2024初中數(shù)學(xué)競賽七年級競賽輔導(dǎo)講義專題10 多變的行程問題含答案

2024初中數(shù)學(xué)競賽七年級競賽輔導(dǎo)講義專題10多變的行程問題閱讀與思考行程問題的三要素是：距離（）、速度（）、時(shí)間（），基本關(guān)系是：，，．行程問題按運(yùn)動(dòng)方向可分為相遇問題、追及問題；按運(yùn)動(dòng)路線可分為直線形問題、環(huán)形問題等．其中相遇問題、追及問題是最基本的類型，它們的特點(diǎn)與常用的等量關(guān)系如下：1．相遇問題其特點(diǎn)是：兩人（或物）從兩地沿同一路線相向而行，而最終相遇，一般地，甲行的路程＋乙行的路程＝兩地之間的距離．2．追及問題其特點(diǎn)是：兩人（或物）沿同一路線、同一方向運(yùn)動(dòng)，由于位置或者出發(fā)時(shí)間不同，造成一前一后，又因?yàn)樗俣鹊牟町愂沟煤笳咦罱K能追及前者．一般地，快者行的路程－慢者行的路程＝兩地之間的距離．例題與求解【例1】在公路上，汽車、、分別以80千米/時(shí)，70千米/時(shí)，50千米/時(shí)的速度勻速行駛，從甲站開往乙站，同時(shí)，、從乙站開往甲站．在與相遇后兩小時(shí)又與相遇，則甲、乙兩站相距__________千米．（“希望杯”競賽試題）解題思路：本例為直線上的相遇問題，可依據(jù)時(shí)間關(guān)系列方程．【例2】如圖，某人沿著邊長為90來的正方形，按→→→→…方向，甲從以65米/分的速度，乙從以72米/分的速度行走，當(dāng)乙第一次追上甲時(shí)在正方形的（）．A．邊上 B．邊上 C．邊上 D．邊上（安徽省競賽試題）解題思路：本例是一個(gè)特殊的環(huán)形追及問題，注意甲實(shí)際在乙的前面（米）處．【例3】亞州鐵人三項(xiàng)賽在徐州市風(fēng)光秀麗的云龍湖畔舉行．比賽程序是：運(yùn)動(dòng)員先同時(shí)下水游泳1.5千米到第一換項(xiàng)點(diǎn)，在第一換項(xiàng)點(diǎn)整理服裝后，接著騎自行車40千米到第二換項(xiàng)點(diǎn)，再跑步10千米到終點(diǎn)．下表是亞洲鐵人三項(xiàng)賽女子組（19歲以下）三名運(yùn)動(dòng)員在比賽中的成績（游泳成績即游泳所用時(shí)間，其他類推，表內(nèi)時(shí)間單位為秒）．運(yùn)動(dòng)員號碼游泳成績第一換項(xiàng)點(diǎn)所用時(shí)間白行車成績第二換項(xiàng)點(diǎn)所用時(shí)間長跑成績1911997754927403220194150311056865736521951354745351443195（1）填空（精確到0.01）：第191號運(yùn)動(dòng)員騎自行車的平均速度是__________米/秒；第194號運(yùn)動(dòng)員騎自行車的平均速度是__________米/秒；第195號運(yùn)動(dòng)員騎自行車的平均速摩是__________米/秒；（2）如果運(yùn)動(dòng)員騎自行車都是勻速的，那么在騎自行車的途中，191號運(yùn)動(dòng)員會追上195號或194號嗎？如果會，那么追上時(shí)離第一換項(xiàng)點(diǎn)有多少米（精確到0.01）？如果不會，為什么？（3）如果運(yùn)動(dòng)員長跑也都是勻速的，那么在長跑途中這三名運(yùn)動(dòng)員有可能某人追上某人嗎？為什么？（江蘇省徐州市中考試題）解題思路：從表格中獲取信息，注意速度、時(shí)間的比較是解本例的關(guān)鍵．【例4】一小船由港到港順流需行6小時(shí)，由港到港逆流需行8小時(shí)．一天，小船從早晨6點(diǎn)由港出發(fā)順流行至港時(shí)，發(fā)現(xiàn)一救生圈在途中掉落在水中，立刻返回，1小時(shí)后找到救生圈，問：（1）若小船按水流速度由港漂流到港時(shí)需多少小時(shí)？（2）救生圈是何時(shí)掉人水中的？（天津市中考試題）解題思路：要求小船按水流速度由港漂流到港時(shí)所需時(shí)間，需求兩港間的距離及水流速度，考慮增設(shè)輔助未知數(shù)．【例5】某鄉(xiāng)鎮(zhèn)小學(xué)到縣城參觀，規(guī)定汽車從縣城出發(fā)于上午7時(shí)到達(dá)學(xué)校后，接參觀的師生立即出發(fā)去縣城，由于汽車在赴校的途中發(fā)生故障，不得不停車修理，學(xué)校師生等到7時(shí)10分，仍未見汽車來接，就步行走向縣城．在行進(jìn)途中遇到了已經(jīng)修理好的汽車，立即上車趕赴縣城，結(jié)果比預(yù)定到達(dá)縣城的時(shí)間晚了半小時(shí)，如果汽車的速度是步行速度的6倍，汽車在途中排除故障花了多少時(shí)間？（山東省中考試題）解題思路：從題中比原定時(shí)間晚到半小時(shí)入手，選好未知量，找出汽車所用時(shí)間與師生步趕所用時(shí)間之間的關(guān)系．依時(shí)間、速度和路程之間的關(guān)系列出方程．【例6】甲、乙兩人分別從，兩地同時(shí)出發(fā)，在距離地6千米處相遇，相遇后兩人又繼續(xù)按原方向、原速度前進(jìn)，當(dāng)他們分別到達(dá)地、地后，立刻返回，又在距地4千米處相遇，求，兩地相距多少千米？（“祖沖之杯”邀請賽試題）解題思路：本例有多種解法，可借助圖形輔助分析．能力訓(xùn)練A級1．