2024初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽八年級(jí)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義專題04 和差化積-因式分解的方法（2）含答案

2024初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽八年級(jí)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義專題04和差化積----因式分解的方法（2）閱讀與思考因式分解還經(jīng)常用到以下兩種方法1．主元法所謂主元法，即在解多變?cè)獑?wèn)題時(shí)，選擇其中某個(gè)變?cè)獮橹饕?，視其他變?cè)獮槌Ａ?，將原式按降冪排列重新整理成關(guān)于這個(gè)字母的多項(xiàng)式，使問(wèn)題獲解的一種方法．2．待定系數(shù)法即對(duì)所給的數(shù)學(xué)問(wèn)題，根據(jù)已知條件和要求，先設(shè)出一個(gè)或幾個(gè)待定的字母系數(shù)，把所求問(wèn)題用式子表示，然后再利用已知條件，確定或消去所設(shè)系數(shù)，使問(wèn)題獲解的一種方法，用待定系數(shù)法解題的一般步驟是：（1）在已知問(wèn)題的預(yù)定結(jié)論時(shí)，先假設(shè)一個(gè)等式，其中含有待定的系數(shù)；（2）利用恒等式對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等的性質(zhì)，列出含有待定系數(shù)的方程組；（3）解方程組，求出待定系數(shù)，再代入所設(shè)問(wèn)題的結(jié)構(gòu)中去，得出需求問(wèn)題的解．例題與求解【例l】因式分解后的結(jié)果是（ ）．A．B．C．D．（上海市競(jìng)賽題）解題思路：原式是一個(gè)復(fù)雜的三元二次多項(xiàng)式，分解有一定困難，把原式整理成關(guān)于某個(gè)字母的多項(xiàng)式并按降冪排列，改變?cè)浇Y(jié)構(gòu)，尋找解題突破口．【例2】分解因式：（1）；（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）（2）．（天津市競(jìng)賽題）解題思路：兩個(gè)多項(xiàng)式的共同特點(diǎn)是：字母多、次數(shù)高，給分解帶來(lái)一定的困難，不妨考慮用主元法分解．【例3】分解因式．（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）解題思路：因的最高次數(shù)低于的最高次數(shù)，故將原式整理成字母的二次三項(xiàng)式．【例4】為何值時(shí)，多項(xiàng)式有一個(gè)因式是（“五羊杯”競(jìng)賽試題）解題思路：由于原式本身含有待定系數(shù)，因此不能先分解，再求值，只能從待定系數(shù)法入手．【例5】把多項(xiàng)式寫(xiě)成一個(gè)多項(xiàng)式的完全平方式.（江西省景德鎮(zhèn)市競(jìng)賽題）解題思路：原多項(xiàng)式的最高次項(xiàng)是，因此二次三項(xiàng)式的一般形式為，求出即可．【例6】如果多項(xiàng)式能分解成兩個(gè)一次因式，的乘積（為整數(shù)），則的值應(yīng)為多少？（江蘇省競(jìng)賽試題）解題思路：由待定系數(shù)法得到關(guān)于的方程組，通過(guò)消元、分解因式解不定方程，求出的值．能力訓(xùn)練A級(jí)1．分解因式：＝___________________________．（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）2．分解因式：＝_______________________（河南省競(jìng)賽試題）3．分解因式：＝____________________________．（重慶市競(jìng)賽試題）4．多項(xiàng)式的最小值為_(kāi)___________________．（江蘇省競(jìng)賽試題）5．把多項(xiàng)式分解因式的結(jié)果是（ ）A．B．C．D．6．已知能分解成兩個(gè)整系數(shù)的一次因式的乘積，則符合條件的整數(shù)的個(gè)數(shù)是（ ）．A．3個(gè)B．4個(gè)C．5個(gè)D．6個(gè)7．若被除后余3，則的值為（）．A．2B．4C．9D．10（“CASIO杯”選拔賽試題）8．若，，則的值是（ ）．A．B．C．D．0（大連市“育英杯”競(jìng)賽試題）9．分解因式：（1）；（吉林省競(jìng)賽試題）（2）；（昆明市競(jìng)賽試題）（3）；（天津市競(jìng)賽試題）（4）；（四川省聯(lián)賽試題）（5）（天津市競(jìng)賽試題）10．