按每噸1.9元收費．如果超過20噸，未超過的部分按每噸1.9元收費，超過的部分按每噸2.8元收費．設某戶每月用水量為x噸，應收水費為y元．（1）分別寫出每月用水量未超過20噸和超過20噸，y與x間的函數關系式．（2）若該城市某戶5月份水費平均為每噸2.2元，求該戶5月份用水多少噸？【答案】解：（1）當x≤20時，y=1.9x；當x＞20時，y=1.9×20+（x﹣20）×2.8=2.8x﹣18。（2）∵5月份水費平均為每噸2.2元，用水量如果未超過20噸，按每噸1.9元收費．∴用水量超過了20噸?！嘤蓎=2.8x﹣18得2.8x﹣18=2.2x，解得x=30。答：該戶5月份用水30噸?！究键c】一次函數的應用?！痉治觥浚?）未超過20噸時，水費y=1.9×相應噸數；超過20噸時，水費y=1.9×20+超過20噸的噸數×2.8。（2）該戶的水費超過了20噸，關系式為：1.9×20+超過20噸的噸數×2.8=用水噸數×2.2。例2.（2016浙江義烏10分）周末，小明騎自行車從家里出發(fā)到野外郊游．從家出發(fā)0.5小時后到達甲地，游玩一段時間后按原速前往乙地．小明離家1小時20分鐘后，媽媽駕車沿相同路線前往乙地，如圖是他們離家的路程y（km）與小明離家時間x（h）的函數圖象．已知媽媽駕車的速度是小明騎車速度的3倍．（1）求小明騎車的速度和在甲地游玩的時間；（2）小明從家出發(fā)多少小時后被媽媽追上？此時離家多遠？（3）若媽媽比小明早10分鐘到達乙地，求從家到乙地的路程．【答案】解：（1）由圖象，得：小明騎車速度：10÷0.5=20（km/h）。在甲地游玩的時間是1﹣0.5=0.5（h）。（2）媽媽駕車速度：20×3=60（km/h）如圖，設直線BC解析式為y=20x+b1，把點B（1，10）代入得b1=﹣10?！嘀本€BC解析式為y=20x﹣10①。設直線DE解析式為y=60x+b2，把點D（，0）代入得b2=﹣80?！嘀本€DE解析式為y=60x﹣80②。聯立①②，得x=1.75，y=25?！嘟稽cF（1.75，25）。答：小明出發(fā)1.75小時（105分鐘）被媽媽追上，此時離家25km。（3）設從家到乙地的路程為mkm，則點E（x1，m），點C（x2，m），分別代入y=60x﹣80，y=20x﹣10，得：?！?，∴，解得：m=30?！鄰募业揭业氐穆烦虨?0km?！究键c】一次函數的圖象和應用，直線上點的坐標與方程的關系?！痉治觥浚?）用路程除以時間即可得到速度；在甲地游玩的時間是1-0.5=0.5小時。（2）求得線段BC所在直線的解析式和DE所在直線的解析式后求得交點坐標即可求得北媽媽追上的時間。（3）設從家到乙地的路程為mkm，則點E（x1，m），點C（x2，m）分別代入兩直線方程，依媽媽比小明早10分鐘到達乙地列式求解。本題另解：設從媽媽追上小明的地點到乙地的路程為n（km），根據媽媽比小明早到10分鐘列出有關n的方程，，解之即得n值。例3.（2016湖北天門、仙桃、潛江、江漢油田10分）張勤同學的父母在外打工，家中只有年邁多病的奶奶．星期天早上，李老師從家中出發(fā)步行前往張勤家家訪．6分鐘后，張勤從家出發(fā)騎車到相距1200米的藥店給奶奶買藥，停留14分鐘后以相同的速度按原路返回，結果與李老師同時到家．張勤家、李老師家、藥店都在東西方向筆直大路上，且藥店在張勤家與李老師家之間．在此過程中設李老師出發(fā)t（0≤t≤32）分鐘后師生二人離張勤家的距離分別為S1、S2．S與t之間的函數關系如圖所示，請你解答下列問題：（1）李老師步行的速度為；（2）求S2與t之間的函數關系式，并在如圖所示的直角坐標系中畫出其函數圖象；（3）張勤出發(fā)多長時間后在途中與李老師相遇？