某人以4千米/小時(shí)的速度步行由甲地到乙地，然后又以6千米/小時(shí)的速度從乙地返回甲地，那么某人往返一次的平均速度是__________千米/小時(shí)．2．汽車以每小時(shí)72千米的速度筆直地開向寂靜的山谷，駕駛員按一聲喇叭，4秒后聽到回響，已知聲音的速度是每秒340米，聽到回響時(shí)汽車離山谷的距離是__________米．（江蘇省競賽試題）3．甲、乙兩地相距70千米，有兩輛汽車同時(shí)從兩地相向出發(fā)，并連續(xù)往返于甲、乙兩地，從甲地開出的為第一輛汽車，每小時(shí)行30千米，從乙地開出的為第二輛汽車，每小時(shí)行40千米．當(dāng)從甲地開出的第一輛汽車第二次從甲地出發(fā)后與第二輛汽車相遇，這兩輛汽車分別行駛了__________千米和__________千米．（武漢市選拔賽試題）4．上午9時(shí)整，時(shí)計(jì)與分針成直角，那么下一次時(shí)針與分針成直角的時(shí)間是（）．A．9時(shí)30分 B．10時(shí)5分 C．10時(shí)分 D．9時(shí)分（“希望杯”競賽試題）5．甲、乙兩人同時(shí)從地到地，如果乙的速度保持不變，而甲先用的速度到達(dá)中點(diǎn)，再用的速度到達(dá)地，則下列結(jié)論中正確的是（）．A．甲、乙同時(shí)到達(dá)地 B．甲先到地C．乙先到地 D．無法確定誰先到6．甲與乙比賽登樓，他倆從36層的長江大廈底層出發(fā)，當(dāng)甲到達(dá)6樓時(shí)，乙剛到達(dá)5樓，按此速度，當(dāng)甲到達(dá)頂層時(shí)，乙可到達(dá)（）．A．31層 B．30層 C．29層 D．28層7．如圖，甲、乙兩動(dòng)點(diǎn)分別從正方形的頂點(diǎn)，同時(shí)沿正方形的邊開始移動(dòng)，甲點(diǎn)依順時(shí)針方向環(huán)行，乙點(diǎn)依逆時(shí)針方向環(huán)行，若乙的速度是甲的速度的4倍，則它們的第2007次相遇在邊（）上．A． B． C． D．（湖北省黃岡市競賽試題）8．甲、乙兩列火車同時(shí)從相距120千米的兩地相向行駛，甲速為每小時(shí)84千米，乙速為每小時(shí)60千米，則當(dāng)兩車相距24千米時(shí)行駛的時(shí)間為（）．A．40分鐘 B．1小時(shí) C．1小時(shí)或20分鐘 D．40分鐘或1小時(shí)9．有一個(gè)只允許單向通過的窄道口，通常情況下，每分鐘可以通過9人，一天王老師到達(dá)道口時(shí)，發(fā)現(xiàn)由于擁擠，每分鐘只能有3人通過道口，此時(shí)自己前面還有36人等待通過（假定先到的先過，王老師過道口的時(shí)間忽略不計(jì)）．通過道口后，還需7分鐘到達(dá)學(xué)校：（1）此時(shí)，若繞道而行，要15分鐘到達(dá)學(xué)校，從節(jié)省時(shí)間考慮，王老師應(yīng)繞道去學(xué)校，還是選擇通過擁擠的道口去學(xué)校？（2）若在王老師等人的維持下，幾分鐘后，秩序恢復(fù)正常（維持秩序期間，每分鐘仍有3人通過道口），結(jié)果王老師比擁擠的情況下提前了6分鐘通過逬口，求維持秩序的時(shí)間．（江西省中考試題）10．某人從家里騎摩托車到火車站，如果每小時(shí)行30千米，那么比火車開車時(shí)間早到15分鐘，若每小時(shí)行18千米，則比火車開車時(shí)間遲到15分鐘，現(xiàn)在此人打算在火車開車前10分鐘到達(dá)火車站，求此人此時(shí)騎摩托車的速度應(yīng)該是多少？（湖北省孝感市競賽試題）11． 鐵路旁的一條平行小路上有一行人與一騎車人同時(shí)向東行進(jìn)，行人速度為3.6千米/小時(shí)，騎車人速度為16.8千米/小時(shí)，如果有一列火車從他們背后開過來，它通過行人用22秒，通過騎車人用26秒，問這列火車的車身長為多少米？（河北省競賽試題）B級1．甲、乙兩人從兩地同時(shí)出發(fā)，若相向而行，小時(shí)相遇；若同向而行，則小時(shí)甲追及乙，那么甲、乙兩人的速度之比為__________．（江蘇省競賽試題）2．甲、乙兩列客車的長分別為150米和200米，它們相向行駛在平行的軌道上，已知甲車上某乘客測得乙車在他窗口外經(jīng)過的時(shí)間是10秒，那么乙車上的乘客看見甲車在他窗口外經(jīng)過的時(shí)間是__________秒．（“希望杯”邀請賽試題）3．某人乘船由地順流而下到地，然后又逆流而上到地，共乘船4小時(shí)，已知船在靜水中的速度為每小時(shí)7.5千米，水流速度為每小時(shí)2.5千米，若，兩地的距離為10千米，則，的距離為__________千米．（重慶市競賽試題）4．某段公路由上坡、平坡、下坡三個(gè)等長的路段組成，已知一輛汽車在三個(gè)路段上行駛的平均速度分別為，，．則該汽車在這段公路上行駛的平均速度為（）．A． B． C． D．（天津市競賽試題）5．靜水中航行，甲船的速度比乙船快，在水流速度不為零的河流中，甲、乙兩船同時(shí)從港出發(fā)，同向航行1小時(shí)后立即返航，那么（）．A．甲船先返回港 B．乙船先返回A港C．甲、乙兩船同時(shí)返回港 D．不能確定哪條船先返回港（《時(shí)代學(xué)習(xí)報(bào)》數(shù)學(xué)文化節(jié)試題）6．某商場有一部自動(dòng)扶梯勻速由下而上運(yùn)動(dòng)，甲、乙二人都急于上樓辦事，因此在乘扶梯的同時(shí)勻速登梯，甲登了55級后到達(dá)樓上，乙登梯速度是甲的2倍（單位時(shí)間內(nèi)乙登樓級數(shù)是甲的2倍），他登了60級后到達(dá)樓上，那么，由樓下到樓上的自動(dòng)扶梯級數(shù)為__________．