如果能夠分割成兩個(gè)多項(xiàng)式和的乘積（為整數(shù)），那么應(yīng)為多少？（蘭州市競(jìng)賽試題）已知代數(shù)式能分解為關(guān)于的一次式乘積，求的值．（浙江省競(jìng)賽試題）B級(jí)1．若有一個(gè)因式是，則＝_______________．（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）2．設(shè)可分解為一次與二次因式的乘積，則＝_____________．（“五羊杯”競(jìng)賽試題）3．已知是的一個(gè)因式，則＝________________________．（“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）4．多項(xiàng)式的一個(gè)因式是，則的值為_(kāi)_________．（北京市競(jìng)賽試題）5．若有兩個(gè)因式和，則＝（ ）．A．8B．7C．15D．21E．22（美國(guó)猶他州競(jìng)賽試題）6．多項(xiàng)式的最小值為（ ）．A．4B．5C．16D．25（“五羊杯”競(jìng)賽試題）7．若（為實(shí)數(shù)），則M的值一定是（ ）．A．正數(shù)B．負(fù)數(shù)C．零D．整數(shù)(“CASIO杯”全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）8．設(shè)滿足，則＝（ ）A．（2，2）或（－2，－2）B．（2，2）或（2，－2）C．（2，－2）或（－2，2）D．（－2，－2）或（－2，2）（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）9．為何值時(shí)，多項(xiàng)式能分解成兩個(gè)一次因式的積？（天津市競(jìng)賽試題）10．證明恒等式：．（北京市競(jìng)賽試題）11．已知整數(shù)，使等式對(duì)任意的均成立，求的值．（山東省競(jìng)賽試題）12．證明：對(duì)任何整數(shù)，下列的值都不會(huì)等于33．（莫斯科市奧林匹克試題）專題04和差化積-------因式分解的方法(2)例1.A提示:將原式重新整理成關(guān)于的二次三項(xiàng)式例2.(1)提示:原式(2)提示:原式例3.原式例4.提示:可設(shè)原式展開(kāi)比較對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)得解得k＝12．例5原式＝．例6設(shè)x2－（a＋5）x＋5a－1＝（x＋b）（x＋c）＝x2＋（b＋c）x＋bc．∴①×5＋2得bc＋5（b＋c）＝－26，bc＋5（b＋c）＋25＝－1，（b＋5）（c＋5）＝－1．∴或∴或故a＝5．A級(jí)1．（3a＋2b－c）（3a－2b＋c）2．（x＋3y）（x＋2y＋1）3．（x＋y＋1）（x－y＋3）4．－185．C6．D7．D8．D9．（1）（2a＋b）（a－b＋c）；（2）（a＋c－2b）2；（3）（x－2）（x2－x＋a）；（4）（x－2y＋3）（2x－3y－4）；（5）（x＋1）（y＋1）（x－1）（y－1）．10．提示：由題意得①×4＋②，得（b＋4）（c＋4）＝－1，推得或故a＝4．11．∵x2－3xy－4y＝（x＋y）（x－4y），∴可設(shè)原式＝（x＋y＋m）（x－4y＋n），展開(kāi)比較對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)得b＝－6或9．B級(jí)1．k＝－52．－2提示：原式＝x（x2＋3x－k）－2y（x＋2），令x＝－2．3．5提示：令原式＝（x－y＋4）·A，取一組x，y的值代入上式．4．－35．C提示：x＝－1，x＝－2是方程x3＋ax2＋bx＋8＝0的解．6．C提示：原式＝（x－2y）2＋（2x＋3）2＋167．A提示：原式＝2（x－2y）2＋（x－2）2＋（y＋3）2≥0，且這三個(gè)數(shù)不能同時(shí)為零，M＞0．8．C9．k＝－3提示：因x2＋3x＋2＝（x＋1）（x＋2），故可令原式＝（x＋my＋1）·（x十ny＋2），展開(kāi)比較對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)求出k．10．提示：左邊＝（a2＋b2）2－2a2b2＋（a2＋b2＋2ab）2＝（a2＋b2）2－2a2b2＋（a2＋b2）2＋4ab（a2＋b2）＋4a2b2＝2（a2＋b2）＋4ab（a2＋b2）＋2a2b2＝2（a2＋b2＋ab）2＝右邊．11．將原等式展開(kāi)x2＋（a＋b＋c）x＋ab－l0c＝x2－10x－11．∴①×10＋②得ab＋10a＋10b＝－111．∴（a＋10）（b＋10）＝－11．