2021年內(nèi)蒙古呼和浩特市中考數(shù)學試卷（含解析版）

2021年內(nèi)蒙古呼和浩特市中考數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．（3分）幾種氣體的液化溫度（標準大氣壓）如下表：氣體氧氣氫氣氮氣氦氣液化溫度℃﹣183﹣253﹣195.8﹣268其中液化溫度最低的氣體是（）A．氦氣 B．氮氣 C．氫氣 D．氧氣2．（3分）如圖，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，直線DE經(jīng)過點A，∠DAB＝50°，則∠EAC的度數(shù)是（）A．40° B．50° C．60° D．70°3．（3分）如圖所示的幾何體，其俯視圖是（）A． B． C． D．4．（3分）下列計算正確的是（）A．3a2+4a2＝7a4 B．?＝1 C．﹣18+12÷（﹣）＝4 D．﹣a﹣1＝5．（3分）已知關(guān)于x的不等式組無實數(shù)解，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≥﹣ B．a(chǎn)≥﹣2 C．a(chǎn)＞﹣ D．a(chǎn)＞﹣26．（3分）某學校初一年級學生來自農(nóng)村，牧區(qū)，城鎮(zhèn)三類地區(qū)，下面是根據(jù)其人數(shù)比例繪制的扇形統(tǒng)計圖，由圖中的信息，得出以下3個判斷，錯誤的有（）①該校初一學生在這三類不同地區(qū)的分布情況為3：2：7．②若已知該校來自牧區(qū)的初一學生為140人，則初一學生總?cè)藬?shù)為1080人．③若從該校初一學生中抽取120人作為樣本，調(diào)查初一學生父母的文化程度，則從農(nóng)村、牧區(qū)、城鎮(zhèn)學生中分別隨機抽取30、20、70人，樣本更具有代表性．A．3個 B．2個 C．1個 D．0個7．（3分）在平面直角坐標系中，點A（3，0），B（0，4）．以AB為一邊在第一象限作正方形ABCD，則對角線BD所在直線的解析式為（）A．y＝﹣x+4 B．y＝﹣x+4 C．y＝﹣x+4 D．y＝48．（3分）如圖，正方形的邊長為4，剪去四個角后成為一個正八邊形，則可求出此正八邊形的外接圓直徑d，根據(jù)我國魏晉時期數(shù)學家劉徽的“割圓術(shù)”思想，如果用此正八邊形的周長近似代替其外接圓周長，便可估計π的值，下面d及π的值都正確的是（）A．d＝，π≈8sin22.5° B．d＝，π≈4sin22.5° C．d＝，π≈8sin22.5° D．d＝，π≈4sin22.5°9．（3分）以下四個命題：①任意三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分；②A，B，C，D，E，F(xiàn)六個足球隊進行單循環(huán)賽，若A，B，C，D，E分別賽了5，4，3，2，1場，則由此可知，還沒有與B隊比賽的球隊可能是D隊；③兩個正六邊形一定位似；④有13人參加捐款，其中小王的捐款數(shù)比13人捐款的平均數(shù)多2元，則小王的捐款數(shù)不可能最少，但可能只比最少的多，比其他的都少．其中真命題的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個10．（3分）已知二次項系數(shù)等于1的一個二次函數(shù)，其圖象與x軸交于兩點（m，0），（n，0），且過A（0，b），B（3，a）兩點（b，a是實數(shù)），若0＜m＜n＜2，則ab的取值范圍是（）A．0＜ab＜ B．0＜ab＜ C．0＜ab＜ D．0＜ab＜二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分．本題要求把正確結(jié)果填在答題卡規(guī)定的橫線上，不需要解答過程）11．（3分）因式分解：x3y﹣4xy＝．12．（3分）正比例函數(shù)y＝k1x與反比例函數(shù)y＝的圖象交于A，B兩點，若A點坐標為（，﹣2），則k1+k2＝．13．（3分）已知圓錐的母線長為10，高為8，則該圓錐的側(cè)面展開圖（扇形）的弧長為．（用含π的代數(shù)式表示），圓心角為度．14．（3分）動物學家通過大量的調(diào)查，估計某種動物活到20歲的概率為0.8，活到25歲的概率為0.5，據(jù)此若設剛出生的這種動物共有a只，則20年后存活的有只，現(xiàn)年20歲的這種動物活到25歲的概率是．15．（3分）已知菱形ABCD的面積為2，點E是一邊BC上的中點，點P是對角線BD上的動點．連接AE，若AE平分∠BAC，則線段PE與PC的和的最小值為，最大值為．16．（3分）若把第n個位置上的數(shù)記為xn，則稱x1，x2，x3，…，xn有限個有序放置的數(shù)為一個數(shù)列A．定義數(shù)列A的“伴生數(shù)列”B是：y1，y2，y3，…，yn，其中yn是這個數(shù)列中第n個位置上的數(shù)，n＝1，2，…，k且yn＝并規(guī)定x0＝xn，xn+1＝x1．如果數(shù)列A只有四個數(shù)，且x1，x2，x3，x4依次為3，1，2，1，則其“伴生數(shù)列”B是．