（北京市競賽試題）7．甲、乙兩同學(xué)從400米的環(huán)形跑道上的某一點(diǎn)背向出發(fā)，分別以每秒2米和每秒3米的速度慢跑．6秒鐘后，一只小狗從甲處以每秒6米的速度向乙跑，遇到乙后，又從乙處以每秒6米的速度向甲跑，如此往返直至甲、乙第一次相遇，那么小狗共跑了__________米．8．某風(fēng)景區(qū)的旅游線路如右圖所示，其中為入口處，，，為風(fēng)景點(diǎn)，為三岔路的交匯點(diǎn)，圖中所給的數(shù)據(jù)為相應(yīng)兩點(diǎn)間的路程（單位：千米）．某游客從處出發(fā)，以每小時(shí)2千米的速度步行游覽，每到一個(gè)景點(diǎn)逗留的時(shí)間均為半小時(shí)．（1）若該游客沿跨線“→→→→”游覽回到處，共用去3小時(shí)，求,兩點(diǎn)間的路程．（2）若該游客從處出發(fā)，打算在最短時(shí)間內(nèi)游完三個(gè)景點(diǎn)并返回處（仍按上述步行速度和在景點(diǎn)的逗留時(shí)間，不考慮其他因素），請你為他設(shè)計(jì)一個(gè)步行路線，并對路線設(shè)計(jì)的合理性予以說明．（江蘇省競賽試題）9．某人沿電車路行走，每12分鐘有一輛電車從后面追上，每4分鐘有一輛電車迎面開來，假定此人和電車都是勻速前進(jìn)，則電車是每隔多少分鐘從起點(diǎn)站開出一輛？（湖北省黃岡市競賽試題）10．如圖，甲、乙兩人分別在，兩地同時(shí)相向而行，于處相遇后，甲繼續(xù)向地行走，乙則休息了14分鐘，再繼續(xù)向地行走，甲和乙到達(dá)和后立即折返，仍在處相遇，已知甲每分鐘行走60米，乙每分鐘行走80米，則和兩地相距多少千米？（“華羅庚金杯”競賽試題）專題10多變的行程問題例11950提示:設(shè)甲乙兩站相距S千米,則,解得S=1950千米例2B提示:乙第一次追上甲用了分鐘,例3⑴8.127.037.48⑵191號能追上194號,這時(shí)離第一換項(xiàng)點(diǎn)有24037.96米191號不會追上195號⑶從第二換項(xiàng)點(diǎn)出發(fā)時(shí),195號比191號提前216秒,且長跑速度比191號快,所以195號在長跑時(shí)始終在191號前面,而191號在長跑時(shí)始終在194前面,故在長跑時(shí),誰也追不上誰.例4⑴設(shè)小船在靜水中的速度為α,水流的速度為b,由題意,得6(a+b)=8(a-b),解得a=7b.故小船按水流速度由A港漂流到B港所需的時(shí)間為小時(shí)⑵設(shè)小船行駛x小時(shí)后救生圈掉入水中,則小船找到救生圈即小船與救生圈相遇,他們行駛的路程如圖所示:由題意得(6-x+1)b+(a-b)×1=(6-x)(a+b),將a=7b代入上式,解得x=5故救生圈是在上午11點(diǎn)掉入水中的.例5如圖,設(shè)點(diǎn)A為縣城所在地,點(diǎn)B為學(xué)校所在地,但C為師生途中與汽車相遇之處.汽車晚到的的半小時(shí)一方面是因晚出發(fā)了10分鐘,另一方面是從B到C由于步行代替乘車而多花了20分鐘.若設(shè)汽車從C到B需要X分鐘,則師生從B到C應(yīng)花(x+20)分鐘,由于汽車由C到B與師生從B到C的路程相等由時(shí)間與速度成反比可得解得x=4故排除故障花的時(shí)間為4×2+30=38分鐘例6解法一:第一次相遇時(shí),甲乙兩人所走的路程之和,正好是AB兩地相距的路程,即當(dāng)甲乙合走完AB間的全部路程時(shí)，乙走了6千米.第二次相遇時(shí)，兩人合走的路程恰為兩地間距離的3倍(如圖，圖中實(shí)線表示甲走的路程，虛線表示乙走的路程)，因此，這時(shí)乙走的路程應(yīng)為千米.考慮到乙從B地走到A地后又返回了4千米，所以A,B兩地間的距離為18-4=14千米.解法二:甲、乙兩人同時(shí)出發(fā)，相向而行，到相遇時(shí)兩人所走時(shí)間相等，又因?yàn)閮扇硕甲鰟蛩龠\(yùn)動(dòng)，應(yīng)有:兩人速度之比等于他們所走路程之比，且相同時(shí)間走過的路程亦成正比例.到第一次相遇，甲走了(全程-6)千米，乙走了6千米;到第二次相遇，甲走了(2×全程-4)千米，乙走了(全程+4)千米.設(shè)全程為S，則可列方程.解得(舍去).故A,B兩地相距14千米.解法三:設(shè)全程為S千米，甲、乙兩人速度分別為v,則得，解得(舍去)故A,B兩地相距14千米.A級1.4.82.6403.150200提示:設(shè)第一輛車行駛了(140十)千米，則第二輛車行駛了千米，由題意得，解得.4.D提示:因?yàn)榉轴樏糠昼娹D(zhuǎn),時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)，設(shè)兩針從上午9時(shí)開始，分鐘后兩針成直角，由題意知,解得.5.C6.C提示：.7.C8.D9.(1)因,故王老師應(yīng)選擇繞道去學(xué)校.(2)設(shè)維持秩序時(shí)間為t,則,解得t=3(分鐘).10.設(shè)此人從家里出發(fā)到火車開車的時(shí)間為x小時(shí)，由題意得，解得x=1.此人打算在火車前10分鐘到達(dá)火車站，騎摩托車的速度應(yīng)為千米/時(shí).11.