【答案】解：（1）50米/分。（2）根據題意得：當0≤t≤6時，S2=0，當6＜t≤12時，S2=200t﹣1200，當12＜t≤26時，S2=1200，當26＜t≤32時，S2=﹣200t+6400，∴S2與t之間的函數關系式為。圖象如圖：（3）∵圖中可見，李老師從家中出發(fā)步行前往張勤家家訪經過（0，1600），（32，0），∴設S1=kx＋b，則，解得?！郤1=﹣50t+1600?！邎D中可見，張勤與李老師相遇的時間在6＜t≤12，∴由S1=S2得，200t﹣1200=﹣50t+1600，解得t=11.2?！鄰埱诔霭l(fā)11.2秒在途中與李老師相遇?！究键c】一次函數的應用，建立函數關系式，直線上點的坐標與方程的關系，待定系數法?！痉治觥浚?）根據速度=路程÷時間，再結合圖形，即可求出李老師步行的速度：1600÷32=50米/分。（2）根據題意分0≤t≤6，6＜t≤12，12＜t≤26，26＜t≤32四種情況進行討論，即可得出S2與t之間的函數關系式。（3）由S1=S2得，200t﹣1200=﹣50t+1600，然后求出t的值即可。例4.（2016湖北黃岡12分）某科技開發(fā)公司研制出一種新型產品，每件產品的成本為2400元，銷售單價定為3000元．在該產品的試銷期間，為了促銷，鼓勵商家購買該新型產品，公司決定商家一次購買這種新型產品不超過10件時，每件按3000元銷售；若一次購買該種產品超過10件時，每多購買一件，所購買的全部產品的銷售單價均降低10元，但銷售單價均不低于2600元．(1)商家一次購買這種產品多少件時，銷售單價恰好為2600元?(2)設商家一次購買這種產品x件，開發(fā)公司所獲的利潤為y元，求y(元)與x(件)之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍．(3)該公司的銷售人員發(fā)現：當商家一次購買產品的件數超過某一數量時，會出現隨著一次購買的數量的增多，公司所獲的利潤反而減少這一情況.為使商家一次購買的數量越多，公司所獲的利潤越大，公司應將最低銷售單價調整為多少元?(其它銷售條件不變)【答案】解：（1）設件數為x，依題意，得3000－10（x－10）=2600，解得x=50。答：商家一次購買這種產品50件時，銷售單價恰好為2600元。（2）當0≤x≤10時，y=（3000－2400）x=600x；當10＜x≤50時，y=[3000－10（x－10）－2400]x，即y=－10x2+700x；當x＞50時，y=（2600－2400）x=200x?！?。（3）由y=－10x2+700x可知拋物線開口向下，當時，利潤y有最大值，此時，銷售單價為3000－10（x－10）=2750元，答：公司應將最低銷售單價調整為2750元?！究键c】二次函數的應用?！痉治觥浚?）設件數為x，則銷售單價為3000-10（x-10）元，根據銷售單價恰好為2600元，列方程求解。（2）由利潤y=銷售單價×件數，及銷售單價均不低于2600元，按0≤x≤10，10＜x≤50，x＞50三種情況列出函數關系式。（3）由（2）的函數關系式，利用二次函數的性質求利潤的最大值，并求出最大值時x的值，確定銷售單價。例5.（2016四川攀枝花3分）如圖，直角梯形AOCD的邊OC在x軸上，O為坐標原點，CD垂直于x軸，D（5，4），AD=2．若動點E、F同時從點O出發(fā)，E點沿折線OA→AD→DC運動，到達C點時停止；F點沿OC運動，到達C點是停止，它們運動的速度都是每秒1個單位長度．