專題13二次函數綜合問題（共40題）-備戰(zhàn)2024年中考數學必刷真題考點分類專練全國含解析

備戰(zhàn)2024年中考數學必刷真題考點分類專練（全國通用）專題13二次函數綜合問題一．解答題（共40小題）1．（2022?孝感）拋物線y＝x2﹣4x與直線y＝x交于原點O和點B，與x軸交于另一點A，頂點為D．（1）直接寫出點B和點D的坐標；（2）如圖1，連接OD，P為x軸上的動點，當tan∠PDO＝時，求點P的坐標；（3）如圖2，M是點B關于拋物線對稱軸的對稱點，Q是拋物線上的動點，它的橫坐標為m（0＜m＜5），連接MQ，BQ，MQ與直線OB交于點E．設△BEQ和△BEM的面積分別為S1和S2，求的最大值．2．（2022?武漢）拋物線y＝x2﹣2x﹣3交x軸于A，B兩點（A在B的左邊），C是第一象限拋物線上一點，直線AC交y軸于點P．（1）直接寫出A，B兩點的坐標；（2）如圖（1），當OP＝OA時，在拋物線上存在點D（異于點B），使B，D兩點到AC的距離相等，求出所有滿足條件的點D的橫坐標；（3）如圖（2），直線BP交拋物線于另一點E，連接CE交y軸于點F，點C的橫坐標為m．求的值（用含m的式子表示）．3．（2022?婁底）如圖，拋物線y＝x2﹣2x﹣6與x軸相交于點A、點B，與y軸相交于點C．（1）請直接寫出點A，B，C的坐標；（2）點P（m，n）（0＜m＜6）在拋物線上，當m取何值時，△PBC的面積最大？并求出△PBC面積的最大值．（3）點F是拋物線上的動點，作FE∥AC交x軸于點E，是否存在點F，使得以A、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請寫出所有符合條件的點F的坐標；若不存在，請說明理由．4．（2022?廣元）在平面直角坐標系中，直線y＝﹣x﹣2與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）經過A，B兩點，并與x軸的正半軸交于點C．（1）求a，b滿足的關系式及c的值；（2）當a＝時，若點P是拋物線對稱軸上的一個動點，求△ABP周長的最小值；（3）當a＝1時，若點Q是直線AB下方拋物線上的一個動點，過點Q作QD⊥AB于點D，當QD的值最大時，求此時點Q的坐標及QD的最大值．5．（2022?宿遷）如圖，二次函數y＝x2+bx+c與x軸交于O（0，0），A（4，0）兩點，頂點為C，連接OC、AC，若點B是線段OA上一動點，連接BC，將△ABC沿BC折疊后，點A落在點A′的位置，線段A′C與x軸交于點D，且點D與O、A點不重合．（1）求二次函數的表達式；（2）①求證：△OCD∽△A′BD；②求的最小值；（3）當S△OCD＝8S△A'BD時，求直線A′B與二次函數的交點橫坐標．6．（2022?湘潭）已知拋物線y＝x2+bx+c．（1）如圖①，若拋物線圖象與x軸交于點A（3，0），與y軸交點B（0，﹣3），連接AB．（Ⅰ）求該拋物線所表示的二次函數表達式；（Ⅱ）若點P是拋物線上一動點（與點A不重合），過點P作PH⊥x軸于點H，與線段AB交于點M，是否存在點P使得點M是線段PH的三等分點？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．（2）如圖②，直線y＝x+n與y軸交于點C，同時與拋物線y＝x2+bx+c交于點D（﹣3，0），以線段CD為邊作菱形CDFE，使點F落在x軸的正半軸上，若該拋物線與線段CE沒有交點，求b的取值范圍．7．（2022?邵陽）如圖，已知直線y＝2x+2與拋物線y＝ax2+bx+c相交于A，B兩點，點A在x軸上，點B在y軸上，點C（3，0）在拋物線上．（1）求該拋物線的表達式．（2）正方形OPDE的頂點O為直角坐標系原點，頂點P在線段OC上，頂點E在y軸正半軸上，若△AOB與△DPC全等，求點P的坐標．（3）在條件（2）下，點Q是線段CD上的動點（點Q不與點D重合），將△PQD沿PQ所在的直線翻折得到△PQD'，連接CD'，求線段CD'長度的最小值．8．（2022?臺州）如圖1，灌溉車沿著平行于綠化帶底部邊線l的方向行駛，為綠化帶澆水．噴水口H離地豎直高度為h（單位：m）．如圖2，可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標系中兩條拋物線的部分圖象；把綠化帶橫截面抽象為矩形DEFG，其水平寬度DE＝3m，豎直高度為EF的長．下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊緣拋物線最高點A離噴水口的水平距離為2m，高出噴水口0.5m，灌溉車到l的距離OD為d（單位：m）．（1）若h＝1.5，EF＝0.5m．①求上邊緣拋物線的函數解析式，并求噴出水的最大射程OC；②求下邊緣拋物線與x軸的正半軸交點B的坐標；③要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，求d的取值范圍．（2）若EF＝1m．要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，請直接寫出h的最小值．9．（2022?眉山）在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2﹣4x+c與x軸交于點A，B（點A在點B的左側），與y軸交于點C，且點A的坐標為（﹣5，0）．（1）求點C的坐標；（2）如圖1，若點P是第二象限內拋物線上一動點，求點P到直線AC距離的最大值；（3）如圖2，若點M是拋物線上一點，點N是拋物線對稱軸上一點，是否存在點M使以A，C，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．10．（2022?天津）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數，a＞0）的頂點為P，與x軸相交于點A（﹣1，0）和點B．（Ⅰ）若b＝﹣2，c＝﹣3，①求點P的坐標；②直線x＝m（m是常數，1＜m＜3）與拋物線相交于點M，與BP相交于點G，當MG取得最大值時，求點M，G的坐標；（Ⅱ）若3b＝2c，直線x＝2與拋物線相交于點N，E是x軸的正半軸上的動點，F是y軸的負半軸上的動點，當PF+FE+EN的最小值為5時，求點E，F的坐標．11．（2022?蘇州）如圖，二次函數y＝﹣x2+2mx+2m+1（m是常數，且m＞0）的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，頂點為D．其對稱軸與線段BC交于點E，與x軸交于點F．連接AC，BD．（1）求A，B，C三點的坐標（用數字或含m的式子表示），并求∠OBC的度數；（2）若∠ACO＝∠CBD，求m的值；（3）若在第四象限內二次函數y＝﹣x2+2mx+2m+1（m是常數，且m＞0）的圖象上，始終存在一點P，使得∠ACP＝75°，請結合函數的圖象，直接寫出m的取值范圍．12．（2022?嘉興）已知拋物線L1：y＝a（x+1）2﹣4（a≠0）經過點A（1，0）．（1）求拋物線L1的函數表達式．（2）將拋物線L1向上平移m（m＞0）個單位得到拋物線L2．若拋物線L2的頂點關于坐標原點O的對稱點在拋物線L1上，求m的值．（3）把拋物線L1向右平移n（n＞0）個單位得到拋物線L3，若點B（1，y1），C（3，y2）在拋物線L3上，且y1＞y2，求n的取值范圍．13．（2022?樂山）如圖1，已知二次函數y＝ax2+bx+c（a＞0）的圖象與x軸交于點A（﹣1，0）、B（2，0），與y軸交于點C，且tan∠OAC＝2．（1）求二次函數的解析式；（2）如圖2，過點C作CD∥x軸交二次函數圖象于點D，P是二次函數圖象上異于點D的一個動點，連結PB、PC，若S△PBC＝S△BCD，求點P的坐標；（3）如圖3，若點P是二次函數圖象上位于BC下方的一個動點，連結OP交BC于點Q．設點P的橫坐標為t，試用含t的代數式表示的值，并求的最大值．14．（2022?衡陽）如圖，已知拋物線y＝x2﹣x﹣2交x軸于A、B兩點，將該拋物線位于x軸下方的部分沿x軸翻折，其余部分不變，得到的新圖象記為“圖象W”，圖象W交y軸于點C．（1）寫出圖象W位于線段AB上方部分對應的函數關系式；（2）若直線y＝﹣x+b與圖象W有三個交點，請結合圖象，直接寫出b的值；（3）P為x軸正半軸上一動點，過點P作PM∥y軸交直線BC于點M，交圖象W于點N，是否存在這樣的點P，使△CMN與△OBC相似？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．15．（2022?