中考數(shù)學(xué)專題15：函數(shù)關(guān)系式的建立方法探討

PAGE中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料，精心整編吐血推薦,如若有用請(qǐng)打賞支持，感激不盡！【2017年中考攻略】專題15：函數(shù)關(guān)系式的建立方法探討“模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果、并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí)。”這是《課標(biāo)》關(guān)于模型思想的一段描述。因此，各地中考試卷都有“方程（組）、不等式（組）、函數(shù)建模及其應(yīng)用”類問題，專題5和6已經(jīng)對(duì)方程（組）、不等式（組）的建模及其應(yīng)用進(jìn)行了探討，本專題再對(duì)函數(shù)建模及其應(yīng)用進(jìn)行探討。結(jié)合2016年全國各地中考的實(shí)例，我們從下面五方面進(jìn)行函數(shù)關(guān)系式建立方法的探討：（1）應(yīng)用待定系數(shù)建立函數(shù)關(guān)系式；（2）應(yīng)用等量關(guān)系建立函數(shù)關(guān)系式；（3）應(yīng)用幾何關(guān)系建立函數(shù)關(guān)系式；（4）應(yīng)用分段分析建立函數(shù)關(guān)系式；（5）應(yīng)用猜想探索建立函數(shù)關(guān)系式。一、應(yīng)用待定系數(shù)建立函數(shù)關(guān)系式：待定系數(shù)法是解決求函數(shù)解析式問題的常用方法，求函數(shù)解析式是初中階段待定系數(shù)法的一個(gè)主要用途。這種方法適用于已知了函數(shù)類型（或函數(shù)圖象）的一類函數(shù)建模問題。確定直線或曲線方程就是要確定方程中x的系數(shù)與常數(shù)，我們常常先設(shè)它們?yōu)槲粗獢?shù)，根據(jù)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程的關(guān)系，將已知的條件代入方程，求出待定的系數(shù)與常數(shù)，寫出表達(dá)式。這是平面解析幾何的重要內(nèi)容，是求曲線方程的有效方法。初中階段主要有正比例函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)這幾類函數(shù)，前面三種分別可設(shè)y=kx，y=kx+b，的形式(其中k、b為待定系數(shù)，且k≠0)。而二次函數(shù)可以根據(jù)題目所給條件的不同，設(shè)成一般式y(tǒng)=ax2+bx+c(a、b、c為待定系數(shù))，頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x－h(huán))2+k(a、k、h為待定系數(shù))，交點(diǎn)式y(tǒng)=a(x－x1)(x－x2)(a、x1、x2為待定系數(shù))三類形式。根據(jù)題意(可以是語句形式，也可以是圖象形式)，確定出a、b、c、k、x1、x2等待定系數(shù)，求出函數(shù)解析式。典型例題：例1：（2016江蘇南通3分）無論a取什么實(shí)數(shù)，點(diǎn)P(a－1，2a－3)都在直線l上，Q(m，n)是直線l上的點(diǎn)，則(2m－n＋3)2的值等于▲．【答案】16?！究键c(diǎn)】待定系數(shù)法，直線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，求代數(shù)式的值?！痉治觥俊哂捎赼不論為何值此點(diǎn)均在直線l上，∴令a=0，則P1（－1，－3）；再令a=1，則P2（0，－1）。設(shè)直線l的解析式為y=kx+b（k≠0），∴，解得?！嘀本€l的解析式為：y=2x－1。∵Q（m，n）是直線l上的點(diǎn)，∴2m－1=n，即2m－n=1?！?2m－n＋3)2=（1+3）2=16。例2：（2016山東聊城7分）如圖，直線AB與x軸交于點(diǎn)A（1，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，﹣2）．（1）求直線AB的解析式；（2）若直線AB上的點(diǎn)C在第一象限，且S△BOC=2，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．【答案】解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，∵直線AB過點(diǎn)A（1，0）、點(diǎn)B（0，﹣2），∴，解得?！嘀本€AB的解析式為y=2x﹣2。（2）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，y），∵S△BOC=2，∴?2?x=2，解得x=2?！鄖=2×2﹣2=2?！帱c(diǎn)C的坐標(biāo)是（2，2）。【考點(diǎn)】待定系數(shù)法，直線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系。【分析】（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)A（1，0）、點(diǎn)B（0，﹣2）分別代入解析式即可組成方程組，從而得到AB的解析式。（2）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)三角形面積公式以及S△BOC=2求出C的橫坐標(biāo)，再代入直線即可求出y的值，從而得到其坐標(biāo)。例3：（2016湖南岳陽8分）游泳池常需進(jìn)行換水清洗，圖中的折線表示的是游泳池?fù)Q水清洗過程“排水﹣﹣清洗﹣﹣灌水”中水量y（m3）與時(shí)間t（min）之間的函數(shù)關(guān)系式．（1）根據(jù)圖中提供的信息，求整個(gè)換水清洗過程水量y（m3）與時(shí)間t（min）的函數(shù)解析式；（2）問：排水、清洗、灌水各花多少時(shí)間？【答案】解：（1）排水階段：設(shè)解析式為：y=kt+b，∵圖象經(jīng)過（0，1500），（25，1000），∴，解得：。∴排水階段解析式為：y=﹣20t+1500。清洗階段：y=0。灌水階段：設(shè)解析式為：y=at+c，∵圖象經(jīng)過（195，1000），（95，0），∴，解得：。∴灌水階段解析式為：y=10t﹣950。（2）∵排水階段解析式為：y=﹣20t+1500，∴令y=0，即0=﹣20t+1500，解得：t=75。∴排水時(shí)間為75分鐘。清洗時(shí)間為：95﹣75=20（分鐘），∵根據(jù)圖象可以得出游泳池蓄水量為1500m3∴1500=10t﹣950，解得：t=245。故灌水所用時(shí)間為：245﹣95=150（分鐘）。【考點(diǎn)】一次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法，直線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系。【分析】（1）根據(jù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法分別得出排水階段解析式，以及清洗階段：y=0和灌水階段解析式即可。（2）根據(jù)（1）中所求解析式，即可得出圖象與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出答案。例4：（2016湖南婁底3分）已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，2），則它的解析式是【】 A．B．C．D．【答案】B?！究键c(diǎn)】待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系?！痉治觥吭O(shè)反比例函數(shù)圖象設(shè)解析式為，將點(diǎn)（﹣1，2）代入得，k=﹣1×2=﹣2。則函數(shù)解析式為。故選B。例5：（2016江蘇連云港12分）如圖，拋物線y＝－x2＋bx＋c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)E在拋物線上，點(diǎn)F在x軸上，四邊形OCEF為矩形，且OF＝2，EF＝3，(1)求拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；(2)求△ABD的面積；(3)將△AOC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G，問點(diǎn)G是否在該拋物線上？請(qǐng)說明理由．【答案】解：(1)∵四邊形OCEF為矩形，OF＝2，EF＝3，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，3)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2，3)．把x＝0，y＝3；x＝2，y＝3分別代入y＝－x2＋bx＋c，得，解得?！鄴佄锞€所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝－x2＋2x＋3。(2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為D(1，4)?！唷鰽BD中AB邊的高為4。令y＝0，得－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3?！郃B＝3－(－1)＝4?！唷鰽BD的面積＝×4×4＝8。(3)如圖，△AOC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，CO落在CE所在的直線上，由（1）(2)可知OA＝1，OC=3，∵點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)G的坐標(biāo)為(3，2)?！弋?dāng)x＝3時(shí)，y＝－32＋2×3＋3＝0≠2，∴點(diǎn)G不在該拋物線上?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，矩形的性質(zhì)，曲線圖上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，解一元二次方程，二次函數(shù)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)。【分析】(1)在矩形OCEF中，已知OF、EF的長，先表示出C、E的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法確定該函數(shù)的解析式。(2)根據(jù)(1)的函數(shù)解析式求出A、B、D三點(diǎn)的坐標(biāo)，以AB為底、D點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值為高，可求出△ABD的面積。(3)根據(jù)旋轉(zhuǎn)條件求出點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)G的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)G的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中直接進(jìn)行判定即可。例6：（2016江蘇無錫2分）若拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)是A（2，1），且經(jīng)過點(diǎn)B（1，0），則拋物線的函數(shù)關(guān)系式為▲．【答案】y=﹣x2+4x﹣3?！究键c(diǎn)】待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系。