導數(shù)的意義資料

導數(shù)的意義導數(shù)的幾何意義如下圖，Pn的坐標為(xn，f(xn))(n＝1,2,3，4)，P的坐標為(x0，y0)，直線PT為過點P的切線．問題1：割線PPn的斜率kn是什么？提示：割割線PPn的斜率kn＝eq\f(Δyn,Δxn)＝eq\f(fxn－fx0,xn－x0).問題2：當點Pn趨近于點P時，割線PPn與過點P的切線PT有什么關系？提示：當點Pn趨近于點P時，割線PPn趨近于過點P的切線PT.問題3：當Pn無限趨近于點P時，kn與切線PT的斜率k有什么關系？提示：kn無限趨近于切線PT的斜率k.問題4：如何求得過點P的切線PT的斜率？提示：函數(shù)f(x)在x＝x0處的導數(shù)就是切線PT的斜率k，即k＝eq\a\vs4\al(\o(lim,\s\do9(Δx→0)))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝f′(x0)．導數(shù)的幾何意義函數(shù)f(x)在x＝x0處的導數(shù)就是切線PT的斜率k，即k＝f′(x0)＝eq\a\vs4\al(\o(lim,\s\do9(Δx→0)))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).導數(shù)與函數(shù)圖象升降的關系若函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)存在且f′(x0)＞0(即切線的斜率大于零)，則函數(shù)y＝f(x)在x＝x0附近的圖象是上升的；若f′(x0)＜0(即切線的斜率小于零)，則函數(shù)y＝f(x)在x＝x0附近的圖象是下降的．導數(shù)絕對值的大小反映了曲線上升和下降的快慢.二、導函數(shù)對于函數(shù)f(x)＝－x2＋2.求f′(x0)提示：f′(x0)＝eq\a\vs4\al(\o(lim,\s\do9(Δx→0)))eq\f(－x0＋Δx2＋2－－x\o\al(2,0)＋2,Δx)＝eq\a\vs4\al(\o(lim,\s\do9(Δx→0)))(－2x0－Δx)＝－2x0.導函數(shù)的定義對于函數(shù)y＝f(x)，當x＝x0時，f′(x0)是一個確定的數(shù)．當x變化時，f′(x)便是x的一個函數(shù)，我們稱它為f(x)的導函數(shù)(簡稱導數(shù))．y＝f(x)的導函數(shù)有時也記作y′，即f′(x)＝y(tǒng)′＝eq\a\vs4\al(\o(lim,\s\do9(Δx→0)))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx).f′(x0)與f′(x)的異同題型一利用導數(shù)定義求函數(shù)的導數(shù)[例1]利用導數(shù)的定義求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)y＝－3x2＋2x－1；(2)y＝eq\f(3,x2)＋a(a為常數(shù))．課后練習1．下面說法正確的是 ()A．若f′(x0)不存在，則曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處沒有切線B．若曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處有切線，則f′(x0)必存在C．若f′(x0)不存在，則曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線斜率不存在D．若曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處沒有切線，則f′(x0)有可能存在解析：根據(jù)導數(shù)的幾何意義及切線的定義知曲線在(x0，y0)處有導數(shù)，則切線一定存在，但反之不一定成立，故A，B，D錯誤.答案：C2．曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線方程為x＋2y－3＝0，那么()A．f′(x0)＞0B．f′(x0)＜0C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在解析：根據(jù)導數(shù)的幾何意義，f(x)在x0處的導數(shù)即f(x)在x0處切線的斜率，故f′(x0)＝－eq\f(1,2)＜0.答案：B3．已知函數(shù)y＝f(x)的圖象在點M(1，f(1))處的切線方程是y＝eq\f(1,2)x＋2，則f(1)＋f′(1)＝________.解析：由導數(shù)的幾何意義得f′(1)＝eq\f(1,2)，由點M在切線上得f(1)＝eq\f(1,2)×1＋2＝eq\f(5,2)，所以f(1)＋f′(1)＝3．答案：34．曲線y＝eq\f(1,3)x3－2在點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(7,3)))處切線的傾斜角為________．解析：因為eq\a\vs4\al(\o(lim,\s\do9(Δx→0)))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＝eq\a\vs4\al(\o(lim,\s\do9(Δx→0)))eq\f(\f(1,3)x＋Δx3－2－\f(1,3)x3＋2,Δx)＝x2，所以y′＝x2，y′|x＝－1＝1，因此傾斜角為45°．答案：45°5．已知拋物線y＝x2＋4與直線y＝x＋10.求：(1)它們的交點；(2)拋物線在交點處的切線方程．解：(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2＋4，,y＝x＋10))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝8，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝13.))∴拋物線與直線的交點坐標為(－2,8)或(3,13)．(2)∵y＝x2＋4，∴y′＝eq\a\vs4\al(\o(lim,\s\do9(Δx→0)))eq\f(x＋Δx2＋4－x2＋4,Δx)＝eq\a\vs4\al(\o(lim,\s\do9(Δx→0)))eq\f(Δx2＋2x·Δx,Δx)＝eq\a\vs4\al(\o(lim,\s\do9(Δx→0))