寧波）為了落實勞動教育，某學校邀請農科院專家指導學生進行小番茄的種植，經過試驗，其平均單株產量y千克與每平方米種植的株數x（2≤x≤8，且x為整數）構成一種函數關系．每平方米種植2株時，平均單株產量為4千克；以同樣的栽培條件，每平方米種植的株數每增加1株，單株產量減少0.5千克．（1）求y關于x的函數表達式．（2）每平方米種植多少株時，能獲得最大的產量？最大產量為多少千克？16．（2022?杭州）設二次函數y1＝2x2+bx+c（b，c是常數）的圖象與x軸交于A，B兩點．（1）若A，B兩點的坐標分別為（1，0），（2，0），求函數y1的表達式及其圖象的對稱軸．（2）若函數y1的表達式可以寫成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常數）的形式，求b+c的最小值．（3）設一次函數y2＝x﹣m（m是常數），若函數y1的表達式還可以寫成y1＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）的形式，當函數y＝y(tǒng)1﹣y2的圖象經過點（x0，0）時，求x0﹣m的值．17．（2022?揚州）如圖是一塊鐵皮余料，將其放置在平面直角坐標系中，底部邊緣AB在x軸上，且AB＝8dm，外輪廓線是拋物線的一部分，對稱軸為y軸，高度OC＝8dm．現計劃將此余料進行切割：（1）若切割成正方形，要求一邊在底部邊緣AB上且面積最大，求此正方形的面積；（2）若切割成矩形，要求一邊在底部邊緣AB上且周長最大，求此矩形的周長；（3）若切割成圓，判斷能否切得半徑為3dm的圓，請說明理由．18．（2022?湖州）如圖1，已知在平面直角坐標系xOy中，四邊形OABC是邊長為3的正方形，其中頂點A，C分別在x軸的正半軸和y軸的正半軸上．拋物線y＝﹣x2+bx+c經過A，C兩點，與x軸交于另一個點D．（1）①求點A，B，C的坐標；②求b，c的值．（2）若點P是邊BC上的一個動點，連結AP，過點P作PM⊥AP，交y軸于點M（如圖2所示）．當點P在BC上運動時，點M也隨之運動．設BP＝m，CM＝n，試用含m的代數式表示n，并求出n的最大值．19．（2022?泰安）若二次函數y＝ax2+bx+c的圖象經過點A（﹣2，0），B（0，﹣4），其對稱軸為直線x＝1，與x軸的另一交點為C．（1）求二次函數的表達式；（2）若點M在直線AB上，且在第四象限，過點M作MN⊥x軸于點N．①若點N在線段OC上，且MN＝3NC，求點M的坐標；②以MN為對角線作正方形MPNQ（點P在MN右側），當點P在拋物線上時，求點M的坐標．20．（2022?株洲）已知二次函數y＝ax2+bx+c（a＞0）．（1）若a＝1，b＝3，且該二次函數的圖象過點（1，1），求c的值；（2）如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，該二次函數的圖象與x軸相交于不同的兩點A（x1，0）、B（x2，0），其中x1＜0＜x2、|x1|＞|x2|，且該二次函數的圖象的頂點在矩形ABFE的邊EF上，其對稱軸與x軸、BE分別交于點M、N，BE與y軸相交于點P，且滿足tan∠ABE＝．①求關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的判別式的值；②若NP＝2BP，令T＝c，求T的最小值．閱讀材料：十六世紀的法國數學家弗朗索瓦?韋達發(fā)現了一元二次方程的根與系數之間的關系，可表述為“當判別式△≥0時，關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個根x1、x2有如下關系：x1+x2＝，x1x2＝”．此關系通常被稱為“韋達定理”．21．（2022?懷化）如圖一所示，在平面直角坐標中，拋物線y＝ax2+2x+c經過點A（﹣1，0）、B（3，0），與y軸交于點C，頂點為點D．在線段CB上方的拋物線上有一動點P，過點P作PE⊥BC于點E，作PF∥AB交BC于點F．（1）求拋物線和直線BC的函數表達式．（2）當△PEF的周長為最大值時，求點P的坐標和△PEF的周長．（3）若點G是拋物線上的一個動點，點M是拋物線對稱軸上的一個動點，是否存在以C、B、G、M為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點G的坐標，若不存在，請說明理由．22．（2022?江西）跳臺滑雪運動可分為助滑、起跳、飛行和落地四個階段，運動員起跳后飛行的路線是拋物線的一部分（如圖中實線部分所示），落地點在著陸坡（如圖中虛線部分所示）上，著陸坡上的基準點K為飛行距離計分的參照點，落地點超過K點越遠，飛行距離分越高．2022年北京冬奧會跳臺滑雪標準臺的起跳臺的高度OA為66m，基準點K到起跳臺的水平距離為75m，高度為hm（h為定值）．設運動員從起跳點A起跳后的高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數關系為y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）c的值為；（2）①若運動員落地點恰好到達K點，且此時a＝﹣，b＝，求基準點K的高度h；②若a＝﹣時，運動員落地點要超過K點，則b的取值范圍為；（3）若運動員飛行的水平距離為25m時，恰好達到最大高度76m，試判斷他的落地點能否超過K點，并說明理由．23．（2022?武威）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y＝（x+3）（x﹣a）與x軸交于A，B（4，0）兩點，點C在y軸上，且OC＝OB，D，E分別是線段AC，AB上的動點（點D，E不與點A，B，C重合）．（1）求此拋物線的表達式；（2）連接DE并延長交拋物線于點P，當DE⊥x軸，且AE＝1時，求DP的長；（3）連接BD．①如圖2，將△BCD沿x軸翻折得到△BFG，當點G在拋物線上時，求點G的坐標；②如圖3，連接CE，當CD＝AE時，求BD+CE的最小值．24．（2022?云南）已知拋物線y＝﹣x2﹣x+c經過點（0，2），且與x軸交于A、B兩點．設k是拋物線y＝﹣x2﹣x+c與x軸交點的橫坐標，M是拋物線y＝﹣x2﹣x+c上的點，常數m＞0，S為△ABM的面積．已知使S＝m成立的點M恰好有三個，設T為這三個點的縱坐標的和．（1）求c的值；（2）直接寫出T的值；（3）求的值．25．（2022?金華）“八婺”菜場指導菜農生產和銷售某種蔬菜，提供如下信息：①統(tǒng)計售價與需求量的數據，通過描點（圖1），發(fā)現該蔬萊需求量y需求（噸）關于售價x（元/千克）的函數圖象可以看成拋物線，其表達式為y需求＝ax2+c，部分對應值如下表：售價x（元/千克）…2.533.54…需求量y需求（噸）…7.757.26.555.8…②該蔬萊供給量y供給（噸）關于售價x（元/千克）的函數表達式為y供給＝x﹣1，函數圖象見圖1．③1～7月份該蔬萊售價x售價（元/千克）、成本x成本（元/千克）關于月份t的函教表達式分別為x售價＝t+2，x成本＝t2﹣t+3，函數圖象見圖2．請解答下列問題：（1）求a，c的值．（2）根據圖2，哪個月出售這種蔬菜每千克獲利最大？并說明理由．（3）求該蔬菜供給量與需求量相等時的售價，以及按此價格出售獲得的總利潤．26．（2022?達州）如圖1，在平面直角坐標系中，已知二次函數y＝ax2+bx+2的圖象經過點A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點C．（1）求該二次函數的表達式；（2）連接BC，在該二次函數圖象上是否存在點P，使∠PCB＝∠ABC？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）如圖2，直線l為該二次函數圖象的對稱軸，交x軸于點E．若點Q為x軸上方二次函數圖象上一動點，過點Q作直線AQ，BQ分別交直線l于點M，N，在點Q的運動過程中，EM+EN的值是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．27．（2022?舟山）已知拋物線L1：y＝a（x+1）2﹣4（a≠0）經過點A（1，0）．（1）求拋物線L1的函數表達式．（2）將拋物線L1向上平移m（m＞0）個單位得到拋物線L2．若拋物線L2的頂點關于坐標原點O的對稱點在拋物線L1上，求m的值．（3）把拋物線L1向右平移n（n＞0）個單位得到拋物線L3．已知點P（8﹣t，s），Q（t﹣4，r）都在拋物線L3上，若當t＞6時，都有s＞r，求n的取值范圍．28．（2022?連云港）已知二次函數y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4，其中m＞2．