∴或或或∴或或或代入①得c＝0或20．12．原式＝（x5＋3x4y）－（5x3y＋15x2y3）＋（4xy4＋12y5）＝x4（x＋3y）－5x2y2（x＋3y）＋4y4（x＋3y）＝（x＋3y）（x4－5x2y2＋4y2）＝（x＋3y）（x2－4y2）＝（x＋3y）（x＋y）（x－y）（x＋2y）（x－2y）．當(dāng)y＝0時(shí)，原式＝x5≠33;當(dāng)y≠0時(shí)，x＋3y，x－y，x－2y，x＋2y，x＋y互不相同，而33不可能分解為4個(gè)以上不同因數(shù)的積，所以，當(dāng)x取任意整數(shù)，y取不為0的任意整數(shù)，原式≠33．專題05和差化積——因式分解的應(yīng)用閱讀與思考：因式分解是代數(shù)變形的有力工具，在以后的學(xué)習(xí)中，因式分解是學(xué)習(xí)分式、一元二次方程等知識(shí)的基礎(chǔ)，其應(yīng)用主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：1．復(fù)雜的數(shù)值計(jì)算；2．代數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值；3．簡(jiǎn)單的不定方程（組）；4．代數(shù)等式的證明等.有些多項(xiàng)式分解因式后的結(jié)果在解題中經(jīng)常用到，我們應(yīng)熟悉這些結(jié)果：1.;2.;3.；4.；5.．例題與求解【例1】已知，，那么的值為_(kāi)__________.（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）解題思路：對(duì)已知等式通過(guò)因式分解變形，尋求a，b之間的關(guān)系，代入關(guān)系求值．【例2】a，b，c是正整數(shù)，a＞b，且，則等于( ).A.－1B．－1或－7C．1D.1或7（江蘇省競(jìng)賽試題）解題思路：運(yùn)用因式分解，從變形條件等式入手，在字母允許的范圍內(nèi)，把一個(gè)代數(shù)式變換成另一個(gè)與它恒等的代數(shù)式稱代數(shù)式的恒等變形，它是研究代數(shù)式、方程和函數(shù)的重要工具，換元、待定系數(shù)、配方、因式分解又是恒等變形的有力工具．求代數(shù)式的值的基本方法有；(1)代入字母的值求值；(2)代入字母間的關(guān)系求值；(3)整體代入求值．【例3】計(jì)算：(1)（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）（2）（江蘇省競(jìng)賽試題）解題思路：直接計(jì)算，則必然繁難，對(duì)于(1)，不妨用字母表示數(shù)，通過(guò)對(duì)分子、分母分解因式來(lái)探求解題思路；對(duì)于(2)，可以先研究的規(guī)律．【例4】求下列方程的整數(shù)解．(1);（上海市競(jìng)賽試題）(2).（四川省競(jìng)賽試題）解題思路：不定方程、方程組沒(méi)有固定的解法，需具體問(wèn)題具體分析，觀察方程、方程組的特點(diǎn)，利用整數(shù)解這個(gè)特殊條件，從分解因式入手．解不定方程的常用方法有：(1)窮舉法；(2)配方法；(3)分解法；(4)分離參數(shù)法．用這些方程解題時(shí)，都要靈活地運(yùn)用質(zhì)數(shù)合數(shù)、奇數(shù)偶數(shù)、整除等與整數(shù)相關(guān)的知識(shí).【例5】已知，，求下列各式的值：(1)；(2)；(3)．解題思路：先分解因式再代入求值.【例6】一個(gè)自然數(shù)恰等于另一個(gè)自然數(shù)的立方，則稱自然數(shù)為完全立方數(shù)，如27＝33，27就是一個(gè)完全立方數(shù)．若＝19951993×199519953－19951994×199519923，求證：是一個(gè)完全立方數(shù)．（北京市競(jìng)賽試題）解題思路：用字母表示數(shù)，將分解為完全立方式的形式即可．能力訓(xùn)練A級(jí)1.如圖，有三種卡片，其中邊長(zhǎng)為的正方形卡片1張，邊長(zhǎng)分別為，的長(zhǎng)方形卡片6張，邊長(zhǎng)為的正方形卡片9張，用這16張卡片拼成一個(gè)正方形，則這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為_(kāi)_______．（煙臺(tái)市初中考試題）2．已知，則的值為_(kāi)_________．（江蘇省競(jìng)賽試題）3．方程的整數(shù)解是__________．（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）4.如果是完全平方式，那么的值為_(kāi)_________．