2019-2020學(xué)年人教A版廣東省湛江市高一第一學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷 含解析

2019-2020學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題

1.已知集合4={1,2,3,4},B=[y\y=3x-2,xG川，貝()

A.{1}B.{4}C.{1,3}D.{1,4}

2.軸截面為正方形的圓柱的側(cè)面積與全面積的比是（）

A.1:2B.2:3C.1:3D.1:4

3.直線曲■ByHnO的傾斜角為（）

A.150°B.120°C.30°D.60°

4.函數(shù)f（x）—3-3一*的定義域?yàn)?)

A.[-1,+8)B.[-1,0)U(0,+8)

C.(-8,-1)D.(-1,0)U(0,+8)

5.有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表:

X23456

y1.402.565.311121.30

則體現(xiàn)這些數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)模型是（）

11xIo

A._2B.y=IogxC.y=—?2D.y=-x

y=x232

6.已知圓C的圓心是直線妙妙1=0和直線x-y-1=0的交點(diǎn)，直線3A+4y-11=0與圓C

相交的弦長(zhǎng)為6,則圓C的方程為（）

A.x+(yH)2=18B.Y+(y-1)五

C.(%-1)2+y=18D.(x-1)2+/=3&

7.過(guò)半徑為2的球。（0為球心）表面上一點(diǎn)4作球0的截面，若。（與該截面所成的角是

30°,則該截面的面積為（）

A.nB.2nC.3nD.2?TT

8.設(shè)。、"是兩條不同直線，a、B是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是（)

A.若m//a,a_LB,則ml.BB.若m//a,n//a,則m//n

C.若ml.a,m//B,則a〃BD.若m//n,ml.a,則n±a

9.若圓C:（x-d）2+（JH-5）2=才被直線/.產(chǎn)尸2=0分成的兩段弧長(zhǎng)之比為1：3,則

滿足條件的圓（）

A.有一個(gè)B.有兩個(gè)C.有三個(gè)D.有四個(gè)

10.已知函數(shù)A(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，f(-1)=3,且當(dāng)x》0時(shí)，f(x)=2*+A+C

(c為常數(shù))，則不等式A(x-1)V6的解集是()

A.(-3,1)B.(-2,3)C.(-2,2)D.(-1,3)

11.若點(diǎn)(m,n)在直線4A+3y-10=0上，貝4/+一的最小值是(

A.2B.2血D.2正

12.定義在區(qū)間(1,+oo)上的函數(shù),(必滿足兩個(gè)條件：(1)對(duì)任意的*￡(1,+oo),

恒有f(2x)=2f(x)成立；(2)當(dāng)(1,2］時(shí)，f(x)=2-x.若函數(shù)g(x)=

f(x)-k(x-1)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是()

A.[1,2)B.[1,2]C.4.2)D.4，2)

OO

二、填空題

13.函數(shù)f(x)=2/3,g(妙2)=/(x),則g(x)=.

14.已知直線/與直線尸*平行，且被圓V+夕-4x-4片7=0所截得的弦長(zhǎng)為則直

線/的方程為.

15.過(guò)點(diǎn)P(1,-3)且和圓x+y+2x-2y-2=0相切的直線方程為.

16.如圖，在直角梯形/腦中，BCLDC,AEA.DC,M、N分別是40、5E的中點(diǎn)，將三角形

/應(yīng)■沿4F折起，則下列說(shuō)法正確的是.

(1)不論〃折至何位置(不在平面48c內(nèi))，都有腑〃平面

(2)不論。折至何位置，都有做■!?!￡■;

(3)不論〃折至何位置(不在平面48c內(nèi))，都有制〃4B：

(4)在折起過(guò)程中，一定存在某個(gè)位置，使ECL4O.

DEC

三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.已知△48C的頂點(diǎn)4(4,3),48邊上的高所在直線為x-y-3=0,〃為4C中點(diǎn)，且

劭所在直線方程為3妙y-7=0.

(1)求頂點(diǎn)8的坐標(biāo)；

(2)求仍邊所在的直線方程.