（1）當該函數的圖象經過原點O（0，0），求此時函數圖象的頂點A的坐標；（2）求證：二次函數y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4的頂點在第三象限；（3）如圖，在（1）的條件下，若平移該二次函數的圖象，使其頂點在直線y＝﹣x﹣2上運動，平移后所得函數的圖象與y軸的負半軸的交點為B，求△AOB面積的最大值．29．（2022?安徽）如圖1，隧道截面由拋物線的一部分AED和矩形ABCD構成，矩形的一邊BC為12米，另一邊AB為2米．以BC所在的直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系xOy，規(guī)定一個單位長度代表1米．E（0，8）是拋物線的頂點．（1）求此拋物線對應的函數表達式；（2）在隧道截面內（含邊界）修建“”型或“”型柵欄，如圖2、圖3中粗線段所示，點P1，P4在x軸上，MN與矩形P1P2P3P4的一邊平行且相等．柵欄總長l為圖中粗線段P1P2，P2P3，P3P4，MN長度之和，請解決以下問題：（?。┬藿ㄒ粋€“”型柵欄，如圖2，點P2，P3在拋物線AED上．設點P1的橫坐標為m（0＜m≤6），求柵欄總長l與m之間的函數表達式和l的最大值；（ⅱ）現修建一個總長為18的柵欄，有如圖3所示的“”型和“”型兩種設計方案，請你從中選擇一種，求出該方案下矩形P1P2P3P4面積的最大值，及取最大值時點P1的橫坐標的取值范圍（P1在P4右側）．30．（2022?涼山州）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c經過點A（﹣1，0）和點B（0，3），頂點為C，點D在其對稱軸上，且位于點C下方，將線段DC繞點D按順時針方向旋轉90°，點C落在拋物線上的點P處．（1）求拋物線的解析式；（2）求點P的坐標；（3）將拋物線平移，使其頂點落在原點O，這時點P落在點E的位置，在y軸上是否存在點M，使得MP+ME的值最小，若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．31．（2022?濱州）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸相交于點A、B（點A在點B的左側），與y軸相交于點C，連接AC、BC．（1）求線段AC的長；（2）若點P為該拋物線對稱軸上的一個動點，當PA＝PC時，求點P的坐標；（3）若點M為該拋物線上的一個動點，當△BCM為直角三角形時，求點M的坐標．32．（2022?重慶）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點A（4，0），與y軸交于點B（0，3）．（1）求拋物線的函數表達式；（2）點P為直線AB上方拋物線上一動點，過點P作PQ⊥x軸于點Q，交AB于點M，求PM+AM的最大值及此時點P的坐標；（3）在（2）的條件下，點P′與點P關于拋物線y＝﹣x2+bx+c的對稱軸對稱．將拋物線y＝﹣x2+bx+c向右平移，使新拋物線的對稱軸l經過點A．點C在新拋物線上，點D在l上，直接寫出所有使得以點A、P′、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形的點D的坐標，并把求其中一個點D的坐標的過程寫出來．33．（2022?麗水）如圖，已知點M（x1，y1），N（x2，y2）在二次函數y＝a（x﹣2）2﹣1（a＞0）的圖象上，且x2﹣x1＝3．（1）若二次函數的圖象經過點（3，1）．①求這個二次函數的表達式；②若y1＝y(tǒng)2，求頂點到MN的距離；（2）當x1≤x≤x2時，二次函數的最大值與最小值的差為1，點M，N在對稱軸的異側，求a的取值范圍．34．（2022?瀘州）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝ax2+x+c經過A（﹣2，0），B（0，4）兩點，直線x＝3與x軸交于點C．（1）求a，c的值；（2）經過點O的直線分別與線段AB，直線x＝3交于點D，E，且△BDO與△OCE的面積相等，求直線DE的解析式；（3）P是拋物線上位于第一象限的一個動點，在線段OC和直線x＝3上是否分別存在點F，G，使B，F，G，P為頂點的四邊形是以BF為一邊的矩形？若存在，求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．35．（2022?重慶）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2+bx+c與直線AB交于點A（0，﹣4），B（4，0）．（1）求該拋物線的函數表達式；（2）點P是直線AB下方拋物線上的一動點，過點P作x軸的平行線交AB于點C，過點P作y軸的平行線交x軸于點D，求PC+PD的最大值及此時點P的坐標；（3）在（2）中PC+PD取得最大值的條件下，將該拋物線沿水平方向向左平移5個單位，點E為點P的對應點，平移后的拋物線與y軸交于點F，M為平移后的拋物線的對稱軸上一點．在平移后的拋物線上確定一點N，使得以點E，F，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點N的坐標，并寫出求解點N的坐標的其中一種情況的過程．Ⅷ36．（2022?成都）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y＝kx﹣3（k≠0）與拋物線y＝﹣x2相交于A，B兩點（點A在點B的左側），點B關于y軸的對稱點為B'．（1）當k＝2時，求A，B兩點的坐標；（2）連接OA，OB，AB'，BB'，若△B'AB的面積與△OAB的面積相等，求k的值；（3）試探究直線AB'是否經過某一定點．若是，請求出該定點的坐標；若不是，請說明理由．37．（2022?德陽）拋物線的解析式是y＝﹣x2+4x+a．直線y＝﹣x+2與x軸交于點M，與y軸交于點E，點F與直線上的點G（5，﹣3）關于x軸對稱．（1）如圖①，求射線MF的解析式；（2）在（1）的條件下，當拋物線與折線EMF有兩個交點時，設兩個交點的橫坐標是x1，x2（x1＜x2），求x1+x2的值；（3）如圖②，當拋物線經過點C（0，5）時，分別與x軸交于A，B兩點，且點A在點B的左側．在x軸上方的拋物線上有一動點P，設射線AP與直線y＝﹣x+2交于點N．求的最大值．38．（2022?南充）拋物線y＝x2+bx+c與x軸分別交于點A，B（4，0），與y軸交于點C（0，﹣4）．（1）求拋物線的解析式．（2）如圖1，?BCPQ頂點P在拋物線上，如果?BCPQ面積為某值時，符合條件的點P有且只有三個，求點P的坐標．（3）如圖2，點M在第二象限的拋物線上，點N在MO延長線上，OM＝2ON，連接BN并延長到點D，使ND＝NB．MD交x軸于點E，∠DEB與∠DBE均為銳角，tan∠DEB＝2tan∠DBE，求點M的坐標．39．（2022?自貢）已知二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）若a＝﹣1，且函數圖象經過（0，3），（2，﹣5）兩點，求此二次函數的解析式，直接寫出拋物線與x軸交點及頂點坐標；（2）在圖①中畫出（1）中函數的大致圖象，并根據圖象寫出函數值y≥3時自變量x的取值范圍；（3）若a+b+c＝0且a＞b＞c，一元二次方程ax2+bx+c＝0兩根之差等于a﹣c，函數圖象經過P（﹣c，y1），Q（1+3c，y2）兩點，試比較y1、y2的大?。?0．（2022?遂寧）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中點A的坐標為（﹣1，0），點C的坐標為（0，﹣3）．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，E為△ABC邊AB上的一動點，F為BC邊上的一動點，D點坐標為（0，﹣2），求△DEF周長的最小值；（3）如圖2，N為射線CB上的一點，M是拋物線上的一點，M、N均在第一象限內，B、N位于直線AM的同側，若M到x軸的距離為d，△AMN面積為2d，當△AMN為等腰三角形時，求點N的坐標．備戰(zhàn)2024年中考數學必刷真題考點分類專練（全國通用）專題13二次函數綜合問題一．解答題（共40小題）1．（2022?孝感）拋物線y＝x2﹣4x與直線y＝x交于原點O和點B，與x軸交于另一點A，頂點為D．（1）直接寫出點B和點D的坐標；（2）如圖1，連接OD，P為x軸上的動點，當tan∠PDO＝時，求點P的坐標；（3）如圖2，M是點B關于拋物線對稱軸的對稱點，Q是拋物線上的動點，它的橫坐標為m（0＜m＜5），連接MQ，BQ，MQ與直線OB交于點E．