設E運動秒x時，△EOF的面積為y（平方單位），則y關于x的函數圖象大致為【】A．B．C．D．【答案】C。【考點】動點問題的函數圖象，勾股定理，相似三角形的判定和性質，拋物線和直線的性質?！痉治觥咳鐖D，過點A作AG⊥OC于點G。∵D（5，4），AD=2，∴OC=5，CD=4，OG=3?！喔鶕垂啥ɡ?，得OA=5。∵點E、F的運動的速度都是每秒1個單位長度，∴點E運動x秒（x＜5）時，OE=OF=x?！喈旤cE在OA上運動時，點F在OC上運動，當點E在AD和DC上運動時，點F在點C停止。（1）當點E在OA上運動，點F在OC上運動時，如圖，作EH⊥OC于點H?！郋H∥AG?！唷鱁HO∽△AGO?！?，即。∴?！?。此時，y關于x的函數圖象是開口向上的拋物線。故選項A．B選項錯誤。（2）當點E在AD上運動，點F在點C停止時，△EOF的面積不變?！唷＃?）當點E在DC上運動，點F在點C停止時，如圖。EF=OA＋AD＋DC﹣x=11﹣x，OC=5。∴。此時，y關于x的函數圖象是直線。故選項D選項錯誤，選項C正確。故選C。例6.（2016四川內江3分）如圖，正△ABC的邊長為3cm,動點P從點A出發(fā)，以每秒1cm的速度，沿的方向運動，到達點C時停止，設運動時間為x（秒），,則y關于x的函數的圖像大致為【】A.B.C.D.【答案】C?！究键c】動點問題的函數圖象，正三角形的性質，銳角三角函數定義，特殊角的三角函數值，勾股定理?！痉治觥咳鐖D，過點C作CD垂直AB于點D，則∵正△ABC的邊長為3，∴∠A=∠B=∠C=60°，AC=3?！郃D=，CD=。①當0≤x≤3時，即點P在線段AB上時，AP=x，PD=（0≤x≤3）?！啵?≤x≤3）。∴該函數圖象在0≤x≤3上是開口向上的拋物線。②當3＜x≤6時，即點P在線段BC上時，PC=（6－x）（3＜x≤6）；∴y=（6－x）2=（x-6）2（3＜x≤6），∴該函數的圖象在3＜x≤6上是開口向上的拋物線。綜上所述，該函數為。符合此條件的圖象為C。故選C。例7.（2016遼寧營口3分）如圖，菱形ABCD的邊長為2，∠B=．動點P從點B出發(fā)，沿B-C-D的路線向點D運動．設△ABP的面積為(B、P兩點重合時，△ABP的面積可以看做0)，點P運動的路程為，則與之間函數關系的圖像大致為【】【答案】C?！究键c】動點問題的函數圖象，菱形的性質，銳角三角函數定義，特殊角的三角函數值?！痉治觥慨旤cP在BC上運動時，如圖，△ABP的高PE＝BPsiｎ∠B＝，∴△ABP的面積。當點P在BC上運動時，如圖，△ABP的高PF＝BCsiｎ∠B＝1,∴△ABP的面積。因此，觀察所給選項，只有C符合。故選C。例8.（2016山東煙臺3分）如圖，矩形ABCD中，P為CD中點，點Q為AB上的動點（不與A，B重合）．過Q作QM⊥PA于M，QN⊥PB于N．設AQ的長度為x，QM與QN的長度和為y．則能表示y與x之間的函數關系的圖象大致是【】A．B．C．D．【答案】D。【考點】動點問題的函數圖象。【分析】如圖，連接PQ，作PE⊥AB垂足為E，∵過Q作QM⊥PA于M，QN⊥PB于N，∴S△PAB=PE×AB，S△PAB=S△PAQ+S△PQB=×QN?PB+×PA×MQ。∵矩形ABCD中，P為CD中點，∴PA=PB?！逹M與QN的長度和為y，∴S△PAB=S△PAQ+S△PQB=×QN×PB+×PA×MQ=PB（QM+QN）=PBy?！郤△PAB=PE×AB=PBy，∴。∵PE=AD，∴PB，AB，PB都為定值?！鄖的值為定值，符合要求的圖形為D。故選D。例9.