全等三角形-全等三角形與旋轉(zhuǎn)問題

全等三角形與旋

轉(zhuǎn)問題j*八步*1*、*%￥、*、才1,、『1+'r中考要求板塊考試要求A級要求B級要求C級要求全等三角形的性質(zhì)及判定會識別全等三角形掌握全等三角形的概念、判定和性質(zhì)，會用全等三角形的性質(zhì)和判定解決簡單問題會運用全等三角形的性質(zhì)和判定解決有關(guān)問題基本知識把圖形G繞平面上的一個定點O旋轉(zhuǎn)一個角度0，得到圖形G',這樣的由圖形G到G'變換叫做旋轉(zhuǎn)變換，點O叫做旋轉(zhuǎn)中心，0叫做旋轉(zhuǎn)角，G叫做G的象；G叫做G'的原象，無論是什么圖形，在旋轉(zhuǎn)變換下，象與原象是全等形.很明顯，旋轉(zhuǎn)變換具有以下基本性質(zhì)：①旋轉(zhuǎn)變換的對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；②對應(yīng)直線的交角等于旋轉(zhuǎn)角.旋轉(zhuǎn)變換多用在等腰三角形、正三角形、正方形等較規(guī)則的圖形上，其功能還是把分散的條件盯對集中，以便于諸條件的綜合與推演.

重點：本節(jié)的重點是全等三角形的概念和性質(zhì)以及判定，全等三角形的性質(zhì)是以后證明三角形問題的基礎(chǔ)，也是學(xué)好全章的關(guān)鍵。同時全等三角形的判定也是本章的重點，特別是幾種判定方法，尤其是當(dāng)在直角三角形中時，HL的判定是整個直角三角形的重點難點：本節(jié)的難點是全等三角形性質(zhì)和判定定理的靈活應(yīng)用。為了能熟練的應(yīng)用性質(zhì)定理及其推論，要把性質(zhì)定理和推論的條件和結(jié)論弄清楚，哪幾個是條件，決定哪個結(jié)論，如何用數(shù)學(xué)符號表示，即書寫格式，都要在講練中反復(fù)強(qiáng)化例題精講例題精講【例1】如圖，有四個圖案，它們繞中心旋轉(zhuǎn)一定的角度后，都能和原來的圖案相互重合，其中有一個圖案與其余三個圖案旋轉(zhuǎn)的角度不同，它是（）.<25><25>【例2【例2】如圖，同學(xué)們曾玩過萬花筒，它是由三塊等寬等長的玻璃片圍成的,其中菱形可以看成是把菱形A5C。菱形A5C。以A為中心（A.順時針旋轉(zhuǎn)60。得到C.逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到).B.順時針旋轉(zhuǎn)120。得到D.逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到CC【例3】如圖，C是線段BD上一點，分別以BC、CD為邊在BD同側(cè)作等邊△ABC和等邊4CDE,AD交CE于F，BE交AC于G，則圖中可通過旋轉(zhuǎn)而相互得到的三角形對數(shù)有（【例3】A.1對 B.2對C3對 D.4對【例4【例4】已知：如圖，點C為線段AB上一點，AACM、'CBN是等邊三角形.求證：AN=BM.【例5【例5】如圖，B,C,E三點共線，且'ABC與'DCE是等邊三角形，連結(jié)BD,AE分別交AC,DC于M,N點.求證：CM=CN.【補(bǔ)充】C【補(bǔ)充】C已知：如圖，點C為線段AB上一點，AACM、'CBN是等邊三角形.求證：CF平分ZAFB.【補(bǔ)充】如圖，點C為線段AB上一點，AACM、ACBN是等邊三角形.請你證明：⑴AN=BM；⑵DE//AB；⑶CF平分ZAFB.【例6】（2008年懷化市初中畢業(yè)學(xué)業(yè)考試試卷）如圖，四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接AE、CG.求證：AE=CG.【例7】如圖，點C為線段AB上一點，AACM、ACBN是等邊三角形，D是AN中點，E是BM中點，求證：ACDE是等邊三角形.C【補(bǔ)充】（2008年全國初中數(shù)學(xué)競賽海南區(qū)初賽）如下圖，在線段AE同側(cè)作兩個等邊三角形AABC和ACDE（/ACE<120），點P與點M分別是線段BE和AD的中點，則NCPM是（）A.鈍角三角形 B.直角三角形C等邊三角形 D.非等腰三角形【例8】如圖，等邊三角形AABC與等邊ADEC共頂點于C點.求證：AE=BD.【例9】如圖，D是等邊AABC內(nèi)的一點，且BD=AD,BP=AB,/DBP二/DBC，問/BPD的度數(shù)是否一定，若一定，求它的度數(shù)；若不一定，說明理由．ABC【例10】（2005年四川省中考題）如圖，等腰直角三角形ABC中，ZB=90。，AB=a,O為AC中點,EO±OF.求證：BE+BF為定值.【例11】（2004河北）如圖，已知點E是正方形ABCD的邊CD上一點，EA±AF.求證：DE=BF.【補(bǔ)充】如圖所示，在四邊形ABCD中，ZADC=ZABC=90。，AD=CD,的面積是16，求DP的長.【例12】E、F分別是正方形ABCD的邊BC、CD上的點，且NEAF=45AH=AB?K點F是CB的延長線上一點，且二:F B CDP±AB于P，若四邊形ABCDDA p B。，AH±EF,H為垂足，求證：A D叮BEC【補(bǔ)充】如圖，正方形OGHK繞正方形ABCD中點O旋轉(zhuǎn)，其交點為E、/，求證：AE+CF=AB.【例13】（1997年安徽省初中數(shù)學(xué)競賽題）在等腰RtAABC的斜邊AB上取兩點M、N，使/MCN=45。，記AM-m，MN-x，BN-n，則以x、m、n為邊長的三角形的形狀是（ ）.A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.隨x、m、n的變化而變化【鞏固】如圖，正方形ABCD的邊長為1,點F在線段CD上運動，AE平分/BAF交BC邊于點E.⑴求證：AF-DF+BE.⑵設(shè)DF-x（0WxWl）,AADF與AABE的面積和S是否存在最大值？若存在，求出此時x的值及S．若不存在,請說明理由．【例14】（通州區(qū)2009一模第25題）請閱讀下列材料：已知：如圖1在RtAABC中，/BAC-90。，AB-AC,點D、E分別為線段BC上兩動點，若/DAE-45。.探究線段BD、DE、EC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系.小明的思路是：把AAEC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。，得到AABE'，連結(jié)E'D,使問題得到解決．請你參考小明的思路探究并解決下列問題：⑴猜想BD、DE、EC三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系式，并對你的猜想給予證明；⑵當(dāng)動點E在線段BC上，動點D運動在線段CB延長線上時，如圖2,其它條件不變，⑴中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變？請說明你的猜想并給予證明．圖1圖2