【分析】∵拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)是A（2，1），∴可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣2）2+1。又∵拋物線y=a（x﹣2）2+1經(jīng)過點(diǎn)B（1，0），∴（1，0）滿足y=a（x﹣2）2+1?！鄬Ⅻc(diǎn)B（1，0）代入y=a（x﹣2）2得，0=a（1﹣2）2即a=﹣1。∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣（x﹣2）2+1，即y=﹣x2+4x﹣3。例7：（2016浙江寧波12分）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象交x軸于A（﹣1，0），B（2，0），交y軸于C（0，﹣2），過A，C畫直線．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）點(diǎn)P在x軸正半軸上，且PA=PC，求OP的長；（3）點(diǎn)M在二次函數(shù)圖象上，以M為圓心的圓與直線AC相切，切點(diǎn)為H．①若M在y軸右側(cè)，且△CHM∽△AOC（點(diǎn)C與點(diǎn)A對(duì)應(yīng)），求點(diǎn)M的坐標(biāo)；②若⊙M的半徑為，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】解：（1）∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象交x軸于A（﹣1，0），B（2，0）∴設(shè)該二次函數(shù)的解析式為：y=a（x+1）（x﹣2），將x=0，y=﹣2代入，得﹣2=a（0+1）（0﹣2），解得a=1。∴拋物線的解析式為y=（x+1）（x﹣2），即y=x2﹣x﹣2。（2）設(shè)OP=x，則PC=PA=x+1，在Rt△POC中，由勾股定理，得x2+22=（x+1）2，解得，x=，即OP=。（3）①∵△CHM∽△AOC，∴∠MCH=∠CAO。（i）如圖1，當(dāng)H在點(diǎn)C下方時(shí)，∵∠MCH=∠CAO，∴CM∥x軸，∴yM=﹣2?！鄕2﹣x﹣2=﹣2，解得x1=0（舍去），x2=1?！郙（1，﹣2）。（ii）如圖2，當(dāng)H在點(diǎn)C上方時(shí)，∵∠M′CH=∠CAO，∴PA=PC。由（2）得，M′為直線CP與拋物線的另一交點(diǎn)，設(shè)直線CM′的解析式為y=kx﹣2，把P（，0）的坐標(biāo)代入，得k﹣2=0，解得k=?！鄖=x﹣2。由x﹣2=x2﹣x﹣2，解得x1=0（舍去），x2=。此時(shí)y=?！郙′（）。②在x軸上取一點(diǎn)D，如圖3，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，使DE=，在Rt△AOC中，AC=?！摺螩OA=∠DEA=90°，∠OAC=∠EAD，∴△AED∽△AOC，∴，即，解得AD=2?！郉（1，0）或D（﹣3，0）。過點(diǎn)D作DM∥AC，交拋物線于M，如圖則直線DM的解析式為：y=﹣2x+2或y=﹣2x﹣6。當(dāng)﹣2x﹣6=x2﹣x﹣2時(shí)，即x2+x+4=0，方程無實(shí)數(shù)根，當(dāng)﹣2x+2=x2﹣x﹣2時(shí)，即x2+x﹣4=0，解得?！帱c(diǎn)M的坐標(biāo)為（）或（）。練習(xí)題：1.（2016上海市10分）某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，當(dāng)生產(chǎn)數(shù)量至少為10噸，但不超過50噸時(shí)，每噸的成本y（萬元/噸）與生產(chǎn)數(shù)量x（噸）的函數(shù)關(guān)系式如圖所示．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；（2）當(dāng)生產(chǎn)這種產(chǎn)品的總成本為280萬元時(shí)，求該產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量．（注：總成本=每噸的成本×生產(chǎn)數(shù)量）2.（2016山東菏澤7分）如圖，一次函數(shù)的圖象分別與軸、軸交于點(diǎn)A、B，以線段AB為邊在第一象限內(nèi)作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．求過B、C兩點(diǎn)直線的解析式．3.（2016甘肅蘭州4分）近視眼鏡的度數(shù)y(度)與鏡片焦距x(m)成反比例，已知400度近視眼鏡鏡片的焦距為0.25m，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為【】A．B．C．D．4.（2016廣東佛山8分）(1)任選以下三個(gè)條件中的一個(gè)，求二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c的解析式；①y隨x變化的部分?jǐn)?shù)值規(guī)律如下表：x－10123y03430②有序數(shù)對(duì)（－1，0），（1，4），（3，0）滿足y=ax2＋bx＋c；③已知函數(shù)y=ax2＋bx＋c的圖象的一部分（如圖）．(2)直接寫出二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c的三個(gè)性質(zhì)．5.（2016山東萊蕪12分）如圖，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，－1)的拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與y軸交于點(diǎn)C(0，3)，與x軸交于A、B兩點(diǎn)．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與直線BC交于點(diǎn)D，連接AC、AD，求△ACD的面積；(3)點(diǎn)E為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作y軸的平行線EF，與拋物線交于點(diǎn)F．問是否存在點(diǎn)E，使得以D、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△BCO相似？若存在，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．6.（2016山東濰坊11分）如圖，已知拋物線與坐標(biāo)軸分別交于A(－2，O)、B(2，0)、C(0，－l)三點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線y=kx與拋物線交于M、N兩點(diǎn)．分別過點(diǎn)C、D(0，－2)作平行于x軸的直線、．(1)求拋物線對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的解析式；(2)求證以O(shè)N為直徑的圓與直線相切；(3)求線段MN的長(用k表示)，并證明M、N兩點(diǎn)到直線的距離之和等于線段MN的長．二、應(yīng)用等量關(guān)系建立函數(shù)關(guān)系式：等量關(guān)系法，又可稱作方程轉(zhuǎn)化法，即根據(jù)等量關(guān)系列出含有兩個(gè)未知數(shù)的等式（二元方程），然后整理成函數(shù)形式。這種方法適用于“已知了關(guān)于變量之間的等量關(guān)系（含公式）”類函數(shù)建模題。常用的尋找等量關(guān)系的方法有：（1）從常見的數(shù)量關(guān)系中找等量關(guān)系；（2）從關(guān)鍵句中找等量關(guān)系；（3）從題中反映的（或隱蔽的）基本數(shù)量關(guān)系確定等量關(guān)系。（有關(guān)幾何問題的等量關(guān)系我們?cè)谙旅娼榻B）典型例題：例1.（2016寧夏區(qū)10分）某超市銷售一種新鮮“酸奶”，此“酸奶”以每瓶3元購進(jìn)，5元售出.這種“酸奶”的保質(zhì)期不超過一天，對(duì)當(dāng)天未售出的“酸奶”必須全部做銷毀處理.（1）該超市某一天購進(jìn)20瓶酸奶進(jìn)行銷售.若設(shè)售出酸奶的瓶數(shù)為x（瓶），銷售酸奶的利潤為y（元），寫出這一天銷售酸奶的利潤y（元）與售出的瓶數(shù)x（瓶）之間的函數(shù)關(guān)系式。為確保超市在銷售這20瓶酸奶時(shí)不虧本，當(dāng)天至少應(yīng)售出多少瓶？（2）小明在社會(huì)調(diào)查活動(dòng)中，了解到近10天當(dāng)中，該超市每天購進(jìn)酸奶20瓶的銷售情況統(tǒng)計(jì)如下：每天售出瓶數(shù)17181920頻數(shù)1225根據(jù)上表，求該超市這10天每天銷售酸奶的利潤的平均數(shù)；（3）小明根據(jù)（2）中，10天酸奶的銷售情況統(tǒng)計(jì)，計(jì)算得出在近10天當(dāng)中，其實(shí)每天購進(jìn)19瓶總獲利要比每天購進(jìn)20瓶總獲利還多.你認(rèn)為小明的說法有道理嗎？試通過計(jì)算說明.【答案】解：（1）由題意知，這一天銷售酸奶的利潤y（元）與售出的瓶數(shù)x（瓶）之間的函數(shù)關(guān)系式為y=5x－60當(dāng)5x－60≥0時(shí)，x≥12，∴當(dāng)天至少應(yīng)售出12瓶酸奶超市才不虧本。（2）在這10天當(dāng)中，利潤為25元的有1天，30元的有2天，35元的有2天，40元的有5天，∴這10天中，每天銷售酸奶的利潤的平均數(shù)為（25+30×2+35×2+40×5）÷10=35.5。（3）小明說的有道理。理由如下：∵在這10天當(dāng)中，每天購進(jìn)20瓶獲利共計(jì)355元.而每天購進(jìn)19瓶銷售酸奶的利潤y（元）與售出的瓶數(shù)x（瓶）之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=5x－57在10天當(dāng)中，利潤為28元的有1天，33元的有2天，38元的有7天，總獲利為28+33×2+38×7=360>355。∴小明說的有道理?！究键c(diǎn)】一次函數(shù)的應(yīng)用。【分析】（1）根據(jù)此“酸奶”以每瓶3元購進(jìn)，5元售出，該超市某一天購進(jìn)20瓶酸奶進(jìn)行銷售，即可得出y與x的函數(shù)關(guān)系式，再利用y大于0得出x的取值范圍。（2）根據(jù)頻數(shù)分布表得出總數(shù)，從而得出平均數(shù)即可。（3）利用每天購進(jìn)19瓶銷售酸奶的利潤y（元）與售出的瓶數(shù)x（瓶）之間的函數(shù)關(guān)系式，得出在10天當(dāng)中，利潤為28元的有1天，33元的有2天，8元的有7天，從而得出總利潤，比較即可得出答案。例2.（2016新疆區(qū)12分）庫爾勒某鄉(xiāng)A，B兩村盛產(chǎn)香梨，A村有香梨200噸，B村有香梨300噸，現(xiàn)將這些香梨運(yùn)到C，D兩個(gè)冷藏倉庫．已知C倉庫可儲(chǔ)存240噸，D倉庫可儲(chǔ)存260噸，從A村運(yùn)往C，D兩處的費(fèi)用分別為每噸40元和45元；從B村運(yùn)往C，D兩處的費(fèi)用分別為每噸25元和32元．設(shè)從A村運(yùn)往C倉庫的香梨為x噸，A，B兩村運(yùn)香梨往兩倉庫的運(yùn)輸費(fèi)用分別為yA元，yB元．（1）請(qǐng)?zhí)顚懴卤?，并求出yA，yB與x之間的函數(shù)關(guān)系式；CD總計(jì)Ax噸200噸B300噸總計(jì)240噸260噸500噸（2）當(dāng)x為何值時(shí)，A村的運(yùn)費(fèi)較少？（3）請(qǐng)問怎樣調(diào)運(yùn)，才能使兩村的運(yùn)費(fèi)之和最小？求出最小值．