第10章 相交線、平行線與平移（學(xué)生版）

2023-2024學(xué)年滬科新版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)章節(jié)知識(shí)講練1.熟練掌握對(duì)頂角，鄰補(bǔ)角及垂線的概念及性質(zhì)，了解點(diǎn)到直線的距離與兩平行線間的距離的概念；2.區(qū)別平行線的判定與性質(zhì)，并能靈活運(yùn)用；3.了解命題的概念及構(gòu)成，并能通過證明或舉反例判定命題的真假；4.了解平移的概念及性質(zhì).知識(shí)點(diǎn)01：相交線【高頻考點(diǎn)精講】1.對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角兩直線相交所成的四個(gè)角中存在幾種不同關(guān)系，它們的概念及性質(zhì)如下表：圖形頂點(diǎn)邊的關(guān)系大小關(guān)系對(duì)頂角有公共頂點(diǎn)∠1的兩邊與∠2的兩邊互為反向延長(zhǎng)線對(duì)頂角相等即∠1=∠2鄰補(bǔ)角有公共頂點(diǎn)∠3與∠4有一條邊公共，另一邊互為反向延長(zhǎng)線.鄰補(bǔ)角互補(bǔ)即∠3+∠4=180°【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】⑴對(duì)頂角是成對(duì)出現(xiàn)的，對(duì)頂角是具有特殊位置關(guān)系的兩個(gè)角.對(duì)頂角的特征:有公共頂點(diǎn)，角的兩邊互為反向延長(zhǎng)線.⑵如果∠α與∠β是對(duì)頂角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α與∠β不一定是對(duì)頂角.⑶如果∠α與∠β互為鄰補(bǔ)角，則一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，則∠α與∠β不一定是鄰補(bǔ)角.鄰補(bǔ)角的特征:有公共頂點(diǎn)，有一條公共邊，另一邊互為反向延長(zhǎng)線．⑶兩直線相交形成的四個(gè)角中，每一個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè)，而對(duì)頂角只有一個(gè).2.垂線及性質(zhì)、距離（1）垂線的定義：當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足.如圖1所示，符號(hào)語言記作：AB⊥CD，垂足為O.【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】要判斷兩條直線是否垂直，只需看它們相交所成的四個(gè)角中，是否有一個(gè)角是直角，兩條線段垂直，是指這兩條線段所在的直線垂直.（2）垂線的性質(zhì)：垂線性質(zhì)1：在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直(與平行公理相比較記).垂線性質(zhì)2：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短.簡(jiǎn)稱：垂線段最短.（3）點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離，如圖2：PO⊥AB，點(diǎn)P到直線AB的距離是垂線段PO的長(zhǎng).【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】垂線段PO是點(diǎn)P到直線AB所有線段中最短的一條.知識(shí)點(diǎn)02：平行線【高頻考點(diǎn)精講】1．平行線判定判定方法1：同位角相等，兩直線平行．判定方法2：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．判定方法3：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】根據(jù)平行線的定義和平行公理的推論，平行線的判定方法還有：（1）平行線的定義：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線沒有交點(diǎn)（不相交），那么兩直線平行.（2）如果兩條直線都平行于第三條直線，那么這兩條直線平行（平行線的傳遞性）.（3）在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩條直線平行.（4）平行公理：經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行.2．平行線的性質(zhì)性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等；性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).要點(diǎn)詮釋：根據(jù)平行線的定義和平行公理的推論，平行線的性質(zhì)還有：（1）若兩條直線平行，則這兩條直線在同一平面內(nèi)，且沒有公共點(diǎn)．（2）如果一條直線與兩條平行線中的一條直線垂直，那么它必與另一條直線垂直．3．兩條平行線間的距離如圖3，直線AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，則稱線段EF的長(zhǎng)度為兩平行線AB與CD間的距離.【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】（1）兩條平行線之間的距離處處相等.