（海南省競(jìng)賽試題）5.已知()，則的值是()．A．2，B．2C．D．6．當(dāng)，的值為()．A.－1B．0C．2D．17．已知，，則M與N的大小關(guān)系是()．A.M＜NB．M＞NC．M＝ND．不能確定（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）8．為某一自然數(shù)，代入代數(shù)式中計(jì)算其值時(shí)，四個(gè)同學(xué)算出如下四個(gè)結(jié)果，其中正確的結(jié)果只能是()．A.388944B.388945C.388954D.388948（五城市聯(lián)賽試題）9．計(jì)算：(1)（北京市競(jìng)賽試題）(2)(安徽省競(jìng)賽試題)10.一個(gè)自然數(shù)恰好等于另一個(gè)自然數(shù)的平方，則稱自然數(shù)為完全平方數(shù)，如64＝82，64就是一個(gè)完全平方數(shù)，若＝19982＋19982×19992＋19992，求證：是一個(gè)完全平方數(shù)．（北京市競(jìng)賽試題）已知四個(gè)實(shí)數(shù)，，，，且，，若四個(gè)關(guān)系式，，，同時(shí)成立.(1)求的值；(2)分別求，，，的值．（湖州市競(jìng)賽試題）B級(jí)1．已知是正整數(shù)，且是質(zhì)數(shù)，那么____________.（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）2．已知三個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積等于這三個(gè)質(zhì)數(shù)的和的5倍，則＝________.（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）已知正數(shù)，，滿足，則＝_________.（北京市競(jìng)賽試題）4．在日常生活中如取款、上網(wǎng)等都需要密碼，有一種用“因式分解”法產(chǎn)生的密碼，方便記憶．原理是：如對(duì)于多項(xiàng)式，因式分解的結(jié)果是，若?。?，＝9時(shí)，則各個(gè)因式的值是：，于是就可以把“018162”作為一個(gè)六位數(shù)的密碼，對(duì)于多項(xiàng)式，?。?0，＝10時(shí)，用上述方法產(chǎn)生的密碼是：__________．（寫(xiě)出一個(gè)即可）．（浙江省中考試題）5．已知，，是一個(gè)三角形的三邊，則的值()．A.恒正B．恒負(fù)C．可正可負(fù)D．非負(fù)(太原市競(jìng)賽試題)6．若是自然數(shù)，設(shè)，則()．A.一定是完全平方數(shù)B．存在有限個(gè)，使是完全平方數(shù)C.一定不是完全平方數(shù)D．存在無(wú)限多個(gè)，使是完全平方數(shù)7．方程的正整數(shù)解有()組．A.3B．2C．1D．0（“五羊杯”競(jìng)賽試題）8．方程的整數(shù)解有()組．A.2B．4C．6D.8（”希望杯”邀請(qǐng)賽試題）9．設(shè)N＝695＋5×694＋10×693＋10×692＋5×69＋1.試問(wèn)有多少個(gè)正整數(shù)是N的因數(shù)？（美國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）10．當(dāng)我們看到下面這個(gè)數(shù)學(xué)算式時(shí)，大概會(huì)覺(jué)得算題的人用錯(cuò)了運(yùn)算法則吧，因?yàn)槲覀冎溃?，如果你?dòng)手計(jì)算一下，就會(huì)發(fā)現(xiàn)上式并沒(méi)有錯(cuò)，不僅如此，我們還可以寫(xiě)出任意多個(gè)這種算式：，，，，…你能發(fā)現(xiàn)以上等式的規(guī)律嗎？11.按下面規(guī)則擴(kuò)充新數(shù)：已有，兩數(shù)，可按規(guī)則擴(kuò)充一個(gè)新數(shù)，而以，，三個(gè)數(shù)中任取兩數(shù)，按規(guī)則又可擴(kuò)充一個(gè)新數(shù)，…每擴(kuò)充一個(gè)新數(shù)叫做一次操作.現(xiàn)有數(shù)1和4，求：(1)按上述規(guī)則操作三次得到擴(kuò)充的最大新數(shù)；(2)能否通過(guò)上述規(guī)則擴(kuò)充得到新數(shù)1999，并說(shuō)明理由．（重慶市競(jìng)賽試題）12.設(shè)，，為正整數(shù)．被整除所得的商分別為，.(1)若，互質(zhì)，證明與互質(zhì)；(2)當(dāng)，互質(zhì)時(shí)．求的值；(3)若，的最大公約數(shù)為5，求的值．