三、解答題（本大題共8小題，滿分72分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．（10分）計算求解：（1）計算（）﹣1﹣（﹣）÷+tan30°；（2）解方程組．18．（8分）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，BE∥DF且分別交對角線AC于點E，F(xiàn)．（1）求證：△ABE≌△CDF；（2）當四邊形ABCD分別是矩形和菱形時，請分別說出四邊形BEDF的形狀．（無需說明理由）19．（10分）某大學為了解大學生對中國共產(chǎn)黨黨史知識的學習情況，在大學一年級和二年級舉行有關(guān)黨史知識測試活動．現(xiàn)從一、二兩個年級中各隨機抽取20名學生的測試成績（滿分50分，30分及30分以上為合格；40分及40分以上為優(yōu)秀）進行整理、描述和分析，給出了下面的部分信息．大學一年級20名學生的測試成績?yōu)椋?9，50，39，50，49，30，30，49，49，49，43，43，43，37，37，37，43，43，37，25．大學二年級20名學生的測試成績條形統(tǒng)計圖如圖所示；兩個年級抽取的學生的測試成績的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、優(yōu)秀率如下表所示：年級平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)優(yōu)秀率大一ab43m大二39.544cn請你根據(jù)上面提供的所有信息，解答下列問題：（1）上表中a＝，b＝，c＝，m＝，n；根據(jù)樣本統(tǒng)計數(shù)據(jù)，你認為該大學一、二年級中哪個年級學生掌握黨史知識較好？并說明理由（寫出一條理由即可）；（2）已知該大學一、二年級共1240名學生參加了此次測試活動，通過計算，估計參加此次測試活動成績合格的學生人數(shù)能否超過1000人；（3）從樣本中測試成績?yōu)闈M分的一、二年級的學生中隨機抽取兩名學生，用列舉法求兩人在同一年級的概率．20．（8分）如圖，線段EF與MN表示某一段河的兩岸，EF∥MN．綜合實踐課上，同學們需要在河岸MN上測量這段河的寬度（EF與MN之間的距離），已知河對岸EF上有建筑物C、D，且CD＝60米，同學們首先在河岸MN上選取點A處，用測角儀測得C建筑物位于A北偏東45°方向，再沿河岸走20米到達B處，測得D建筑物位于B北偏東55°方向，請你根據(jù)所測數(shù)據(jù)求出該段河的寬度，（用非特殊角的三角函數(shù)或根式表示即可）21．（7分）下面圖片是七年級教科書中“實際問題與一元一次方程”的探究3．探究3電話計費問題下表中有兩種移動電話計費方式．月使用費/元主叫限定時間/min主叫超時費/（元/min）被叫方式一581500.25免費方式二883500.19免費考慮下列問題：月使用費固定收：主叫不超限定時間不再收費，主叫超時部分加收超時費，被叫免費．（1）設一個月內(nèi)用移動電話主叫為tmin（t是正整數(shù)）．根據(jù)上表，列表說明：當t在不同時間范圍內(nèi)取值時，按方式一和方式二如何計費．（2）觀察你的列表，你能從中發(fā)現(xiàn)如何根據(jù)主叫時間選擇省錢的計費方式嗎？通過計算驗證你的看法．小明升入初三再看這個問題，發(fā)現(xiàn)兩種計費方式，每一種都是因主叫時間的變化而引起計費的變化，他把主叫時間視為在正實數(shù)范圍內(nèi)變化，決定用函數(shù)來解決這個問題．（1）根據(jù)函數(shù)的概念，小明首先將問題中的兩個變量分別設為自變量x和自變量的函數(shù)y，請你幫小明寫出：x表示問題中的，y表示問題中的．并寫出計費方式一和二分別對應的函數(shù)解析式；（2）在給出的正方形網(wǎng)格紙上畫出（1）中兩個函數(shù)的大致圖象，并依據(jù)圖象直接寫出如何根據(jù)主叫時間選擇省錢的計費方式．（注：坐標軸單位長度可根據(jù)需要自己確定）（7分）為了促進學生加強體育鍛煉，某中學從去年開始，每周除體育課外，又開展了“足球俱樂部1小時”活動．去年學校通過采購平臺在某體育用品店購買A品牌足球共花費2880元，B品牌足球共花費2400元，且購買A品牌足球數(shù)量是B品牌數(shù)量的1.5倍，每個足球的售價，A品牌比B品牌便宜12元．今年由于參加俱樂部人數(shù)增加，需要從該店再購買A、B兩種足球共50個，已知該店對每個足球的售價，今年進行了調(diào)整，A品牌比去年提高了5%，B品牌比去年降低了10%，如果今年購買A、B兩種足球的總費用不超過去年總費用的一半，那么學校最多可購買多少個B品牌足球？23．（10分）已知AB是⊙O的任意一條直徑．（1）用圖1，求證：⊙O是以直徑AB所在直線為對稱軸的軸對稱圖形；（2）已知⊙O的面積為4π，直線CD與⊙O相切于點C，過點B作BD⊥CD，垂足為D，如圖2．求證：①BC2＝2BD；②改變圖2中切點C的位置，使得線段OD⊥BC時，OD＝2．24．（12分）已知拋物線y＝ax2+kx+h（a＞0）．（1）通過配方可以將其化成頂點式為，根據(jù)該拋物線在對稱軸兩側(cè)從左到右圖象的特征，可以判斷，當頂點在x軸（填上方或下方），即4ah﹣k20（填大于或小于）時，該拋物線與x軸必有兩個交點；（2）若拋物線上存在兩點A（x1，y1），B（x2，y2），分布在x軸的兩側(cè)，則拋物線頂點必在x軸下方，請你結(jié)合A、B兩點在拋物線上的可能位置，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，對這個結(jié)論的正確性給以說明；（為了便于說明，不妨設x1＜x2且都不等于頂點的橫坐標；另如果需要借助圖象輔助說明，可自己畫出簡單示意圖）（3）利用二次函數(shù)（1）（2）結(jié)論，求證：當a＞0，（a+c）（a+b+c）＜0時，（b﹣c）2＞4a（a+b+c）．