【答案】解：（1）填表如下：CD總計(jì)Ax噸（200﹣x）噸200噸B（240﹣x）噸（60+x）噸300噸總計(jì)240噸260噸500噸由題意得：yA=40x+45（200﹣x）=﹣5x+9000；yB=25（240﹣x）+32（60+x）=7x+7920。（2）對(duì)于yA=﹣5x+9000（0≤x≤200），∵k=﹣5＜0，∴此一次函數(shù)為減函數(shù)，∴當(dāng)x=200噸時(shí)，yA最小，其最小值為﹣5×200+9000=8000（元）。（3）設(shè)兩村的運(yùn)費(fèi)之和為W（0≤x≤200），則W=yA+yB=﹣5x+9000+7x+7920=2x+16920，∵k=2＞0，∴此一次函數(shù)為增函數(shù)，∴當(dāng)x=0時(shí)，W有最小值，W最小值為16920元?！喟慈缦路桨刚{(diào)運(yùn)，兩村的運(yùn)費(fèi)之和最小，最小值為16920元。CDA0噸200噸B40噸240噸【考點(diǎn)】一次函數(shù)的應(yīng)用?！痉治觥浚?）由A村共有香梨200噸，從A村運(yùn)往C倉庫x噸，剩下的運(yùn)往D倉庫，故運(yùn)往D倉庫為（200﹣x）噸，由A村已經(jīng)運(yùn)往C倉庫x噸，C倉庫可儲(chǔ)存240噸，故B村應(yīng)往C倉庫運(yùn)（240﹣x）噸，剩下的運(yùn)往D倉庫，剩下的為300﹣（240﹣x），化簡后即可得到B村運(yùn)往D倉庫的噸數(shù)，填表即可。由從A村運(yùn)往C，D兩處的費(fèi)用分別為每噸40元和45元；從B村運(yùn)往C，D兩處的費(fèi)用分別為每噸25元和32元，由表格中的代數(shù)式，即可分別列出yA，yB與x之間的函數(shù)關(guān)系式。（2）由第一問表示出的yA與x之間的函數(shù)關(guān)系式得到此函數(shù)為一次函數(shù)，根據(jù)x的系數(shù)為負(fù)數(shù)，得到此一次函數(shù)為減函數(shù)，且0≤x≤200，故x取最大200時(shí)，yA有最小值，即為A村的運(yùn)費(fèi)較少時(shí)x的值。（3）設(shè)兩村的運(yùn)費(fèi)之和為W，W=yA+yB，把第一問表示出的兩函數(shù)解析式代入，合并后得到W為關(guān)于x的一次函數(shù)，且x的系數(shù)大于0，可得出此一次函數(shù)為增函數(shù)，可得出x=0時(shí)，W有最小值，將x=0代入W關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式中，即可求出W的最小值。例3.（2016甘肅白銀10分）襯衫系列大都采用國家5.4標(biāo)準(zhǔn)號(hào)、型（通過抽樣分析取的平均值）．“號(hào)”指人的身高，“型”指人的凈胸圍，碼數(shù)指襯衫的領(lǐng)圍（領(lǐng)子大?。瑔挝痪鶠椋豪迕祝卤硎悄惺恳r衫的部分號(hào)、型和碼數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系：號(hào)/型…170/84170/88175/92175/96180/100…碼數(shù)…3839404142…（1）設(shè)男士襯衫的碼數(shù)為y，凈胸圍為x，試探索y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若某人的凈胸圍為108厘米，則該人應(yīng)買多大碼數(shù)的襯衫？【答案】解：（1）根據(jù)表可以得到號(hào)碼每增大1，則凈胸圍增加4cm，則y與x一定是一次函數(shù)關(guān)系，函數(shù)關(guān)系式是：x=84+4（y－38），即（2）當(dāng)x=108時(shí)，?！嗳裟橙说膬粜貒鸀?08厘米，則該人應(yīng)買44碼的襯衫?！究键c(diǎn)】一次函數(shù)的應(yīng)用?！痉治觥浚?）根據(jù)表可以得到號(hào)碼每增大1，則凈胸圍增加4cm，則y與x一定是一次函數(shù)關(guān)系，函數(shù)關(guān)系式可以求得。（2）把x=108代入（1）所求的函數(shù)解析式，即可求得碼數(shù)。例4.（2016湖北荊門3分）已知：多項(xiàng)式x2﹣kx+1是一個(gè)完全平方式，則反比例函數(shù)的解析式為【】A．B．C．或D．或【答案】C。【考點(diǎn)】完全平方式，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式?！痉治觥俊叨囗?xiàng)式x2﹣kx+1是一個(gè)完全平方式，∴k=±2。把k=±2分別代入反比例函數(shù)的解析式得：或。故選C。例6.（2016北京市7分）已知二次函數(shù)在和時(shí)的函數(shù)值相等。求二次函數(shù)的解析式；若一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)A，求m和k的值；設(shè)二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)B,C（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），將二次函數(shù)的圖象在點(diǎn)B,C間的部分（含點(diǎn)B和點(diǎn)C）向左平移個(gè)單位后得到的圖象記為C，同時(shí)將（2）中得到的直線向上平移n個(gè)單位。請(qǐng)結(jié)合圖象回答：當(dāng)平移后的直線與圖象G有公共點(diǎn)時(shí)，n的取值范圍。【答案】解：（1）∵二次函數(shù)在和時(shí)的函數(shù)值相等，∴二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為?！啵獾谩！喽魏瘮?shù)解析式為。（2）∵二次函數(shù)圖象經(jīng)過A點(diǎn)，∴，A（－3，－6）。又∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過A點(diǎn)，∴，解得。（3）由題意可知，二次函數(shù)在點(diǎn)B，C間的部分圖象的解析式為，，則向左平移后得到的圖象C的解析式為，。此時(shí)一次函數(shù)的圖象平移后的解析式為?！咂揭坪蟮闹本€與圖象C有公共點(diǎn)，∴兩個(gè)臨界的交點(diǎn)為與。∴當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即。∴【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，二次函數(shù)的性質(zhì)，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，平移的性質(zhì)。【分析】（1）由二次函數(shù)在和時(shí)的函數(shù)值相等，可知二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為，從而由對(duì)稱軸公式可求得，從而求得二次函數(shù)的解析式。（2）由二次函數(shù)圖象經(jīng)過A點(diǎn)代入可求得，從而由一次函數(shù)的圖象經(jīng)過A點(diǎn)，代入可求得。（3）根據(jù)平移的性質(zhì)，求得平移后的二次函數(shù)和一次函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)平移后的直線與圖象C有公共點(diǎn)，求得公共點(diǎn)的坐標(biāo)即可。例7.（2016浙江嘉興、舟山12分）某汽車租賃公司擁有20輛汽車．據(jù)統(tǒng)計(jì)，當(dāng)每輛車的日租金為400元時(shí)，可全部租出；當(dāng)每輛車的日租金每增加50元，未租出的車將增加1輛；公司平均每日的各項(xiàng)支出共4800元．設(shè)公司每日租出工輛車時(shí)，日收益為y元．（日收益=日租金收入一平均每日各項(xiàng)支出）（1）公司每日租出x輛車時(shí)，每輛車的日租金為元（用含x的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)每日租出多少輛時(shí)，租賃公司日收益最大？最大是多少元？（3）當(dāng)每日租出多少輛時(shí)，租賃公司的日收益不盈也不虧？【答案】解：（1）1400﹣50x。（2）根據(jù)題意得：y=x（﹣50x+1400）﹣4800=﹣50x2+1400x﹣4800=﹣50（x﹣14）2+5000。當(dāng)x=14時(shí)，在范圍內(nèi)，y有最大值5000?！喈?dāng)日租出14輛時(shí)，租賃公司日收益最大，最大值為5000元。（3）要使租賃公司日收益不盈也不虧，即：y=0，即：50（x﹣14）2+5000=0，解得x1=24，xz=4，∵x=24不合題意，舍去?！喈?dāng)日租出4輛時(shí)，租賃公司日收益不盈也不虧。【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值，解一元二次方程。【分析】（1）∵某汽車租賃公司擁有20輛汽車．據(jù)統(tǒng)計(jì)，當(dāng)每輛車的日租金為400元時(shí)，可全部租出，當(dāng)每輛車的日租金每增加50元，未租出的車將增加1輛，∴當(dāng)全部未租出時(shí)，每輛租金為：400+20×50=1400元，∴公司每日租出x輛車時(shí)，每輛車的日租金為：1400﹣50x。（2）根據(jù)已知得到的二次函數(shù)關(guān)系應(yīng)用二次函數(shù)的最值求得日收益的最大值即可。（3）要使租賃公司日收益不盈也不虧，即：y=50（x-14）2+5000=0，求出x即可。例8.（2016江蘇常州7分）某商場(chǎng)購進(jìn)一批L型服裝（數(shù)量足夠多），進(jìn)價(jià)為40元/件，以60元/件銷售，每天銷售20件。根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，若每件每降1元，則每天銷售數(shù)量比原來多3件?，F(xiàn)商場(chǎng)決定對(duì)L型服裝開展降價(jià)促銷活動(dòng)，每件降價(jià)x元（x為正整數(shù)）。在促銷期間，商場(chǎng)要想每天獲得最大銷售利潤，每件降價(jià)多少元？每天最大銷售毛利潤為多少？（注：每件服裝銷售毛利潤指每件服裝的銷售價(jià)與進(jìn)貨價(jià)的差）【答案】解：根據(jù)題意，商場(chǎng)每天的銷售毛利潤Z=（60－40－x）（20＋3x）=－3x2＋40x+400∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)Z取得最大值?！選為正整數(shù)，且，∴當(dāng)x=7時(shí)，商場(chǎng)每天的銷售毛利潤最大，最大銷售毛利潤為－3·72＋40·7+400=533。答：商場(chǎng)要想每天獲得最大銷售利潤，每件降價(jià)7元，每天最大銷售毛利潤為533元?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值。【分析】求出二次函數(shù)的最值，找出x最接近最值點(diǎn)的整數(shù)值即可。例9.（2016江蘇鹽城12分）知識(shí)遷移：當(dāng)且時(shí)，因?yàn)椤?所以≥,從而≥(當(dāng)時(shí)取等號(hào)).記函數(shù),由上述結(jié)論可知：當(dāng)時(shí),該函數(shù)有最小值為.直接應(yīng)用：已知函數(shù)與函數(shù),則當(dāng)_________時(shí),取得最小值為_________.變形應(yīng)用：已知函數(shù)與函數(shù),求的最小值,并指出取得該最小值時(shí)相應(yīng)的的值.實(shí)際應(yīng)用：已知某汽車的一次運(yùn)輸成本包含以下三個(gè)部分：一是固定費(fèi)用,共元；二是燃油費(fèi),每千米為元；三是折舊費(fèi),它與路程的平方成正比,比例系數(shù)為.