設△BEQ和△BEM的面積分別為S1和S2，求的最大值．【分析】（1）令y＝x2﹣4x＝x，求出x的值即可得出點B的坐標，將函數y＝x2﹣4x化作頂點式可得出點D的坐標；（2）過點D作DE⊥y軸于點E，易得tan∠ODE＝，作∠ODG＝∠ODE，則點P為直線DG與x軸的交點；過點O作OG⊥DP于點G，過點G作x軸的垂線，交DE所在直線于點F，交x軸于點H，易證△ODE≌△ODG，△GDF∽△OGH，則DG＝DE＝2，OG＝OE＝4，DG：OG＝DF：HG＝GF：OH，設DF＝t，則HG＝2t，FG＝4﹣2t，OH＝8﹣4t，又OH＝EF，則8﹣4t＝2+t，解得t的值可得出點G的坐標，進而可得直線DG的解析式，令y＝0即可得出點P的坐標；（3）分別過點M，Q作y軸的平行線，交直線OB于點N，K，則S1＝QK（xB﹣xE），S2＝MN（xB﹣xE），由點Q的橫坐標為m，可表達，再利用二次函數的性質可得出結論．【解析】（1）令y＝x2﹣4x＝x，解得x＝0或x＝5，∴B（5，5）；∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，∴頂點D（2，﹣4）．（2）如圖，過點D作DE⊥y軸于點E，∴DE＝2，OE＝4，∴tan∠ODE＝，作∠ODG＝∠ODE，則點P為直線DG與x軸的交點；過點O作OG⊥DP于點G，過點G作x軸的垂線，交DE所在直線于點F，交x軸于點H，∴△ODE≌△ODG（AAS），∴DG＝DE＝2，OG＝OE＝4，∵∠OHG＝∠F＝90°，∠OGH+∠DGF＝90°，∠OGH+∠GOH＝90°，∴∠DGF＝∠GOH，∴△GDF∽△OGH，∴DG：OG＝DF：HG＝GF：OH＝1：2，設DF＝t，則HG＝2t，FG＝4﹣2t，OH＝8﹣4t，∵∠DEO＝∠F＝∠OHG＝90°，∴四邊形OEFH是矩形，∴OH＝EF，∴8﹣4t＝2+t，解得t＝，∴GH＝，OH＝2+t＝，∴G（，﹣）．∴直線DG的解析式為y＝x﹣，令y＝0，解得x＝5，∴P（5，0）．（3）∵點B（5，5）與點M關于對稱軸x＝2對稱，∴M（﹣1，5）．如圖，分別過點M，Q作y軸的平行線，交直線OB于點N，K，∴N（﹣1，﹣1），MN＝6，∵點Q橫坐標為m，∴Q（m，m2﹣4m），K（m，m），∴KQ＝m﹣（m2﹣4m）＝﹣m2+5m．∵S1＝QK（xB﹣xE），S2＝MN（xB﹣xE），∴＝＝﹣（m2﹣5m）＝﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，∴當m＝時，的最大值為．【點評】本題屬于二次函數綜合題，主要考查二次函數的性質，二次函數上的坐標特征，三角形的面積和三角形相似的判定及性質，解題的關鍵正確表達兩個三角形面積的比．2．（2022?武漢）拋物線y＝x2﹣2x﹣3交x軸于A，B兩點（A在B的左邊），C是第一象限拋物線上一點，直線AC交y軸于點P．（1）直接寫出A，B兩點的坐標；（2）如圖（1），當OP＝OA時，在拋物線上存在點D（異于點B），使B，D兩點到AC的距離相等，求出所有滿足條件的點D的橫坐標；（3）如圖（2），直線BP交拋物線于另一點E，連接CE交y軸于點F，點C的橫坐標為m．求的值（用含m的式子表示）．【分析】（1）令y＝0，解方程可得結論；（2）分兩種情形：①若點D在AC的下方時，過點B作AC的平行線與拋物線交點即為D1．②若點D在AC的上方時，點D1關于點P的對稱點G（（0，5），過點G作AC的平行線l交拋物線于點D2，D3，D2，D3符合條件．構建方程組分別求解即可；（3）設E點的橫坐標為n，過點P的直線的解析式為y＝kx+b，由，可得x2﹣（2+k）x﹣3﹣b＝0，設x1，x2是方程x2﹣（2+k）x﹣3﹣b＝0的兩根，則x1x2＝﹣3﹣b，推出xA?xC＝xB?xE＝﹣3﹣b可得n＝﹣1﹣，設直線CE的解析式為y＝px+q，同法可得mn＝﹣3﹣q推出q＝﹣mn﹣3，推出q＝﹣（3+b）（﹣1﹣）﹣3＝b2+2b，推出OF＝b2+b，可得結論．【解析】（1）令y＝0，得x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝3或﹣1，∴A（﹣1，0），B（3，0）；（2）∵OP＝OA＝1，∴P（0，1），∴直線AC的解析式為y＝x+1．①若點D在AC的下方時，過點B作AC的平行線與拋物線交點即為D1．∵B（3，0），BD1∥AC，∴直線BD1的解析式為y＝x﹣3，由，解得或，∴D1（0，﹣3），∴D1的橫坐標為0．②若點D在AC的上方時，點D1關于點P的對稱點G（（0，5），過點G作AC的平行線l交拋物線于點D2，D3，D2，D3符合條件．直線l的解析式為y＝x+5，由，可得x2﹣3x﹣8＝0，解得x＝或，∴D2，D3的橫坐標為，，綜上所述，滿足條件的點D的橫坐標為0，，．（3）設E點的橫坐標為n，過點P的直線的解析式為y＝kx+b，由，可得x2﹣（2+k）x﹣3﹣b＝0，設x1，x2是方程x2﹣（2+k）x﹣3﹣b＝0的兩根，則x1x2＝﹣3﹣b，∴xA?xC＝xB?xE＝﹣3﹣b∵xA＝﹣1，∴xC＝3+b，∴m＝3+b，∵xB＝3，∴xE＝﹣1﹣，∴n＝﹣1﹣，設直線CE的解析式為y＝px+q，同法可得mn＝﹣3﹣q∴q＝﹣mn﹣3，∴q＝﹣（3+b）（﹣1﹣）﹣3＝b2+2b，∴OF＝b2+b，∴＝b+1＝（m﹣3）+1＝m．【點評】本題屬于二次函數綜合題，考查了二次函數的性質，一次函數的性質，一元二次方程的根與系數的格線等知識，解題的關鍵是學會構建一次函數，構建方程組確定交點坐標，學會利用參數解決問題，屬于中考壓軸題．3．（2022?婁底）如圖，拋物線y＝x2﹣2x﹣6與x軸相交于點A、點B，與y軸相交于點C．（1）請直接寫出點A，B，C的坐標；（2）點P（m，n）（0＜m＜6）在拋物線上，當m取何值時，△PBC的面積最大？并求出△PBC面積的最大值．（3）點F是拋物線上的動點，作FE∥AC交x軸于點E，是否存在點F，使得以A、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請寫出所有符合條件的點F的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）將x＝0及y＝0代入拋物線y＝x2﹣2x﹣6的解析式，進而求得結果；（2）連接OP，設點P（m，﹣2m﹣6），分別表示出S△POC，S△BOP，計算出S△BOC，根據S△PBC＝S四邊形PBOC﹣S△BOC，從而得出△PBC的函數關系式，進一步求得結果；（3）可分為?ACFE和?ACEF的情形．當?ACFE時，點F和點C關于拋物線對稱軸對稱，從而得出F點坐標；當?ACED時，可推出點F的縱坐標為6，進一步求得結果．【解析】（1）當x＝0時，y＝﹣6，∴C（0，﹣6），當y＝0時，x2﹣2x﹣6＝0，∴x1＝6，x2＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（6，0）；（2）方法一：如圖1，連接OP，設點P（m，﹣2m﹣6），∴S△POC＝xP＝＝3m，S△BOP＝|yP|＝+2m+6），∵S△BOC＝＝18，∴S△PBC＝S四邊形PBOC﹣S△BOC＝（S△POC+S△POB）﹣S△BOC＝3m+3（﹣+2m+6）﹣18＝﹣（m﹣3）2+，∴當m＝3時，S△PBC最大＝；方法二：如圖2，作PQ⊥AB于Q，交BC于點D，∵B（6，0），C（0，﹣6），∴直線BC的解析式為：y＝x﹣6，∴D（m，m﹣6），∴PD＝（m﹣6）﹣（﹣2m﹣6）＝﹣+3m，∴S△PBC＝＝＝﹣（m﹣3）2+，∴當m＝3時，S△PBC最大＝；（3）如圖3，當?ACFE時，AE∥CF，∵拋物線對稱軸為直線：x＝＝2，∴F1點的坐標：（4，﹣6），如圖4，當?ACEF時，作FG⊥AE于G，∴FG＝OC＝6，當y＝6時，x2﹣2x﹣6＝6，∴x1＝2+2，x2＝2﹣2，∴F2（2+2，6），F3（2﹣2，6），綜上所述：F（4，﹣6）或（2+2，6）或（2﹣2，6）．【點評】本題考查了二次函數及其圖象性質，平行四邊形的分類等知識，解決問題的關鍵是正確分類，畫出圖形，轉化條件．4．（2022?廣元）在平面直角坐標系中，直線y＝﹣x﹣2與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）經過A，B兩點，并與x軸的正半軸交于點C．（1）求a，b滿足的關系式及c的值；（2）當a＝時，若點P是拋物線對稱軸上的一個動點，求△ABP周長的最小值；（3）當a＝1時，若點Q是直線AB下方拋物線上的一個動點，過點Q作QD⊥AB于點D，當QD的值最大時，求此時點Q的坐標及QD的最大值．