《數(shù)學(xué)（上 二冊(cè)）（第二版）》 課件 第9章 排列組合與概率統(tǒng)計(jì)

排列組合與概率統(tǒng)計(jì)第0章214目錄9.1分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理9.2排列9.3組合9.4二項(xiàng)式定理9.5隨機(jī)事件的概率9.6互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率9.7相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率9.8n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率9.9離散型隨機(jī)變量及其數(shù)學(xué)期望9.10統(tǒng)計(jì)初步2159.1分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理216問(wèn)題1如圖所示，某人從甲地到乙地，可以乘汽車、輪船或火車，一天中汽車有3班，輪船有2班，火車有1班。那么，一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法?217問(wèn)題2如圖所示，某人從甲地出發(fā)，經(jīng)過(guò)乙地到達(dá)丙地。從甲地到乙地有A，B，C共3條路可走；從乙地到丙地有a，b共2條路可走。那么，從甲地經(jīng)過(guò)乙地到丙地共有多少種不同的走法?218對(duì)于問(wèn)題1，從甲地到乙地，有3類不同的交通方式：乘汽車、乘輪船、乘火車。使用這3類交通方式中的任何一類都能從甲地到達(dá)乙地。所以某人從甲地到乙地的不同走法的種數(shù)，恰好是各類走法種數(shù)之和，也就是3+2+1=6種。由此我們得到分類計(jì)數(shù)原理（加法原理）：219問(wèn)題2與問(wèn)題1不同。在問(wèn)題1中，采用任何一類交通方式都可以直接從甲地到乙地。在問(wèn)題2中，要求從甲地到丙地必須經(jīng)過(guò)乙地，即要分兩個(gè)步驟來(lái)走：步驟一：從甲地到乙地，有3種走法。步驟二：按上一步的每一種走法到乙地后，又都有2種走法到丙地。所以，在問(wèn)題2中，從甲地經(jīng)過(guò)乙地到丙地的不同走法，正好是完成兩個(gè)步驟的方法種數(shù)的乘積，即3×2=6種。由此我們得到分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）：2209.2排列221在工作和生活中有很多需要選取并安排人或事物的情況。針對(duì)某個(gè)具體情況，人們往往需要知道共有多少種選擇方法?？疾煜旅娴膬蓚€(gè)例子，并按要求填寫(xiě)表格。安排班次要從甲、乙、丙3名工人中選取2名，分別安排上早班和晚班，找出所有的選擇方法，將下表補(bǔ)充完整。222放置小球有分別編號(hào)的4個(gè)小球和3個(gè)盒子，要選取其中的3個(gè)小球分別放入盒子中，每個(gè)盒子只能放1個(gè)球。下表已給出兩種放置方法，請(qǐng)你補(bǔ)充列出其余所有方法。223排列與排列數(shù)的概念本節(jié)實(shí)例考察中的“安排班次”問(wèn)題，共有6種不同的選擇方法：甲乙甲丙乙甲乙丙丙甲丙乙這個(gè)問(wèn)題也可以分2個(gè)步驟來(lái)完成：第1步，從甲、乙、丙3個(gè)工人中選取1人上早班，共有3種選擇；第2步，從另外2人中選取1人上晚班，共有2種選擇。由分步計(jì)數(shù)原理，得不同的選取方法共有3×2=6（種）。這里，甲、乙、丙是研究的對(duì)象。我們一般把研究的對(duì)象稱為元素。對(duì)早班和晚班的安排，就是將所選元素排一個(gè)順序。由此可知，“安排班次”這一實(shí)例的特點(diǎn)是：從3個(gè)不同元素中任意選擇2個(gè)元素并按一定的順序排成一列。224實(shí)例考察中的“放置小球”問(wèn)題，共有24種不同的放置方法：123124132134142143213214231234241243312314321324341342412413421423431432“放置小球”問(wèn)題也可以分3個(gè)步驟來(lái)完成：第1步，從4個(gè)小球中取出1個(gè)放入盒子Ⅰ中，共有4種不同的取法；第2步，從余下的3個(gè)小球中取出1個(gè)放入盒子Ⅱ中，共有3種不同的取法；第3步，從前兩步余下的2個(gè)小球中取出1個(gè)放入盒子Ⅲ中，共有2種不同的取法。