18.如圖，在三棱錐P-4仇?中，AP=CP,0是4c的中點(diǎn)，PO=1,OB=2,

(1)證明：平面外CJ"平面4SC；

19.某種商品在30天內(nèi)每件的銷售價(jià)格P(元)與時(shí)間t(天)的函數(shù)關(guān)系為

t+200<t<25,t€N*，.

P=〈，該商品在30天內(nèi)日銷售量。(件)與

-t+10025<t<30,t€N*.

時(shí)間t(天)之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，具體數(shù)據(jù)如表：

第t天5152030

Q35252010

(I)根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，求出日銷售量。關(guān)于時(shí)間方的函數(shù)表達(dá)式；

(II)求該商品在這30天中的第幾天的日銷售金額最大，最大值是多少？

20.已知函數(shù)f(x)=x-1"(x手0).

x

(I)用定義法證明；函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增；

(II)若對(duì)任意xG[-2,0)都有2(x)>己恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

21.如圖，直方體/腦-48G〃中，。是/C中點(diǎn).

(I)證明：0G〃平面4區(qū)4；

(II)求直線與平面44%所成的角的值.

22.已知圓心為C的圓過(guò)點(diǎn)(愿，3),且與直線y=2相切于點(diǎn)(0,2).

(1)求圓C的方程；

(2)已知點(diǎn)4/(-3,4),且對(duì)于圓C上任一點(diǎn)P,線段照C上存在異于點(diǎn)"的一點(diǎn)N,

使得|閡=入|力|(人為常數(shù))，試判斷使△力”的面積等于4的點(diǎn)。有幾個(gè)，并說(shuō)明

理由.

參考答案

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.請(qǐng)把正確答案的代號(hào)填入下面的表格內(nèi).

1.已知集合4={1,2,3,4),3={y\y=3x-2,xG4},貝"{DQ()

A.{1}B.{4}C.{1,3}D.{1,4}

【分析】把/中元素代入y=3x-2中計(jì)算求出y的值，確定出8,找出/與夕的交集即

可.

解：把x=1,2,3,4分別代入y=3x-2得：y=1,4,7,10,即8={1,4,7,10),

2,3,4),

：.AC\B={y,4},

故選：D.

2.軸截面為正方形的圓柱的側(cè)面積與全面積的比是()

A.1:2B.2:3C.1:3D.1:4

【分析】利用圓柱的軸截面為正方形，即h=2r,由此即可求出其側(cè)面積與全面積，即

可求解.

解：由于圓柱的軸截面為正方形，即方=2廣；

所以圓柱的側(cè)面積為：2nr?A=4nr;全面積為：TT/X2+2nh=6nr；

即圓柱的側(cè)面積與全面積的比為：4nr2：6nr2=2:3.

故選：B.

3.直線小+3yH=0的傾斜角為()

A.150°B.120°C.30°D.60°

【分析】求出直線的斜率，即可求出直線的傾斜角.

解：直線心+3齊1=0的斜率是-瓜，傾斜角是器，

36

故選：A.

4.函數(shù)A(x)=/〃|x|+J3一、的定義域?yàn)?)

A.[-1,+8)B.[-1,0)U(0,+8)

C.-1)D.(-1,0)U(0,+8)

【分析】根據(jù)函數(shù)A（X）的解析式，列出使解析式有意義的不等式組，求出解集即可.

解：函數(shù)尸（x）=/〃|X|+43-3~X，

Ixl^Ox卉0

解得

3-3~x>0,x>-1

所以/（x）的定義域?yàn)椋?1,0）U（0,+8）.

故選：B.

5.有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表:

X23456

y1.402.565.311121.30

則體現(xiàn)這些數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)模型是（）

11?1?

A._萬(wàn)B.y=logxC.y=--2D.y=-x

y=x232

【分析】把（t,y）的值分別代入4B,C,〃中，能夠找到最佳體現(xiàn)這些數(shù)據(jù)關(guān)系的函

數(shù)模型.