設(shè)火車的速度為x米/秒，由題意得，解得x=14.故火車的車身長為(14-1)×22=286米.B級1.2.7.5提示：先求出甲、乙兩車速度和為米/秒.3.20或4.D提示:設(shè)三個(gè)等長路段的路程均為S，則平均速度為.5.D提示:考慮兩船同時(shí)先順?biāo)叫械那樾?，設(shè)想乙船在靜水中的速度接近水流的速度，則它將遲遲難以返航.而甲先返回A港,類似的可考慮兩船同時(shí)先逆水航行的情形.6.667.4448.(1)CE=0.6千米.(2)基本的行走路線有兩條:一是A→D→C→B→E→A(或A→E→B→C→D→A)，總時(shí)間為4小時(shí);二是A→D→C→E→B→E→A(或A→E→B→E→C→D→A)，總時(shí)間為3.9小時(shí).9.設(shè)電車速度為，人速為，電車每隔t分鐘開出一輛，則每兩輛電車之間的距離vt，對于迎面來的電車，這個(gè)距離是人與電車共同走4分鐘完成的，對于后面追上的電車，兩輛電車之間的距離是電車在12分鐘追上起始時(shí)的距離，由題意得，解得t=6分鐘.10.AE:BE=60:80=3:4，設(shè)AE=3x,BE=4x，從而AB=7x(米).由題意得，解得x=240，故AB=7x=7×240=1680米.專題11設(shè)元的技巧閱讀與思考應(yīng)用數(shù)學(xué)知識和方法解決實(shí)際問題是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要目的之一．應(yīng)用題聯(lián)系實(shí)際，反映現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)量關(guān)系，通過解應(yīng)用題可以培養(yǎng)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識去分析和解決問題的能力．列方程解應(yīng)用題，一般有審題、設(shè)元、布列方程、解方程、作答等幾個(gè)步驟．恰當(dāng)?shù)卦O(shè)元是列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵步驟之一，常見的設(shè)元技巧有：1．直接設(shè)元題目要求什么量，就設(shè)什么量為未知數(shù)，或有幾個(gè)要求的量，而設(shè)其中的某一個(gè)量為未知數(shù)．2．間接設(shè)元即所沒的不是所求的，適當(dāng)?shù)剡x擇與題目要求的未知數(shù)有關(guān)的某個(gè)量為未知數(shù)，則易找出符合題意的數(shù)量關(guān)系，從而列出方程．3．輔助設(shè)元有些應(yīng)用題中隱含一些未知的常量，這些量對于求解無直接聯(lián)系，但如果不指明這些量的存在，則難求其解，因而需把這些未知的常量設(shè)為參數(shù)，作為橋梁幫助思考，這就是輔助設(shè)元．4．整體設(shè)元有些應(yīng)用題未知量太多而已知關(guān)系又少，如果在未知數(shù)的某一部分存在一個(gè)整體關(guān)系，可設(shè)這一部分為一個(gè)未知數(shù)，這樣就減少了設(shè)元的個(gè)數(shù)，這就是整體設(shè)元．例題與求解【例1】某編輯用0~9這10個(gè)數(shù)字給一本書的各頁標(biāo)上頁碼，若共寫了636個(gè)數(shù)字，則該書有____頁.解題思路：依題意可知該書頁碼的數(shù)字組成有三種：一個(gè)數(shù)字、兩個(gè)數(shù)字、三個(gè)數(shù)字.一共有636個(gè)數(shù)字，可設(shè)直接未知數(shù)，列方程求解．找出能夠表示應(yīng)用題全部含義的一個(gè)相等關(guān)系是列方程解應(yīng)用題又一關(guān)鍵．尋找相等關(guān)系常用方法有：①從關(guān)鍵詞中尋找相等關(guān)系；②利用基本公式尋找相等關(guān)系；③利用不變量尋找相等關(guān)系；④對一種“量”，從不同的角度進(jìn)行表述（即計(jì)算兩次），形成一種相等關(guān)系．行程問題、工程問題、勞力分配問題、濃度問題、數(shù)字問題等是列方程解應(yīng)用題的基本類型，此外，還有趣味問題（如年齡、時(shí)鐘等）、經(jīng)濟(jì)問題（如銀行存款、銷售利潤等），盡管形式多變，但是解題實(shí)質(zhì)未變，需要我們用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，理清數(shù)量關(guān)系，恰當(dāng)設(shè)未知數(shù)，準(zhǔn)確列方程．【例2】某服裝廠生產(chǎn)某種定型冬裝，9月份銷售冬裝的利潤（每件冬裝的利潤＝出廠價(jià)一成本）是出廠價(jià)的25%，10月份將每件冬裝的出廠價(jià)調(diào)低10%（每件冬裝的成本不變），銷售件數(shù)比9月份增加80%，那么該廠10月份銷售這種冬裝的利潤總額比9月份的利潤總額增長( )。A.2% B．8% C.40.0% D．62%（江蘇省競賽試題）解題思路：設(shè)出與總額相關(guān)的量：出廠價(jià)、銷售件數(shù)．解決以實(shí)際生活為情景的應(yīng)用題時(shí)，需要具備一定的優(yōu)化意識和估算決策能力.