由分步計(jì)數(shù)原理，得不同的放置方法共有4×3×2=24（種）。225這里的4個(gè)小球都是元素。將選出的3個(gè)小球分別放入盒子Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ中，就是為所選元素排一個(gè)順序。由此可知，“放置小球”這一實(shí)例的特點(diǎn)是：從4個(gè)不同元素中任意選擇3個(gè)元素并按一定的順序排成一列。226由上述定義可知，對(duì)于從n個(gè)不同的元素中取出m（m≤n）個(gè)元素的排列，任意兩個(gè)不同的排列可分為兩種情形：1.兩個(gè)排列中的元素不完全相同。2.兩個(gè)排列中的元素相同，但排列的順序不相同。只有元素相同且元素排列的順序也相同的兩個(gè)排列才是相同的排列?！鞍才虐啻巍眴?wèn)題是求從3個(gè)不同元素中任意取出2個(gè)元素的排列數(shù)A32。根據(jù)前面的計(jì)算可知A32=3×2=6?！胺胖眯∏颉眴?wèn)題是求從4個(gè)不同元素中任意取出3個(gè)元素的排列數(shù)A43。根據(jù)前面的計(jì)算可知A43=4×3×2=24。227排列數(shù)公式首先，我們來(lái)計(jì)算排列數(shù)A52。求排列數(shù)A52可以這樣考慮：假定有排好順序的2個(gè)空位，從5個(gè)不同的元素a1，a2，a3，a4，a5中任取2個(gè)去填空，1個(gè)空位填1個(gè)元素，每1種填法就對(duì)應(yīng)1個(gè)排列。因此，所有不同的填法的種數(shù)就是排列數(shù)A52。那么有多少種不同的填法呢?事實(shí)上，填空可分為2個(gè)步驟：第1步，從5個(gè)元素中任選1個(gè)元素填入第1位，有5種填法。第2步，從剩下的4個(gè)元素中任選1個(gè)元素填入第2位，有4種填法。228于是，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得到排列數(shù)A52=5×4=20。求排列數(shù)Anm同樣可以這樣考慮：假定有排好順序的m個(gè)空位，從n個(gè)不同的元素a1，a2，a3，…，an中任取m個(gè)去填空，1個(gè)空位填1個(gè)元素，每1種填法就對(duì)應(yīng)1個(gè)排列。因此，所有不同的填法的種數(shù)就是排列數(shù)Anm。229填空可分為m個(gè)步驟：第1步，從n個(gè)元素中任選1個(gè)元素填入第1位，有n種填法。第2步，從第1步選剩的n-1個(gè)元素中任選1個(gè)元素填入第2位，有n-1種填法。第3步，從前兩步選剩的n-2個(gè)元素中任選1個(gè)元素填入第3位，有n-2種填法。依次類推，當(dāng)前面的m-1個(gè)空位都填上后，只剩下n-m+1個(gè)元素，從中任選1個(gè)元素填入第m位，有n-m+1種填法。根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，全部填滿m個(gè)空位共有n（n-1）（n-2）…（n-m+1）種填法。230由此可得排列數(shù)公式：排列數(shù)公式的特點(diǎn)是：等號(hào)右邊第1個(gè)因數(shù)是n，后面的每個(gè)因數(shù)都比它前面1個(gè)因數(shù)少1，最后1個(gè)因數(shù)為n-m+1，共有m個(gè)因數(shù)相乘。從n個(gè)不同元素中取出全部n個(gè)元素的一個(gè)排列稱為n個(gè)元素的一個(gè)全排列。這時(shí)排列數(shù)公式中m=n，即有Ann=n×（n-1）×（n-2）×…×3×2×1。因此，n個(gè)不同元素的全排列數(shù)等于正整數(shù)1，2，3，…，n的連乘積。正整數(shù)1，2，3，…，n的連乘積稱為n的階乘，記作n!，即Ann=n!。231因?yàn)樗耘帕袛?shù)公式還可寫(xiě)成為使這個(gè)公式在m=n時(shí)仍成立，我們規(guī)定0!=1。232排列數(shù)Anm和全排列數(shù)Ann=n!也可以用計(jì)算器直接計(jì)算。計(jì)算Anm的按鍵順序是：n

