打卡第六天-10天刷完高考真題（新高考Ⅰ和Ⅱ卷2021-2023）-沖刺2024年高考數(shù)學考前必刷題（新高考）解析版

第第頁10天刷完高考真題（新高考Ⅰ和Ⅱ卷2021-2023）-沖刺2024年高考數(shù)學考前必刷題（新高考通用）新高考真題限時訓練打卡第六天Ⅱ真題限時訓練新高考真題限時訓練打卡第六天難度：一般建議用時:60分鐘一、單選題1．（2021·全國·高考真題）設集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用交集的定義可求.【詳解】由題設有，故選：B.2．（2021·全國·高考真題）拋物線的焦點到直線的距離為，則（

）A．1 B．2 C． D．4【答案】B【分析】首先確定拋物線的焦點坐標，然后結合點到直線距離公式可得的值.【詳解】拋物線的焦點坐標為，其到直線的距離：，解得：(舍去).故選：B.3．（2021·全國·高考真題）正四棱臺的上?下底面的邊長分別為2，4，側棱長為2，則其體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由四棱臺的幾何特征算出該幾何體的高及上下底面面積，再由棱臺的體積公式即可得解.【詳解】作出圖形，連接該正四棱臺上下底面的中心，如圖，因為該四棱臺上下底面邊長分別為2，4，側棱長為2，所以該棱臺的高，下底面面積，上底面面積，所以該棱臺的體積.故選：D.4．（18-19高一·全國·課時練習）下列區(qū)間中，函數(shù)單調遞增的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解不等式，利用賦值法可得出結論.【詳解】因為函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，對于函數(shù)，由，解得，取，可得函數(shù)的一個單調遞增區(qū)間為，則，，A選項滿足條件，B不滿足條件；取，可得函數(shù)的一個單調遞增區(qū)間為，且，，CD選項均不滿足條件.故選：A.【點睛】方法點睛：求較為復雜的三角函數(shù)的單調區(qū)間時，首先化簡成形式，再求的單調區(qū)間，只需把看作一個整體代入的相應單調區(qū)間內即可，注意要先把化為正數(shù)．5．（2022·全國·高考真題）南水北調工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔時，相應水面的面積為；水位為海拔時，相應水面的面積為，將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔上升到時，增加的水量約為（）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據題意只要求出棱臺的高，即可利用棱臺的體積公式求出．【詳解】依題意可知棱臺的高為(m)，所以增加的水量即為棱臺的體積．棱臺上底面積，下底面積，∴．故選：C．6．（2022·全國·高考真題）已知正四棱錐的側棱長為l，其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設正四棱錐的高為，由球的截面性質列方程求出正四棱錐的底面邊長與高的關系，由此確定正四棱錐體積的取值范圍.【詳解】∵球的體積為，所以球的半徑,[方法一]：導數(shù)法設正四棱錐的底面邊長為，高為，則，,所以，所以正四棱錐的體積，所以，當時，，當時，，所以當時，正四棱錐的體積取最大值，最大值為，又時，，時，,所以正四棱錐的體積的最小值為，所以該正四棱錐體積的取值范圍是.故選：C.[方法二]：基本不等式法由方法一故所以當且僅當取到，當時，得，則當時，球心在正四棱錐高線上，此時，，正四棱錐體積，故該正四棱錐體積的取值范圍是二、多選題7．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)的圖像關于點中心對稱，則（

