人教版高數(shù)必修四第7講：平面向量基本定理及坐標(biāo)運(yùn)算(學(xué)生版)-東直門仉長(zhǎng)娜

PAGEPAGE1平面向量基本定理與坐標(biāo)運(yùn)算____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示;2.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加、減與數(shù)乘運(yùn)算.3.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量共線的條件，進(jìn)而解決一些相關(guān)問(wèn)題.4.了解平面向量的基本定理及其意義.一、平面向量基本定理：1．平面向量基本定理：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________二、平面向量的坐標(biāo)表示：如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們分別取與軸、軸方向相同的兩個(gè)__單位向量_、作為基底任作一個(gè)向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使得…………eq\o\ac(○,1)，我們把叫做向量的（直角）坐標(biāo)，記作…………eq\o\ac(○,2)其中叫做在軸上的坐標(biāo)，叫做在軸上的坐標(biāo)，eq\o\ac(○,2)式叫做向量的坐標(biāo)表示與相等的向量的坐標(biāo)也為特別地，，，特別提醒：設(shè)，則向量的坐標(biāo)就是點(diǎn)的坐標(biāo)；反過(guò)來(lái)，點(diǎn)的坐標(biāo)也就是向量的坐標(biāo)因此，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個(gè)平面向量都是可以用一對(duì)實(shí)數(shù)唯一表示三、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：（1）若，，則=______________，=_______________兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差（2）若，，則一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)（3）若和實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo)（4）向量平行的充要條件的坐標(biāo)表示：設(shè)=(x1,y1)，=(x2,y2)其中∥()的充要條件是類型一平面向量基本定理的應(yīng)用【例1】?(2012·南京質(zhì)檢)如圖所示，在△ABC中，H為BC上異于B，C的任一點(diǎn)，M為AH的中點(diǎn)，若eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，則λ＋μ＝________.【訓(xùn)練1】如圖，兩塊斜邊長(zhǎng)相等的直角三角板拼在一起．若eq\o(AD,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，則x＝________，y＝________.[例1]在△OAB中，，AD與BC交于點(diǎn)M，設(shè)=，=，用,表示.練習(xí)：1．若已知、是平面上的一組基底，則下列各組向量中不能作為基底的一組是()A．與—B．3與2C．＋與—D．與22．在△ABC中,已知AM︰AB=1︰3,AN︰AC=1︰4，BN與CM交于點(diǎn)P,且,試用表示.類型二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算【例2】?(2011·合肥模擬)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且eq\o(CM,\s\up6(→))＝3eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(CN,\s\up6(→))＝2eq\o(CB,\s\up6(→)).求M，N的坐標(biāo)和eq\o(MN,\s\up6(→)).【訓(xùn)練2】在平行四邊形ABCD中，AC為一條對(duì)角線，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,4)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1,3)，則eq\o(BD,\s\up6(→))＝()．A．(－2，－4) B．(－3，－5)C．(3,5) D．(2,4)若A(0,1),B(1,2),C(3,4)則2=4．若M(3,-2)N(-5,-1)且,求P點(diǎn)的坐標(biāo)；類型三平面向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算【例3】?已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，是否存在實(shí)數(shù)k，使得ka＋b與a－3b共線，且方向相反？【訓(xùn)練3】(2011·西安質(zhì)檢)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c滿足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，則c＝()．A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,9)，\f(7,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,3)，－\f(7,9)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，\f(7,9))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,9)，－\f(7,3)))9．已知,當(dāng)實(shí)數(shù)取何值時(shí),＋2與2—4平行？一、選擇題1．設(shè)e1、e2是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下面四組向量中，不能作為基底的是()A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－2e2和4e2－6e1C．e1＋2e2和e2＋2e1 D．e2和e1＋e22．下面給出了三個(gè)命題：①非零向量a與b共線，則a與b所在的直線平行；②向量a與b共線的條件是當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù)λ1、λ2，使得λ1a＝λ2b；③平面內(nèi)的任一向量都可用其它兩個(gè)向量的線性組合表示．其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．33．給出下列結(jié)論：①若a≠b，則|a＋b|<|a|＋|b|；②非零向量a、b共線，則|a＋b|>0；③對(duì)任意向量a、b，|a－b|≥0；④若非零向量a、b共線且反向，則|a－b|>|a|.其中正確的有()個(gè)．()A．1 B．2C．3 D．44．已知向量e1、e2不共線，實(shí)數(shù)x、y滿足(x－y)e1＋(2x＋y)e2＝6e1＋3e2，則x－y的值等于()A．3 B．－3C．6 D．－65．