解：把（x,y）的值分別代入y=/中，不成立，故4不能最佳體現(xiàn)這些數(shù)據(jù)關(guān)系；

x

把（x,。的值分別代入y=log2X中，不成立，故夕不能最佳體現(xiàn)這些數(shù)據(jù)關(guān)系；

把（x,y）的值分別代入7=士?2'中，基本成立，故C能最佳體現(xiàn)這些數(shù)據(jù)關(guān)系；

O

把（X,y）的值分別代入y=gx2中，不成立，故。不能最佳體現(xiàn)這些數(shù)據(jù)關(guān)系.

故選：C.

6.已知圓C的圓心是直線A+yt-1=0和直線x-y-1=0的交點(diǎn)，直線3^+4y-11=0與圓C

相交的弦長(zhǎng)為6,則圓C的方程為（）

A.x+（yH）2=18B.X+（y-1）2=3../2

C.（x-1）2+y=18D.（x-1）2+爐=3我

【分析】求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)即圓心坐標(biāo)，根據(jù)相交弦的弦長(zhǎng)公式求解半徑即可.

解：直線妙尸1=0與直線x-y-1=0的交點(diǎn)為（0,-1）,

二所以圓C的圓心為C（0,-1）,

設(shè)半徑為r,

2

2792

由題意可得732+42+3=r,

即解得r=18,

故圓C的方程為x+(>+1)2=18.

故選：A.

7.過(guò)半徑為2的球0(0為球心)表面上一點(diǎn)/作球0的截面，若04與該截面所成的角是

30°,則該截面的面積為()

A.nB.2nC.3nD.2?n

【分析】充分利用球的半徑力、球心與截面圓心的連線、以在截面圓上的射影構(gòu)成的直

角三角形解決即可.

解：解：設(shè)截面的圓心為Q,0A=2,

由題意得：N0k7=3O°,QA=M

/.5=n?(?)2=3n.

故選：C.

8.設(shè)久"是兩條不同直線，a、B是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是()

A.若〃〃a,a_LB,則BB.若〃〃a,n//a,則m〃"

C.若加_La,m//3,則a〃BD.若加〃〃，ml.a,則"_La

【分析】根據(jù)各選項(xiàng)的條件及結(jié)論，可畫出圖形或想象圖形，再結(jié)合面面垂直的判定定

理即可找出正確選項(xiàng).

解：A.錯(cuò)誤，若aJ_0,ml.a,則m//B或gB,故力錯(cuò)誤；

B.錯(cuò)誤，同時(shí)和一個(gè)平面平行的兩直線不一定平行，可能相交，可能異面；

C.錯(cuò)誤，ml.a,m//B=a_LB；

D.正確，由ml.a,m//n便得"_La.

故選：D.

9.若圓C:(x-a)2+(y+a)?=才被直線/:妙尸2=0分成的兩段弧長(zhǎng)之比為1:3,則

滿足條件的圓()

A.有一個(gè)B.有兩個(gè)C.有三個(gè)D.有四個(gè)

【分析】直接利用直線把圓分的兩段弧為1:3,故圓心到直線的距離等于半徑的一半，

進(jìn)一步利用點(diǎn)到直線的距離求出a的值.進(jìn)一步確定圓的個(gè)數(shù).

解：圓C-.(.x-a)2+(y+a)2=a,

該圓是以(a,-a)為圓心，|a|為半徑的圓，

被直線/:/六2=0分成的兩端弧長(zhǎng)之比是1：3,

則圓心到直線的距離勺上空畔］_上

V22

解得：a=±2-/2>

所以：滿足條件的圓有兩個(gè).

故選：B.

10.已知函數(shù)5(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，f(-1)=3,且當(dāng)x》0時(shí)，5(x)=2*+A+C

(c為常數(shù))，則不等式A(x-1)V6的解集是()

A.(-3,1)B.(-2,3)C.(-2,2)D.(-1,3)

【分析】因?yàn)楹瘮?shù)尸(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，f(-1)=3,所以f(1)=3,由題

意求出c的值，進(jìn)而求出6=5(2),由偶函數(shù)的對(duì)稱性可得x的范圍.