設(shè)該汽車一次運(yùn)輸?shù)穆烦虨榍?求當(dāng)為多少時(shí),該汽車平均每千米的運(yùn)輸成本最低？最低是多少元？【答案】解：直接應(yīng)用：1；2。變形應(yīng)用：∵，∴有最小值為。當(dāng)，即時(shí)取得該最小值。實(shí)際應(yīng)用：設(shè)該汽車平均每千米的運(yùn)輸成本為元，則，∴當(dāng)(千米)時(shí),該汽車平均每千米的運(yùn)輸成本最低，最低成本為元。例10.（2016湖北鄂州10分）某私營服裝廠根據(jù)2011年市場(chǎng)分析，決定2016年調(diào)整服裝制作方案，準(zhǔn)備每周（按120工時(shí)計(jì)算）制作西服、休閑服、襯衣共360件，且襯衣至少60件。已知每件服裝的收入和所需工時(shí)如下表：服裝名稱西服休閑服襯衣工時(shí)/件收入（百元）/件321設(shè)每周制作西服x件，休閑服y件，襯衣z件。請(qǐng)你分別從件數(shù)和工時(shí)數(shù)兩個(gè)方面用含有x,y的代數(shù)式表示襯衣的件數(shù)z。求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式。問每周制作西服、休閑服、襯衣各多少件時(shí)，才能使總收入最高？最高總收入是多少？【答案】解：（1）從件數(shù)方面：z=360－x－y，從工時(shí)數(shù)方面：由x+y+z=120整理得：z=480－2x－y。（2）由（1）得360－x－y=480－2x－y，整理得：y=360－3x。（3）由題意得總收入s=3x＋2y＋z=3x＋2（360－3x）＋2x=－x＋720由題意得，解得30≤x≤120。由一次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)x=30的時(shí)候，s最大，即當(dāng)每周生產(chǎn)西服30件，休閑服270件，襯衣60件時(shí)，總收入最高，最高總收入是690百元?！究键c(diǎn)】一次函數(shù)和一元一次不等式組的應(yīng)用?！痉治觥浚?）根據(jù)題目中的已知條件分別從件數(shù)和工時(shí)數(shù)兩個(gè)方面用含x，y的關(guān)系式表示z。（2）由（1）整理得：y=360－3x。（3）由題意得s=3x+2y+z，化為一個(gè)自變量，得到關(guān)于x的一次函數(shù)。由題意得，解得30≤x≤120，從而根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)作答。練習(xí)題：1.（2016青海省8分）夏都花卉基地出售兩種花卉，其中馬蹄蓮每株3.5元，康乃馨每株5元．如果同一客戶所購的馬蹄蓮數(shù)量多于1000株，那么所有的馬蹄蓮每株還可優(yōu)惠0.5元．現(xiàn)某鮮花店向夏都花卉基地采購馬蹄蓮800～1200株、康乃馨若干株，本次采購共用了7000元．然后再以馬蹄蓮每株4.5元、康乃馨每株7元的價(jià)格賣出，問：該鮮花店應(yīng)如何采購這兩種鮮花才能使獲得的利潤最大？（注：800～1200株表示采購株數(shù)大于或等于800株，且小于或等于1200株；利潤=銷售所得金額﹣進(jìn)貨所需金額）2.（2016四川巴中9分）某商品的進(jìn)價(jià)為每件50元，售價(jià)為每件60元，每個(gè)月可賣出200件。如果每件商品的售價(jià)上漲1元，則每個(gè)月少賣10件（每件售價(jià)不能高于72元）。設(shè)每件商品的售價(jià)上漲x元（x為整數(shù)），每個(gè)月的銷售利潤為y元，（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出x的取值范圍；（2）每件商品的售價(jià)定為多少元時(shí)，每個(gè)月可獲得最大利潤？最大月利潤是多少元？3.（2016遼寧錦州10分）某商店經(jīng)營兒童益智玩具，已知成批購進(jìn)時(shí)的單價(jià)是20元.調(diào)查發(fā)現(xiàn)：銷售單價(jià)是30元時(shí)，月銷售量是230件，而銷售單價(jià)每上漲1元，月銷售量就減少10件，但每件玩具售價(jià)不能高于40元.設(shè)每件玩具的銷售單價(jià)上漲了x元時(shí)（x為正整數(shù)），月銷售利潤為y元.（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出自變量x的取值范圍.（2）每件玩具的售價(jià)定為多少元時(shí)，月銷售利潤恰為2520元？（3）每件玩具的售價(jià)定為多少元時(shí)可使月銷售利潤最大？最大的月利潤是多少？4.（2016福建漳州10分）某校為實(shí)施國家“營養(yǎng)早餐”工程，食堂用甲、乙兩種原料配制成某種營養(yǎng)食品，已知這兩種原料的維生素C含量及購買這兩種原料的價(jià)格如下表：現(xiàn)要配制這種營養(yǎng)食品20千克，要求每千克至少含有480單位的維生素C.設(shè)購買甲種原料x千克．(1)至少需要購買甲種原料多少千克?(2)設(shè)食堂用于購買這兩種原料的總費(fèi)用為y元，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．并說明購買甲種原料多少千克時(shí)，總費(fèi)用最少?5.（2016湖北十堰10分）某工廠計(jì)劃生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品共50件，需購買甲、乙兩種材料．生產(chǎn)一件A產(chǎn)品需甲種材料30千克、乙種材料10千克；生產(chǎn)一件B產(chǎn)品需甲、乙兩種材料各20千克．經(jīng)測(cè)算，購買甲、乙兩種材料各1千克共需資金40元，購買甲種材料2千克和乙種材料3千克共需資金105元．（1）甲、乙兩種材料每千克分別是多少元？（2）現(xiàn)工廠用于購買甲、乙兩種材料的資金不超過38000元，且生產(chǎn)B產(chǎn)品不少于28件，問符合條件的生產(chǎn)方案有哪幾種？（3）在（2）的條件下，若生產(chǎn)一件A產(chǎn)品需加工費(fèi)200元，生產(chǎn)一件B產(chǎn)品需加工費(fèi)300元，應(yīng)選擇哪種生產(chǎn)方案，使生產(chǎn)這50件產(chǎn)品的成本最低？（成本=材料費(fèi)+加工費(fèi)）6.（2016湖北恩施8分）小丁每天從某報(bào)社以每份0.5元買進(jìn)報(bào)紙200分，然后以每份1元賣給讀者，報(bào)紙賣不完，當(dāng)天可退回報(bào)社，但報(bào)社只按每份0.2元退給小丁，如果小丁平均每天賣出報(bào)紙x份，純收入為y元．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式（要求寫出自變量x的取值范圍）；（2）如果每月以30天計(jì)算，小丁每天至少要買多少份報(bào)紙才能保證每月收入不低于2000元？7.（2016湖南益陽8分）為響應(yīng)市政府“創(chuàng)建國家森林城市”的號(hào)召，某小區(qū)計(jì)劃購進(jìn)A、B兩種樹苗共17棵，已知A種樹苗每棵80元，B種樹苗每棵60元．（1）若購進(jìn)A、B兩種樹苗剛好用去1220元，問購進(jìn)A、B兩種樹苗各多少棵？（2）若購買B種樹苗的數(shù)量少于A種樹苗的數(shù)量，請(qǐng)你給出一種費(fèi)用最省的方案，并求出該方案所需費(fèi)用．8.（2016湖南常德7分）某工廠生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品共50件，其生產(chǎn)成本與利潤如下表：A種產(chǎn)品B種產(chǎn)品成本（萬元／件）0.60.9利潤（萬元／件）0.20.4若該工廠計(jì)劃投入資金不超過40萬元，且希望獲利超過16萬元，問工廠有哪幾種生產(chǎn)方案？哪種生產(chǎn)方案獲利潤最大？最大利潤是多少？9.（2016湖南郴州8分）某校為開展好大課間活動(dòng)，欲購買單價(jià)為20元的排球和單價(jià)為80元的籃球共100個(gè)．（1）設(shè)購買排球數(shù)為x（個(gè)），購買兩種球的總費(fèi)用為y（元），請(qǐng)你寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（2）如果購買兩種球的總費(fèi)用不超過6620元，并且籃球數(shù)不少于排球數(shù)的3倍，那么有哪幾種購買方案？（3）從節(jié)約開支的角度來看，你認(rèn)為采用哪種方案更合算？10.（2016四川內(nèi)江9分）某市為創(chuàng)建省衛(wèi)生城市，有關(guān)部門決定利用現(xiàn)有的4200盆甲種花卉和3090盆乙種花卉，搭配A、B兩種園藝造型共60個(gè)，擺放于入城大道的兩側(cè)，搭配每個(gè)造型所需花卉數(shù)量的情況下表所示，結(jié)合上述信息，解答下列問題：（1）符合題意的搭配方案有幾種？（2）如果搭配一個(gè)A種造型的成本為1000元，搭配一個(gè)B種造型的成本為1500元，試說明選用那種方案成本最低？最低成本為多少元？造型花卉甲乙A8040B5070三、應(yīng)用幾何關(guān)系建立函數(shù)關(guān)系式：即在幾何問題中，應(yīng)用幾何中的數(shù)量等量關(guān)系建立函數(shù)關(guān)系式。常用的數(shù)量等量關(guān)系有面積公式，勾股定理，比例線段（相似三角形的相似比），銳角三角函數(shù)，有關(guān)圓的公式等。典型例題：例1.（2016黑龍江哈爾濱3分）李大爺要圍成一個(gè)矩形菜園，菜園的一邊利用足夠長的墻，用籬笆圍成的另外三邊總長應(yīng)恰好為24米．要圍成的菜園是如圖所示的矩形ABCD．設(shè)BC邊的長為x米，AB邊的長為y米，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是【】．(A)y=－2x+24(0<x<12)(B)y=－x＋12(0<x<24)(c)y=2x－24(0<x<12)(D)y=x－12(0<x<24)【答案】B。【考點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出函數(shù)關(guān)系式（幾何問題）。【分析】由實(shí)際問題抽象出函數(shù)關(guān)系式關(guān)鍵是找出等量關(guān)系，本題等量關(guān)系為“用籬笆圍成的另外三邊總長應(yīng)恰好為24米”，結(jié)合BC邊的長為x米，AB邊的長為y米，可得BC＋2AB=24，即x＋2y=24，即y=－x＋12。因?yàn)椴藞@的一邊是足夠長的墻，所以0<x<24。故選B。例2.（2016黑龍江牡丹江3分）已知等腰三角形周長為20，則底邊長y關(guān)于腰長x的函數(shù)圖象是【】．【答案】D?！究键c(diǎn)】函數(shù)的圖象，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，解一元一次不等式組?！痉治觥坑傻妊切沃荛L為20，則底邊長y關(guān)于腰長x的關(guān)系為y+2x＝20，即y＝20－2x。由三角形兩邊之和大于第三邊。兩邊之差小于第三邊的三邊關(guān)系，得x－x＜y＜x－x，即0＜20－2x＜2x，解得5＜x＜10。符合y＝20－2x（5＜x＜10）是選項(xiàng)D。故選D。例3.（2016湖南湘潭6分）已知一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）圖象過點(diǎn)（0，2），且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為2，求此一次函數(shù)的解析式．【答案】解：∵一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）圖象過點(diǎn)（0，2），∴b=2。令y=0，則?！吆瘮?shù)圖象與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為2，∴，即。