圖1圖2【例15］（北京市數(shù)學(xué)競賽試題，天津市數(shù)學(xué)競賽試題）如圖所示，AABC是邊長為1的正三角形，ABDC是頂角為120。的等腰三角形，以。為頂點作一個60。的點M、N分別在筋、AC上，求AAMN的周長.【例16】在等邊AABC的兩邊AB,AC所在直線上分別有兩點M,N,D為AABC外一點，且/MDN=60。,/BDC=120。，BD=CD，探究：當(dāng)點M,N分別愛直線AB,AC上移動時，BM,NC,MN之間的數(shù)量關(guān)系及AAMN的周長與等邊AABC的周長L的關(guān)系.⑴如圖①，當(dāng)點M,N在邊AB,AC上，且DM=DN時，BM,NC,MN之間的數(shù)量關(guān)系式此時Q=L⑵如圖②，當(dāng)點M，N在邊AB，AC上，且DM豐DN時，猜想（1）問的兩個結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明；⑶如圖③，當(dāng)點M，N分別在邊AB，CA的延長線上時，若AN=x，則Q=（用x，L表示）【補(bǔ)充】⑴如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，/B=ZD=90。,E、F分別是邊BC、CD上的點，且/EAF=-/BAD.求證：EF=BE+FD;2(2(2)如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD,NB+ND=180。，E、/EAF=-NBAD,⑴中的結(jié)論是否仍然成立？不用證明.2F分別是邊BC、CD上的點，且【例17】平面上三個正三角形ACF，ABD，BCE兩兩共只有一個頂點，求證：EF與CD平分.【例18】已知：如圖，AABC、ACDE、AEHK都是等邊三角形，且A、D、K共線，AD=DK.求證：AHBD也是等邊三角形．【例19】(1997年安徽省競賽題)如圖，在△ABC外面作正方形ABEF與ACGH,AD為^ABC的高，其反向延長線交FH于M，求證：⑴BH=CF;(2)MF=MH【補(bǔ)充】以△ABC的兩邊AB、AC為邊向外作正方形ABDE、ACFG,求證：CE=BG,且CE±BG.=/E=90°【例20】（北京市初二數(shù)學(xué)競賽試題）如圖所示，在五邊形=/E=90°AB=CD=AE=BC+DE=1,求此五邊形的面積.【例21］（希望杯全國數(shù)學(xué)邀請賽初二第二試試題）在五邊形ABCDE中，已知AB=AE,BC+DE=CD,^ABC+ZAED=180c，連接AD.求證：AD平分/CDE.【習(xí)題1］如圖，已知AABC和AADE都是等邊三角形，B、C、D在一條直線上，試說明CE與AC+CD相等的理由.

【習(xí)題2】（湖北省黃岡市2008年初中畢業(yè)生升學(xué)考試）已知：如圖，點E是正方形ABCD的邊AB上任意一點，過點D作DF±DE交BC的延長線于點F.求證：DE=DF.【習(xí)題3】（2008山東）在梯形ABCD中，AB〃CD,AA=90。，AB=2,BC=3,CD=1,E是AD中點，試判斷EC與EB的位置關(guān)系，并寫出推理過程.【習(xí)題4】已知：如圖，點C為線段AB上一點，AACM、ACBN是等邊三角形.CG、CH分別是AACN、NMCB的高.求證：CG=CH.月測備選,、II廣]1J??月測備選,、II廣]1J??J[[J]【備選1】在等腰直角AABC中，M