解：因?yàn)槭?x)是偶函數(shù)，所以2(-1)=f(1)=2+1+c=3,所以c=0.

所以當(dāng)x》0時(shí)，f(x)=T+x,是增函數(shù)，又因?yàn)?(2)=6,

所以當(dāng)x-1》0時(shí)，0WX-1V2;

因?yàn)閒(%)是偶函數(shù)，所以當(dāng)xVO時(shí)f(x)是減函數(shù)，且2(-2)=6,

所以當(dāng)X-1V0時(shí)，-2VX-1V0.

所以解得-1VxV3.

故選：D.

11.若點(diǎn)Qm,ri)在直線4A+3y-10=0上，則鏘方的最小值是()

A.2B.242C.4D.2a

【分析】由題意知點(diǎn)(勿，")為直線上到原點(diǎn)最近的點(diǎn)，直角三角形A48中，0A=^9

0B=—,斜邊上的高力即為所求/+//的算術(shù)平方根，由此能求出演+才的最小值.

O

解：由題意知點(diǎn)(加，ri)為直線上到原點(diǎn)最近的點(diǎn)，

直線與兩軸交于44，0),B(0,￥),

直角三角形048中，創(chuàng)吾，但學(xué)斜邊g’,)'+(￥)2=*,

斜邊上的高〃即為所求/+〃?的算術(shù)平方根,

?.?△048面積h,

..OAXOB

??n---------

AB

12羋3-

25'

V

:.m+n的最小值=斤=4,

故選：C.

12.定義在區(qū)間(1,+8)上的函數(shù)A(x)滿足兩個(gè)條件：(1)對(duì)任意的xG(1,+8),

恒有f(2x)=2f(.x)成立；(2)當(dāng)xG(1,2]時(shí)，f(x)=2-x.若函數(shù)g(x)=

f(x)~k(x-1)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)々的取值范圍是()

A.[1,2)B.[1,2]C.仔，2)D.得，2)

OO

【分析】根據(jù)題中的條件得到函數(shù)的解析式為：fCx)=-妙24xG(仇26],又因?yàn)?/p>

A(x)=k(x-1)的函數(shù)圖象是過(guò)定點(diǎn)(1,0)的直線，再結(jié)合函數(shù)的圖象根據(jù)題意求

出參數(shù)的范圍即可

解：因?yàn)閷?duì)任意的xG(1,+8)恒有f(2x)=2f(x)成立，且當(dāng)xG(1,2]時(shí)，f

(x)=2-x

所以/'(x)=-x^2b,xG(.b,2b\.

由題意得尸(x)=k(x-1)的函數(shù)圖象是過(guò)定點(diǎn)(1,0)的直線，

如圖所示紅色的直線與線段48相交即可(可以與8點(diǎn)重合但不能與/點(diǎn)重合)

所以可得々的范圍為]<k<2

故選：C.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分.

13.函數(shù)/'(x)=2A+3,g(A+2)=f(x),則g(x)=2x-1

【分析】先由尸(X)=2/3,g(A+2)=A(X)求得g(妙2)再利用換元法將/2=t

求得g(t),再令x=t即得g(x).

【解答】解根據(jù)題意：f(x)=2/3,g(A+2)=f3,

g(A+2)=2/3,

令妙2=下，貝iJx=￡-2

：.g(t)=2t-1

令x=t

'.g(x)=2x-1

故答案為：2x-1

14.已知直線/與直線7=乂平行，且被圓f+夕-4x-4尸7=0所截得的弦長(zhǎng)為J],則直

線/的方程為y=x±1.

【分析】根據(jù)題意，設(shè)直線/的方程為尸戶仇即x-八6=0,由直線與圓的位置關(guān)系

可得圓心到直線的距離d,結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可得"=甲"=返，解可得6的值,

V22

即可得答案.