；計(jì)算n!的按鍵順序是：n

。但是由于階乘結(jié)果的增長(zhǎng)速度是非?？斓?，一般的十位計(jì)算器可以用十進(jìn)制數(shù)直接表示13!的結(jié)果，14!的結(jié)果則以科學(xué)計(jì)數(shù)法表示。2339.3組合234235問(wèn)題1在一個(gè)4人（甲、乙、丙、丁）參加的小型工作會(huì)議上，任何一位與會(huì)者都要同其他與會(huì)者每人握手一次。下表已給出兩次握手的雙方名單，請(qǐng)你根據(jù)圖的提示，補(bǔ)充列出其他各次握手的雙方名單。實(shí)際上，列出各次握手的雙方名單就是要從4個(gè)人中選出兩人，且不考慮選擇時(shí)的順序，并將各種選法羅列出來(lái)。從這種思路出發(fā)，嘗試解決下面的問(wèn)題。問(wèn)題2要從甲、乙、丙3名工人中選取2名，共同值晚班，有多少種選擇方法?請(qǐng)逐一列出。236組合與組合數(shù)的概念實(shí)例考察中要求選出2名工人共同值晚班。這與選出2名工人分別值早班和晚班是不同的。共同值晚班的2人沒(méi)有班次差別，即沒(méi)有順序。因此，從3名工人中選2人共同值晚班共有3種選法：甲乙、甲丙、乙丙。上述問(wèn)題可以看成從3個(gè)元素中任取2個(gè)元素，不考慮順序組成一組，求一共有多少個(gè)不同的組合。237組合數(shù)公式從4個(gè)不同元素a，b，c，d中取出3個(gè)元素的排列與組合的關(guān)系如圖所示。從圖可以看出，每一個(gè)組合都對(duì)應(yīng)6種不同的排列。因此，從4個(gè)不同元素中取3個(gè)元素的排列數(shù)A43，可以按以下兩步來(lái)求得：第1步，從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素作組合，共有C43種。第2步，對(duì)每一個(gè)組合中的3個(gè)不同元素作全排列，各有A33=6種。238根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得因此通常，從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)Anm，可以按以下兩步求得：第1步，先求出從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)Cnm。第2步，求每一個(gè)組合中m個(gè)元素的全排列數(shù)Amm。根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得239由此得到組合數(shù)公式：根據(jù)組合數(shù)公式，當(dāng)m=n時(shí)有上式很好理解：在不考慮順序的前提下，要選出n個(gè)元素組成一組，而元素的總數(shù)恰好只有n個(gè)，顯然只有一種選法，就是把這n個(gè)元素全部選出。240因?yàn)樗越M合數(shù)公式還可寫(xiě)成組合數(shù)Cnm同樣也可以利用計(jì)算器直接計(jì)算，其按鍵順序是：n

。241組合數(shù)的性質(zhì)從n個(gè)元素中選出m個(gè)元素的組合數(shù)，與從n個(gè)元素中選出n-m個(gè)元素的組合數(shù)是相等的。由此，得到組合數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)：2429.4二項(xiàng)式定理243二項(xiàng)式定理一般地，對(duì)于任意正整數(shù)n，有下面的公式：這個(gè)公式所表示的規(guī)律稱為二項(xiàng)式定理，右邊的多項(xiàng)式稱為（a+b）n的二項(xiàng)展開(kāi)式，它一共有n+1項(xiàng)，其中各項(xiàng)的系數(shù)Crn（r=0，1，2，…，n）稱為二項(xiàng)式系數(shù)，式中的Crnan-rbr稱為二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，用Tr+1表示是二項(xiàng)展開(kāi)式的第r+1項(xiàng)，我們將Tr+1=Crnan-rbr

稱為二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，其中Crn為第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)。它在研究二項(xiàng)式過(guò)程中有極其重要的作用。在二項(xiàng)式定理中，如果設(shè)a=1，b=x，則得到公式（1+x）n=Cn0+Cn1x+…+Crnxr+…+Cnnxn。244二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)我們把二項(xiàng)式展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)按如下方法排列：245上面右邊二項(xiàng)式系數(shù)表稱為楊輝三角。楊輝是我國(guó)宋朝時(shí)的數(shù)學(xué)家，他于1261年著《詳解九章算法》，在其中詳細(xì)列出了這樣一張圖表，并且指出這個(gè)方法出于更早期的《釋鎖算術(shù)》。在歐洲一般都認(rèn)為這是帕斯卡于1654年發(fā)明的，所以這個(gè)圖形也被稱為帕斯卡三角。由楊輝三角可以看出二項(xiàng)式系數(shù)具有下列性質(zhì)：（1）除每行兩端的1以外，每個(gè)數(shù)字都等于它肩上兩個(gè)數(shù)之和，即Crn+1=Cr-1n