【例3】某音樂廳決定月初在暑假期間舉辦學(xué)生專場音樂會，入場券分為團(tuán)體票和零售票，其中團(tuán)體票占總票數(shù)的，若提前購票，則給予不同程度的優(yōu)惠，在五月份內(nèi)，團(tuán)體票每張12元，共售出團(tuán)體票數(shù)的；零售票每張16元，共售出零售票數(shù)的一半，如果在六月份內(nèi)，團(tuán)體票按每張16元出售，并計(jì)劃在六月份內(nèi)售出全部余票，那么零售票應(yīng)按每張多少元定價(jià)才能使這兩個(gè)月的票款收入持平？（北京市東城區(qū)中考試題）解題思路：票款與票數(shù)、票價(jià)有關(guān)，故既要用字母表示六月份零售價(jià)，又要用字母表示總票數(shù)．與商品利潤相關(guān)的基本知識：①利潤率＝×100%；②利潤＝售出價(jià)一進(jìn)貨價(jià)；③售出價(jià)＝利潤＋進(jìn)貨價(jià)＝進(jìn)貸價(jià)×(1＋利潤率)．【例4】為了加強(qiáng)公民的節(jié)水意識，合理利用水資源，某市采用價(jià)格調(diào)控的手段達(dá)到節(jié)水的目的，該市自來水收費(fèi)價(jià)格見價(jià)目表．價(jià)目表每月用水量單價(jià)不超過6m3的部分2元/m3超過3m3不超出10m3的部分4元/m3超出10m3的部分8元/m3注：水費(fèi)按月結(jié)算．若某居民1月份用水8m3，則應(yīng)收水費(fèi)2×6＋4×(8－6)＝20（元）．(1)若該戶居民2月份用水12.5m3，則應(yīng)收水費(fèi)______元．(2)若該戶居民3，4月份共用水15m3（4月份用水量超過3月份），共交水費(fèi)44元，則該居民3，4月份各用水多少立方米？（江蘇省揚(yáng)州市中考試題）解題思路：第(1)問須分段計(jì)費(fèi)；第(2)問設(shè)3月份用水量為m3，則4月份用水量為m3，分兩種情況進(jìn)行討論．【例5】A，B，C三個(gè)微型機(jī)器人圍繞一個(gè)圓形軌道高速運(yùn)動(dòng)，它們順時(shí)針同時(shí)同地出發(fā)后，A在2秒鐘時(shí)追上B，2.5秒鐘時(shí)追上C，當(dāng)C追上B時(shí)，C和B的運(yùn)動(dòng)路程之比是3：2，問第1分鐘時(shí)，A圍繞這個(gè)圓形軌道運(yùn)動(dòng)了多少圈？（“華羅庚金杯”競賽試題）解題思路：要充分運(yùn)用問題中的等量關(guān)系，需設(shè)出A，B，C三個(gè)微型機(jī)器人的速度、圓形軌道長等多個(gè)未知數(shù)．【例6】有一片牧場，草每天都在勻速地生長（即草每天增長的量相等），如果放牧24頭牛，則6天吃完牧草；如果放牧21頭牛，則8天吃完牧草.設(shè)每頭牛每天吃草的量是相等的，問：(1)如果放牧16頭牛，幾天可以吃完牧草？(2)要使牧草永遠(yuǎn)吃不完，至多放牧幾頭牛？（全國數(shù)學(xué)通訊賽試題）解題思路：此題可采取設(shè)定多個(gè)間接未知數(shù)的解決方法.能力訓(xùn)練A組1．光明中學(xué)七年級一、二、三班，向希望學(xué)校共捐書385本，一班與二班捐書的本數(shù)之比為4：3，一班與三班捐書的本數(shù)之比為6：7，那么二班捐書______本．（北京市“迎春杯”競賽試題）2．一個(gè)六位數(shù)的3倍等于，則這個(gè)六位數(shù)為________．（黑龍江省競賽試題）3．某種電器產(chǎn)品，每件若以原定價(jià)的9.5折銷售，可獲利150元，若以原定價(jià)的7.5折銷售，則虧損50元．該種商品每件的進(jìn)價(jià)為________元．（“希望杯”競賽試題）4.某出租汽車的車費(fèi)是這樣計(jì)算的：路程在4公里以內(nèi)（含4公里）為10.40元；達(dá)到4公里以后，每增加1公里加1.60元；達(dá)到15公里后，每增加1公里加2.40元．增加不足1公里時(shí)按四舍五人計(jì)算．則乘坐15公里該種出租車應(yīng)交車費(fèi)____元．某乘客乘坐該種出租車交了車費(fèi)95.20元，則這個(gè)乘客乘該出租車行駛的路程為________公里．（精確到兩位小數(shù)）（“希望杯”邀請賽試題）5．甲、乙兩種茶葉，以（重量比）相混合制成一種混合茶，甲種茶葉的價(jià)格每千克50元，乙種茶葉的價(jià)格每千克40元，現(xiàn)在甲種茶葉的價(jià)格上調(diào)了10%，乙種茶葉的價(jià)格下調(diào)了10%，但混合茶的價(jià)格不變，則等于().A． B． C． D.（北京市競賽試題）6．某城市按以下規(guī)定收取每月煤氣費(fèi)：用煤氣如果不超過60立方米．按每立方米0.8元收費(fèi)；如果超過60立方米，超過部分接每立方米1.2元收費(fèi)．已知某用戶4月份的煤氣費(fèi)平均每立方米0.88元，那么，4月份這用戶應(yīng)交煤氣費(fèi)()．A．60元 B．66元 C．75元 D.78元（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）7．植樹節(jié)時(shí)，某班平均每人植樹6棵，如果只由女同學(xué)完成，每人應(yīng)植樹15棵；如果只由男同學(xué)完成，每人應(yīng)植樹( )棵．A.9 B．10 C．12 D．14（四川省競賽試題）8．某服裝商販同時(shí)賣出兩套服裝，每套均賣168元，以成本計(jì)算，其中一套盈利20%，另一套虧本20%，則這次出售中商販()．A．不賺不賠B．賺37.2元C．賺14元D．