2021年內(nèi)蒙古呼和浩特市中考數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．（3分）幾種氣體的液化溫度（標準大氣壓）如下表：氣體氧氣氫氣氮氣氦氣液化溫度℃﹣183﹣253﹣195.8﹣268其中液化溫度最低的氣體是（）A．氦氣 B．氮氣 C．氫氣 D．氧氣【分析】根據(jù)有理數(shù)大小比較的方法進行比較即可求解．【解答】解：∵﹣268＜﹣253＜﹣195.8＜﹣183，∴其中液化溫度最低的氣體是氦氣．故選：A．【點評】本題考查了有理數(shù)大小比較，有理數(shù)大小比較的法則：①正數(shù)都大于0；②負數(shù)都小于0；③正數(shù)大于一切負數(shù)；④兩個負數(shù)，絕對值大的其值反而?。?．（3分）如圖，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，直線DE經(jīng)過點A，∠DAB＝50°，則∠EAC的度數(shù)是（）A．40° B．50° C．60° D．70°【分析】根據(jù)三角新內(nèi)角和可以先求出∠BAC的度數(shù)，再根據(jù)平角的定義，可知∠DAB+∠BAC+∠EAC＝180°，從而可以求得∠EAC的度數(shù)．【解答】解：∵∠B＝50°，∠C＝70°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣70°＝60°，∵∠DAB＝50°，∠DAB+∠BAC+∠EAC＝180°，∴∠EAC＝180°﹣∠DAB﹣∠BAC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，故選：D．【點評】本題考查三角形內(nèi)角和、平角的定義，解答本題的關(guān)鍵是求出∠BAC的度數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．3．（3分）如圖所示的幾何體，其俯視圖是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)視圖的意義，從上面看該幾何體，所得到的圖形進行判斷即可．【解答】解：從上面看該幾何體，所看到的圖形如下：故選：B．【點評】本題考查簡單組合體的三視圖，理解視圖的意義，掌握俯視圖的畫法是正確判斷的前提．4．（3分）下列計算正確的是（）A．3a2+4a2＝7a4 B．?＝1 C．﹣18+12÷（﹣）＝4 D．﹣a﹣1＝【分析】根據(jù)各個選項中的式子可以計算出正確的結(jié)果，從而可以解答本題．【解答】解：3a2+4a2＝7a2，故選項A錯誤；當a＞0時，＝a＝1，當a＜0時，＝﹣a＝﹣1，故選項B錯誤；﹣18+12÷（﹣）＝﹣18﹣18＝﹣36，故選項C錯誤；﹣a﹣1＝﹣（a+1）＝＝＝，故選項D正確；故選：D．【點評】本題考查整式的加法、分式的混合運算、有理數(shù)的除法和加法，解答本題的關(guān)鍵是明確它們各自的計算方法．5．（3分）已知關(guān)于x的不等式組無實數(shù)解，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≥﹣ B．a(chǎn)≥﹣2 C．a(chǎn)＞﹣ D．a(chǎn)＞﹣2【分析】分別解兩個不等式，根據(jù)不等式組無實數(shù)解，得到關(guān)于a的不等式，解之即可．【解答】解：解不等式﹣2x﹣3≥1得：x≤﹣2，解不等式﹣1≥得：x≥2a+2，∵關(guān)于x的不等式組無實數(shù)解，∴不等式的解集為2a+2＞﹣2，解得：a＞﹣2，故選：D．【點評】本題考查一元一次不等式組的解，正確找出不等關(guān)系，列出一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．6．（3分）某學校初一年級學生來自農(nóng)村，牧區(qū)，城鎮(zhèn)三類地區(qū)，下面是根據(jù)其人數(shù)比例繪制的扇形統(tǒng)計圖，由圖中的信息，得出以下3個判斷，錯誤的有（）①該校初一學生在這三類不同地區(qū)的分布情況為3：2：7．②若已知該校來自牧區(qū)的初一學生為140人，則初一學生總?cè)藬?shù)為1080人．③若從該校初一學生中抽取120人作為樣本，調(diào)查初一學生父母的文化程度，則從農(nóng)村、牧區(qū)、城鎮(zhèn)學生中分別隨機抽取30、20、70人，樣本更具有代表性．