+Crn。246（2）在二項(xiàng)展開(kāi)式中，與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，即Crn=Cnn-r。（3）如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)2n，那么二項(xiàng)展開(kāi)式有2n+1項(xiàng)，且中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是奇數(shù)2n-1，那么二項(xiàng)展開(kāi)式有2n項(xiàng)，且中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大。二項(xiàng)式系數(shù)先從首項(xiàng)到中間項(xiàng)逐步增大，再?gòu)闹虚g項(xiàng)到末項(xiàng)逐步減小。2479.5隨機(jī)事件的概率248隨機(jī)現(xiàn)象和隨機(jī)事件隨機(jī)現(xiàn)象拋擲一枚硬幣落在桌面上，可能正面向上，也可能反面向上；買(mǎi)一張獎(jiǎng)券，可能中獎(jiǎng)，也可能不中獎(jiǎng)；定點(diǎn)罰球，可能罰中，也可能罰不中……像這樣，在一定的條件下進(jìn)行試驗(yàn)或觀察會(huì)出現(xiàn)不同結(jié)果，而且事先均無(wú)法預(yù)料會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象。對(duì)于隨機(jī)現(xiàn)象必須注意一點(diǎn)：在相同條件下，試驗(yàn)的所有可能結(jié)果都應(yīng)該是可知的，我們只是不能預(yù)測(cè)某次試驗(yàn)的結(jié)果。例如擲骰子：試驗(yàn)的所有結(jié)果都是出現(xiàn)1點(diǎn)到6點(diǎn)中的一個(gè)，但擲一次，事先并不能確定會(huì)出現(xiàn)幾點(diǎn)。249隨機(jī)事件在一定條件下，隨機(jī)現(xiàn)象的每一種可能結(jié)果被稱為隨機(jī)事件。隨機(jī)事件通常用大寫(xiě)字母A，B，C，…表示。如果A表示某隨機(jī)事件，則可以寫(xiě)作A={事件具體內(nèi)容}，例如：隨機(jī)事件A={某人射擊一次，中靶}。除此之外，在一定條件下必然要發(fā)生的事件，稱為必然事件，用Ω表示；在一定條件下不可能發(fā)生的事件稱為不可能事件，用?表示。必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為確定事件；確定事件和隨機(jī)事件統(tǒng)稱為事件。250概率的概念我們把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的一次觀察，稱為一次試驗(yàn)。隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，具有偶然性。但是在大量重復(fù)試驗(yàn)的情況下，它的發(fā)生又呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性。要知道隨機(jī)事件發(fā)生的可能性有多大，它的發(fā)生又呈現(xiàn)出怎樣的規(guī)律，最直接的方法就是做試驗(yàn)（觀察）。一般地，在相同條件下做試驗(yàn)，重復(fù)n次，把隨機(jī)事件A出現(xiàn)的次數(shù)m稱為頻數(shù)，把比值

稱為頻率。251歷史上曾有人對(duì)拋擲硬幣做過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)，觀察硬幣落下后哪一面向上，結(jié)果如下表所示。252我們看到，當(dāng)拋擲硬幣的次數(shù)很多時(shí)，出現(xiàn)正面的頻率

的值在0.5附近擺動(dòng)，也就是說(shuō)，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加出現(xiàn)正面的頻率值穩(wěn)定在常數(shù)0.5。下表是某批乒乓球產(chǎn)品質(zhì)量檢查結(jié)果。從上表中可以看到，當(dāng)抽查的球數(shù)很多時(shí)，抽到優(yōu)等品的頻率