解：根據(jù)題意，直線/與直線尸x平行，設(shè)直線/的方程為尸產(chǎn)仇即x-j/+6=0

圓f+/-4x-4尸7=0,即(x-2)2+(y-2)2=1,圓心為(1,1),半徑r=1,

若直線/被圓f+/-4x-4尸7=0所截得的弦長(zhǎng)為我，則圓心到直線的距離

=返

2，

則有占取■=返，解可得6=±1,

V22

故直線/的方程為y=x±1;

故答案為：y=x±1.

15.過(guò)點(diǎn)戶(1,-3)且和圓x+y+2x-2y-2=0相切的直線方程為*=1或3A+4尸9=0.

【分析】根據(jù)題意，分析圓的圓心與半徑，由直線與圓相切的性質(zhì)可得圓心到直線的距

離&分直線的斜率是否存在2種情況討論，求出直線的方程，綜合即可得答案.

解：根據(jù)題意，圓f+/+2x-2y-2=0,即(/1)2+(y-1)2=4,圓心為(-1,1),

半徑r=2;

若直線與圓f+/+2x-2y-2=0相切，則圓心到直線的距離d=2,

若切線的斜率不存在，則直線的方程為x=1,直線與圓相切，符合條件；

若切線的斜率存在，設(shè)直線的方程為y+3=〃(x-1),即〃x-y-/r-3=0,

|-k-1一『3]'二1

此時(shí)有---/]卜2—=2，解可得〃=-j,

q

此時(shí)直線的方程為y+3=-E(x-1),即3A+4y+9=0;

4

綜合可得:直線的方程為：x=1或3A+4J/+9=0;

故答案為：x=1或3A+4齊9=0.

16.如圖，在直角梯形四緲中，BCLDC,AE2.DC,M、〃分別是血、BE的中點(diǎn)、,將三角形

4?￡沿〃■折起，則下列說(shuō)法正確的是(1)(2)(4).

(D不論〃折至何位置(不在平面/宓內(nèi))，都有腑〃平面比a

(2)不論〃折至何位置，都有做J_4￡;

(3)不論〃折至何位置(不在平面Z8C內(nèi))，都有腑/〃48；

(4)在折起過(guò)程中，一定存在某個(gè)位置，使ECL4O.

【分析】利用直線和平面平行、直線和平面垂直的判定定理、性質(zhì)定理，結(jié)合反例、反

證法的思想方法，逐一判斷得出答案.

解：由已知，在未折疊的原梯形中，AB//DE,BE//AD.所以四邊形/(以力為平行四邊形，

：.DA=EB.折疊后得出圖形如下：

(1)過(guò)M〃分別作8C的平行線，交切，EC于F,H.連接FH

則1njH—N=—EN,—FM■=—DM

CBEBEADA

由平行公理得〃%

'：DA=EB,：.HN=FM,

二四邊形M〃力是平行四邊形.

：.MN//FH

M幅面CED,HFu曲CED....M/〃平面DEC.①正確

(2)由已知，AELED,AES.EC,

.,"EL面CED,HFu面CEDJ.AE1.HF,:.MNLAE;②正確

(3)MN與AB異面.假若MN//AB,則腑與48確定平面MNAB,

從而BEu平面MNAB,Ag平面MNAB.與跖和47是異面直線矛盾.③錯(cuò)誤.

(4)當(dāng)綏_L￡?時(shí)，EC2-AD.

這是因?yàn)椋捎贑￡L￡4,EACED=E,

所以CEL面AED,ADa面AED.得出ECLAD.④正確.

三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.已知△48C的頂點(diǎn)4(4,3),48邊上的高所在直線為x-v-3=0,〃為4?中點(diǎn)，且

劭所在直線方程為3A+/-7=0.

(1)求頂點(diǎn)8的坐標(biāo)；

(2)求8c邊所在的直線方程.

【分析】(1)由點(diǎn)力及48邊上的高所在直線求得直線48的方程，再與他所在直線方

程聯(lián)立求出點(diǎn)夕的坐標(biāo)；

(2)根據(jù)題意列方程求出點(diǎn)，的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)式求出直線8C的方程.

