人教版高數(shù)必修四第7講：平面向量基本定理及坐標運算(學生版)-東直門仉長娜

PAGEPAGE1平面向量基本定理與坐標運算____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.掌握平面向量的正交分解及其坐標表示;2.會用坐標表示平面向量的加、減與數(shù)乘運算.3.會用坐標表示平面向量共線的條件，進而解決一些相關問題.4.了解平面向量的基本定理及其意義.一、平面向量基本定理：1．平面向量基本定理：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________二、平面向量的坐標表示：如圖，在直角坐標系內(nèi)，我們分別取與軸、軸方向相同的兩個__單位向量_、作為基底任作一個向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)、，使得…………eq\o\ac(○,1)，我們把叫做向量的（直角）坐標，記作…………eq\o\ac(○,2)其中叫做在軸上的坐標，叫做在軸上的坐標，eq\o\ac(○,2)式叫做向量的坐標表示與相等的向量的坐標也為特別地，，，特別提醒：設，則向量的坐標就是點的坐標；反過來，點的坐標也就是向量的坐標因此，在平面直角坐標系內(nèi)，每一個平面向量都是可以用一對實數(shù)唯一表示三、平面向量的坐標運算：（1）若，，則=______________，=_______________兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差（2）若，，則一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去始點的坐標（3）若和實數(shù)，則實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應坐標（4）向量平行的充要條件的坐標表示：設=(x1,y1)，=(x2,y2)其中∥()的充要條件是類型一平面向量基本定理的應用【例1】?(2012·南京質檢)如圖所示，在△ABC中，H為BC上異于B，C的任一點，M為AH的中點，若eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，則λ＋μ＝________.【訓練1】如圖，兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一起．若eq\o(AD,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，則x＝________，y＝________.[例1]在△OAB中，，AD與BC交于點M，設=，=，用,表示.練習：1．若已知、是平面上的一組基底，則下列各組向量中不能作為基底的一組是()A．與—B．3與2C．＋與—D．與22．在△ABC中,已知AM︰AB=1︰3,AN︰AC=1︰4，BN與CM交于點P,且,試用表示.類型二平面向量的坐標運算【例2】?(2011·合肥模擬)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且eq\o(CM,\s\up6(→))＝3eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(CN,\s\up6(→))＝2eq\o(CB,\s\up6(→)).求M，N的坐標和eq\o(MN,\s\up6(→)).【訓練2】在平行四邊形ABCD中，AC為一條對角線，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,4)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1,3)，則eq\o(BD,\s\up6(→))＝()．A．(－2，－4) B．(－3，－5)C．(3,5) D．(2,4)若A(0,1),B(1,2),C(3,4)則2=4．若M(3,-2)N(-5,-1)且,求P點的坐標；類型三平面向量共線的坐標運算【例3】?已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，是否存在實數(shù)k，使得ka＋b與a－3b共線，且方向相反？【訓練3】(2011·西安質檢)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c滿足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，則c＝()．A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,9)，\f(7,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,3)，－\f(7,9)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，\f(7,9))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,9)，－\f(7,3)))9．已知,當實數(shù)取何值時,＋2與2—4平行？一、選擇題1．設e1、e2是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下面四組向量中，不能作為基底的是()A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－2e2和4e2－6e1C．e1＋2e2和e2＋2e1 D．e2和e1＋e22．下面給出了三個命題：①非零向量a與b共線，則a與b所在的直線平行；②向量a與b共線的條件是當且僅當存在實數(shù)λ1、λ2，使得λ1a＝λ2b；③平面內(nèi)的任一向量都可用其它兩個向量的線性組合表示．其中正確命題的個數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．33．給出下列結論：①若a≠b，則|a＋b|<|a|＋|b|；②非零向量a、b共線，則|a＋b|>0；③對任意向量a、b，|a－b|≥0；④若非零向量a、b共線且反向，則|a－b|>|a|.其中正確的有()個．()A．1 B．2C．3 D．44．已知向量e1、e2不共線，實數(shù)x、y滿足(x－y)e1＋(2x＋y)e2＝6e1＋3e2，則x－y的值等于()A．3 B．－3C．6 D．－65．設一直線上三點A，B，P滿足eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))(λ≠±1)，O為平面內(nèi)任意一點，則eq\o(OP,\s\up6(→))用eq\o(OA,\s\up6(→))、eq\o(OB,\s\up6(→))表示為()A．eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→)) B．eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1＋λ)eq\o(OB,\s\up6(→))C．eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(\o(OA,\s\up6(→))＋λ\o(OB,\s\up6(→)),1＋λ) D．eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,λ)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,1－λ)eq\o(OB,\s\up6(→))6．(2014·廣東文，3)已知向量a＝(1,2)、b＝(3,1)，則b－a＝()A．(－2,1) B．(2，－1)C．(2,0) D．(4,3)7．若向量eq\o(BA,\s\up6(→))＝(2,3)、eq\o(CA,\s\up6(→))＝(4,7)，則eq\o(BC,\s\up6(→))＝()A．(－2，－4) B．(2,4)C．(6,10) D．(－6，－10)8．(2014·北京文，3)已知向量a＝(2,4)、b＝(－1,1)，則2a－b＝()A．(5,7) B．(5,9)C．(3,7) D．(3,9)9．已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(5，－3)、C(－1,3)、eq\o(CD,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，則點D的坐標是()A．(11,9) B．(4,0)C．(9,3) D．(9，－3)10．已知△ABC中，點A(－2,3)、點B(－3，－5)，重心M(1，－2)，則點C的坐標為()A．(－4,8) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，－\f(4,3)))C．(8，－4) D．(7，－2)11．已知i、j分別是方向與x軸正方向、y軸正方向相同的單位向量，O為原點，設eq\o(OA,\s\up6(→))＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中x∈R)，則點A位于()A．第一、二象限 B．第二、三象限C．第三象限 D．第四象限二、填空題12．在?ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AN,\s\up6(→))＝3eq\o(NC,\s\up6(→))，M為BC的中點，則eq\o(MN,\s\up6(→))＝________(用a、b表示)．13．已知向量a與b不共線，實數(shù)x、y滿足等式3xa＋(10－y)b＝(4y＋7)a＋2xb，則x＝________，y＝________.14．若點O(0,0)、A(1,2)、B(－1,3)，且eq\o(OA′,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB′,\s\up6(→))＝3eq\o(OB,\s\up6(→))，則點A′的坐標為________．點B′的坐標為________，向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))的坐標為________．15．在平行四邊形ABCD中，AC為一條對角線，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,4)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1,3)，則eq\o(BD,\s\up6(→))＝________.三、解答題16．如圖，已知△ABC中，M、N、P順次是AB的四等分點，eq\o(CB,\s\up6(→))＝e1，eq\o(CA,\s\up6(→))＝e2，試用e1、e2表示eq\o(CM,\s\up6(→))、eq\o(CN,\s\up6(→))、eq\o(CP,\s\up6(→)).17．(1)設向量a、b的坐標分別是(－1,2)、(3，－5)，求a＋b，a－b,2a＋3b的坐標；(2)設向量a、b、c的坐標分別為(1，－3)、(－2,4)、(0,5)，求3a－b＋c的坐標．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基礎鞏固一、選擇題1．已知a＝(－1,3)、b＝(x，－1)，且a∥b，則x等于()A．－3 B．－eq\f(1,3)C．eq\f(1,3) D．32．(2014·安徽宿州市朱仙莊煤礦中學高一月考)若A(3，－6)、B(－5,2)、C(6，y)三點共線，則y＝()A．13 B．－13C．9 D．－93．向量a＝(3,1)、b＝(1,3)、c＝(k,7)，若(a－c)∥b，則k等于()A．3 B．－3C．5 D．－54．設e1、e2是兩個不共線的向量，向量a＝e1＋λe2(λ∈R)與向量b＝－(e2－2e1)共線，則()A．λ＝0 B．λ＝－1C．λ＝－2 D．λ＝－eq\f(1,2)5．已知向量a＝(3,4)、b＝(cosα，sinα)，且a∥b，則tanα＝()A．eq\f(3,4) B．eq\f(4,3)C．－eq\f(4,3) D．－eq\f(3,4)6．(2014·山東濟南商河弘德中學高一月考)若向量b與向量a＝(2,1)平行，且|b|＝2eq\r(5)，則b＝()A．(4,2) B．(－4,2)C．(6，－3) D．(4,2)或(－4，－2)二、填空題7．設i、j分別為x、y軸方向的單位向量，已知eq\o(OA,\s\up6(→))＝2i，eq\o(OB,\s\up6(→))＝4i＋2j，eq\o(AB,\s\up6(→))＝－2eq\o(AC,\s\up6(→))，則點C的坐標為________．8．設向量a＝(4sinα，3)、b＝(2,3sinα)，且a∥b，則銳角α＝________.三、解答題9．設向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(k,12)、eq\o(OB,\s\up6(→))＝(4,5)、eq\o(OC,\s\up6(→))＝(10，k)，當k為何值時，A、B、C三點共線．能力提升一、選擇題1．已知向量e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，若向量a與b共線，則()A．λ＝0 B．e2＝0C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝02．已知平面向量a＝(1,2)、b＝(－2，m)，且a∥b，則2a＋3b＝()A．(－2，－4) B．(－3，－6)C．(－4，－8) D．(－5，－10)3．已知平面向量a＝(x,1)、b＝(－x，x2)，則向量a＋b()A．平行于x軸 B．平行于第一、三象限的角平分線C