當(dāng)k＞0時(shí)，=2，解得k=1；當(dāng)k＜0時(shí)，=－2，解得k=﹣1。∴此函數(shù)的解析式為：y=x+2或y=﹣x+2。【考點(diǎn)】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式?！痉治觥肯雀鶕?jù)一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）圖象過點(diǎn)（0，2）可知b=0，再用k表示出函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，利用三角形的面積公式求解即可。例4.（2016山東聊城3分）如圖，在直角坐標(biāo)系中，正方形的中心在原點(diǎn)O，且正方形的一組對(duì)邊與x軸平行，點(diǎn)P（3a，a）是反比例函數(shù)（k＞0）的圖象上與正方形的一個(gè)交點(diǎn)．若圖中陰影部分的面積等于9，則這個(gè)反比例函數(shù)的解析式為▲．【答案】。【考點(diǎn)】待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱性，正方形的性質(zhì)。【分析】由反比例函數(shù)的對(duì)稱性可知陰影部分的面積和正好為小正方形面積的，設(shè)小正方形的邊長為b，圖中陰影部分的面積等于9可求出b的值，從而可得出直線AB的表達(dá)式，再根據(jù)點(diǎn)P（3a，a）在直線AB上可求出a的值，從而得出反比例函數(shù)的解析式：∵反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴陰影部分的面積和正好為小正方形的面積。設(shè)正方形的邊長為b，則b2=9，解得b=6?！哒叫蔚闹行脑谠c(diǎn)O，∴直線AB的解析式為：x=3?！唿c(diǎn)P（3a，a）在直線AB上，∴3a=3，解得a=1?！郟（3，1）?！唿c(diǎn)P在反比例函數(shù)（k＞0）的圖象上，∴k=3×1=3。∴此反比例函數(shù)的解析式為：。例5.（2016江蘇無錫8分）如圖，在邊長為24cm的正方形紙片ABCD上，剪去圖中陰影部分的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿圖中的虛線折起，折成一個(gè)長方體形狀的包裝盒（A．B．C．D四個(gè)頂點(diǎn)正好重合于上底面上一點(diǎn)）．已知E、F在AB邊上，是被剪去的一個(gè)等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)AE=BF=x（cm）．（1）若折成的包裝盒恰好是個(gè)正方體，試求這個(gè)包裝盒的體積V；（2）某廣告商要求包裝盒的表面（不含下底面）面積S最大，試問x應(yīng)取何值？【答案】解：（1）根據(jù)題意，知這個(gè)正方體的底面邊長a=x，EF=a=2x，∴x+2x+x=24，解得：x=6。則a=6，∴V=a3=（6）3=432（cm3）；（2）設(shè)包裝盒的底面邊長為acm，高為hcm，則a=x，，∴S=4ah+a2=。∵0＜x＜12，∴當(dāng)x=8時(shí)，S取得最大值384cm2。【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用。【分析】（1）根據(jù)已知得出這個(gè)正方體的底面邊長a=x，EF=a=2x，再利用AB=24cm，求出x即可得出這個(gè)包裝盒的體積V。（2）利用已知表示出包裝盒的表面，從而利用函數(shù)最值求出即可。例6.（2016黑龍江大慶6分）將一根長為16厘米的細(xì)鐵絲剪成兩段．并把每段鐵絲圍成圓，設(shè)所得兩圓半徑分別為和.（1）求與的關(guān)系式，并寫出的取值范圍；（2）將兩圓的面積和S表示成的函數(shù)關(guān)系式，求S的最小值．【答案】解：（1）由題意，有2πr1+2πr2=16π，則r1+r2=8?！遰1＞0，r2＞0，∴0＜r1＜8?！鄏1與r2的關(guān)系式為r1+r2=8，r1的取值范圍是0＜r1＜8厘米。（2）∵r1+r2=8，∴r2=8﹣r1。又∵，∴當(dāng)r1=4厘米時(shí)，S有最小值32π平方厘米?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用。119281【分析】（1）由圓的周長公式表示出半徑分別為r1和r2的圓的周長，再根據(jù)這兩個(gè)圓的周長之和等于16π厘米列出關(guān)系式即可。（2）先由（1）可得r2=8﹣r1，再根據(jù)圓的面積公式即可得到兩圓的面積和S表示成r1的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出S的最小值。例7.（2016遼寧鐵嶺3分）如圖，□ABCD的AD邊長為8，面積為32，四個(gè)全等的小平行四邊形對(duì)稱中心分別在□ABCD的頂點(diǎn)上，它們的各邊與□ABCD的各邊分別平行，且與□ABCD相似.若小平行四邊形的一邊長為x，且0＜x≤8，陰影部分的面積的和為y，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系的大致圖象是【】A.B.C.D.【答案】D?！究键c(diǎn)】動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，平行四邊形的性質(zhì)，相似多邊形的性質(zhì)?！痉治觥俊咚膫€(gè)全等的小平行四邊形對(duì)稱中心分別在□ABCD的頂點(diǎn)上，∴陰影部分的面積的和等于一個(gè)小平行四邊形的面積。∵□ABCD的AD邊長為8，面積為32，小平行四邊形的一邊長為x，陰影部分的面積的和為y，且小平行四邊形與□ABCD相似，∴，即。又∵0＜x≤8，∴縱觀各選項(xiàng)，只有D選項(xiàng)圖象符合y與x之間的函數(shù)關(guān)系的大致圖象。故選D。例8.（2016上海市14分）如圖，在半徑為2的扇形AOB中，∠AOB=90°，點(diǎn)C是弧AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分別為D、E．（1）當(dāng)BC=1時(shí)，求線段OD的長；（2）在△DOE中是否存在長度保持不變的邊？如果存在，請(qǐng)指出并求其長度，如果不存在，請(qǐng)說明理由；（3）設(shè)BD=x，△DOE的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域．【答案】解：（1）∵點(diǎn)O是圓心，OD⊥BC，BC=1，∴BD=BC=。又∵OB=2，∴。（2）存在，DE是不變的。如圖，連接AB，則?！逥和E是中點(diǎn)，∴DE=。（3）∵BD=x，∴。∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠AOB=900?！唷?+∠3=45°。過D作DF⊥OE，垂足為點(diǎn)F。∴DF=OF=。由△BOD∽△EDF，得，即，解得EF=x?！郞E=。∴?！究键c(diǎn)】垂徑定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，相似三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥浚?）由OD⊥BC，根據(jù)垂徑定理可得出BD=BC=，在Rt△BOD中利用勾股定理即可求出OD的長。（2）連接AB，由△AOB是等腰直角三角形可得出AB的長，再由D和E是中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線定理可得出DE=。（3）由BD=x，可知，由于∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠2+∠3=45°，過D作DF⊥OE，則DF=OF=，EF=x，OE=，即可求得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式。∵，點(diǎn)C是弧AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），∴。例9.（2016江蘇無錫10分）如圖1，A．D分別在x軸和y軸上，CD∥x軸，BC∥y軸．點(diǎn)P從D點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s的速度，沿五邊形OABCD的邊勻速運(yùn)動(dòng)一周．記順次連接P、O、D三點(diǎn)所圍成圖形的面積為Scm2，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts．已知S與t之間的函數(shù)關(guān)系如圖2中折線段OEFGHI所示．（1）求A．B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若直線PD將五邊形OABCD分成面積相等的兩部分，求直線PD的函數(shù)關(guān)系式．【答案】解：（1）在圖1中，連接AD，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，0），由圖2知，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，DO+OA=6，即DO=6﹣AO=6﹣a，S△AOD=4，∴DO?AO=4，即（6﹣a）a＝4?！郺2﹣6a+8=0，解得a=2或a=4。由圖2知，DO＞3，∴AO＜3。∴a=2?！郃的坐標(biāo)為（2，0），D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4）。在圖1中，延長CB交x軸于M，由圖2，知AB=11﹣6＝5，CB=12﹣11＝1?！郙B=4﹣1＝3。∴。∴OM=2+4＝6?！郆點(diǎn)坐標(biāo)為（6，3）。（2）顯然點(diǎn)P一定在AB上．設(shè)點(diǎn)P（x，y），連PC．PO，則S四邊形DPBC=S△DPC+S△PBC=S五邊形OABCD=（S矩形OMCD﹣S△ABM）=9，∴×6×（4﹣y）+×1×（6﹣x）=9，即x+6y=12①。同理，由S四邊形DPAO=9可得2x+y=9②。聯(lián)立①②，解得x=，y=。∴P（，）。設(shè)直線PD的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+4，將P（，）代入，得=k+4。解得，k=﹣?！嘀本€PD的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣x+4?！究键c(diǎn)】動(dòng)點(diǎn)問題，一次函數(shù)綜合題，矩形的性質(zhì)，勾股定理，待定系數(shù)法，直線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系。【分析】（1）連接AD，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，0），由圖2得出DO=6﹣AO和S△AOD=4，即可得出DO?AO=4，從而得出a的值，再根據(jù)圖2得出A的坐標(biāo)。延長CB交x軸于M，根據(jù)D點(diǎn)的坐標(biāo)得出AB=5，CB=1，即可由勾股定理求出AM，從而得出點(diǎn)B的坐標(biāo)。（2）設(shè)點(diǎn)P（x，y），連PC．PO，得出S四邊形DPBC和S四邊形DPAO的面積，再進(jìn)行整理，即可得出x與y的關(guān)系，聯(lián)立求出x、y的值，即可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)。再用待定系數(shù)法求出設(shè)直線PD的函數(shù)關(guān)系式。例10.（2016江蘇常州9分）已知，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P異于C、D兩點(diǎn)）。