設(shè)一直線上三點(diǎn)A，B，P滿足eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))(λ≠±1)，O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則eq\o(OP,\s\up6(→))用eq\o(OA,\s\up6(→))、eq\o(OB,\s\up6(→))表示為()A．eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→)) B．eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1＋λ)eq\o(OB,\s\up6(→))C．eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(\o(OA,\s\up6(→))＋λ\o(OB,\s\up6(→)),1＋λ) D．eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,λ)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,1－λ)eq\o(OB,\s\up6(→))6．(2014·廣東文，3)已知向量a＝(1,2)、b＝(3,1)，則b－a＝()A．(－2,1) B．(2，－1)C．(2,0) D．(4,3)7．若向量eq\o(BA,\s\up6(→))＝(2,3)、eq\o(CA,\s\up6(→))＝(4,7)，則eq\o(BC,\s\up6(→))＝()A．(－2，－4) B．(2,4)C．(6,10) D．(－6，－10)8．(2014·北京文，3)已知向量a＝(2,4)、b＝(－1,1)，則2a－b＝()A．(5,7) B．(5,9)C．(3,7) D．(3,9)9．已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(5，－3)、C(－1,3)、eq\o(CD,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是()A．(11,9) B．(4,0)C．(9,3) D．(9，－3)10．已知△ABC中，點(diǎn)A(－2,3)、點(diǎn)B(－3，－5)，重心M(1，－2)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為()A．(－4,8) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，－\f(4,3)))C．(8，－4) D．(7，－2)11．已知i、j分別是方向與x軸正方向、y軸正方向相同的單位向量，O為原點(diǎn)，設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中x∈R)，則點(diǎn)A位于()A．第一、二象限 B．第二、三象限C．第三象限 D．第四象限二、填空題12．在?ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AN,\s\up6(→))＝3eq\o(NC,\s\up6(→))，M為BC的中點(diǎn)，則eq\o(MN,\s\up6(→))＝________(用a、b表示)．13．已知向量a與b不共線，實(shí)數(shù)x、y滿足等式3xa＋(10－y)b＝(4y＋7)a＋2xb，則x＝________，y＝________.14．若點(diǎn)O(0,0)、A(1,2)、B(－1,3)，且eq\o(OA′,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB′,\s\up6(→))＝3eq\o(OB,\s\up6(→))，則點(diǎn)A′的坐標(biāo)為________．點(diǎn)B′的坐標(biāo)為________，向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))的坐標(biāo)為________．15．在平行四邊形ABCD中，AC為一條對(duì)角線，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,4)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1,3)，則eq\o(BD,\s\up6(→))＝________.三、解答題16．如圖，已知△ABC中，M、N、P順次是AB的四等分點(diǎn)，eq\o(CB,\s\up6(→))＝e1，eq\o(CA,\s\up6(→))＝e2，試用e1、e2表示eq\o(CM,\s\up6(→))、eq\o(CN,\s\up6(→))、eq\o(CP,\s\up6(→)).17．(1)設(shè)向量a、b的坐標(biāo)分別是(－1,2)、(3，－5)，求a＋b，a－b,2a＋3b的坐標(biāo)；(2)設(shè)向量a、b、c的坐標(biāo)分別為(1，－3)、(－2,4)、(0,5)，求3a－b＋c的坐標(biāo)．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．已知a＝(－1,3)、b＝(x，－1)，且a∥b，則x等于()A．－3 B．－eq\f(1,3)C．eq\f(1,3) D．32．(2014·安徽宿州市朱仙莊煤礦中學(xué)高一月考)若A(3，－6)、B(－5,2)、C(6，y)三點(diǎn)共線，則y＝()A．13 B．－13C．9 D．－93．向量a＝(3,1)、b＝(1,3)、c＝(k,7)，若(a－c)∥b，則k等于()A．3 B．－3C．5 D．－54．設(shè)e1、e2是兩個(gè)不共線的向量，向量a＝e1＋λe2(λ∈R)與向量b＝－(e2－2e1)共線，則()A．λ＝0 B．λ＝－1C．λ＝－2 D．λ＝－eq\f(1,2)5．已知向量a＝(3,4)、b＝(cosα，sinα)，且a∥b，則tanα＝()A．eq\f(3,4) B．eq\f(4,3)C．－eq\f(4,3) D．－eq\f(3,4)6．(2014·山東濟(jì)南商河弘德中學(xué)高一月考)若向量b與向量a＝(2,1)平行，且|b|＝2eq\r(5)，則b＝()A．(4,2) B．(－4,2)C．(6，－3) D．(4,2)或(－4，－2)二、填空題7．設(shè)i、j分別為x、y軸方向的單位向量，已知eq\o(OA,\s\up6(→))＝2i，eq\o(OB,\s\up6(→))＝4i＋2j，eq\o(AB,\s\up6(→))＝－2eq\o(AC,\s\up6(→))，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為________．8．設(shè)向量a＝(4sinα，3)、b＝(2,3sinα)，且a∥b，則銳角α＝________.三、解答題9．設(shè)向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(k,12)、eq\o(OB,\s\up6(→))＝(4,5)、eq\o(OC,\s\up6(→))＝(10，k)，當(dāng)k為何值時(shí)，A、B、C三點(diǎn)共線．能力提升一、選擇題1．已知向量e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，若向量a與b共線，則()A．λ＝0 B．e2＝0C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝02．已知平面向量a＝(1,2)、b＝(－2，m)，且a∥b，則2a＋3b＝()A．(－2，－4) B．(－3，－6)C．(－4，－8) D．(－5，－10)3．已知平面向量a＝(x,1)、b＝(－x，x2)，則向量a＋b()A．平行于x軸 B．平行于第一、三象限的角平分線C