）A．在區(qū)間單調遞減B．在區(qū)間有兩個極值點C．直線是曲線的對稱軸D．直線是曲線的切線【答案】AD【分析】根據三角函數(shù)的性質逐個判斷各選項，即可解出．【詳解】由題意得：，所以，，即，又，所以時，，故．對A，當時，，由正弦函數(shù)圖象知在上是單調遞減；對B，當時，，由正弦函數(shù)圖象知只有1個極值點，由，解得，即為函數(shù)的唯一極值點；對C，當時，，，直線不是對稱軸；對D，由得：，解得或,從而得：或,所以函數(shù)在點處的切線斜率為，切線方程為：即．故選：AD．8．（2022·全國·高考真題）若x，y滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根據基本不等式或者取特值即可判斷各選項的真假．【詳解】因為（R），由可變形為，，解得，當且僅當時，，當且僅當時，，所以A錯誤，B正確；由可變形為，解得，當且僅當時取等號，所以C正確；因為變形可得，設，所以，因此，所以當時滿足等式，但是不成立，所以D錯誤．故選：BC．三、填空題9．（2022·全國·高考真題）曲線過坐標原點的兩條切線的方程為，．【答案】【分析】分和兩種情況，當時設切點為，求出函數(shù)的導函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據切線過坐標原點求出，即可求出切線方程，當時同理可得；【詳解】[方法一]：化為分段函數(shù)，分段求分和兩種情況，當時設切點為，求出函數(shù)導函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據切線過坐標原點求出，即可求出切線方程，當時同理可得；解：因為，當時，設切點為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標原點，所以，解得，所以切線方程為，即；當時，設切點為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標原點，所以，解得，所以切線方程為，即；故答案為：；[方法二]：根據函數(shù)的對稱性，數(shù)形結合當時，設切點為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標原點，所以，解得，所以切線方程為，即；因為是偶函數(shù)，圖象為：所以當時的切線，只需找到關于y軸的對稱直線即可.[方法三]：因為，當時，設切點為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標原點，所以，解得，所以切線方程為，即；當時，設切點為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標原點，所以，解得，所以切線方程為，即；故答案為：；.10．（2022·全國·高考真題）已知橢圓，C的上頂點為A，兩個焦點為，，離心率為．過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，，則的周長是．【答案】13【分析】利用離心率得到橢圓的方程為，根據離心率得到直線的斜率，進而利用直線的垂直關系得到直線的斜率，寫出直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡得到：，利用弦長公式求得，得，根據對稱性將的周長轉化為的周長，利用橢圓的定義得到周長為.【詳解】∵橢圓的離心率為，∴，∴，∴橢圓的方程為，不妨設左焦點為，右焦點為，如圖所示，∵，∴，∴為正三角形，∵過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，為線段的垂直平分線，∴直線的斜率為，斜率倒數(shù)為，直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡得到：，判別式，∴，∴，得，∵為線段的垂直平分線，根據對稱性，，∴的周長等于的周長，利用橢圓的定義得到周長為.故答案為：13.四、解答題11．（2022·全國·高考真題）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為，已知．(1)求的面積；(2)若，求b．【答案】(1)(2)【分析】（1）先表示出，再由求得，結合余弦定理及平方關系求得，再由面積公式求解即可；（2）由正弦定理得，即可求解.【詳解】（1）由題意得，則，即，由余弦定理得，整理得，則，又，則，，則；（2）由正弦定理得：，則，則，.12．（2022·全國·高考真題）如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．(1)求A到平面的距離；(2)設D為的中點，，平面平面，求二面角的正弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由等體積法運算即可得解；（2）由面面垂直的性質及判定可得平面，建立空間直角坐標系，利用空間向量法即可得解.【詳解】（1）在直三棱柱中，設點A到平面的距離為h，則，解得，所以點A到平面的距離為；（2）取的中點E,連接AE,如圖，因為，所以,又平面平面，平面平面，且平面，所以平面，在直三棱柱中，平面，由平面，平面可得，，又平面且相交，所以平面，所以兩兩垂直，以B為原點，建立空間直角坐標系，如圖，由（1）得，所以，，所以，則,所以的中點，則，,設平面的一個法向量，則，可取，設平面的一個法向量，則，可取，則，所以二面角的正弦值為.13．（2022·全國·高考真題）已知點在雙曲線上，直線l交C于P，Q兩點，直線的斜率之和為0．(1)求l的斜率；(2)若，求的面積．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）由點在雙曲線上可求出，易知直線l的斜率存在，設，，再根據，即可解出l的斜率；（2）根據直線的斜率之和為0可知直線的傾斜角互補，根據即可求出直線的斜率，再分別聯(lián)立直線與雙曲線方程求出點的坐標，即可得到直線的方程以及的長，由點到直線的距離公式求出點A到直線的距離，即可得出的面積．【詳解】（1）因為點在雙曲線上，所以，解得，即雙曲線．易知直線l的斜率存在，設，，聯(lián)立可得，，所以，，且．所以由可得，，即，即，所以，化簡得，，即，所以或，當時，直線過點，與題意不符，舍去，故．（2）［方法一］：【最優(yōu)解】常規(guī)轉化不妨設直線的傾斜角為，因為，所以，由（1）知，，當均在雙曲線左支時，，所以，即，解得（負值舍去）此時PA與雙曲線的漸近線平行，與雙曲線左支無交點，舍去；當均在雙曲線右支時，因為，所以，即，即，解得（負值舍去），于是，直線，直線，聯(lián)立可得，，因為方程有一個根為，所以，，同理可得，，．所以，，點到直線的距離，故的面積為．［方法二］：設直線AP的傾斜角為，，由，得，由，得，即，聯(lián)立，及得，，同理，，，故，而，，由，得，故【整體點評】（2）法一：由第一問結論利用傾斜角的關系可求出直線的斜率，從而聯(lián)立求出點坐標，進而求出三角形面積，思路清晰直接，是該題的通性通法，也是最優(yōu)解；法二：前面解答與法一求解點坐標過程形式有所區(qū)別，最終目的一樣，主要區(qū)別在于三角形面積公式的選擇不一樣．Ⅲ精選模擬題預測一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為，，所以.故選：D.2．已知拋物線的焦點為，點的坐標是，P為上一點，則的最小值為（