連接PM，過點(diǎn)P作PM的垂線與射線DA相交于點(diǎn)E（如圖）。設(shè)CP=x，DE=y。（1）寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式▲；（2）若點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，則x的值為▲；（3）是否存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)D關(guān)于直線PE的對(duì)稱點(diǎn)D′落在邊AB上？若存在，求x的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。【答案】解：（1）y=－x2＋4x。（2）或。（3）存在。過點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H。則∵點(diǎn)D關(guān)于直線PE的對(duì)稱點(diǎn)D′落在邊AB上，∴PD′=PD=4－x，ED′=ED=y=－x2＋4x，EA=AD－ED=x2－4x＋2，∠PD′E=∠D=900。在Rt△D′PH中，PH=2，D′P=DP=4－x，D′H=?！摺螮D′A=1800－900－∠PD′H=900－∠PD′H=∠D′PH，∠PD′E=∠PHD′=900，∴△ED′A∽△D′PH?！啵?，即，兩邊平方并整理得，2x2－4x＋1=0。解得。∵當(dāng)時(shí)，y=，∴此時(shí)，點(diǎn)E已在邊DA延長線上，不合題意，舍去（實(shí)際上是無理方程的增根）?！弋?dāng)時(shí)，y=，∴此時(shí)，點(diǎn)E在邊AD上，符合題意。∴當(dāng)時(shí)，點(diǎn)D關(guān)于直線PE的對(duì)稱點(diǎn)D′落在邊AB上。【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，折疊對(duì)稱的性質(zhì)，解無理方程?！痉治觥浚?）∵CM=1，CP=x，DE=y，DP=4－x，且△MCP∽△PDE，∴，即?！鄖=－x2＋4x。（2）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，y=2，即2=－x2＋4x，x2－4x＋2=0。解得。（3）過點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H，則由點(diǎn)D關(guān)于直線PE的對(duì)稱點(diǎn)D′落在邊AB上，可得△ED′A與△D′PH相似，由對(duì)應(yīng)邊成比例得得關(guān)于x的方程即可求解。注意檢驗(yàn)。練習(xí)題：1.（2016黑龍江哈爾濱6分）小磊要制作一個(gè)三角形的鋼架模型，在這個(gè)三角形中，長度為x(單位：cm)的邊與這條邊上的高之和為40cm，這個(gè)三角形的面積S(單位：cm2)隨x(單位：cm)的變化而變化．（1）請(qǐng)直接寫出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量x的取值范圍)；（2）當(dāng)x是多少時(shí)，這個(gè)三角形面積S最大?最大面積是多少?2.（2016遼寧營口12分）如圖，四邊形ABCD是邊長為60的正方形硬紙片，剪掉陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)底面是正方形的長方體包裝盒．(1)若折疊后長方體底面正方形的面積為1250，求長方體包裝盒的高；(2)設(shè)剪掉的等腰直角三角形的直角邊長為，長方體的側(cè)面積為S，求S與的函數(shù)關(guān)系式，并求為何值時(shí)，S的值最大．3.（2016江蘇蘇州9分）如圖，正方形ABCD的邊AD與矩形EFGH的邊FG重合，將正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移動(dòng)，移動(dòng)開始前點(diǎn)A與點(diǎn)F重合.在移動(dòng)過程中，邊AD始終與邊FG重合，連接CG，過點(diǎn)A作CG的平行線交線段GH于點(diǎn)P，連接PD.已知正方形ABCD的邊長為1cm，矩形EFGH的邊FG、GH的長分別為4cm、3cm.設(shè)正方形移動(dòng)時(shí)間為x（s），線段GP的長為y（cm），其中0≤x≤2.5.⑴試求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出y=3時(shí)相應(yīng)x的值；⑵記△DGP的面積為S1，△CDG的面積為S2．試說明S1－S2是常數(shù)；⑶當(dāng)線段PD所在直線與正方形ABCD的對(duì)角線AC垂直時(shí)，求線段PD的長.4.（2016江蘇蘇州8分）如圖，已知半徑為2的⊙O與直線l相切于點(diǎn)A，點(diǎn)P是直徑AB左側(cè)半圓上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為C，PC與⊙O交于點(diǎn)D，連接PA、PB，設(shè)PC的長為.⑴當(dāng)時(shí)，求弦PA、PB的長度；⑵當(dāng)x為何值時(shí)，的值最大？最大值是多少？5.（2016湖北鄂州12分）已知：如圖一，拋物線與x軸正半軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，且AB=2.（1）求拋物線的解析式；（2）若直線DE平行于x軸并從C點(diǎn)開始以每秒1個(gè)單位的速度沿y軸正方向平移，且分別交y軸、線段BC于點(diǎn)E、D，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BO方向以每秒2個(gè)單位速度運(yùn)動(dòng)，（如圖2）；當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)O時(shí)，直線DE與點(diǎn)P都停止運(yùn)動(dòng)，連DP，若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒；設(shè)，當(dāng)t

為何值時(shí)，s有最小值，并求出最小值。（3）在（2）的條件下，是否存在t的值，使以P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似；若存在，求t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。6.（2016湖北孝感12分）)如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(－1，0)、B(3，0)，與y軸交于點(diǎn)C(0，3)．(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)若P為線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，求四邊形PMAC的面積的最大值和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)P是拋物線第一象限上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ∥AC交x軸于點(diǎn)Q．當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為時(shí)，四邊形PQAC是平行四邊形；當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為時(shí)，四邊形PQAC是等腰梯形(直接寫出結(jié)果，不寫求解過程)．7.（2016湖南株洲8分）如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米．M點(diǎn)在線段CA上，從C向A運(yùn)動(dòng)，速度為1米/秒；同時(shí)N點(diǎn)在線段AB上，從A向B運(yùn)動(dòng)，速度為2米/秒．運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)t為何值時(shí)，∠AMN=∠ANM？（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△AMN的面積最大？并求出這個(gè)最大值．8.（2016湖南衡陽10分）如圖，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（8，0）、（0，6），點(diǎn)P由點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A作勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度為每秒3個(gè)單位長度，點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AO（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）方向向點(diǎn)O作勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位長度，連接PQ，若設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（0＜t＜）秒．解答如下問題：（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥BO？（2）設(shè)△AQP的面積為S，①求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；②若我們規(guī)定：點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），則新坐標(biāo)（x2﹣x1，y2﹣y1）稱為“向量PQ”的坐標(biāo)．當(dāng)S取最大值時(shí)，求“向量PQ”的坐標(biāo)．9.（2016遼寧阜新12分）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A（－3，0），B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系解析式；（2）點(diǎn)P是直線AC上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使△ACP的面積最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；考生注意：下面的（3）、（4）、（5）題為三選一的選做題，即只能選做其中一個(gè)題目，多答時(shí)只按作答的首題評(píng)分，切記啊?。?）在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在點(diǎn)Q，使△BCQ是以BC為腰的等腰直角三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；（4）點(diǎn)Q是直線AC上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q作QE垂直于x軸，垂足為E．是否存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)B、Q、E為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；（5）點(diǎn)M為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使以A、C、M、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．10.