（2）初中階級(jí)學(xué)習(xí)了三種距離,分別是兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線距離、平行線間的距離.這三種距離的共同點(diǎn)在于都是線段的長(zhǎng)度,它們的區(qū)別是兩點(diǎn)間的距離是連接這兩點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度,點(diǎn)到直線距離是直線外一點(diǎn)引已知直線的垂線段的長(zhǎng)度,平行線間的距離是一條直線上的一點(diǎn)到與之平行的另一直線的距離.（3）如何理解“垂線段”與“距離”的關(guān)系：垂線段是一個(gè)圖形，距離是線段的長(zhǎng)度，是一個(gè)量，它們之間不能等同.知識(shí)點(diǎn)03：命題及平移【高頻考點(diǎn)精講】1.命題：判斷一件事情的語句，叫做命題．每個(gè)命題都是題設(shè)、結(jié)論兩部分組成.題設(shè)是已知事項(xiàng)；結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng).2.平移：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，圖形的這種移動(dòng)叫做平移．要點(diǎn)詮釋：平移的性質(zhì)：（1）平移后，對(duì)應(yīng)線段平行(或共線)且相等；（2）平移后，對(duì)應(yīng)角相等；（3）平移后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段平行(或共線)且相等；（4）平移后，新圖形與原圖形是一對(duì)全等圖形.檢測(cè)時(shí)間：120分鐘試題滿分：100分難度系數(shù)：0.50一、選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分．在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)前的字母代號(hào)填寫在括號(hào)內(nèi)）1．（2分）（2023秋?即墨區(qū)期末）生活中的椅子一般依據(jù)人體工學(xué)原理設(shè)計(jì)，如圖為生活中一把椅子的側(cè)面圖，從人體脊柱的形勢(shì)而言，當(dāng)靠背角度∠DEF＝115°時(shí)，能產(chǎn)生較為接近自然腰部的形狀，此時(shí)最舒適．已知DE與地面平行，支撐桿BD與地面夾角∠ABD＝50°，則制作時(shí)用螺絲固定時(shí)支撐桿BD和AF需構(gòu)成夾角∠ACB為（）A．70° B．65° C．60° D．50°2．（2分）（2023秋?蓮湖區(qū)期末）某小區(qū)地下停車場(chǎng)的欄桿如圖所示，當(dāng)欄桿抬起到最大高度時(shí)，∠BCD＝118°．若此時(shí)CD平行地面AE，則∠ABC的度數(shù)為（）A．162° B．152° C．150° D．142°3．（2分）（2023秋?哈爾濱期末）下列各圖中，∠1和∠2是對(duì)頂角的是（）A． B． C． D．4．（2分）（2023秋??？h期末）如圖a∥b，c與a相交，d與b相交，下列說法：①若∠1＝∠2，則∠3＝∠4；②若∠1+∠4＝180°，則c∥d；③∠4﹣∠2＝∠3﹣∠1；④∠1+∠2+∠3+∠4＝360°，正確的有（）A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③5．（2分）（2023?禹會(huì)區(qū)二模）如圖，把長(zhǎng)方形ABCD沿EF對(duì)折，若∠1＝50°，則∠AEF的度數(shù)等于（）A．25° B．50° C．100° D．115°6．（2分）（2023秋?肇慶期末）如圖，直線AB、CD交于點(diǎn)O，OE平分∠BOC，若∠1＝50°，則∠BOE等于（）A．65° B．60° C．50° D．45°7．（2分）（2023?貴池區(qū)二模）如圖是一款手推車的平面示意圖，其中AB∥CD，∠1＝24°，∠2＝76°，則∠3的度數(shù)為（）A．104° B．128° C．138° D．156°8．（2分）（2023秋?高青縣校級(jí)期末）如圖，將周長(zhǎng)為8的△ABC沿BC方向向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到△DEF，則四邊形ABFD的周長(zhǎng)為（）A．10 B．12 C．14 D．169．（2分）（2023春?自貢期末）已知直線l1∥l2，將含30°角的直角三角板按如圖所示擺放．若∠2＝140°，則∠1＝（）A．110° B．120° C．130° D．140°10．（2分）（2022秋?南陵縣期末）如圖，已知射線OP∥AE，∠A＝α，依次作出∠AOP的角平分線OB，∠BOP的角平分線OB1，∠B1OP的角平分線OB2，…，∠Bn﹣1OP的角平分線OBn，其中點(diǎn)B，B1，B2，…，Bn都在射線AE上，則∠ABnO的度數(shù)為（）A． B． C． D．二、填空題（本大題共10小題，每題2分，共20分．不需寫出解答過程，請(qǐng)將正確答案填寫在橫線上）11．（2分）（2023秋?中原區(qū)期末）小明和小穎在做三角形擺放游戲，他們將一副三角板如圖所示疊放在一起，使CE位于∠ACB內(nèi)部，三角板ABC的位置保持不變，改變?nèi)前錍DE的位置，∠ECB＝°時(shí)，DE∥BC．12．（2分）（2022秋?封丘縣期末）如圖，一把長(zhǎng)方形直尺沿直線斷開并錯(cuò)位，點(diǎn)E，D，B，F(xiàn)在同一條直線上．