【分析】（1）在直線y＝﹣x﹣2中，令x＝0和y＝0可得點A和B的坐標，代入拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）中可解答；（2）連接BC交直線x＝1于點P，利用兩點之間線段最短可得出此時△PAB的周長最小，從而可以解答；（3）根據a＝1時，可得拋物線的解析式y(tǒng)＝x2+x﹣2，如圖2，過點Q作QF⊥x軸于F，交AB于E，則△EQD是等腰直角三角形，設Q（m，m2+m﹣2），則E（m，﹣m﹣2），表示QE的長，配方后可解答．【解析】（1）直線y＝﹣x﹣2中，當x＝0時，y＝﹣2，∴B（0，﹣2），當y＝0時，﹣x﹣2＝0，∴x＝﹣2，∴A（﹣2，0），將A（﹣2，0），B（0，﹣2）代入拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）中，得，，∴2a﹣b＝1，c＝﹣2；（2）如圖1，當a＝時，2×﹣b＝1，∴b＝﹣，∴拋物線的解析式為：y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣1）2﹣，∴拋物線的對稱軸是：x＝1，由對稱性可得C（4，0），要使△ABP的周長最小，只需AP+BP最小即可，如圖1，連接BC交直線x＝1于點P，因為點A與點B關于直線x＝1對稱，由對稱性可知：AP+BP＝PC+BP＝BC，此時△ABP的周長最小，所以△ABP的周長為AB+BC，Rt△AOB中，AB＝＝＝2，Rt△BOC中，BC＝＝＝2，∴△ABP周長的最小值為2+2；（3）當a＝1時，2×1﹣b＝1，∴b＝1，∴y＝x2+x﹣2，∴A（﹣2，0），B（0，﹣2），C（1，0），∴OA＝OB，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠OAB＝45°，如圖2，過點Q作QF⊥x軸于F，交AB于E，則△EQD是等腰直角三角形，設Q（m，m2+m﹣2），則E（m，﹣m﹣2），∴QE＝（﹣m﹣2）﹣（m2+m﹣2）＝﹣m2﹣2m＝﹣（m+1）2+1，∴QD＝QE＝﹣（m+1）2+，當m＝﹣1時，QD有最大值是，當m＝﹣1時，y＝1﹣1﹣1＝﹣2，綜上，點Q的坐標為（﹣1，﹣2）時，QD有最大值是．【點評】本題是二次函數綜合題，考查了利用待定系數法求拋物線的解析式，二次函數的性質，等腰直角三角形的性質，軸對稱﹣最短路線問題等知識，綜合性較強，難度適中，利用方程思想，數形結合是解題的關鍵．5．（2022?宿遷）如圖，二次函數y＝x2+bx+c與x軸交于O（0，0），A（4，0）兩點，頂點為C，連接OC、AC，若點B是線段OA上一動點，連接BC，將△ABC沿BC折疊后，點A落在點A′的位置，線段A′C與x軸交于點D，且點D與O、A點不重合．（1）求二次函數的表達式；（2）①求證：△OCD∽△A′BD；②求的最小值；（3）當S△OCD＝8S△A'BD時，求直線A′B與二次函數的交點橫坐標．【分析】（1）利用交點式可得二次函數的解析式；（2）①根據兩角相等可證明兩三角形相似；②根據△OCD∽△A′BD，得＝，則＝，即的最小值就是的最小值，OC為定值，所以當CD最小為2時，有最小值是；（3）根據面積的關系可得：△OCD∽△A′BD時，相似比為2：1，可得A'B＝AB＝1，作輔助線，構建直角三角形，根據等角的正切可得A'G和BG的長，最后再證明△A'GB∽△QOB，可得OQ的長，利用待定系數法可得A'B的解析式，最后聯立方程可得結論．【解析】（1）解：∵二次函數y＝x2+bx+c與x軸交于O（0，0），A（4，0）兩點，∴二次函數的解析式為：y＝（x﹣0）（x﹣4）＝x2﹣2x；（2）①證明：如圖1，由翻折得：∠OAC＝∠A'，由對稱得：OC＝AC，∴∠AOC＝∠OAC，∴∠COA＝∠A'，∵∠A'DB＝∠ODC，∴△OCD∽△A′BD；②解：∵△OCD∽△A′BD，∴＝，∵AB＝A'B，∴＝，∴的最小值就是的最小值，y＝x2﹣2x＝（x﹣2）2﹣2，∴C（2，﹣2），∴OC＝2，∴當CD⊥OA時，CD最小，的值最小，當CD＝2時，的最小值為＝；（3）解：∵S△OCD＝8S△A'BD，∴S△OCD：S△A'BD＝8，∵△OCD∽△A′BD，∴＝（）2＝8，∴＝2，∵OC＝2，∴A'B＝AB＝1，∴BD＝2﹣1＝1，如圖2，連接AA'，過點A'作A'G⊥OA于G，延長CB交AA'于H，由翻折得：AA'⊥CH，∵∠AHB＝∠BDC＝90°，∠ABH＝∠CBD，∴∠BCD＝∠BAH，tan∠BCD＝tan∠GAA'，∴＝＝，設A'G＝a，則AG＝2a，BG＝2a﹣1，在RtA'GB中，由勾股定理得：BG2+A'G2＝A'B2，∴a2+（2a﹣1）2＝12，∴a1＝0（舍），a2＝，∴BG＝2a﹣1＝﹣1＝，∵A'G∥OQ，∴△A'GB∽△QOB，∴＝，即＝，∴OQ＝4，∴Q（0，4），設直線A'B的解析式為：y＝kx+m，∴，解得：，∴直線A'B的解析式為：y＝﹣x+4，∴﹣x+4＝x2﹣2x，3x2﹣4x﹣24＝0，解得：x＝，∴直線A′B與二次函數的交點橫坐標是．【點評】本題是二次函數的綜合，考查了待定系數法求解析式，對稱的性質，三角形相似的性質和判定，配方法的應用，勾股定理的應用，熟練掌握二次函數的圖象及性質，數形結合是解本題的關鍵．6．（2022?湘潭）已知拋物線y＝x2+bx+c．（1）如圖①，若拋物線圖象與x軸交于點A（3，0），與y軸交點B（0，﹣3），連接AB．（Ⅰ）求該拋物線所表示的二次函數表達式；（Ⅱ）若點P是拋物線上一動點（與點A不重合），過點P作PH⊥x軸于點H，與線段AB交于點M，是否存在點P使得點M是線段PH的三等分點？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．（2）如圖②，直線y＝x+n與y軸交于點C，同時與拋物線y＝x2+bx+c交于點D（﹣3，0），以線段CD為邊作菱形CDFE，使點F落在x軸的正半軸上，若該拋物線與線段CE沒有交點，求b的取值范圍．【分析】（1）（Ⅰ）將A，B兩點坐標代入拋物線的解析式求得b，c．從而得出結果；（Ⅱ）求出AB的解析式，設出點P坐標，表示出M點坐標，從而表示出PH和HM的長，分別列出PH＝3HM和PH＝時的方程，從而求得m的值，進而求得P點坐標；（2）分為b＞0和b＜0兩種情形．當b＜0時，拋物線對稱軸在y軸左側，此時求得拋物線與y軸交點，只需交點在點C的上方，就滿足拋物線與線段CE沒有交點，進一步求得結果，當b＜0時，類似的方法求得這種情形b的范圍．【解析】（1）解：（Ⅰ）由題意得，，∴，∴y＝x2﹣2x﹣3；（Ⅱ）存在點P，使得點M是線段PH的三等分點，理由如下：∵B（0，﹣3），A（3，0），∴直線AB的解析式為：y＝x﹣3，設點P（m，m2﹣2m﹣3），M（m，m﹣3），∴PH＝﹣m2+2m+3，HM＝3﹣m，當PH＝3HM時，﹣m2+2m+3＝3（3﹣m），化簡得，m2﹣5m+6＝0，∴m1＝2，m2＝3，當m＝2時，y＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，∴P（2，﹣3），當m＝3時，y＝32﹣2×3﹣3＝0，此時P（3，0）（舍去），當PH＝HM時，﹣m2+2m+3＝（3﹣m），化簡得，2m2﹣7m+3＝0，∴m3＝3（舍去），m2＝，當m＝時，y＝（）2﹣2×﹣3＝﹣，∴P（，﹣），綜上所述：P（2，﹣3）或（，﹣）；（2）如圖1，∵拋物線y＝x2+bx+c過點D（﹣3，0），∴（﹣3）2﹣3b+c＝0，∴c＝3b﹣9，∴y＝x2+bx+（3b﹣9），把x＝﹣3，y＝0代入y＝+n得，0＝+n，∴n＝4，∴OC＝4，∵∠COD＝90°，OD＝3，OC＝4，∴CD＝5，∵四邊形CDFE是菱形，∴CE＝CD＝5，∴E（5，4），當﹣＜0時，即b＞0時，當x＝0時，y＝3b﹣9，∴G（0，3b﹣9），∵該拋物線與線段CE沒有交點，∴3b﹣9＞4，∴b＞，當b＜0時，當x＝5時，y＝25+5b+3b﹣9＝8b+16，∴H（5，8b+16），∵拋物線與CE沒有交點，∴8b+16＜4，∴b＜﹣，綜上所述：b＞或b＜﹣．【點評】本題考查了求二次函數的解析式，一次函數解析式，菱形的性質，勾股定理等知識，解決問題的關鍵一是正確分類，二是數形結合．7．（2022?邵陽）如圖，已知直線y＝2x+2與拋物線y＝ax2+bx+c相交于A，B兩點，點A在x軸上，點B在y軸上，點C（3，0）在拋物線上．（1）求該拋物線的表達式．（2）正方形OPDE的頂點O為直角坐標系原點，頂點P在線段OC上，頂點E在y軸正半軸上，若△AOB與△DPC全等，求點P的坐標．