（2016貴州安順14分）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的邊長OA、OC分別為12cm、6cm，點(diǎn)A、C分別在y軸的負(fù)半軸和x軸的正半軸上，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、B，且18a+c=0．（1）求拋物線的解析式．（2）如果點(diǎn)P由點(diǎn)A開始沿AB邊以1cm/s的速度向終點(diǎn)B移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q由點(diǎn)B開始沿BC邊以2cm/s的速度向終點(diǎn)C移動(dòng)．①移動(dòng)開始后第t秒時(shí)，設(shè)△PBQ的面積為S，試寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍．②當(dāng)S取得最大值時(shí)，在拋物線上是否存在點(diǎn)R，使得以P、B、Q、R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出R點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．四、應(yīng)用分段分析建立函數(shù)關(guān)系式：對(duì)于自變量的不同的取值范圍，函數(shù)有著不同的對(duì)應(yīng)法則，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)。它是一個(gè)函數(shù)，而不是幾個(gè)函數(shù)。它的函數(shù)關(guān)系式的建立，就得分段分析，應(yīng)用前述方法分別進(jìn)行，最后歸納。典型例題：例1.（2016廣東廣州12分）某城市居民用水實(shí)行階梯收費(fèi)，每戶每月用水量如果未超過20噸，按每噸1.9元收費(fèi)．如果超過20噸，未超過的部分按每噸1.9元收費(fèi)，超過的部分按每噸2.8元收費(fèi)．設(shè)某戶每月用水量為x噸，應(yīng)收水費(fèi)為y元．（1）分別寫出每月用水量未超過20噸和超過20噸，y與x間的函數(shù)關(guān)系式．（2）若該城市某戶5月份水費(fèi)平均為每噸2.2元，求該戶5月份用水多少噸？【答案】解：（1）當(dāng)x≤20時(shí)，y=1.9x；當(dāng)x＞20時(shí)，y=1.9×20+（x﹣20）×2.8=2.8x﹣18。（2）∵5月份水費(fèi)平均為每噸2.2元，用水量如果未超過20噸，按每噸1.9元收費(fèi)．∴用水量超過了20噸?！嘤蓎=2.8x﹣18得2.8x﹣18=2.2x，解得x=30。答：該戶5月份用水30噸。【考點(diǎn)】一次函數(shù)的應(yīng)用?！痉治觥浚?）未超過20噸時(shí)，水費(fèi)y=1.9×相應(yīng)噸數(shù)；超過20噸時(shí)，水費(fèi)y=1.9×20+超過20噸的噸數(shù)×2.8。（2）該戶的水費(fèi)超過了20噸，關(guān)系式為：1.9×20+超過20噸的噸數(shù)×2.8=用水噸數(shù)×2.2。例2.（2016浙江義烏10分）周末，小明騎自行車從家里出發(fā)到野外郊游．從家出發(fā)0.5小時(shí)后到達(dá)甲地，游玩一段時(shí)間后按原速前往乙地．小明離家1小時(shí)20分鐘后，媽媽駕車沿相同路線前往乙地，如圖是他們離家的路程y（km）與小明離家時(shí)間x（h）的函數(shù)圖象．已知媽媽駕車的速度是小明騎車速度的3倍．（1）求小明騎車的速度和在甲地游玩的時(shí)間；（2）小明從家出發(fā)多少小時(shí)后被媽媽追上？此時(shí)離家多遠(yuǎn)？（3）若媽媽比小明早10分鐘到達(dá)乙地，求從家到乙地的路程．【答案】解：（1）由圖象，得：小明騎車速度：10÷0.5=20（km/h）。在甲地游玩的時(shí)間是1﹣0.5=0.5（h）。（2）媽媽駕車速度：20×3=60（km/h）如圖，設(shè)直線BC解析式為y=20x+b1，把點(diǎn)B（1，10）代入得b1=﹣10?！嘀本€BC解析式為y=20x﹣10①。設(shè)直線DE解析式為y=60x+b2，把點(diǎn)D（，0）代入得b2=﹣80。∴直線DE解析式為y=60x﹣80②。聯(lián)立①②，得x=1.75，y=25。∴交點(diǎn)F（1.75，25）。答：小明出發(fā)1.75小時(shí)（105分鐘）被媽媽追上，此時(shí)離家25km。（3）設(shè)從家到乙地的路程為mkm，則點(diǎn)E（x1，m），點(diǎn)C（x2，m），分別代入y=60x﹣80，y=20x﹣10，得：。∵，∴，解得：m=30?！鄰募业揭业氐穆烦虨?0km?！究键c(diǎn)】一次函數(shù)的圖象和應(yīng)用，直線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系?！痉治觥浚?）用路程除以時(shí)間即可得到速度；在甲地游玩的時(shí)間是1-0.5=0.5小時(shí)。（2）求得線段BC所在直線的解析式和DE所在直線的解析式后求得交點(diǎn)坐標(biāo)即可求得北媽媽追上的時(shí)間。（3）設(shè)從家到乙地的路程為mkm，則點(diǎn)E（x1，m），點(diǎn)C（x2，m）分別代入兩直線方程，依媽媽比小明早10分鐘到達(dá)乙地列式求解。本題另解：設(shè)從媽媽追上小明的地點(diǎn)到乙地的路程為n（km），根據(jù)媽媽比小明早到10分鐘列出有關(guān)n的方程，，解之即得n值。例3.（2016湖北天門、仙桃、潛江、江漢油田10分）張勤同學(xué)的父母在外打工，家中只有年邁多病的奶奶．星期天早上，李老師從家中出發(fā)步行前往張勤家家訪．6分鐘后，張勤從家出發(fā)騎車到相距1200米的藥店給奶奶買藥，停留14分鐘后以相同的速度按原路返回，結(jié)果與李老師同時(shí)到家．張勤家、李老師家、藥店都在東西方向筆直大路上，且藥店在張勤家與李老師家之間．在此過程中設(shè)李老師出發(fā)t（0≤t≤32）分鐘后師生二人離張勤家的距離分別為S1、S2．S與t之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，請(qǐng)你解答下列問題：（1）李老師步行的速度為；（2）求S2與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并在如圖所示的直角坐標(biāo)系中畫出其函數(shù)圖象；（3）張勤出發(fā)多長時(shí)間后在途中與李老師相遇？【答案】解：（1）50米/分。（2）根據(jù)題意得：當(dāng)0≤t≤6時(shí)，S2=0，當(dāng)6＜t≤12時(shí)，S2=200t﹣1200，當(dāng)12＜t≤26時(shí)，S2=1200，當(dāng)26＜t≤32時(shí)，S2=﹣200t+6400，∴S2與t之間的函數(shù)關(guān)系式為。圖象如圖：（3）∵圖中可見，李老師從家中出發(fā)步行前往張勤家家訪經(jīng)過（0，1600），（32，0），∴設(shè)S1=kx＋b，則，解得?！郤1=﹣50t+1600。∵圖中可見，張勤與李老師相遇的時(shí)間在6＜t≤12，∴由S1=S2得，200t﹣1200=﹣50t+1600，解得t=11.2。∴張勤出發(fā)11.2秒在途中與李老師相遇。【考點(diǎn)】一次函數(shù)的應(yīng)用，建立函數(shù)關(guān)系式，直線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，待定系數(shù)法?！痉治觥浚?）根據(jù)速度=路程÷時(shí)間，再結(jié)合圖形，即可求出李老師步行的速度：1600÷32=50米/分。（2）根據(jù)題意分0≤t≤6，6＜t≤12，12＜t≤26，26＜t≤32四種情況進(jìn)行討論，即可得出S2與t之間的函數(shù)關(guān)系式。（3）由S1=S2得，200t﹣1200=﹣50t+1600，然后求出t的值即可。例4.（2016湖北黃岡12分）某科技開發(fā)公司研制出一種新型產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為2400元，銷售單價(jià)定為3000元．在該產(chǎn)品的試銷期間，為了促銷，鼓勵(lì)商家購買該新型產(chǎn)品，公司決定商家一次購買這種新型產(chǎn)品不超過10件時(shí)，每件按3000元銷售；若一次購買該種產(chǎn)品超過10件時(shí)，每多購買一件，所購買的全部產(chǎn)品的銷售單價(jià)均降低10元，但銷售單價(jià)均不低于2600元．(1)商家一次購買這種產(chǎn)品多少件時(shí)，銷售單價(jià)恰好為2600元?(2)設(shè)商家一次購買這種產(chǎn)品x件，開發(fā)公司所獲的利潤為y元，求y(元)與x(件)之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．(3)該公司的銷售人員發(fā)現(xiàn)：當(dāng)商家一次購買產(chǎn)品的件數(shù)超過某一數(shù)量時(shí)，會(huì)出現(xiàn)隨著一次購買的數(shù)量的增多，公司所獲的利潤反而減少這一情況.為使商家一次購買的數(shù)量越多，公司所獲的利潤越大，公司應(yīng)將最低銷售單價(jià)調(diào)整為多少元?(其它銷售條件不變)【答案】解：（1）設(shè)件數(shù)為x，依題意，得3000－10（x－10）=2600，解得x=50。答：商家一次購買這種產(chǎn)品50件時(shí)，銷售單價(jià)恰好為2600元。（2）當(dāng)0≤x≤10時(shí)，y=（3000－2400）x=600x；當(dāng)10＜x≤50時(shí)，y=[3000－10（x－10）－2400]x，即y=－10x2+700x；當(dāng)x＞50時(shí)，y=（2600－2400）x=200x。∴。（3）由y=－10x2+700x可知拋物線開口向下，當(dāng)時(shí)，利潤y有最大值，此時(shí)，銷售單價(jià)為3000－10（x－10）=2750元，答：公司應(yīng)將最低銷售單價(jià)調(diào)整為2750元?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用?！痉治觥浚?）設(shè)件數(shù)為x，則銷售單價(jià)為3000-10（x-10）元，根據(jù)銷售單價(jià)恰好為2600元，列方程求解。（2）由利潤y=銷售單價(jià)×件數(shù)，及銷售單價(jià)均不低于2600元，按0≤x≤10，10＜x≤50，x＞50三種情況列出函數(shù)關(guān)系式。（3）由（2）的函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求利潤的最大值，并求出最大值時(shí)x的值，確定銷售單價(jià)。例5.（2016四川攀枝花3分）如圖，直角梯形AOCD的邊OC在x軸上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，CD垂直于x軸，D（5，4），AD=2．若動(dòng)點(diǎn)E、F同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，E點(diǎn)沿折線OA→AD→DC運(yùn)動(dòng)，到達(dá)C點(diǎn)時(shí)停止；F點(diǎn)沿OC運(yùn)動(dòng)，到達(dá)C點(diǎn)是停止，它們運(yùn)動(dòng)的速度都是每秒1個(gè)單位長度．設(shè)E運(yùn)動(dòng)秒x時(shí)，△EOF的面積為y（平方單位），則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為【】A．B．C．D．【答案】C?！究键c(diǎn)】動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，拋物線和直線的性質(zhì)?！