）A． B．6 C． D．5【答案】D【分析】過點P作拋物線準線l的垂線段，垂足為點，過點A作于點H，結合拋物線的定義可得答案.【詳解】由拋物線知，則，準線l方程為，如圖所示，點A在拋物線內，過點P作拋物線準線l的垂線段，垂足為點，過點A作于點H，由拋物線的定義得,所以,當且僅當點P是線段與拋物線的交點（即A，P，H三點共線）時取等號．所以的最小值為，故選：D.3．中國是瓷器的故鄉(xiāng)，中國瓷器的發(fā)明是中華民族對世界文明的偉大貢獻．下圖是明清時期的一件圓臺形青花纏枝紋大花盆，其上口直徑為20cm，下底直徑為18cm，高為24cm，則其容積約為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據上下底面直徑分別計算出上、下底面面積，代入公式計算即可得出結果.【詳解】依題意可得該圓臺形大花盆的上底面面積為，下底面面積為，又高為，代入圓臺體積公式可得.故選：C4．我們知道，每一個音都是由純音合成的，純音的數(shù)學模型是．已知某音是由3個不同的純音合成，其函數(shù)為，則（

）A． B．的最大值為C．的最小正周期為 D．在上是增函數(shù)【答案】D【分析】首先代入，即可判斷A；再分別根據函數(shù)，，的性質，判斷BCD選項.【詳解】A.，故A錯誤；B.，當，時，函數(shù)取得最大值1，，當，時，函數(shù)取得最大值，，當，時，函數(shù)取得最大值，由，但三個函數(shù)不能同時取得最大值，所以函數(shù)的最大值小于，故B錯誤；C.的最小正周期為，的最小正周期為，的最小正周期為，所以函數(shù)的最小正周期為，故C錯誤；D.，，，所以函數(shù)，，在都是單調遞增函數(shù)，則函數(shù)在上是增函數(shù)，故D正確.故選：D5．一個圓臺的上、下底面的半徑分別為1和4，體積為，則它的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用圓臺的體積公式求得高，再利用圓臺的表面積公式即可得解.【詳解】依題意，設圓臺的高為，則，解得，所以圓臺的母線長為，則圓臺的表面積為.故選：B．6．在直三棱柱中，各棱長均為2，M，N，P，Q分別是線段，，，的中點，點D在線段上，則下列結論錯誤的是（