解：(1)由4(4,3)及/夕邊上的高所在直線為x-y-3=0,

得48所在直線方程的斜率為-1,

則直線四的方程為y-3=-(x-4),

即為x+y-7=0;

又劭所在直線方程為3A+X-7=0,

,(3x+y-7=0

由1，

[x+y-7=0

求得點(diǎn)B(0,7)；

(2)設(shè)C(〃，〃)，又4(4,3),。為47中點(diǎn)，

則D號(hào)，哈，

QXm+4n+3

由已知得《32270,

m-n-3=0

解得cc1,-1)；

又8(0,7),

化簡(jiǎn)得直線6c的方程為19A+X-7=0.

18.如圖，在三棱錐P-4SC中，AP=CP,0是4?的中點(diǎn)，PO=1,OB=2,

(1)證明：平面融CJ?平面48C;

(2)若ACLBC,BC=V3，求點(diǎn)4到平面南C的距離.

【分析】(1)利用"0MC,印+曲=翻，gpPO1.OB.可證明印上面48C,即可得平面

ZMC_L平面ABG-,

(2)設(shè)0到平面陽(yáng)C的距離為?.由加胞=%-則可得占逅，又點(diǎn)4到平面陽(yáng)C的

4

距離為2d,即可求解.

解：(1)證明：'：AP=CP,0是4c的中點(diǎn)，:.POLAC,

'：PO=\,OB=2,PB=y/s.：.OP+(^=P3,奧POLOB.

<ACnOB=O,:.POL面ABC,

?：Pg面PAC,：.平面PAC1.平面ABC-,

(2)設(shè)。到平面陽(yáng)C的距離為d.

.平面2ICJ"平面48C,平面PACC平面ABC=AC,ACA.BC,:.BCL面PAC,BC±PC

則有VP-BCO=VO-PBC,即有^'S^BCO'P°=['SATBC"d，

oo

VSABC0亭AABCVXjAC-BC=-1,^=yBC-PC=j乂炳X后^^.

:.d=回

4

TO是47的中點(diǎn)，.?.點(diǎn)4到平面PBC的距離為24?.

2

19.某種商品在30天內(nèi)每件的銷售價(jià)格P（元）與時(shí)間t（天）的函數(shù)關(guān)系為

t+200<t<25,tCN*,

P=《，該商品在30天內(nèi)日銷售量。（件）與

-t+100254t<30,tEN*.

時(shí)間t（天）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，具體數(shù)據(jù)如表：

第t大5152030

Q35252010

（I）根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，求出日銷售量。關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)表達(dá)式；

（II）求該商品在這30天中的第幾天的日銷售金額最大，最大值是多少？

【分析】（I）設(shè)日銷售量。關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)表達(dá)式為Q=kt^b,依題意列出方程組,

能求出日銷售量。關(guān)于時(shí)間大的函數(shù)表達(dá)式.

（II）設(shè)商品的日銷售金額為y（元），依題意：y=PQ,列方程組，得到

'-t2+20t+8000<t<25,t€N*,?

y=〈由此能求出該商品在這30天

[t2-140t+400025<t<30,t€N*.

中的第25天的日銷售金額最大，為1125元.

解：（I）設(shè)日銷售量0關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)表達(dá)式為Q=kt^b,依題意得：

[35=5k+b,解之得“k=-l,

I10=30k+blb=40

所以日銷售量。關(guān)于時(shí)間大的函數(shù)表達(dá)式為4-t+40（te（0,30],tsN*,）.

（II）設(shè)商品的日銷售金額為y（元），依題意：y=PQ,

'(t+20)(-t+40)0<t<25,t€N*

所以y=<

(-t+100)(-t+40)254t430,t€N*.

-t2+20t+8000<t<25,t€N*

即：y=<

t2-140t+400025430,t€N*.