的值在0.95附近擺動(dòng)，抽到優(yōu)等品的頻率值穩(wěn)定在一個(gè)常數(shù)。253由此，我們得到概率的概念：拋擲一枚硬幣，正面向上的概率是0.5，即P（正面向上）=0.5。從上述批次的乒乓球中，抽查一只乒乓球，抽到優(yōu)等品的概率為0.95，即P（抽到優(yōu)等品）=0.95。254根據(jù)上述概率定義，必然事件的概率等于1；不可能事件的概率等于0；而對(duì)于一般的隨機(jī)事件A，則有0<P（A）<1。也就是說(shuō)，任何事件的概率是區(qū)間[0，1]上的一個(gè)數(shù)，它度量該事件發(fā)生的可能性。在一次試驗(yàn)中，小概率（接近0）事件很少發(fā)生，而大概率（接近1）事件則經(jīng)常發(fā)生。值得注意的是頻率和概率是兩個(gè)不同的概念。頻率是指在多次重復(fù)試驗(yàn)中，某事件發(fā)生的次數(shù)與試驗(yàn)次數(shù)的比值，這個(gè)比值會(huì)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加而變化。概率卻是一個(gè)確定的數(shù)，這是因?yàn)槭录l(fā)生的可能性大小是客觀存在的。在實(shí)際應(yīng)用中，通常把試驗(yàn)次數(shù)最多的頻率值的最后一個(gè)有效數(shù)字四舍五入，將最似值作為概率的估計(jì)值。255等可能事件的概率拋擲一個(gè)骰子，擲出的數(shù)是1，2，3，4，5，6中的一個(gè)，即可能出現(xiàn)的結(jié)果有6種。由于骰子是均勻的，可以認(rèn)為這6種結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，即出現(xiàn)每一種結(jié)果的概率都是

。這與大量重復(fù)試驗(yàn)的結(jié)果也是一致的?，F(xiàn)在進(jìn)一步問(wèn)：事件A={骰子擲出的數(shù)是偶數(shù)}的概率是多少?256對(duì)于實(shí)例考察的問(wèn)題，事件A包含“擲出的數(shù)是2”“擲出的數(shù)是4”“擲出的數(shù)是6”這3個(gè)結(jié)果。可能出現(xiàn)的結(jié)果總數(shù)是6，而且每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，則事件A的概率為：我們將上面的問(wèn)題歸納如下：257如果隨機(jī)試驗(yàn)具有下列兩個(gè)特點(diǎn)：（1）試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；（2）每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等。那么，我們把這一試驗(yàn)的概率模型稱為等可能概率模型。2589.6互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率259在一個(gè)盒子內(nèi)放有8個(gè)大小相同的小球，其中有5個(gè)紅球，2個(gè)綠球，1個(gè)黃球。求從盒中摸出1個(gè)球，得到紅球或綠球的概率?我們把“從盒中摸出1個(gè)球，得到紅球”設(shè)為事件A，“從盒中摸出1個(gè)球，得到綠球”設(shè)為事件B，“從盒中摸出1個(gè)球，得到黃球”設(shè)為事件C。如果從盒中摸出的1個(gè)球是紅球，即事件A發(fā)生，那么事件B就不發(fā)生；如果從盒中摸出的1個(gè)球是綠球，即事件B發(fā)生，那么事件A就不發(fā)生。就是說(shuō)，事件A與B不可能同時(shí)發(fā)生。260互斥事件不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件稱為互斥事件，也稱互不相容事件。上面實(shí)例考察中事件A與B，事件B與C，事件A與C都是互斥事件。對(duì)于上面的事件A，B，C，其中任何兩個(gè)都是互斥事件，這時(shí)我們說(shuō)事件A，B，C彼此互斥。一般地，如果事件A1，A2，…，An中的任何兩個(gè)都是互斥事件，那么就說(shuō)事件A1，A2，…，An彼此互斥。從集合的角度看，n個(gè)事件彼此互斥，是指由各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合彼此互不相交。261在上面的例子中，“從盒中摸出1個(gè)球，得到紅球或綠球”是一個(gè)事件，當(dāng)摸出的是紅球或綠球時(shí)，表示這個(gè)事件發(fā)生，我們把這個(gè)事件記為A+B，上例就是求互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率P（A+B）。因?yàn)閺暮兄忻?個(gè)球有8種等可能的方法，而得到紅球或綠球的方法有5+2種，所以得到紅球或綠球的概率另一方面262由

，我們看到互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率P（A+B）=P（A）+P（B）。這就是說(shuō)，如果事件A，B互斥，那么事件A+B發(fā)生（A，B中有一個(gè)發(fā)生）的概率，等于事件A，B分別發(fā)生的概率的和。263對(duì)立事件在上面的問(wèn)題中，我們把“從盒中摸出1個(gè)球，得到的不是紅球（得到綠球或黃球）”記作事件