A．3個 B．2個 C．1個 D．0個【分析】根據(jù)扇形統(tǒng)計圖分別求出各組人數(shù)所占比例，進而得出答案．【解答】解：該校來自城鎮(zhèn)的初一學生的扇形的圓心角為：360°﹣90°﹣60°＝210°，∴該校初一學生在這三類不同地區(qū)的分布情況為90：60：210＝3：2：7，故①正確，不符合題意；若已知該校來自牧區(qū)的初一學生為140人，則初一學生總?cè)藬?shù)為140÷＝840（人），故②錯誤，符合題意；120×＝30（人），120×＝20（人），120×＝70（人），故③正確，不符合題意；故選：C．【點評】本題考查了扇形統(tǒng)計圖，試題以圖表為載體，要求學生能從中提取信息來解題，與實際生活息息相關(guān)，符合新課標的理念．7．（3分）在平面直角坐標系中，點A（3，0），B（0，4）．以AB為一邊在第一象限作正方形ABCD，則對角線BD所在直線的解析式為（）A．y＝﹣x+4 B．y＝﹣x+4 C．y＝﹣x+4 D．y＝4【分析】過D點作DH⊥x軸于H，如圖，證明△ABO≌△DAH得到AH＝OB＝4，DH＝OA＝3，則D（7，3），然后利用待定系數(shù)法求直線BD的解析式．【解答】解：過D點作DH⊥x軸于H，如圖，∵點A（3，0），B（0，4）．∴OA＝3，OB＝4，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∵∠OBA+∠OAB＝90°，∠ABO+∠DAH＝90°，∴∠ABO＝∠DAH，在△ABO和△DAH中，，∴△ABO≌△DAH（AAS），∴AH＝OB＝4，DH＝OA＝3，∴D（7，3），設直線BD的解析式為y＝kx+b，把D（7，3），B（0，4）代入得，解得，∴直線BD的解析式為y＝﹣x+4．故選：A．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式：求一次函數(shù)y＝kx+b，需要兩組x，y的值．利用全等三角形的性質(zhì)求出D點坐標是解決問題的關(guān)鍵．8．（3分）如圖，正方形的邊長為4，剪去四個角后成為一個正八邊形，則可求出此正八邊形的外接圓直徑d，根據(jù)我國魏晉時期數(shù)學家劉徽的“割圓術(shù)”思想，如果用此正八邊形的周長近似代替其外接圓周長，便可估計π的值，下面d及π的值都正確的是（）A．d＝，π≈8sin22.5° B．d＝，π≈4sin22.5° C．d＝，π≈8sin22.5° D．d＝，π≈4sin22.5°【分析】根據(jù)外接圓的性質(zhì)可知，圓心到各個頂點的距離相等，過圓心向邊作垂線，解直角三角形，再根據(jù)圓周長公式可求得．【解答】解：如圖，連接AD，BC交于點O，過點O作OP⊥BC于點P，則CP＝PD，且∠COP＝22.5°，設正八邊形的邊長為a，則a+2×a＝4，解得a＝4（﹣1），在Rt△OCP中，OC＝＝，∴d＝2OC＝，由πd≈8CD，則π≈32（﹣1），∴π≈8sin22.5°．故選：C．【點評】本題主要考查正多邊形的外接圓的性質(zhì)，解直角三角形等內(nèi)容，熟練掌握三角函數(shù)的定義及正多邊形外接圓的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．9．（3分）以下四個命題：①任意三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分；②A，B，C，D，E，F(xiàn)六個足球隊進行單循環(huán)賽，若A，B，C，D，E分別賽了5，4，3，2，1場，則由此可知，還沒有與B隊比賽的球隊可能是D隊；③兩個正六邊形一定位似；④有13人參加捐款，其中小王的捐款數(shù)比13人捐款的平均數(shù)多2元，則小王的捐款數(shù)不可能最少，但可能只比最少的多，比其他的都少．其中真命題的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】利用三角形的中位線的性質(zhì)、相似多邊形的定義及平均數(shù)的知識分別判斷后即可確定正確的選項．【解答】解：①任意三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分，正確，是真命題，符合題意；②由每個隊分別與其它隊比賽一場，最多賽5場，A隊已經(jīng)賽完5場，則每個隊均與A隊賽過，E隊僅賽一場（即與A隊賽過），所以E隊還沒有與B隊賽過，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意．③兩個正六邊形一定相似但不一定位似，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意；④有13人參加捐款，其中小王的捐款數(shù)比13人捐款的平均數(shù)多2元，則小王的捐款數(shù)不可能最少，但可能只比最少的多，比其他的都少，正確，是真命題，符合題意，正確的有2個，故選：B．【點評】考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解三角形的中位線的性質(zhì)、位似的定義及平均數(shù)的知識，難度不大．