（2016廣東梅州11分）如圖，矩形OABC中，A（6，0）、C（0，2）、D（0，3），射線l過點D且與x軸平行，點P、Q分別是l和x軸正半軸上動點，滿足∠PQO=60°．（1）①點B的坐標是；②∠CAO=度；③當點Q與點A重合時，點P的坐標為；（直接寫出答案）（2）設OA的中心為N，PQ與線段AC相交于點M，是否存在點P，使△AMN為等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的橫坐標為m；若不存在，請說明理由．（3）設點P的橫坐標為x，△OPQ與矩形OABC的重疊部分的面積為S，試求S與x的函數關系式和相應的自變量x的取值范圍．【答案】解：（1）①（6，2）。②30。③（3，3）。（2）存在。m=0或m=3﹣或m=2。（3）當0≤x≤3時，如圖1，OI=x，IQ=PI?tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x；由題意可知直線l∥BC∥OA，可得，∴EF=（3+x），此時重疊部分是梯形，其面積為：當3＜x≤5時，如圖2，當5＜x≤9時，如圖3，當x＞9時，如圖4，。綜上所述，S與x的函數關系式為：。【考點】矩形的性質，梯形的性質，銳角三角函數，特殊角的三角函數值，相似三角形的判定和性質，解直角三角形。【分析】（1）①由四邊形OABC是矩形，根據矩形的性質，即可求得點B的坐標：∵四邊形OABC是矩形，∴AB=OC，OA=BC，∵A（6，0）、C（0，2），∴點B的坐標為：（6，2）。②由正切函數，即可求得∠CAO的度數：∵，∴∠CAO=30°。③由三角函數的性質，即可求得點P的坐標；如圖：當點Q與點A重合時，過點P作PE⊥OA于E，∵∠PQO=60°，D（0，3），∴PE=3?！??！郞E=OA﹣AE=6﹣3=3，∴點P的坐標為（3，3）。（2）分別從MN=AN，AM=AN與AM=MN去分析求解即可求得答案：情況①：MN=AN=3，則∠AMN=∠MAN=30°，∴∠MNO=60°?！摺螾QO=60°，即∠MQO=60°，∴點N與Q重合?！帱cP與D重合。∴此時m=0。情況②，如圖AM=AN，作MJ⊥x軸、PI⊥x軸。MJ=MQ?sin60°=AQ?sin600又，∴，解得：m=3﹣。情況③AM=NM，此時M的橫坐標是4.5，過點P作PK⊥OA于K，過點M作MG⊥OA于G，∴MG=?！唷！郖G=3﹣0.5=2.5，AG=AN=1.5?！郞K=2。∴m=2。綜上所述，點P的橫坐標為m=0或m=3﹣或m=2。（3）分別從當0≤x≤3時，當3＜x≤5時，當5＜x≤9時，當x＞9時去分析求解即可求得答案。例10.（2016福建漳州14分）如圖，在OABC中，點A在x軸上，∠AOC=60o，OC=4cm．OA=8cm．動點P從點O出發(fā)，以1cm／s的速度沿線段OA→AB運動；動點Q同時從點O出發(fā)，以acm／s的速度沿線段OC→CB運動，其中一點先到達終點B時，另一點也隨之停止運動．設運動時間為t秒．(1)填空：點C的坐標是(______，______)，對角線OB的長度是_______cm；(2)當a=1時，設△OPQ的面積為S，求S與t的函數關系式，并直接寫出當t為何值時，S的值最大?(3)當點P在OA邊上，點Q在CB邊上時，線段PQ與對角線OB交于點M.若以O、M、P為頂點的三角形與△OAB相似，求a與t的函數關系式，并直接寫出t的取值范圍．【答案】解：（1）C(2，2)，OB=4cm。（2）①當0<t≤4時，過點Q作QD⊥x軸于點D(如圖1)，則QD=t。∴S=OP·QD=t2。②當4<t≤8時，作QE⊥x軸于點