。由于事件A與

不可能同時(shí)發(fā)生，它們是互斥事件。又由于摸出的1個(gè)球要么是紅球，要么不是紅球，也就是事件A與

中必有一個(gè)發(fā)生，這種其中必有一個(gè)發(fā)生的兩個(gè)互斥事件稱為對(duì)立事件。事件A的對(duì)立事件通常記作

。從集合的角度看，由事件

所含的結(jié)果組成的集合，是全集中的由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集。264根據(jù)對(duì)立的含義，A+

是一個(gè)必然事件，它的概率等于1。又由于A與

互斥，我們得到P（A）+P（

）=P（A+

）=1。這就是說(shuō)，對(duì)立事件的概率之和等于1。由上面的公式還可以得到P（

）=1-P（A）。2659.7相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率266相互獨(dú)立事件事件A（或B）是否發(fā)生對(duì)事件B（或A）發(fā)生的概率沒(méi)有影響，這樣的兩個(gè)事件稱為相互獨(dú)立事件。一般地，當(dāng)事件A，B相互獨(dú)立時(shí)，A與

，

與B，

與

也都是相互獨(dú)立的?！皬膬蓚€(gè)壇子里分別摸出1個(gè)球，都是白球”是一個(gè)事件，它的發(fā)生就是事件A，B同時(shí)發(fā)生，我們把這個(gè)事件記作A·B。上面實(shí)例考察就是求兩個(gè)相互獨(dú)立事件A，B同時(shí)發(fā)生的概率P（A·B）。267我們知道，從甲壇子里摸出1個(gè)球，有5種等可能的結(jié)果；從乙壇子里摸出1個(gè)球，有4種等可能的結(jié)果。于是從兩個(gè)壇子里各摸出1個(gè)球，共有5×4種等可能的結(jié)果，表示如下（其中每個(gè)結(jié)果的左、右分別表示從甲、乙壇子里取出的球的顏色）：（白，白）（白，白）（白，黑）（白，黑）（白，白）（白，白）（白，黑）（白，黑）（白，白）（白，白）（白，黑）（白，黑）（黑，白）（黑，白）（黑，黑）（黑，黑）（黑，白）（黑，白）（黑，黑）（黑，黑）268在上面5×4種結(jié)果中，同時(shí)摸出白球的結(jié)果有3×2種。因此，從兩個(gè)壇子里分別摸出1個(gè)球，都是白球的概率從甲壇子里摸出1個(gè)球，得到白球的概率P（A）=

，從乙壇子里摸出1個(gè)球，得到白球的概率P（B）=

。由

，我們看到P（A·B）=P（A）·P（B）。269相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率兩個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積，即一般地，如果事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立，那么這n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率，等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積，即例如，在上面的例子中，“從甲壇子里摸出1個(gè)球，得到黑球”與“從乙壇子里摸出1個(gè)球，得到白球”同時(shí)發(fā)生的概率2709.8n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率271某射手射擊1次，擊中目標(biāo)的概率是0.9，他射擊4次恰好擊中3次的概率是多少?記“射手射擊1次，擊中目標(biāo)”為事件A，“未擊中目標(biāo)”為事件

，分別記第1，2，3，4次射擊擊中目標(biāo)為事件A1，A2，A3，A4，未中目標(biāo)為事件

。那么事件A1，A2，A3，A4是相互獨(dú)立的，并且每次射擊的結(jié)果只有2個(gè)可能的結(jié)果：“擊中”和“未擊中”，則射手射擊的結(jié)果有

種，分別為

。272獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)在相同的條件下，重復(fù)地做n次試驗(yàn)，如果每次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的，并且每一次試驗(yàn)只有兩個(gè)可能的結(jié)果A，