10．（3分）已知二次項系數(shù)等于1的一個二次函數(shù)，其圖象與x軸交于兩點（m，0），（n，0），且過A（0，b），B（3，a）兩點（b，a是實數(shù)），若0＜m＜n＜2，則ab的取值范圍是（）A．0＜ab＜ B．0＜ab＜ C．0＜ab＜ D．0＜ab＜【分析】方法1、由二次項系數(shù)為1的拋物線判斷出拋物線的開口向上，開口大小一定，進而判斷出ab＞0，再根據(jù)完全平方公式判斷出a＝b，且拋物線與x軸只有一個交點時，是ab的最大值的分界點，進而求出m＝n＝，進而求出a＝b＝，即可得出結(jié)論．方法2、先表示出b＝mn，a＝（3﹣m）（3﹣n），進而得出ab＝[﹣（m﹣）2+][﹣（n﹣）2+]，再判斷出0＜﹣（m﹣）2+≤，0＜﹣（n﹣）2+≤，即可得出結(jié)論．【解答】解法1、∵函數(shù)是一個二次項系數(shù)為1的二次函數(shù)，∴此函數(shù)的開口向上，開口大小一定，∵拋物線與x軸交于兩點（m，0），（n，0），且0＜m＜n＜2，∴a＞0，b＞0，∴ab＞0，∵（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab≥0（a＝b時取等號），即a2+b2≥2ab（當a＝b時取等號），∴當a＝b時，ab才有可能最大，∵二次函數(shù)過A（0，b），B（3，a）兩點，∴當a＝b時，點A，B才關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，即拋物線的對稱軸為直線x＝1.5，∵拋物線與x軸交于兩點（m，0），（n，0），且0＜m＜n＜2，∴拋物線的頂點越接近x軸，ab的值越大，即當拋物線與x軸只有一個交點時，是ab最大值的分界點，當拋物線與x軸只有一個交點時，此時m＝n＝，∴拋物線的解析式為y＝（x﹣）2＝x2﹣3x+，∴a＝b＝，∴ab＜（）2＝，∴0＜ab＜，故選：C．解法2、由已知二次項系數(shù)等于1的一個二次函數(shù)，其圖象與x軸交于兩點（m，0），（n，0），所以可設交點式y(tǒng)＝（x﹣m）（x﹣n），分別代入（m，0），（n，0），∴ab＝mn（3﹣m）（3﹣n）＝（3m﹣m2）（3n﹣n2）＝[﹣（m﹣）2+][﹣（n﹣）2+]∵0＜m＜n＜2，∴0＜﹣（m﹣）2+≤，0＜﹣（n﹣）2+≤，∵m＜n，∴ab不能取，∴0＜ab＜，故選：C．【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，完全平方的非負性，判斷出a＝b以及拋物線與x軸只有一個交點時，ab最大這個分界點是解本題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分．本題要求把正確結(jié)果填在答題卡規(guī)定的橫線上，不需要解答過程）11．（3分）因式分解：x3y﹣4xy＝xy（x+2）（x﹣2）．【分析】先提取公因式xy，再利用平方差公式對因式x2﹣4進行分解．【解答】解：x3y﹣4xy，＝xy（x2﹣4），＝xy（x+2）（x﹣2）．【點評】本題是考查學生對分解因式的掌握情況．因式分解有兩步，第一步提取公因式xy，第二步再利用平方差公式對因式x2﹣4進行分解，得到結(jié)果xy（x+2）（x﹣2），在作答試題時，許多學生分解不到位，提取公因式不完全，或者只提取了公因式．12．（3分）正比例函數(shù)y＝k1x與反比例函數(shù)y＝的圖象交于A，B兩點，若A點坐標為（，﹣2），則k1+k2＝﹣8．【分析】根據(jù)待定系數(shù)法求得k1、k2，即可求得k1+k2的值．【解答】解：∵正比例函數(shù)y＝k1x與反比例函數(shù)y＝的圖象交于A，B兩點，若A點坐標為（，﹣2），∴﹣2＝k1，﹣2＝，∴k1＝﹣2，k2＝﹣6，∴k1+k2＝﹣8，故答案為﹣8．【點評】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．13．（3分）已知圓錐的母線長為10，高為8，則該圓錐的側(cè)面展開圖（扇形）的弧長為12π．（用含π的代數(shù)式表示），圓心角為216度．【分析】根據(jù)圓錐的展開圖為扇形，結(jié)合圓周長公式求解．【解答】解：設底面圓的半徑為rcm，由勾股定理得：r＝＝6，∴2πr＝2π×6＝12π，根據(jù)題意得2π×6＝，解得n＝216，即這個圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為216°．故答案為：12π，216．【點評】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．14．（3分）動物學家通過大量的調(diào)查，估計某種動物活到20歲的概率為0.8，活到25歲的概率為0.5，據(jù)此若設剛出生的這種動物共有a只，則20年后存活的有0.8a只，現(xiàn)年20歲的這種動物活到25歲的概率是．【分析】用概率乘以動物的總只數(shù)即可得出20年后存活的數(shù)量；先設出所有動物的只數(shù)，根據(jù)動物活到各年齡階段的概率求出相應的只數(shù)，再根據(jù)概率公式解答即可．