（江蘇省競(jìng)賽試題）專題05和差化積——因式分解的應(yīng)用例1或例2D提示：（a－b）（a－c）＝7．a(chǎn)－b>0，a－c>0．例3（1）提示：設(shè)1997＝a，則原式＝（2）221提示：例4（1）x＝1，y＝－1提示：（2x－3）（2＋3y）＝1；（2）提示：（2x＋y）（x＋2y）＝2007×1＝669×3＝223×9＝（－1）×（－669）＝（－9）×（－223）．例5（1）a2b＋ab2＝ab（a＋b）＝2×3＝6．（2）a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝32－2×2＝5．（3）．例6提示：設(shè)m＝19951993，則a＝．A組1．a(chǎn)＋3b2．363．（x，y）＝（6，5）或（4，5）4．1或－35．A6．D7．B8．A9．（1）3（2）提示：設(shè)a＝22223，b＝11112，則原式＝．10.設(shè)，則.11.(1)由,得,故.(2)由,,得,而,∴,從而,又.當(dāng)時(shí),,解得,,；當(dāng)時(shí),,解得,,；B級(jí)3提示：原式=，788提示：101030或103010或301010Ｂ提示：原式=Ｃ提示：7.Ｃ8.Ｃ9.提示：原式=，共有個(gè)因數(shù).10.===(1)499就是擴(kuò)充三次的最大數(shù)(2)，取可得新數(shù)∴取可得新數(shù)∴,設(shè)擴(kuò)充后的新數(shù)為，則總可以表示為，式中為整數(shù).當(dāng)時(shí),,又,故1999可以通過(guò)上述規(guī)則擴(kuò)充得到.12.(1)設(shè)s為與的最大公因數(shù)，則，（于是.可見(jiàn),是的因數(shù),∵互質(zhì),∴也互質(zhì),可見(jiàn),即與互質(zhì),同理可得:與互質(zhì).(2)∵,∴.又都是正整數(shù)，∴整除.因與互質(zhì)，∴整除116，即.而,具有相同的奇偶性,且,∴或,解得或,∵互質(zhì),.∴,∴.(3)若設(shè),則同(2)有即,,且.根據(jù)(2)有,.∴.專題06從地平面到腳手架------分式的運(yùn)算閱讀與思考分式的主要內(nèi)容包括分式的概念、分式的基本性質(zhì)、分式的四則運(yùn)算、簡(jiǎn)單的分式方程等．分式的運(yùn)算與分?jǐn)?shù)的運(yùn)算類似，是以整式的變形、因式分解及計(jì)算為工具，以分式的基本性質(zhì)、運(yùn)算法則和約分為基礎(chǔ)．分式的加減運(yùn)算是分式運(yùn)算的難點(diǎn)，解決這一難點(diǎn)的關(guān)鍵是根據(jù)題目的特點(diǎn)恰當(dāng)?shù)赝ǚ郑ǚ滞ǔＳ幸韵虏呗耘c技巧：1．分步通分，步步為營(yíng)；2．分組通分，化整為零；3．減輕負(fù)擔(dān)，先約分再通分；4．拆項(xiàng)相消后通分；5．恰當(dāng)換元后通分，學(xué)習(xí)分式時(shí)．應(yīng)注意：(1)分式與分?jǐn)?shù)的類比．整數(shù)可以看做是分?jǐn)?shù)的特殊情形，但整式卻不能看做是分式的特殊情形；(2)整式與分式的區(qū)別需要討論字母的取值范圍，這是分式區(qū)別于整式的關(guān)鍵所在．分式問(wèn)題比起整式問(wèn)題，增加了幾個(gè)難點(diǎn)；(1)從“平房”到“樓房”，在“腳手架”上活動(dòng)；(2)分式的運(yùn)算中多了通分和約分這兩道技術(shù)性很強(qiáng)的工序；(3)需要考慮字母的取值范圍，例題與求解【例1】＝_________時(shí)，分式的值為0.（杭州市中考試題）解題思路：分母不為0時(shí)，分式有意義，分子與分母的公因式就不為0．【例2】已知，以，，則的值為()．A.1B．C．2D．（太原市競(jìng)賽試題）解題思路：不宜直接通分，運(yùn)用已知條件，對(duì)分母分解因式，分解后再通分.【例3】計(jì)算：(1)（武漢市競(jìng)賽試題）(2)（天津市競(jìng)賽試題）（3）（贛州市競(jìng)賽試題）（4）（漳州市競(jìng)賽試題）解題思路：由于各個(gè)分式復(fù)雜，因此，必須仔細(xì)觀察各式中分母的特點(diǎn)，恰當(dāng)運(yùn)用通分的相關(guān)策略與技巧；對(duì)于(4)，注意到題中各式是關(guān)于或的代數(shù)式，考慮設(shè)，，則，通過(guò)換元可降低問(wèn)題的難度．當(dāng)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題不能或不便于從整體上加以解決時(shí)，我們可以從局部入手將原題分解。這便是解題的分解策略．解絕對(duì)值問(wèn)題時(shí)用的分類、分段討論；解分式問(wèn)題時(shí)用的分步分組通分、因式分解的分組分解法以及裂項(xiàng)求值等都是分解策略的具體運(yùn)用.