，那么這樣的n次試驗(yàn)，就稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)或n重伯努利試驗(yàn)。例如上述實(shí)例考察中射手在相同條件下重復(fù)射擊4次，因?yàn)槊看紊鋼粝嗷オ?dú)立，并且每次射擊只有“擊中”和“未擊中”兩種可能的結(jié)果，那么這樣的試驗(yàn)就是4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)。273又如，從一批含有不合格品的產(chǎn)品中，每次抽取一件進(jìn)行檢驗(yàn)，有放回地抽取n次，由于每次抽取是相互獨(dú)立的，且每次抽取只考察產(chǎn)品合格或不合格兩個(gè)結(jié)果，那么這也是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)。在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k（0≤k≤n）次的概率問(wèn)題稱為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ停ɑ虿怕誓Ｐ停?。上面?shí)例考察中的例子就是一個(gè)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ?，它是求?次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生3次的概率。下面我們來(lái)討論獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷母怕视?jì)算公式。274獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷母怕噬鲜鰧?shí)例考察中，射擊4次，擊中3次的情況有下面4種：上述每一種情況，都可看成是在4個(gè)位置上取出3個(gè)A，另一個(gè)為

，所以這些情況的種數(shù)等于從4個(gè)元素中取出3個(gè)的組合數(shù)C43，即4種。由于各次射擊是否擊中相互之間沒(méi)有影響，根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，前3次擊中，第4次未擊中的概率275同理這就是說(shuō)，在射擊4次，擊中3次的4種情況中，每一種發(fā)生的概率都是0.93×（1-0.9）4-3。因?yàn)檫@4種情況彼此互斥，根據(jù)互斥事件的概率加法公式，射擊4次擊中3次的概率一般地，如果在1次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率2769.9離散型隨機(jī)變量及其數(shù)學(xué)期望277隨機(jī)變量如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來(lái)表示，那么這樣的變量稱為隨機(jī)變量。隨機(jī)變量常用希臘字母ξ，η等表示。例如，上面射擊的命中環(huán)數(shù)ξ是一個(gè)隨機(jī)變量：ξ=0，表示命中0環(huán)；ξ=1，表示命中1環(huán)；……ξ=10，表示命中10環(huán)。278又如，某次產(chǎn)品檢驗(yàn)，在可能含有次品的100件產(chǎn)品中任意抽取4件，那么其中含有的次品可能是0件，1件，2件，3件，4件，即可能出現(xiàn)的結(jié)果可以由0，1，2，3，4這5個(gè)數(shù)表示。所取4件產(chǎn)品中含有的次品數(shù)η是一個(gè)隨機(jī)變量：η=0，表示含有0個(gè)次品；η=1，表示含有1個(gè)次品；η=2，表示含有2個(gè)次品；η=3，表示含有3個(gè)次品；η=4，表示含有4個(gè)次品。在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對(duì)于隨機(jī)變量可能的取值，為有限個(gè)或可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量。279離散型隨機(jī)變量的分布列拋擲一個(gè)骰子，設(shè)得到的點(diǎn)數(shù)為ξ，則ξ可能取的值有1，2，3，4，5，6。雖然在拋擲骰子之前，我們不能確定隨機(jī)變量ξ會(huì)取哪一個(gè)值，但是知道ξ取各值的概率都等于

（見(jiàn)下表）。表中指出了隨機(jī)變量ξ可能的取值，以及ξ取這些值的概率。此表從概率的角度指出了隨機(jī)變量在隨機(jī)試驗(yàn)中取值的分布狀況，稱為隨機(jī)變量ξ的概率分布。280一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ可能的取值為：x1，x2，…，xi，…，xn。ξ取每一個(gè)值x1（i=1，2，…，n）的概率P（ξ=x1）=Pi，則稱下表為隨機(jī)變量ξ的概率分布，簡(jiǎn)稱為ξ的分布列。由概率的性質(zhì)可知，任一離散型隨機(jī)變量的分布列都具有下面兩個(gè)性質(zhì)：（1）Pi≥0，i=1，2，…，n；（2）P2+P2+…+Pn=1。281一般地，離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和。設(shè)有N件產(chǎn)品，其中含有m件次品，從中任取n件（n≤N），這n件中所含次品件數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量ξ，次品件數(shù)ξ的分布列如下表（0≤k≤l，l為n和m中較小的一個(gè)）：我們稱隨機(jī)變量ξ的這種形式的概率分布為超幾何分布，也稱ξ服從超幾何分布。282離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望某射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布如下：在n次射擊之前，雖然不能確定各次射擊所得的環(huán)數(shù)，但可以根據(jù)已知分布列估計(jì)n次射擊的平均環(huán)數(shù)。根據(jù)這個(gè)射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列，在n次射擊中，預(yù)計(jì)有大約P（ξ=4）×n=0.02n次得4環(huán)；P（ξ=5）×n=0.04n次得5環(huán)；……P（ξ=1