【解答】解：若設剛出生的這種動物共有a只，則20年后存活的有0.8a只，設共有這種動物x只，則活到20歲的只數(shù)為0.8x，活到25歲的只數(shù)為0.5x，故現(xiàn)年20歲到這種動物活到25歲的概率為＝，故答案為：0.8a，．【點評】此題主要考查了概率，用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．15．（3分）已知菱形ABCD的面積為2，點E是一邊BC上的中點，點P是對角線BD上的動點．連接AE，若AE平分∠BAC，則線段PE與PC的和的最小值為，最大值為2+．【分析】由點E是一邊BC上的中點及AE平分∠BAC，可得△ABC是等邊三角形，根據(jù)菱形ABCD的面積為2，可得菱形的邊長為2；求PE+PC的最小值，點E和點C是定點，點P是線段BD上動點，由軸對稱最值問題，可求出最小值；求和的最大值，觀察圖形可知，當PE和PC的長度最大時，和最大，即點P和點D重合時，PE+PC的值最大．【解答】解：根據(jù)圖形可畫出圖形，如圖所示，過點B作BF∥AC交AE的延長線于點F，∴∠F＝∠CAE，∠EBF＝∠ACE，∵點E是BC的中點，∴△ACE≌△FBE（AAS），∴BF＝AC，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∴∠BAE＝∠F，∴AB＝BF＝AC，在菱形ABCD中，AB＝BC，∴AB＝BC＝AC，即△ABC是等邊三角形；∴∠ABC＝60°，設AB＝a，則BD＝，∴菱形ABCD的面積＝AC?BD＝2，即＝2，∴a＝2，即AB＝BC＝CD＝2；∵四邊形ABCD是菱形，∴點A和點C關(guān)于BD對稱，∴PE+PC＝AP+EP，當點A，P，E三點共線時，AP+EP的和最小，此時AE＝；點P和點D重合時，PE+PC的值最大，此時PC＝DC＝2，過點D作DG⊥BC交BC的延長線于點G，連接DE，∵AB∥CD，∠ABC＝60°，∴∠DCG＝60°，∴CG＝1，DG＝，∴EG＝2，∴DE＝＝，此時PE+PC＝2+；即線段PE與PC的和的最小值為；最大值為2+．故答案為：；2+．【點評】本題主要考查菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，軸對稱最值問題等，證明△ABC是等邊三角形是解題關(guān)鍵．16．（3分）若把第n個位置上的數(shù)記為xn，則稱x1，x2，x3，…，xn有限個有序放置的數(shù)為一個數(shù)列A．定義數(shù)列A的“伴生數(shù)列”B是：y1，y2，y3，…，yn，其中yn是這個數(shù)列中第n個位置上的數(shù)，n＝1，2，…，k且yn＝并規(guī)定x0＝xn，xn+1＝x1．如果數(shù)列A只有四個數(shù)，且x1，x2，x3，x4依次為3，1，2，1，則其“伴生數(shù)列”B是0，1，0，1．【分析】根據(jù)“伴生數(shù)列”的定義取n＝4，依次求出x0，x1，......x5，再求出對應的yn即可．【解答】解：x0＝x4＝1＝x2，∴y1＝0，∵x1≠x3，∴y2＝1，∵x2＝x4，∴y3＝0，∵x3≠x5＝x1，∴y4＝1，∴“伴生數(shù)列”B是：0，1，0，1，故答案為0，1，0，1．【點評】本題主要考查新定義題型，做此類題，關(guān)鍵在于理解新定義的概念，它是數(shù)學知識的延伸，擴充和應用，一般都是建立在所學知識基礎之上的．三、解答題（本大題共8小題，滿分72分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．（10分）計算求解：（1）計算（）﹣1﹣（﹣）÷+tan30°；（2）解方程組．【分析】（1）根據(jù)負整數(shù)指數(shù)冪、二次根式的除法法則和特殊角的三角函數(shù)值計算；（2）先把原方程組化簡，然后利用加減消元法解方程組．【解答】解：（1）原式＝3﹣（﹣）+×＝3﹣（4﹣2）+1＝3﹣2+1＝2；（2）原方程整理為，①×12﹣②得：13x＝3900，解得x＝300，把x＝300代入①得：y＝400，∴方程組的解為．【點評】本題考查了二次根式的混合運算：熟練掌握二次根式的除法法則和負整數(shù)指數(shù)冪的意義是解決問題的關(guān)鍵．也考查了解二元一次方程組．18．（8分）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，BE∥DF且分別交對角線AC于點E，F(xiàn)．（1）求證：△ABE≌△CDF；（2）當四邊形ABCD分別是矩形和菱形時，請分別說出四邊形BEDF的形狀．（無需說明理由）【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)可得AB＝CD，∠BAE＝∠DCF，再由BE∥DF，可得∠AEB＝∠CFD，進而判斷△ABE≌△CDF；（2）連接ED，BF，BD，先證明四邊形BEDF是平行四邊形，當四邊形ABCD分別是矩形和菱形，根據(jù)矩形和菱形對角線的性質(zhì)判斷即可．