賠14元9．從兩塊重量分別為6千克和4千克且含銀的百分?jǐn)?shù)不同的合金上切下重量相等的兩塊，把所切下的每塊分別和另一塊切剩的合金放在一起，熔煉后，兩塊合金的含銀的百分?jǐn)?shù)相同，求所切下的合金的重量是多少？10.陳老師為學(xué)校購買運(yùn)動(dòng)會的獎(jiǎng)品后，回學(xué)校向后勤處王老師交賬說：“我買了兩種書，共105本，單價(jià)分別為8元和12元，買書前我領(lǐng)了1500元，現(xiàn)在還余418元，”王老師算了一下，說：“你肯定弄錯(cuò)了．”(1)王老師為什么說他弄錯(cuò)了？試用方程的知識加以解釋；(2)陳老師連忙拿出購物發(fā)票，發(fā)現(xiàn)的確弄錯(cuò)了，因?yàn)樗€買了一個(gè)筆記本，但筆記本的單價(jià)已模糊不清，只能辨認(rèn)出應(yīng)是小于10的整數(shù)，筆記本的單價(jià)可能為多少元？（四川省資陽市中考試題）B級1．一幢樓房內(nèi)住有6家住戶，分別姓趙、錢、孫、李、周、吳，這幢樓住戶共訂有A，B，C，D，E，F(xiàn)六種報(bào)紙，每戶至少訂了一種報(bào)紙，已知趙、錢、孫、李、周分別訂了其中2，2，4，3,5種報(bào)紙．而A，B，C，D，E五種報(bào)紙?jiān)谶@幢樓里分別有1，4，2，2，2家訂戶，那么吳姓住戶訂有____種報(bào)紙，報(bào)紙F(tuán)在這幢樓里有____家訂戶．（“祖沖之杯”邀請賽試題）2．某人購買鋼筆和圓珠筆各若干支，鋼筆的價(jià)格是圓珠筆價(jià)格的2倍，付款時(shí)，發(fā)現(xiàn)所買兩種筆的數(shù)量是顛倒了，因此，比計(jì)劃支出增加了50%，則此人原計(jì)劃購買鋼筆與圓珠筆數(shù)量的比為_______.（天津市競賽試題）3．為使某項(xiàng)工程提前20天完成任務(wù)，需將原定工作效率提高25%，則原計(jì)劃完成這項(xiàng)工程需要_______天．（“希望杯”邀請賽試題）4．右邊算式中，每個(gè)漢字代表1個(gè)數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字，已知“神”－o，那么被乘數(shù)是________________.5．一艘輪船從A港到B港順?biāo)叫?，?小時(shí)，從B港到A港逆水需8小時(shí)，若在靜水條件下，從A港到B港需()小時(shí)．A．7 B． C． D．（五城市聯(lián)賽試題）6．某商品連續(xù)兩次提價(jià)10%，又提價(jià)5%，要恢復(fù)原價(jià)，至少應(yīng)降價(jià)%（為整數(shù)），則＝()．A．20 B．21 C．22 D.237．如圖，是一塊在電腦屏幕上出現(xiàn)的矩形色塊圖，由6個(gè)不同顏色的正方形組成，已知中間最小的一個(gè)正方形的邊長為1，那么這個(gè)長方形色塊圖的面積為多少？（山東省濟(jì)南市中考試題）8．自行車輪胎，安裝在后輪上，只能行駛3000km就要報(bào)廢，安裝在前輪上，則行駛5000km才報(bào)廢．為使一對輪胎能在行駛盡可能多的路程后才報(bào)廢，在自行車行駛一定路程后，就將前后輪調(diào)整，這樣安裝在自行車上的一對輪胎最多可行駛多少千米？（《時(shí)代學(xué)習(xí)報(bào)》數(shù)學(xué)文化節(jié)試題）9．山腳下有一池塘，山泉以固定的流量（即單位時(shí)間里流入池中的水量相同）不停地向池塘內(nèi)流淌，現(xiàn)池塘中有一定深度的水，若用一臺A型抽水機(jī)，1小時(shí)后正好能把池塘中的水抽憲，若用兩臺A型抽水機(jī)20分鐘正好把池塘中水抽完。問若用三臺A型抽水機(jī)同時(shí)抽水，則需要多長時(shí)間恰好把池塘中的水抽完？（江蘇省競賽試題）專題11設(shè)元的技巧例1248提示:設(shè)該書有x頁，則可列方程，解得x=248頁.B提示:設(shè)9月份每件冬裝的出廠價(jià)為x元，9月份銷售冬裝m件，則.例3設(shè)總票數(shù)為a張，六月份零售票應(yīng)按每張x元定價(jià)，則，解得x=19.2元.例4(1)應(yīng)收水費(fèi)元.(2)設(shè)三月份用水量為，則四月份用水量為(15-x)m3.若x6,15-x10時(shí)，則，解得，x=2(舍去);若x6,15-x>10時(shí)，則，解得x=4;若x>6，由題意知x<10，則15一x<10,則，無解.所以三月份用水4，四月份用水11.例542圈提示：設(shè)A，B，C三個(gè)微型機(jī)器人的速度分別為u，v和w，圓形軌道周長是S，則EQ\F(S,u－v)＝2,EQ\F(S,u－w)＝2.5,即EQ\F(S,2)＝u－v,EQ\F(S,2.5)＝u－w.∴w－v＝EQ\F(S,2)－EQ\F(S,2.5)＝EQ\F(S,10)…..①.又有EQ\F(10w,10v)＝EQ\F(3,2)……②．解①和②，得v＝EQ\F(S,5)……③，代入EQ\F(S,2)＝u－v中，得u＝EQ\F(7S,10),EQ\F(7S,10)×60＝42S．故第一分鐘時(shí)，A圍繞這個(gè)圓形軌道運(yùn)動(dòng)了42圈．例6(1)設(shè)牧場原有草量為a，每天生長出的草量為b，每頭牛每天吃草量為c，16頭牛x天吃完草，由題意得：EQ\B\lc\{(\a\al(a＋6b＝24×6c①,a＋8b＝21×8c②,a＋bx＝16cx③))．