當(dāng)te(0,25),tGN*時(shí)，y=-(t-10)2+900,當(dāng)t=10時(shí)，%*=900,

當(dāng)te[25,30],tWN*時(shí)，y=(t-70)2-900,當(dāng)t=25時(shí)，蟲=1125,

所以該商品在這30天中的第25天的日銷售金額最大，為1125元.

20.已知函數(shù)f（x）=乂-工（x*0）.

(I)用定義法證明；函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增；

(II)若對(duì)任意xG［-2,0)都有r(x)>且恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【分析】(I)用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟要熟記，直接用定義證明即可；

(II)由(I)函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)為奇函數(shù)，進(jìn)而知在［-2,0］上的單調(diào)性，求出

的取值范圍.

解：(I)任取X、x2e(0,+8),且*VM,

-

f(xJ-f(X2)=(x<-)-(xn-^)=(X,-X2)-~~~)

1z12X*x

21XiX212

(xj-x2)(XJX2+1)

xlx2'

因?yàn)镺VM〈及，

所以X-x2<0,xix2>0,xix2+1>0,

(X.-Xn)(X<Xo+l))

所以■—i-———-<0,即f(%)-f(死)<0,即f(*)<f(A2),

xlx2

所以函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增；

(II)因?yàn)楹瘮?shù)尸(x)的定義域是(-8,0)U(0,+8),

對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)X都有f(-x)=-X-*^=-f(X)>

X

所以函數(shù)f(X)是奇函數(shù)，

由(I)知函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)A(X)在區(qū)間(-8,0)上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)2(x)在區(qū)間(-2,0)上單調(diào)遞增，

所以f(x)1nl^式-2)=得，

所以a<-T-,

即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-8,-反).

21.如圖，直方體必-48GU中，。是/C中點(diǎn).

(I)證明：0G〃平面454；

(II)求直線與平面447C所成的角的值.

D\A

I,*'

----Jc

一二或LtZ

A-------------B

【分析】(I)設(shè)4CD8U=Q,連結(jié)Aa,推導(dǎo)出四邊形及也，是平行四邊形，從而

AC//A^,4C=AC,推導(dǎo)出04〃aG,OA=OyCy,從而四邊形47GQ是平行四邊形，進(jìn)而

oa//Aa,由此能證明例〃平面眼U.

(II)推導(dǎo)出"JL平面48G4AAJ孫推導(dǎo)出841■平面44心，垂足為Q,則N

ZMQ為直線ZM與平面4/笫所成的角.由此能求出直線ZM與平面44%所成的角的大

小.

解：(I)證明：設(shè)4CD84=a,連結(jié)4Q,

因?yàn)?14〃%且44=GG,所以四邊形44心C是平行四邊形，

所以/勿4G,AC=AG,

又因?yàn)?、。分別4c和4G的中點(diǎn)，

所以0A//aa,0A=aa,

所以四邊形加是平行四邊形，所以例〃加，

因?yàn)镺tGBtOi,所以4Qu平面/區(qū)4，

又因?yàn)閍w平面的U,所以僅〃平面圈兒

(II)解：因?yàn)?4

4Uu平面48GU,48u平面48G4,-S-44n45=4,

所以/44_L平面48G4,所以

又因?yàn)镚4~1~8U,G4u平面AA\Gy,AA-iC平面AA\C\,且^^nG4=4,

所以平面44。，垂足為a,

所以N4/ia為直線與平面44笫所成的角.

因?yàn)镈IOI=]BIDI=[ADI，所以N/via=3o°?

所以直線ZM與平面4/券所成的角的大小是30°.

22.已知圓心為C的圓過(guò)點(diǎn)(?,3),且與直線y=2相切于點(diǎn)(0,2).

(1)求圓C的方程；

(2)已知點(diǎn)4/(-3,4),且對(duì)于圓C上任一點(diǎn)P,線段掰?上存在異于點(diǎn)"的一點(diǎn)N,

使得|掰|=入|外|(人為常數(shù))，試判斷使△0W的面積等于4的點(diǎn)戶有幾個(gè)，并說(shuō)明

理由.

【分析】(1)依題意可設(shè)圓心C