若∠DBC＝54°，則∠ADE的度數(shù)是．13．（2分）（2022秋?東港區(qū)校級(jí)期末）如圖，將一個(gè)寬度相等的長(zhǎng)方形紙條沿AB折疊一下，如果∠1＝140°，那么∠2度數(shù)是°．14．（2分）（2023春?澧縣期末）如圖，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD＝70°，∠BCD＝40°，則∠BED的度數(shù)為．15．（2分）（2023春?中山市期中）如圖，直線AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝53°，則∠2＝．16．（2分）（2023秋?市北區(qū)期末）如圖a，已知長(zhǎng)方形紙帶ABCD，將紙帶沿EF折疊后，點(diǎn)C、D分別落在H、G的位置，再沿BC折疊成圖b，若∠DEF＝72°，則∠GMN＝°．17．（2分）（2023秋?鹿寨縣期末）如圖1是某景區(qū)電動(dòng)升降門，將其抽象為幾何圖形，如圖2所示，BA垂直于地面AE于A，當(dāng)CD平行于地面AE時(shí)，則∠ABC+∠BCD＝．18．（2分）（2023?渝中區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，將一張長(zhǎng)方形的紙片沿折痕EF翻折，使點(diǎn)B、C分別落在點(diǎn)M、N的位置，且∠NED＝∠EFM，則∠MFA＝°．19．（2分）（2023春?慈溪市期中）如圖，PQ∥MN，A，B分別為直線MN、PQ上兩點(diǎn)，且∠BAN＝45°，若射線AM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN后立即回轉(zhuǎn)，射線BQ繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BP后立即回轉(zhuǎn)，兩射線分別繞點(diǎn)A、點(diǎn)B不停地旋轉(zhuǎn)，若射線AM轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是a°/秒，射線BQ轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是b°/秒，且a、b滿足|a﹣4|+（b﹣1）2＝0．若射線AM繞點(diǎn)A順時(shí)針先轉(zhuǎn)動(dòng)18秒，射線BQ才開始繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在射線BQ到達(dá)BA之前，問射線AM再轉(zhuǎn)動(dòng)秒時(shí)，射線AM與射線BQ互相平行．20．（2分）（2023春?開州區(qū)期末）如圖，將長(zhǎng)方形紙片ABCD沿EF折疊后，點(diǎn)A，B分別落在A'，B'的位置，再沿AD邊將∠A'折疊到∠H處，已知∠1＝50°，則∠FEH＝°．三、解答題（本大題共8小題，共60分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）21．（6分）（2023秋?蓮湖區(qū)期末）如圖，把一塊三角板的60°角的頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，若∠2＝55°，求∠1的度數(shù)．22．（6分）（2023秋?商水縣期末）如圖，已知F，E分別是射線AB，CD上的點(diǎn)．連接AC，AE平分∠BAC，EF平分∠AED，∠2＝∠3．（1）試說明AB∥CD；（2）若∠AFE﹣∠2＝30°，求∠AFE的度數(shù)．23．（8分）（2023秋?興平市期末）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，CD上，AF⊥CE，垂足為點(diǎn)O，∠1＝∠B，∠A+∠2＝90°．求證：AB∥CD．24．（8分）（2023秋?原陽縣校級(jí)期末）如圖，已知∠B＝25°，∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，∠E＝10°求證：AB∥EF．25．（8分）（2023秋?崇川區(qū)期末）如圖1，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，已知AD∥BE，∠B＝∠D．（1）求證：AB∥CD；（2）連接AE，∠BAE的平分線和∠DCE的平分線所在的直線相交于點(diǎn)F（點(diǎn)F與點(diǎn)C不重合）．①如圖2，若∠BAE＝66°，∠DCE＝70°，且點(diǎn)F在∠DCE平分線的反向延長(zhǎng)線上，則∠AFC＝°；②試探究∠DAE與∠AFC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．26．（8分）（2022秋?靖遠(yuǎn)縣期末）如圖，∠1＝∠2，∠BAE＝∠BDE，EA平分∠BEF．（1）求證：AB∥DE；（2）BD平分∠EBC嗎？為什么？27．（8分）（2023秋?巴南區(qū)校級(jí)期末）已知，如圖，AB∥CD，直線MN交AB于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N，點(diǎn)E是線段MN上一點(diǎn)，P，Q分別在射線MB，ND上，連接PE，EQ，PF平分∠MPE，QF平分∠DQE．（1）如圖1，當(dāng)PE⊥QE時(shí)，直接寫出∠PFQ的度數(shù)；（2）如圖2，求∠PEQ與∠PFQ之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，在（1）