②一①得b＝12c④，③一②得(x－8)b＝（16x－168）c⑤，將④代人⑤得（x一8）?12c＝(16x－168)c，解得x＝18.(2)設(shè)至多放牧y頭牛，牧草才永遠(yuǎn)吃不完，則有cy≤b，即每天吃的草不能多于生長的草，y≤EQ\F(b,c)＝12．A級1.992.142857提示：設(shè)＝x，則3(100000＋x)＝l0x＋1，解得x＝42857．故這個(gè)六位數(shù)為142857.3.800提示：設(shè)該商品的原定價(jià)為x元，由題意有：EQ\F(9.5,10)x－150＝EQ\F(7.5,10)x＋50，解得x＝1000.故該商品每件的進(jìn)價(jià)為1000×EQ\F(7.5,10)＋50＝800元．4.30.4043提示：(1)注意，到15千米時(shí)剛好跳表，所以要加上2.4元，不要漏了．(2)設(shè)所行路程為x公里，則2.40×(x－15)＋28.00＝95.20.5．C6．B7．B提示：設(shè)分別有男、女同學(xué)x，y人，則15y＝6(x＋y)，x＝EQ\F(3,2)y．則男同學(xué)完成每人應(yīng)植樹6(x＋y)÷x＝10棵．8.D9．設(shè)所切下的合金重量為x千克，重6千克，4千克的合金含銀的百分?jǐn)?shù)分別為a，b(a≠b)，EQ\F(bx＋(b－x)a,6)＝EQ\F(ax＋(4－x)b,4)，解得x＝2.4．10．(1)設(shè)單價(jià)為8元的課外書為x本，由8x＋12(105－x)＝1500－418，解得x＝44.5（不合題意），所以陳老師肯定弄錯(cuò)了．(2)設(shè)單價(jià)為8元的課外書為y本，筆記本的單價(jià)為a元，則8y＋(105－y)×12＝1500－418－a,即178＋a＝4y，178＋a應(yīng)被4整除，a＝2，4，6，8，經(jīng)討論a＝2或6．B級1.16提示：設(shè)吳姓住戶訂有x種報(bào)紙，報(bào)紙F(tuán)在這幢樓里有y家訂戶，其中x，y為x≥1，y≤6的整數(shù)，由題意得2＋2＋4＋3＋5＋x＝1＋4＋2＋2＋2＋y，解得x＝1，y＝6．2.1：4提示：設(shè)原計(jì)劃賄買鋼筆x支，圓珠筆y支，圓珠筆的價(jià)格為k元，由題意得（2kx＋ky）×(1＋50%)＝2ky＋kx，解得y＝4x..3.1004.307692提示：設(shè)“神舟十號”＝A，“飛天”＝B，則3×(100A＋B)＝10000B＋A，得23A＝769B．又(23，769)＝1，故B＝23n，A＝769n，n為自然數(shù)且2≤n≤4．經(jīng)討論n＝4可行，從而A＝3076，B＝92．5．C提示：設(shè)A港到B港路程為S，靜水速度和水流速度分別為V船，V水．則EQ\F(S,V船＋V水)＝6……①，EQ\F(S,V船―V水)＝8……②，則6(V船＋V水)＝8（V船―V水），得V船＝7V水．把V水＝EQ\F(1,7)V船代入①中'得EQ\F(S,V船＋EQ\F(1,7)V船)＝6，故EQ\F(S,V船)＝6EQ\F(6,7).6．C7.143提示：設(shè)C，D的邊長為x，則E，F(xiàn)，B的邊長分別為x＋1，x＋2，2x－1，由題意得(x＋1)＋(x＋2)＝x＋（2x－1），解得x＝4．也可用x＋3表示出B的邊長，則x＋3＝2x－1，更易求得x＝4.8．設(shè)自行車行駛了xkm后，互換前、后輪胎再行駛，致使兩只輪胎同時(shí)報(bào)廢，因此，前輪胎還可行駛(5000－x)km．后輪胎還可行駛(3000－x)km.當(dāng)前后輪胎互換后，還可行駛，并有(5000－x)×EQ\F(3,5)＝(3000－x)×EQ\F(5,3)．解此方程，有（EQ\F(5,3)一EQ\F(3,5)）x＝2000，解得x＝1875．這就是說，當(dāng)自行車行駛了1875km后，互換前后輪胎，這樣還可行駛（5000－1875）×EQ\F(3,5)＝1875km．故最多可行駛3750km.9．設(shè)流水的速度為x米3／分，池塘原有水y米3，每臺A型抽水機(jī)抽水效率為z米3／分，三臺A型抽水機(jī)需t分鐘把池塘中水抽完，由題意得EQ\B\lc\{(\a\al(y＋60x＝60z①,y＋20x＝40z②,y＋tx＝3tz③))．②一①,得z－＝2－x…..④③一②,得(20－t)x＝(40－3t)z……⑤，④代入⑤得t＝12分鐘．專題12數(shù)余的擴(kuò)充———實(shí)數(shù)的概念與性質(zhì)閱讀與思考人類對數(shù)的認(rèn)識是在生活中不斷加深和發(fā)展的。數(shù)系的每一次擴(kuò)張都源于實(shí)際生活的需要，在非負(fù)有理數(shù)知識的基礎(chǔ)上引進(jìn)負(fù)數(shù)，數(shù)系發(fā)展到有理數(shù)，這是數(shù)系的第一次擴(kuò)張；但隨著人類對數(shù)的認(rèn)識不斷加深和發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實(shí)世界中確實(shí)存在不同于有理數(shù)的數(shù)——無理數(shù)。在引人無理數(shù)的概念后，數(shù)系發(fā)展到實(shí)數(shù)，這是數(shù)系的第二次擴(kuò)張.理篇無理數(shù)是學(xué)好實(shí)數(shù)的關(guān)鍵，為此應(yīng)注意：1.把握無理數(shù)的定義：無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，不能寫成分?jǐn)?shù)的形式（這里，是互質(zhì)的整數(shù)，且≠0）；2．