【解答】解：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF，∵BE∥DF，∴∠BEC＝∠DFA，∴180°﹣∠BEC＝180°﹣∠DFA，∴∠AEB＝∠CFD，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），（2）連接ED，BF，BD，由（1）知△ABE≌△CDF，∴BE＝DF，∵BE∥DF，∴四邊形BEDF是平行四邊形，1°當四邊形ABCD是矩形時，四邊形BEDF是平行四邊形，2°當四邊形ABCD是菱形時，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴EF⊥BD，∴四邊形BEDF是菱形．【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵尋找兩條線段所在的三角形，然后證明兩三角形全等．19．（10分）某大學為了解大學生對中國共產(chǎn)黨黨史知識的學習情況，在大學一年級和二年級舉行有關(guān)黨史知識測試活動．現(xiàn)從一、二兩個年級中各隨機抽取20名學生的測試成績（滿分50分，30分及30分以上為合格；40分及40分以上為優(yōu)秀）進行整理、描述和分析，給出了下面的部分信息．大學一年級20名學生的測試成績?yōu)椋?9，50，39，50，49，30，30，49，49，49，43，43，43，37，37，37，43，43，37，25．大學二年級20名學生的測試成績條形統(tǒng)計圖如圖所示；兩個年級抽取的學生的測試成績的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、優(yōu)秀率如下表所示：年級平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)優(yōu)秀率大一ab43m大二39.544cn請你根據(jù)上面提供的所有信息，解答下列問題：（1）上表中a＝41.1，b＝43，c＝42.5，m＝55%，n＝65%；根據(jù)樣本統(tǒng)計數(shù)據(jù)，你認為該大學一、二年級中哪個年級學生掌握黨史知識較好？并說明理由（寫出一條理由即可）；（2）已知該大學一、二年級共1240名學生參加了此次測試活動，通過計算，估計參加此次測試活動成績合格的學生人數(shù)能否超過1000人；（3）從樣本中測試成績?yōu)闈M分的一、二年級的學生中隨機抽取兩名學生，用列舉法求兩人在同一年級的概率．【分析】（1）由平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的定義求解即可，再由兩個年級的優(yōu)秀率進行說明即可；（2）先求出樣本合格率，再由參加此次測試活動的總?cè)藬?shù)乘以合格率即可；（3）畫樹狀圖，共有20種等可能的結(jié)果，兩人在同一年級的結(jié)果有8種，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）將一年級20名同學成績整理如下表：成績25303739434950人數(shù)1242542∴a＝（25×1+30×2+37×4+39×2+43×5+49×4+50×2）＝41.1，b＝43，c＝＝42.5，m＝（5+4+2）÷20×100%＝55%，n＝（3+5+2+3）÷20×100%＝65%，故答案為：41.1，43，42.5，55%，＝65%；從表中優(yōu)秀率看，二年級樣本優(yōu)秀率達到65%高于一年級的55%，因此估計二年級學生的優(yōu)秀率高，所以用優(yōu)秀率評價，估計二年級學生掌握黨史知識較好．（2）∵樣本合格率為：＝92.5%，∴估計總體的合格率大約為92.5%，∴估計參加測試的兩個年級合格學生約為：1240×92.5%＝1147（人），∴估計參加此次測試活動成績合格的學生人數(shù)能超過1000人；（3）一年級滿分有2人，記為A，B，二年級滿分有3人，記為C，D，E，畫樹狀圖如圖：共有20種等可能的結(jié)果，兩人在同一年級的結(jié)果有8種，∴兩人在同一年級的概率為＝．【點評】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．也考查了統(tǒng)計圖和統(tǒng)計表．20．（8分）如圖，線段EF與MN表示某一段河的兩岸，EF∥MN．綜合實踐課上，同學們需要在河岸MN上測量這段河的寬度（EF與MN之間的距離），已知河對岸EF上有建筑物C、D，且CD＝60米，同學們首先在河岸MN上選取點A處，用測角儀測得C建筑物位于A北偏東45°方向，再沿河岸走20米到達B處，測得D建筑物位于B北偏東55°方向，請你根據(jù)所測數(shù)據(jù)求出該段河的寬度，（用非特殊角的三角函數(shù)或根式表示即可）【分析】過C、D分別作CP⊥MN、DQ⊥MN垂足為P、Q，設河寬為x米，根據(jù)直角三角形的三角函數(shù)得出x，進而解答即可．【解答】解：如圖，過C、D分別作CP⊥MN、DQ⊥MN垂足為P、Q，設河寬為x米．由題意知，△ACP為等腰直角三角形，∴AP＝CP＝x（米），BP＝x﹣20（米），在Rt△BDQ中，∠BDQ＝55°，∴，∴tan55°?x＝x+40，∴（tan55°﹣1）?x＝40，∴，所以河寬為米．答：河寬為米．【點評】此題考查了解直角三角形的應用問題．