（3）在條件（2）下，點Q是線段CD上的動點（點Q不與點D重合），將△PQD沿PQ所在的直線翻折得到△PQD'，連接CD'，求線段CD'長度的最小值．【分析】（1）先分別求得點A，點B的坐標，從而利用待定系數法求函數解析式；（2）分△AOB≌△DPC和△AOB≌△CPD兩種情況，結合全等三角形的性質分析求解；（3）根據點D′的運動軌跡，求得當點P，D′，C三點共線時求得CD′的最小值．【解析】在直線y＝2x+2中，當x＝2時，y＝2，當y＝0時，x＝﹣1，∴點A的坐標為（﹣1，0），點B的坐標為（0，2），把點A（﹣1，0），點B（0，2），點C（3，0）代入y＝ax2+bx+c，，解得，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+2；（2）①當△AOB≌△DPC時，AO＝DP，又∵四邊形OPDE為正方形，∴DP＝OP＝AO＝1，此時點P的坐標為（1，0），②當△AOB≌△CPD時，OB＝DP，又∵四邊形OPDE為正方形，∴DP＝OP＝OB＝2，此時點P的坐標為（2，0），綜上，點P的坐標為（1，0）或（2，0）；（3）如圖，點D′在以點P為圓心，DP為半徑的圓上運動，∴當點D′′，點P，點C三點共線時，CD′′有最小值，由（2）可得點P的坐標為（1，0）或（2，0），且C點坐標為（3，0），∴CD′′的最小值為1．【點評】本題考查二次函數的應用，全等三角形的判定和性質，折疊的性質，掌握待定系數法求函數解析式，注意數形結合思想和分類討論思想解題是關鍵．8．（2022?臺州）如圖1，灌溉車沿著平行于綠化帶底部邊線l的方向行駛，為綠化帶澆水．噴水口H離地豎直高度為h（單位：m）．如圖2，可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標系中兩條拋物線的部分圖象；把綠化帶橫截面抽象為矩形DEFG，其水平寬度DE＝3m，豎直高度為EF的長．下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊緣拋物線最高點A離噴水口的水平距離為2m，高出噴水口0.5m，灌溉車到l的距離OD為d（單位：m）．（1）若h＝1.5，EF＝0.5m．①求上邊緣拋物線的函數解析式，并求噴出水的最大射程OC；②求下邊緣拋物線與x軸的正半軸交點B的坐標；③要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，求d的取值范圍．（2）若EF＝1m．要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，請直接寫出h的最小值．【分析】（1）①由頂點A（2，2）得，設y＝a（x﹣2）2+2，再根據拋物線過點（0，1.5），可得a的值，從而解決問題；②由對稱軸知點（0，1.5）的對稱點為（4，1.5），則下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移4cm得到的，可得點B的坐標；③根據EF＝0.5，求出點F的坐標，利用增減性可得d的最大值為最小值，從而得出答案；（2）當噴水口高度最低，且恰好能澆灌到整個綠化帶時，點D、F恰好分別在兩條拋物線上，故設點D（m，﹣（m+2）2+h+0.5），F（m+3，﹣（m+3﹣2）2+h+0.5），則有﹣[（m+3﹣2）2+h+0.5]﹣[﹣（m+2）2+h+0.5]＝1，從而得出答案．【解析】（1）①如圖1，由題意得A（2，2）是上邊緣拋物線的頂點，設y＝a（x﹣2）2+2，又∵拋物線過點（0，1.5），∴1.5＝4a+2，∴a＝﹣，∴上邊緣拋物線的函數解析式為y＝﹣（x﹣2）2+2，當y＝0時，0＝﹣（x﹣2）2+2，解得x1＝6，x2＝﹣2（舍去），∴噴出水的最大射程OC為6cm；②∵對稱軸為直線x＝2，∴點（0，1.5）的對稱點為（4，1.5），∴下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移4cm得到的，∴點B的坐標為（2，0）；③∵EF＝0.5，∴點F的縱坐標為0.5，∴0.5＝﹣（x﹣2）2+2，解得x＝2±2，∵x＞0，∴x＝2+2，當x＞2時，y隨x的增大而減小，∴當2≤x≤6時，要使y≥0.5，則x≤2+2，∵當0≤x≤2時，y隨x的增大而增大，且x＝0時，y＝1.5＞0.5，∴當0≤x≤6時，要使y≥0.5，則0≤x≤2+2，∵DE＝3，灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，∴d的最大值為2+2﹣3＝2﹣1，再看下邊緣拋物線，噴出的水能澆灌到綠化帶底部的條件是OB≤d，∴d的最小值為2，綜上所述，d的取值范圍是2≤d≤2﹣1；（2）當噴水口高度最低，且恰好能澆灌到整個綠化帶時，點D、F恰好分別在兩條拋物線上，故設點D（m，﹣（m+2）2+h+0.5），F（m+3，﹣[（m+3﹣2）2+h+0.5]），則有﹣（m+3﹣2）2+h+0.5﹣[﹣（m+2）2+h+0.5]＝1，解得m＝2.5，∴點D的縱坐標為h﹣，∴h﹣＝0，∴h的最小值為．【點評】本題是二次函數的實際應用，主要考查了待定系數法求二次函數解析式，二次函數的性質，二次函數與方程的關系等知識，讀懂題意，建立二次函數模型是解題的關鍵．9．（2022?眉山）在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2﹣4x+c與x軸交于點A，B（點A在點B的左側），與y軸交于點C，且點A的坐標為（﹣5，0）．（1）求點C的坐標；（2）如圖1，若點P是第二象限內拋物線上一動點，求點P到直線AC距離的最大值；（3）如圖2，若點M是拋物線上一點，點N是拋物線對稱軸上一點，是否存在點M使以A，C，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）把點A的坐標代入y＝﹣x2﹣4x+c，求出c的值即可；（2）過P作PE⊥AC于點E，過點P作PF⊥x軸交AC于點H，證明△PHE是等腰直角三角形，得，當PH最大時，PE最大，運用待定系數法求直線AC解析式為y＝x+5，設P（m，﹣m2﹣4m+5），（﹣5＜m＜0），則H（m，m+5），求得PH，再根據二次函數的性質求解即可；（3）分三種情況討論：①當AC為平行四邊形的對角線時，②當AM為平行四邊形的對角線時，③當AN為平行四邊形的對角線時分別求解即可．【解析】（1）∵點A（﹣5，0）在拋物線y＝﹣x2﹣4x+c的圖象上，∴0＝﹣52﹣4×5+c∴c＝5，∴點C的坐標為（0，5）；（2）過P作PE⊥AC于點E，過點P作PF⊥x軸交AC于點H，如圖1：∵A（﹣5，0），C（0，5）∴OA＝OC，∴△AOC是等腰直角三角形，∴∠CAO＝45°，∵PF⊥x軸，∴∠AHF＝45°＝∠PHE，∴△PHE是等腰直角三角形，∴，∴當PH最大時，PE最大，設直線AC解析式為y＝kx+5，將A（﹣5，0）代入得0＝5k+5，∴k＝1，∴直線AC解析式為y＝x+5，設P（m，﹣m2﹣4m+5），（﹣5＜m＜0），則H（m，m+5），∴，∵a＝﹣1＜0，∴當時，PH最大為，∴此時PE最大為，即點P到直線AC的距離值最大；（3）存在，理由如下：∵y＝﹣x2﹣4x+5＝﹣（x+2）2+9，∴拋物線的對稱軸為直線x＝﹣2，設點N的坐標為（﹣2，m），點M的坐標為（x，﹣x2﹣4x+5），分三種情況：①當AC為平行四邊形對角線時，，解得，∴點M的坐標為（﹣3，8）；②當AM為平行四邊形對角線時，，解得，∴點M的坐標為（3，﹣16）；③當AN為平行四邊形對角線時，，解得，∴點M的坐標為（﹣7，﹣16）；綜上，點M的坐標為：（﹣3，8）或（3，﹣16）或（﹣7，﹣16）．【點評】本題是二次函數綜合題，其中涉及到二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數圖象與幾何變換，二次函數的性質，平行四邊形的判定與性質．熟知幾何圖形的性質利用數形結合是解題的關鍵．10．（2022?天津）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數，a＞0）的頂點為P，與x軸相交于點A（﹣1，0）和點B．（Ⅰ）若b＝﹣2，c＝﹣3，①求點P的坐標；②直線x＝m（m是常數，1＜m＜3）與拋物線相交于點M，與BP相交于點G，當MG取得最大值時，求點M，G的坐標；（Ⅱ）若3b＝2c，直線x＝2與拋物線相交于點N，E是x軸的正半軸上的動點，F是y軸的負半軸上的動點，當PF+FE+EN的最小值為5時，求點E，F的坐標．