掌握無理數(shù)的表現(xiàn)形式：無限不循環(huán)小數(shù)，與π相關(guān)的數(shù)，開方開不盡得到的數(shù)等；3.有理數(shù)對加、減、乘、除是封閉的，即任何兩個(gè)有理數(shù)的和、差、積、商還是有理數(shù)；無理數(shù)對四則運(yùn)算不具有封閉性，即兩個(gè)無理數(shù)的和、差、積、商不一定是無理數(shù)；4．明確無理數(shù)的真實(shí)性.克菜因認(rèn)為：“數(shù)學(xué)是人類最高超的智力成就，也是人類心靈最獨(dú)特的創(chuàng)作，音樂能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動(dòng)人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科學(xué)可改善物質(zhì)生活，但數(shù)學(xué)能給予以上的一切.”想一想：下列說法是否正確？①帶根號的數(shù)是無理數(shù)；②兩個(gè)無理數(shù)的和、差、積、商一定還是無理數(shù)；③一個(gè)無理數(shù)乘以一個(gè)有理數(shù)，一定得無理數(shù)；④一個(gè)無理數(shù)的平方一定是有理數(shù).例題與求解【例1】已知．則的平方根是________.（湖南省長沙市“學(xué)用杯”競賽試題）解題思路：運(yùn)用式子的非負(fù)性，求出，，的值．【例2】若，是實(shí)數(shù)，且．則的值是().A．3或－3B．3或－1C．－3或－1D．3或1（湖北省黃岡市競賽試題）解題思路：由算術(shù)根的雙非負(fù)性，可得≥0，≥0，求出＝1．代入原式中可得＝±2．由算術(shù)平方根的定義可得到算術(shù)平方根的雙非負(fù)性：①中≥0；②≥0.運(yùn)用算術(shù)平方根的雙非負(fù)性是挖掘隱含條件的常用方法.【例3】已知實(shí)數(shù)，，滿足等式，求的值．（北京市競賽試題）解題思路：觀察發(fā)現(xiàn)，互為相反數(shù)，由算術(shù)平方根定義、性質(zhì)探尋解題的切入點(diǎn)．【例4】已知，是有理數(shù)，且，求，的值．解題思路：把原等式整理成有理數(shù)與無理數(shù)兩部分，運(yùn)用實(shí)數(shù)的性質(zhì)建立關(guān)于，的方程組.實(shí)數(shù)有以下常用性質(zhì)：①若，都是有理數(shù)，為無理數(shù)，且，則＝＝0;②若，，，都是有理數(shù)，，為無理數(shù)，且“，則＝，．要證一個(gè)數(shù)是有理數(shù)，常證這個(gè)數(shù)能表示成幾個(gè)有理數(shù)的和、差、積、商的形式；要證一個(gè)數(shù)是無理數(shù)，常用反證法，即假設(shè)這個(gè)數(shù)為有理數(shù)，設(shè)法推出矛盾.想一想怎樣證明是無理數(shù)？【例5】一個(gè)問題的探究問題：設(shè)實(shí)數(shù)，，滿足≠0．且.求證：在上述問題的基礎(chǔ)上，通過特殊化、一般化，我們可編擬出下面兩個(gè)問題：(1)設(shè)，，為兩兩不相等的有理數(shù)，求證：為有理數(shù)．（2）設(shè)，求的整數(shù)部分.解題思路：從公式入手．【例6】設(shè)，，，…，，求的值（用含的代數(shù)式表示，其中為正整數(shù)）．（四川省成都市中考試題）解題思路：解答此題的關(guān)鍵是將變形為一個(gè)代數(shù)式的平臺。能力訓(xùn)練A級1．在實(shí)數(shù)－4，，0，，，，中，共有_______個(gè)無理數(shù)．（貴州省貴陽市中考試題）2．設(shè)，是的小數(shù)部分，則的值為____.(2013年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題)3．已知，則的值為_______．（山東省濟(jì)南市中考試題）4．觀察下列各式：，，，猜測：________.（遼寧省大連市中考試題）5．已知有理數(shù)，，，滿足，，那么＝________.A. B. C. D.（2013年“實(shí)中杯”數(shù)學(xué)競賽試題）6．若，為實(shí)數(shù)，且，則的值為()．A.1 B．－1 C．2 D．－2（天津市中考試題）7．一個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根為，則和這個(gè)自然數(shù)相鄰的下一個(gè)自然數(shù)是()．A. B． C． D．（山東省濰坊市中考試題）8．若，則的值為()．A．－1 B．1 C．2 D．3（湖北省荊門市中考試題）9．已知是的立方根，而是的相反數(shù)，且，求與的平方和的立方根．10.計(jì)算：．（廣西競賽試題）11.若，滿足，求的取值范圍．（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）B級1．與互為相反數(shù)，且．那么的值為____．（全國初中數(shù)學(xué)競賽試題）2．若，則的值為_______．（海南省競賽試題）3．已知實(shí)數(shù)滿足，則＝_______.4．的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，則的值為__