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題求解，注意數(shù)形結(jié)合思想的應用．21．（7分）下面圖片是七年級教科書中“實際問題與一元一次方程”的探究3．探究3電話計費問題下表中有兩種移動電話計費方式．月使用費/元主叫限定時間/min主叫超時費/（元/min）被叫方式一581500.25免費方式二883500.19免費考慮下列問題：月使用費固定收：主叫不超限定時間不再收費，主叫超時部分加收超時費，被叫免費．（1）設一個月內(nèi)用移動電話主叫為tmin（t是正整數(shù)）．根據(jù)上表，列表說明：當t在不同時間范圍內(nèi)取值時，按方式一和方式二如何計費．（2）觀察你的列表，你能從中發(fā)現(xiàn)如何根據(jù)主叫時間選擇省錢的計費方式嗎？通過計算驗證你的看法．小明升入初三再看這個問題，發(fā)現(xiàn)兩種計費方式，每一種都是因主叫時間的變化而引起計費的變化，他把主叫時間視為在正實數(shù)范圍內(nèi)變化，決定用函數(shù)來解決這個問題．（1）根據(jù)函數(shù)的概念，小明首先將問題中的兩個變量分別設為自變量x和自變量的函數(shù)y，請你幫小明寫出：x表示問題中的主叫時間，y表示問題中的計費．并寫出計費方式一和二分別對應的函數(shù)解析式；（2）在給出的正方形網(wǎng)格紙上畫出（1）中兩個函數(shù)的大致圖象，并依據(jù)圖象直接寫出如何根據(jù)主叫時間選擇省錢的計費方式．（注：坐標軸單位長度可根據(jù)需要自己確定）【分析】（1）由題意可知，x表示問題中的主叫時間，y表示問題中的計費；再根據(jù)分段計費的費用就可以得出各個時段各種不同的付費方法就可以得出結(jié)論；（2）畫出圖象，再根據(jù)圖象解答即可．【解答】解：（1）由題意，可得x表示問題中的主叫時間，y表示問題中的計費；方式一：y＝；方式二：y＝；故答案為：主叫時間，計費；（2）大致圖象如下：由圖可知：當主叫時間在270分鐘以內(nèi)選方式一，270分鐘時兩種方式相同，超過270分鐘選方式二．【點評】此題考查一次函數(shù)的實際運用，理解題意，根據(jù)題意分段得出函數(shù)解析式是解決問題的關(guān)鍵．22．（7分）為了促進學生加強體育鍛煉，某中學從去年開始，每周除體育課外，又開展了“足球俱樂部1小時”活動．去年學校通過采購平臺在某體育用品店購買A品牌足球共花費2880元，B品牌足球共花費2400元，且購買A品牌足球數(shù)量是B品牌數(shù)量的1.5倍，每個足球的售價，A品牌比B品牌便宜12元．今年由于參加俱樂部人數(shù)增加，需要從該店再購買A、B兩種足球共50個，已知該店對每個足球的售價，今年進行了調(diào)整，A品牌比去年提高了5%，B品牌比去年降低了10%，如果今年購買A、B兩種足球的總費用不超過去年總費用的一半，那么學校最多可購買多少個B品牌足球？【分析】設去年A足球售價為x元/個，則B足球售價為（x+12）元/個，根據(jù)“購買A品牌足球數(shù)量是B品牌數(shù)量的1.5倍”列出分式方程，通過解方程求得A足球售價為48元/個，B足球售價為60元/個；然后設今年購進B足球的個數(shù)為a個，再根據(jù)“今年購買A、B兩種足球的總費用不超過去年總費用的一半”列出不等式并解答即可．【解答】解：設去年A足球售價為x元/個，則B足球售價為（x+12）元/個．由題意得：，即，∴96（x+12）＝120x，∴x＝48．經(jīng)檢驗，x＝48是原分式方程的解且符合題意．∴A足球售價為48元/個，B足球售價為60元/個．設今年購進B足球的個數(shù)為a個，則有：．∴50.4×50﹣50.4a+54a≤2640．∴6a≤120，∴．∴最多可購進33個B足球．【點評】本題考查了分式方程的應用、一元一次不等式的應用，解題的關(guān)鍵是：找準等量關(guān)系，正確列出分式方程；根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．23．（10分）已知AB是⊙O的任意一條直徑．（1）用圖1，求證：⊙O是以直徑AB所在直線為對稱軸的軸對稱圖形；（2）已知⊙O的面積為4π，直線CD與⊙O相切于點C，過點B作BD⊥CD，垂足為D，如圖2．求證：①BC2＝2BD；②改變圖2中切點C的位置，使得線段OD⊥BC時，OD＝2．【分析】（1）過點P作PP′⊥AB，交⊙O于點P′，垂足為M，由垂徑定理得出△OPP'是等腰三角形，由軸對稱的性質(zhì)可得出結(jié)論；（2）①求出AB＝4，證明△ACB∽△CDB，由相似三角形的性質(zhì)得出，則可得出結(jié)論；②證明四邊形BOCD是邊長為2的正方形，由正方形的性質(zhì)可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：如圖，設P是⊙O上點A，B以外任意一點，過點P作PP′⊥AB，交⊙O于點P′，垂足為M，若M與圓心O不重合，連接OP，OP′，在△OPP'中，∵OP＝OP′，∴△OPP'是等腰三角形，又PP′⊥AB，∴PM＝MP′，則AB是PP'的垂直平分線，若M與圓心O重合，顯然AB是PP'的垂直