【例4】求最大的正整數(shù)，使得能被＋10整除．（美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題）解題思路：運(yùn)用長(zhǎng)除法或把兩個(gè)整式整除的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)分式的問(wèn)題加以解決.類似于分?jǐn)?shù)，當(dāng)一個(gè)分式的分子的次數(shù)高于或等于分母的次數(shù)，那么就可以將分式化為整數(shù)部分與分式部分的和，分式的這種變形稱為拆分變形，是拆項(xiàng)變形的一種．【例5】已知，，，求的值．（太原市競(jìng)賽試題）解題思路：設(shè)法求出的值．【例6】(1)設(shè)，，均為非零實(shí)數(shù)，并且，，，則等于多少？（北京市競(jìng)賽試題）(2)計(jì)算：（上海市競(jìng)賽試題）解題思路：對(duì)于(1)，通過(guò)變換題中等式，即可列出方程組，解得，，的值；對(duì)于(2)，仔細(xì)觀察，即可發(fā)現(xiàn)其中規(guī)律．A級(jí)1．要使分式有意義，則的取值范圍是________.2．代數(shù)式的值為整數(shù)的全體自然數(shù)的和是________.（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）3．已知為整數(shù)，且為整數(shù)，則所有符合條件的值的和為_(kāi)_______.（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）4．若，則＝________.（“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）5．關(guān)于分式，下列四種說(shuō)法中正確的是( ).A．含有分母的代數(shù)式叫做分式B.分式的分母、分子同乘以（或除以）2＋3，分式的值不變C．當(dāng)時(shí)．分式的值為D．分式的最小值為零（重慶市競(jìng)賽試題）6．已知分式的值為零，則的值為( ).A．±1B．－lC．8D.－l或8（江蘇省競(jìng)賽試題）7.若取整數(shù)，則使分式的值為整數(shù)的值有()．A.3個(gè)B．4個(gè)C．6個(gè)D．8個(gè)（江蘇省競(jìng)賽試題）8．若對(duì)于±3以外的一切數(shù)均成立，則的值是()．A.8B．－8C．16D．－169．計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)(5)10．當(dāng)分別取，，…，，1，2，…，2006，2007，時(shí)．求出代數(shù)式的值，將所得結(jié)果相加求其和.（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）已知，求證：（波蘭奧林匹克試題）已知，則的值．（北京市競(jìng)賽試題）B級(jí)1．如果使分式有意義的一切的值，都使這個(gè)分式的值是一個(gè)定值，那么，應(yīng)滿足的條件是__________.2．已知，其中A，B，C為常數(shù)，則B＝__________.（“五羊杯”競(jìng)賽試題）3．設(shè)正整數(shù)，滿足且，則＝__________.（“宇振杯”上海市競(jìng)賽試題）4．當(dāng)＝_______時(shí)，分式有最小值，最小值是__________.（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）5．已知，那么代數(shù)式的值是()．A．5B．7C．3D．6．已知，滿足ab＝1，記，則M，N的關(guān)系為()．A.M＞NB．M＝NC．M＜ND．不確定（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）7．以，，為非零實(shí)數(shù)，且，若，解等于()A.8 B．4 C．2 D．1（天津市競(jìng)賽試題）8．已知有理數(shù)，，滿足，＜0，那么的值是()．A.正數(shù)B．零C．負(fù)數(shù)D．不能確定（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）9．化簡(jiǎn)：(1)(2)10.為自然數(shù)，若，則稱為1996的吉祥數(shù)，如，4就是1996的一個(gè)吉祥數(shù)，試求1996的所有吉祥數(shù)的和．（北京市競(jìng)賽試題）11.用水清洗蔬菜上殘留的農(nóng)藥．設(shè)用(≥1)單位量的水清洗一次后蔬菜上殘留的農(nóng)藥量與本次清洗前殘留的農(nóng)藥量之比為．現(xiàn)有（