【分析】（Ⅰ）①利用待定系數法求出拋物線的解析式，即可得頂點P的坐標；②求出直線BP的解析式，設點M（m，m2﹣2m﹣3），則G（m，2m﹣6），表示出MG的長，可得關于m的二次函數，根據二次函數的最值即可求解；（Ⅱ）由3b＝2c得b＝﹣2a，c＝﹣3a，拋物線的解析式為y＝ax2﹣2a﹣3a．可得頂點P的坐標為（1，﹣4a），點N的坐標為（2，﹣3a），作點P關于y軸的對稱點P'，作點N關于x軸的對稱點N'，得點P′的坐標為（﹣1，﹣4a），點N'的坐標為（2，3a），當滿足條件的點E，F落在直線P'N'上時，PF+FE+EN取得最小值，此時，PF+FE+EN＝P'N'＝5延長P'P與直線x＝2相交于點H，則P'H⊥N'H．在Rt△P'HN'中，P'H＝3，HN'＝3a﹣（﹣4a）＝7a．由勾股定理可得P'N′2＝P'H2+HN2＝9+49a2＝25．解得a1＝，a2＝﹣（舍）．可得點P'的坐標為（﹣1，﹣），點N′的坐標為（2，）．利用待定系數法得直線P'N′的解析式為y＝x﹣．即可得點E，F的坐標．【解析】（Ⅰ）①若b＝﹣2，c＝﹣3，則拋物線y＝ax2+bx+c＝ax2﹣2x﹣3，∵拋物線y＝ax2+bx+c與x軸相交于點A（﹣1，0），∴a+2﹣3＝0，解得a＝1，∴拋物線為y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴頂點P的坐標為（1，﹣4）；②當y＝0時，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴B（3，0），設直線BP的解析式為y＝kx+n，∴，解得，∴直線BP的解析式為y＝2x﹣6，∵直線x＝m（m是常數，1＜m＜3）與拋物線相交于點M，與BP相交于點G，設點M（m，m2﹣2m﹣3），則G（m，2m﹣6），∴MG＝2m﹣6﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+4m﹣3＝﹣（m﹣2）2+1，∴當m＝2時，MG取得最大值1，此時，點M（2，﹣3），則G（2，﹣2）；（Ⅱ）∵拋物線y＝ax2+bx+c與x軸相交于點A（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，又3b＝2c，b＝﹣2a，c＝﹣3a（a＞0），∴拋物線的解析式為y＝ax2﹣2a﹣3a．∴y＝ax2﹣2a﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，∴頂點P的坐標為（1，﹣4a），∵直線x＝2與拋物線相交于點N，∴點N的坐標為（2，﹣3a），作點P關于y軸的對稱點P'，作點N關于x軸的對稱點N'，得點P′的坐標為（﹣1，﹣4a），點N'的坐標為（2，3a），當滿足條件的點E，F落在直線P'N'上時，PF+FE+EN取得最小值，此時，PF+FE+EN＝P'N'＝5．延長P'P與直線x＝2相交于點H，則P'H⊥N'H．在Rt△P'HN'中，P'H＝3，HN'＝3a﹣（﹣4a）＝7a．∴P'N′2＝P'H2+HN2＝9+49a2＝25．解得a1＝，a2＝﹣（舍）．∴點P'的坐標為（﹣1，﹣），點N′的坐標為（2，）．∴直線P'N′的解析式為y＝x﹣．∴點E（，0），點F（0，﹣）．【點評】此題是二次函數綜合題，主要考查了待定系數法，兩點間的距離公式，軸對稱求最小值問題，勾股定理等，利用待定系數法求出直線解析式是解本題的關鍵．11．（2022?蘇州）如圖，二次函數y＝﹣x2+2mx+2m+1（m是常數，且m＞0）的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，頂點為D．其對稱軸與線段BC交于點E，與x軸交于點F．連接AC，BD．（1）求A，B，C三點的坐標（用數字或含m的式子表示），并求∠OBC的度數；（2）若∠ACO＝∠CBD，求m的值；（3）若在第四象限內二次函數y＝﹣x2+2mx+2m+1（m是常數，且m＞0）的圖象上，始終存在一點P，使得∠ACP＝75°，請結合函數的圖象，直接寫出m的取值范圍．【分析】（1）令y＝0，解方程可得A，B兩點坐標，令x＝0，可得點C的坐標，證明OC＝OB，可得∠OBC＝45°；（2）由題意D（m，（m+1）2），F（m，0），根據tan∠ACE＝＝＝＝m+1，構建方程，求出m即可；（3）證明∠CAO＜60°，推出2m+1＜，可得結論．【解析】（1）當y＝0時，﹣x2+2mx+2m+1＝0，解方程，得x1＝﹣1，x2＝2m+1，∵點A在點B的左側，且m＞0，∴A（﹣1，0），B（2m+1，0），當x＝0時，y＝2m+1，∴C（0，2m+1），∴OB＝OC＝2m+1，∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝45°；（2）如圖1中，連接AE．∵y＝﹣x2+2mx+2m+1＝﹣（x﹣m）2+（m+1）2，∴D（m，（m+1）2），F（m，0），∴DF＝（m+1）2，OF＝m，BF＝m+1，∵A，B關于對稱軸對稱，∴AE＝BE，∴∠EAB＝∠OBC＝45°，∵∠ACO＝∠CBD，∠OCB＝∠OBC，∴∠ACO+∠OCB＝∠CBD+∠OBC，即∠ACE＝∠DBF，∵EF∥OC，∴tan∠ACE＝＝＝＝m+1，∴＝m+1，∴m＝1或﹣1，∵m＞0，∴m＝1；（3）如圖，設PC交x軸于點Q．當點P在第四象限時，點Q總是在點B的左側，此時∠CQA＞∠CBA，即∠CQA＞45°，∵∠ACQ＝75°，∴∠CAO＜60°，∴2m+1＜，∴m＜，∴0＜m＜．【點評】本題屬于二次函數綜合題，考查了二次函數的性質，解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會利用參數構建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．12．（2022?嘉興）已知拋物線L1：y＝a（x+1）2﹣4（a≠0）經過點A（1，0）．（1）求拋物線L1的函數表達式．（2）將拋物線L1向上平移m（m＞0）個單位得到拋物線L2．若拋物線L2的頂點關于坐標原點O的對稱點在拋物線L1上，求m的值．（3）把拋物線L1向右平移n（n＞0）個單位得到拋物線L3，若點B（1，y1），C（3，y2）在拋物線L3上，且y1＞y2，求n的取值范圍．【分析】（1）把（1，0）代入拋物線的解析式求出a即可；（2）求出平移后拋物線的頂點關于原點對稱點的坐標，利用待定系數法求解即可；（3）拋物線L1向右平移n（n＞0）個單位得到拋物線L3，的解析式為y＝（x﹣n+1）2﹣4，根據y1＞y2，構建不等式求解即可．【解析】（1）∵y＝a（x+1）2﹣4（a≠0）經過點A（1，0），∴4a﹣4＝0，∴a＝1，∴拋物線L1的函數表達式為y＝x2+2x﹣3；（2）∵y＝（x+1）2﹣4，∴拋物線的頂點（﹣1，﹣4），將拋物線L1向上平移m（m＞0）個單位得到拋物線L2．若拋物線L2的頂點（﹣1，﹣4+m），而（﹣1，﹣4+m）關于原點的對稱點為（1，4﹣m），把（1，4﹣m）代入y＝x2+2x﹣3得到，1+2﹣3＝4﹣m，∴m＝4；（3）拋物線L1向右平移n（n＞0）個單位得到拋物線L3，的解析式為y＝（x﹣n+1）2﹣4，∵點B（1，y1），C（3，y2）在拋物線L3上，∴y1＝（2﹣n）2﹣4，y2＝（4﹣n）2﹣4，∵y1＞y2，∴（2﹣n）2﹣4＞（4﹣n）2﹣4，解得n＞3，∴n的取值范圍為n＞3．【點評】本題屬于二次函數綜合題，考查了二次函數的性質，待定系數法，平移變換等知識，解題的關鍵是學會利用參數解決問題，屬于中考?？碱}型．13．（2022?樂山）如圖1，已知二次函數y＝ax2+bx+c（a＞0）的圖象與x軸交于點A（﹣1，0）、B（2，0），與y軸交于點C，且tan∠OAC＝2．（1）求二次函數的解析式；（2）如圖2，過點C作CD∥x軸交二次函數圖象于點D，P是二次函數圖象上異于點D的一個動點，連結PB、PC，若S△PBC＝S△BCD，求點P的坐標；（3）如圖3，若點P是二次函數圖象上位于BC下方的一個動點，連結OP交BC于點Q．設點P的橫坐標為t，試用含t的代數式表示的值，并求的最大值．【分析】（1）在Rt△AOC中求出OC的長，從而確定點C坐標，將二次函數設為交點式，將點C坐標代入，進一步求得結果；（2）可分為點P在第三象限和第一象限兩種情形．當點P在第三象限時，設點P（a，a2﹣a﹣2），可表示出△BCD的面積，當點P在第三象限時，作PE∥AB交BC于E，先求出直線BC，從而得出E點坐標，從而表示出△PBC的面積，根據S△PBC＝S△BCD，列出方程，進一步求得結果，當P在第一象限，同樣的方法求得結果；（3）作PN⊥AB于N，交BC于M，根據P（t，t2﹣t﹣2），M（t，t﹣2），表示出PM的長，根據PN∥OC，得出△PQM∽△OQC，從而得出，從而得出的函數表達式，進一步求得結果．