）A．三棱柱外接球的表面積為 B．C．面 D．三棱錐的體積為定值【答案】C【分析】求出三棱柱外接球表面積判斷A；證明線面垂直判斷B；取特殊位置說明判斷C；利用線面平行判斷D.【詳解】在直三棱柱中，各棱長均為2，對于A，顯然三棱柱是正三棱柱，其外接球球心到平面的距離為1，外接圓半徑，則棱柱外接球半徑，其表面積，A正確；對于B，由是的中點，得，而平面平面，則，而平面，于是平面，又平面，則，由分別為正方形邊中點，得，則，即，又平面，因此平面，而平面，所以，B正確；對于C，由是正方形邊的中點，得，當與不重合時，是的斜邊，不垂直于，因此不垂直于，平面，不垂直于平面，C錯誤；對于D，由選項C知，，平面，平面，則平面，從而點到平面的距離是定值，顯然的面積是定值，因此三棱錐的體積為定值，D正確.故選：C二、多選題7．已知函數(shù)的部分圖像如圖所示、則下列結論正確的是（

）

A．在上有兩個極值點 B．C．函數(shù)的圖象關于軸對稱 D．若，則的最小值為【答案】AC【分析】本題根據正弦型函數(shù)的性質、圖象的變換性質，結合已知圖象逐一判斷即可.【詳解】由題圖知，所以，由圖象可知在時取得極大值，則在時取得極小值，所以上有兩個極值點，A正確；又，所以，所以.因為，所以令，即.所以.所以，B錯誤；因為函數(shù)的周期為，將圖象上的所有點沿軸向右平移個單位長度后得到的圖象，為偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關于軸對稱，C正確；若，則的最小值為錯誤.故選：.8．在平行六面體中，已知，，若，，，則（

）A．的最小值為 B．的最大值為C．的最大值為 D．的最大值為【答案】AC【分析】先根據空間向量轉化得，再結合基本不等式判斷即可.【詳解】

如圖：，，，，則由題意，同理，，所以，又，，，所以，得，當且僅當即時等號成立，故A正確，又，故，，故，當且僅當時等號成立，故C正確，因，，最后等號成立條件為，所以，故B錯誤，，所以，得，當且僅當時等號成立，故D錯誤，故選：AC三、填空題9．過點作曲線的切線，則切線的方程為.【答案】或【分析】設切點坐標為，利用導數(shù)表示出切線方程，代入點，解出得切線方程.【詳解】，則．設切點坐標為，則切線斜率為，切線方程為，代入點，得，即，解得或．當時，切線方程為；當時，切線方程為．故答案為：或10．已知橢圓的離心率為，且橢圓上的點到其右焦點距離的最小值為．若拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，設拋物線上的動點到直線和的距離分別為，，則的最小值為．【答案】/【分析】根據已知條件求出焦點坐標，再利用拋物線的定義轉化求解的最小值即可.【詳解】由橢圓的離心率為，且橢圓上的點到其右焦點距離的最小值為，得，所以，故，因為拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，所以，則拋物線的焦點坐標為，準線方程為，則拋物線上的動點到直線的距離，則，點到直線的距離，則，當且僅當垂直于直線時，取等號，所以的最小值為.故答案為：.四、解答題11．已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足.(1)求角A的大?。?2)若，求的值；(3)若的面積為，，求的周長和外接圓的面積.【答案】(1)(2)(3)，【分析】（1）由正弦定理及三角恒等變換求解即可；（2）由同角三角函數(shù)基本關系、二倍角公式及兩角和正弦公式求解；（3）由三角形面積公式及余弦定理求出，再由正弦定理求外接圓半徑即可.【詳解】（1）由，由正弦定理，從而有，，，，.（2）因為