痉治觥咳鐖D，過點(diǎn)A作AG⊥OC于點(diǎn)G。∵D（5，4），AD=2，∴OC=5，CD=4，OG=3?！喔鶕?jù)勾股定理，得OA=5?！唿c(diǎn)E、F的運(yùn)動(dòng)的速度都是每秒1個(gè)單位長度，∴點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)x秒（x＜5）時(shí)，OE=OF=x?！喈?dāng)點(diǎn)E在OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)F在OC上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E在AD和DC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)F在點(diǎn)C停止。（1）當(dāng)點(diǎn)E在OA上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F在OC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖，作EH⊥OC于點(diǎn)H。∴EH∥AG。∴△EHO∽△AGO。∴，即?！唷！唷４藭r(shí)，y關(guān)于x的函數(shù)圖象是開口向上的拋物線。故選項(xiàng)A．B選項(xiàng)錯(cuò)誤。（2）當(dāng)點(diǎn)E在AD上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F在點(diǎn)C停止時(shí)，△EOF的面積不變?！唷＃?）當(dāng)點(diǎn)E在DC上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F在點(diǎn)C停止時(shí)，如圖。EF=OA＋AD＋DC﹣x=11﹣x，OC=5?！唷４藭r(shí)，y關(guān)于x的函數(shù)圖象是直線。故選項(xiàng)D選項(xiàng)錯(cuò)誤，選項(xiàng)C正確。故選C。例6.（2016四川內(nèi)江3分）如圖，正△ABC的邊長為3cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1cm的速度，沿的方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（秒），,則y關(guān)于x的函數(shù)的圖像大致為【】A.B.C.D.【答案】C?！究键c(diǎn)】動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，正三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，勾股定理?！痉治觥咳鐖D，過點(diǎn)C作CD垂直AB于點(diǎn)D，則∵正△ABC的邊長為3，∴∠A=∠B=∠C=60°，AC=3。∴AD=，CD=。①當(dāng)0≤x≤3時(shí)，即點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，AP=x，PD=（0≤x≤3）?！啵?≤x≤3）。∴該函數(shù)圖象在0≤x≤3上是開口向上的拋物線。②當(dāng)3＜x≤6時(shí)，即點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，PC=（6－x）（3＜x≤6）；∴y=（6－x）2=（x-6）2（3＜x≤6），∴該函數(shù)的圖象在3＜x≤6上是開口向上的拋物線。綜上所述，該函數(shù)為。符合此條件的圖象為C。故選C。例7.（2016遼寧營口3分）如圖，菱形ABCD的邊長為2，∠B=．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿B-C-D的路線向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．設(shè)△ABP的面積為(B、P兩點(diǎn)重合時(shí)，△ABP的面積可以看做0)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為，則與之間函數(shù)關(guān)系的圖像大致為【】【答案】C。【考點(diǎn)】動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，菱形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥慨?dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖，△ABP的高PE＝BPsiｎ∠B＝，∴△ABP的面積。當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖，△ABP的高PF＝BCsiｎ∠B＝1,∴△ABP的面積。因此，觀察所給選項(xiàng)，只有C符合。故選C。例8.（2016山東煙臺(tái)3分）如圖，矩形ABCD中，P為CD中點(diǎn)，點(diǎn)Q為AB上的動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合）．過Q作QM⊥PA于M，QN⊥PB于N．設(shè)AQ的長度為x，QM與QN的長度和為y．則能表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是【】A．B．C．D．【答案】D?！究键c(diǎn)】動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象。【分析】如圖，連接PQ，作PE⊥AB垂足為E，∵過Q作QM⊥PA于M，QN⊥PB于N，∴S△PAB=PE×AB，S△PAB=S△PAQ+S△PQB=×QN?PB+×PA×MQ?！呔匦蜛BCD中，P為CD中點(diǎn)，∴PA=PB?！逹M與QN的長度和為y，∴S△PAB=S△PAQ+S△PQB=×QN×PB+×PA×MQ=PB（QM+QN）=PBy?！郤△PAB=PE×AB=PBy，∴?！逷E=AD，∴PB，AB，PB都為定值?！鄖的值為定值，符合要求的圖形為D。故選D。例9.（2016廣東梅州11分）如圖，矩形OABC中，A（6，0）、C（0，2）、D（0，3），射線l過點(diǎn)D且與x軸平行，點(diǎn)P、Q分別是l和x軸正半軸上動(dòng)點(diǎn)，滿足∠PQO=60°．（1）①點(diǎn)B的坐標(biāo)是；②∠CAO=度；③當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為；（直接寫出答案）（2）設(shè)OA的中心為N，PQ與線段AC相交于點(diǎn)M，是否存在點(diǎn)P，使△AMN為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m；若不存在，請(qǐng)說明理由．（3）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，△OPQ與矩形OABC的重疊部分的面積為S，試求S與x的函數(shù)關(guān)系式和相應(yīng)的自變量x的取值范圍．【答案】解：（1）①（6，2）。②30。③（3，3）。（2）存在。m=0或m=3﹣或m=2。（3）當(dāng)0≤x≤3時(shí)，如圖1，OI=x，IQ=PI?tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x；由題意可知直線l∥BC∥OA，可得，∴EF=（3+x），此時(shí)重疊部分是梯形，其面積為：當(dāng)3＜x≤5時(shí)，如圖2，當(dāng)5＜x≤9時(shí)，如圖3，當(dāng)x＞9時(shí)，如圖4，。綜上所述，S與x的函數(shù)關(guān)系式為：?！究键c(diǎn)】矩形的性質(zhì)，梯形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，特殊角的三角函數(shù)值，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形?！痉治觥浚?）①由四邊形OABC是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)，即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)：∵四邊形OABC是矩形，∴AB=OC，OA=BC，∵A（6，0）、C（0，2），∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（6，2）。②由正切函數(shù)，即可求得∠CAO的度數(shù)：∵，∴∠CAO=30°。③由三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；如圖：當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合時(shí)，過點(diǎn)P作PE⊥OA于E，∵∠PQO=60°，D（0，3），∴PE=3。∴?！郞E=OA﹣AE=6﹣3=3，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，3）。（2）分別從MN=AN，AM=AN與AM=MN去分析求解即可求得答案：情況①：MN=AN=3，則∠AMN=∠MAN=30°，∴∠MNO=60°?！摺螾QO=60°，即∠MQO=60°，∴點(diǎn)N與Q重合?！帱c(diǎn)P與D重合。∴此時(shí)m=0。情況②，如圖AM=AN，作MJ⊥x軸、PI⊥x軸。MJ=MQ?sin60°=AQ?sin600又，∴，解得：m=3﹣。情況③AM=NM，此時(shí)M的橫坐標(biāo)是4.5，過點(diǎn)P作PK⊥OA于K，過點(diǎn)M作MG⊥OA于G，∴MG=?！?。∴KG=3﹣0.5=2.5，AG=AN=1.5?！郞K=2。∴m=2。綜上所述，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m=0或m=3﹣或m=2。（3）分別從當(dāng)0≤x≤3時(shí)，當(dāng)3＜x≤5時(shí)，當(dāng)5＜x≤9時(shí)，當(dāng)x＞9時(shí)去分析求解即可求得答案。例10.（2016福建漳州14分）如圖，在OABC中，點(diǎn)A在x軸上，∠AOC=60o，OC=4cm．OA=8cm．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以1cm／s的速度沿線段OA→AB運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，以acm／s的速度沿線段OC→CB運(yùn)動(dòng)，其中一點(diǎn)先到達(dá)終點(diǎn)B時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)填空：點(diǎn)C的坐標(biāo)是(______，______)，對(duì)角線OB的長度是_______cm；(2)當(dāng)a=1時(shí)，設(shè)△OPQ的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出當(dāng)t為何值時(shí)，S的值最大?(3)當(dāng)點(diǎn)P在OA邊上，點(diǎn)Q在CB邊上時(shí)，線段PQ與對(duì)角線OB交于點(diǎn)M.若以O(shè)、M、P為頂點(diǎn)的三角形與△OAB相似，求a與t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出t的取值范圍．【答案】解：（1）C(2，2)，OB=4cm。（2）①當(dāng)0<t≤4時(shí)，過點(diǎn)Q作QD⊥x軸于點(diǎn)D(如圖1)，則QD=t?！郤=OP·QD=t2。②當(dāng)4<t≤8時(shí)，作QE⊥x軸于點(diǎn)