【解析】（1）∵A（﹣1，0），∴OA＝1，∵∠AOC＝90°，∴tan∠OAC＝＝2，∴OC＝2OA＝2，∴點C（0，﹣3），設二次函數的解析式為：y＝a（x+1）?（x﹣2），∴a?1×（﹣2）＝﹣2，∴a＝1，∴y＝（x+1）?（x﹣2）＝x2﹣x﹣2；（2）設點P（a，a2﹣a﹣2），如圖1，當點P在第三象限時，作PE∥AB交BC于E，∵B（2，0），C（0，﹣2），∴直線BC的解析式為：y＝x﹣2，∴當y＝a2﹣a﹣2時，x＝y(tǒng)+2＝a2﹣a，∴PE＝a2﹣a﹣a＝a2﹣2a，∴S△PBC＝PE?OC，∵拋物線的對稱軸為直線y＝，CD∥x軸，C（0，﹣2），∴點D（1，﹣2），∴CD＝1，∴S△BCD＝OC，∴PE?OC＝?OC，∴a2﹣2a＝1，∴a1＝1+（舍去），a2＝1﹣，當x＝1﹣時，y＝a2﹣a﹣2＝a﹣1＝﹣，∴P（1﹣，﹣），如圖2，當點P在第一象限時，作PE⊥x軸于E，交直線BC于F，∴F（a，a﹣2）∴PF＝（a2﹣a﹣2）﹣（a﹣2）＝a2﹣2a，∴S△PBC＝OB＝CD?OC，∴a2﹣2a＝1，∴a1＝1+，a2＝1﹣（舍去），當a＝1+時，y＝a2﹣a﹣2＝a2﹣2a+a﹣2＝1+1+﹣2＝，∴P（1+，），綜上所述：P（1+，）或（1﹣，﹣）；（3）如圖3，作PN⊥AB于N，交BC于M，∵P（t，t2﹣t﹣2），M（t，t﹣2），∴PM＝（t﹣2）﹣（t2﹣t﹣2）＝﹣t2+2t，∵PN∥OC，∴△PQM∽△OQC，∴＝＝﹣+，∴當t＝1時，（）最大＝．【點評】本題考查了二次函數及其圖象性質，求一次函數解析式，相似三角形的判定和性質，銳角三角函數定義等知識，解決問題的關鍵是作輔助線，構造相似三角形．14．（2022?衡陽）如圖，已知拋物線y＝x2﹣x﹣2交x軸于A、B兩點，將該拋物線位于x軸下方的部分沿x軸翻折，其余部分不變，得到的新圖象記為“圖象W”，圖象W交y軸于點C．（1）寫出圖象W位于線段AB上方部分對應的函數關系式；（2）若直線y＝﹣x+b與圖象W有三個交點，請結合圖象，直接寫出b的值；（3）P為x軸正半軸上一動點，過點P作PM∥y軸交直線BC于點M，交圖象W于點N，是否存在這樣的點P，使△CMN與△OBC相似？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）令x＝0和翻折的性質可得C（0，2），令y＝0可得點A、B的坐標，利用待定系數法即可求出圖象W的解析式；（2）利用數形結合找出當y＝﹣x+b經過點C或者y＝﹣x+b與y＝x2﹣x﹣2相切時，直線y＝﹣x+b與新圖象恰好有三個不同的交點，①當直線y＝﹣x+b經過點C（0，2）時，利用一次函數圖象上點的坐標特征，即可求出b值；②當y＝﹣x+b與y＝x2﹣x﹣2相切時，聯立一次函數解析式和拋物線解析式，利用根的判別式Δ＝0，即可求出b值．綜上即可得出結論；（3）先確定△BOC是等腰直角三角形，分三種情況：∠CNM＝90°或∠MCN＝90°，分別畫圖可得結論．【解析】（1）當x＝0時，y＝﹣2，∴C（0，2），當y＝0時，x2﹣x﹣2＝0，（x﹣2）（x+1）＝0，∴x1＝2，x2＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（2，0），設圖象W的解析式為：y＝a（x+1）（x﹣2），把C（0，2）代入得：﹣2a＝2，∴a＝﹣1，∴y＝﹣（x+1）（x﹣2）＝﹣x2+x+2，∴圖象W位于線段AB上方部分對應的函數關系式為：y＝﹣x2+x+2（﹣1≤x≤2）；（2）由圖象得直線y＝﹣x+b與圖象W有三個交點時，存在兩種情況：①當直線y＝﹣x+b過點C時，與圖象W有三個交點，此時b＝2；②當直線y＝﹣x+b與圖象W位于線段AB上方部分對應的函數圖象相切時，如圖1，﹣x+b＝﹣x2+x+2，x2﹣2x+b﹣2＝0，Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（b﹣2）＝0，∴b＝3，綜上，b的值是2或3；（3）∵OB＝OC＝2，∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，如圖2，CN∥OB，△CNM∽△BOC，∵PN∥y軸，∴P（1，0）；如圖3，CN∥OB，△CNM∽△BOC，當y＝2時，x2﹣x﹣2＝2，x2﹣x﹣4＝0，∴x1＝，x2＝，∴P（，0）；如圖4，當∠MCN＝90°時，△OBC∽△CMN，∴CN的解析式為：y＝x+2，∴x+2＝x2﹣x﹣2，∴x1＝1+，x2＝1﹣（舍），∴P（1+，0），綜上，點P的坐標為（1，0）或（，0）或（1+，0）．【點評】本題是二次函數的綜合題，考查了待定系數法求二次函數解析式，翻折的性質，等腰直角三角形的性質，相似三角形的性質和判定，兩函數交點問題以及根的判別式，解題的關鍵是：（1）根據翻折的性質，利用待定系數法求出拋物線的解析式；（2）利用數形結合找出直線y＝﹣x+b與新圖象恰好有三個不同的交點的情況；（3）分三種情況利用二次函數圖象上點的坐標特征，正確畫圖是關鍵．15．（2022?寧波）為了落實勞動教育，某學校邀請農科院專家指導學生進行小番茄的種植，經過試驗，其平均單株產量y千克與每平方米種植的株數x（2≤x≤8，且x為整數）構成一種函數關系．每平方米種植2株時，平均單株產量為4千克；以同樣的栽培條件，每平方米種植的株數每增加1株，單株產量減少0.5千克．（1）求y關于x的函數表達式．（2）每平方米種植多少株時，能獲得最大的產量？最大產量為多少千克？【分析】（1）由每平方米種植的株數每增加1株，單株產量減少0.5千克，即可得y＝4﹣0.5（x﹣2）＝﹣0.5x+5，（2）設每平方米小番茄產量為W千克，由產量＝每平方米種植株數×單株產量即可列函數關系式，由二次函數性質可得答案．【解析】（1）∵每平方米種植的株數每增加1株，單株產量減少0.5千克，∴y＝4﹣0.5（x﹣2）＝﹣0.5x+5，答：y關于x的函數表達式為y＝﹣0.5x+5，（2≤x≤8，且x為整數）；（2）設每平方米小番茄產量為W千克，根據題意得：W＝x（﹣0.5x+5）＝﹣0.5x2+5x＝﹣0.5（x﹣5）2+12.5，∵﹣0.5＜0，∴當x＝5時，W取最大值，最大值為12.5，答：每平方米種植5株時，能獲得最大的產量，最大產量為12.5千克．【點評】本題考查二次函數的應用，解題的關鍵是讀懂題意，列出函數關系式．16．（2022?杭州）設二次函數y1＝2x2+bx+c（b，c是常數）的圖象與x軸交于A，B兩點．（1）若A，B兩點的坐標分別為（1，0），（2，0），求函數y1的表達式及其圖象的對稱軸．（2）若函數y1的表達式可以寫成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常數）的形式，求b+c的最小值．（3）設一次函數y2＝x﹣m（m是常數），若函數y1的表達式還可以寫成y1＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）的形式，當函數y＝y(tǒng)1﹣y2的圖象經過點（x0，0）時，求x0﹣m的值．【分析】（1）根據A、B兩點的坐標特征，可設函數y1的表達式為y1＝2（x﹣x1）（x﹣x2），其中x1，x2是拋物線與x軸交點的橫坐標；（2）把函數y1＝2（x﹣h）2﹣2，化成一般式，求出對應的b、c的值，再根據b+c式子的特點求出其最小值；（3）把y1，y2代入y＝y(tǒng)1﹣y2求出y關于x的函數表達式，再根據其圖象過點（x0，0），把（x0，0）代入其表達式，形成關于x0的一元二次方程，解方程即可．【解析】（1）∵二次函數y1＝2x2+bx+c過點A（1，0）、B（2，0），∴y1＝2（x﹣1）（x﹣2），即y1＝2x2﹣6x+4．∴拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝．（2）把y1＝2（x﹣h）2﹣2化成一般式得，y1＝2x2﹣4hx+2h2﹣2．∴b＝﹣4h，c＝2h2﹣2．∴b+c＝2h2﹣4h﹣2＝2（h﹣1）2﹣4．把b+c的值看作是h的二次函數，則該二次函數開口向上，有最小值，∴當h＝1時，b+c的最小值是﹣4．（3）由題意得，y＝y(tǒng)1﹣y2＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）﹣（x﹣m）＝（x﹣m）[2（x﹣m）﹣5]．∵函數y的圖象經過點（x0，0），∴（x0﹣m）