2024初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽七年級(jí)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義專(zhuān)題25 圖形面積的計(jì)算含答案

2024初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽七年級(jí)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義專(zhuān)題25圖形面積的計(jì)算閱讀與思考計(jì)算圖形的面積是平面幾何中常見(jiàn)的基本問(wèn)題之一，它包括兩種主要類(lèi)型：1.常見(jiàn)圖形面積的計(jì)算由于一些常見(jiàn)圖形有計(jì)算面積的公式，所以，常見(jiàn)圖形面積一般用公式來(lái)解.2.非常規(guī)圖形面積的計(jì)算非常規(guī)圖形面積的計(jì)算通常轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)圖形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是將非常規(guī)圖形面積用常規(guī)圖形面積的和或差來(lái)表示.計(jì)算圖形的面積還常常用到以下知識(shí)：（1）等底等高的兩個(gè)三角形面積相等.（2）等底的兩個(gè)三角形面積的比等于對(duì)應(yīng)高的比.（3）等高的兩個(gè)三角形面積的比等于對(duì)應(yīng)底的比.（4）等腰三角形底邊上的高平分這個(gè)三角形的面積.（5）三角形一邊上的中線平分這個(gè)三角形的面積.（6）平行四邊形的對(duì)角線平分它的面積.熟悉如下基本圖形：例題與求解【例1】如圖，在直角△ABC的兩直角邊AC，BC上分別作正方形ACDE和CBFG.AF交BC于W，連接GW，若AC=14，BC=28，則S△AGW=______________．(2013年“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題)解題思路：△AGW的面積可以看做△AGF和△GWF的面積之差.【例2】如圖，已知△ABC中的面積為24，點(diǎn)D在線段AC上，點(diǎn)F在線段BC的延長(zhǎng)線上，且BC=4CF.四邊形BDCE是平行四邊形，則圖中陰影部分的面積為()A．3B．4C．5D．6（2013年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽廣東試題）解題思路：設(shè)△ABC底邊BC上的高為.本例關(guān)鍵是通過(guò)適當(dāng)變形找出和DE之間的關(guān)系．【例3】如圖，平行四邊形ABCD的面積為30cm2，E為AD邊延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，EB與DC交于F點(diǎn)，已知三角形FBC的面積比三角形DEF的面積大9cm2，AD=5cm，求DE長(zhǎng).（北京市“迎春杯”競(jìng)賽試題）解題思路：由面積求相關(guān)線段，是一個(gè)逆向思維的過(guò)程，解題的關(guān)鍵是把條件中圖形面積用DE及其它線段表示．【例4】如圖，四邊形ABCD被AC與DB分成甲、乙、丙、丁4個(gè)三角形，已知BE=80cm，CE=60cm，DE=40cm，AE=30cm，問(wèn)：丙、丁兩個(gè)三角形面積之和是甲、乙兩個(gè)三角形面積之和的多少倍？（“華羅庚杯”競(jìng)賽決賽試題）解題思路：甲、乙、丙、丁四個(gè)三角形面積可通過(guò)線段的比而建立聯(lián)系，找出這種聯(lián)系是解本例的突破口.【例5】如圖，△ABC的面積為1，D，E為BC的三等分點(diǎn)，F(xiàn)，G為CA的三等分點(diǎn)，求四邊形PECF的面積.解題思路：連CP，設(shè)S△PFC=，S△PEC=，建立，的二元一次方程組.【例6】如圖，E，F(xiàn)分別是四邊形ABCD的邊AB，BC的中點(diǎn)，DE與AF交于點(diǎn)P，點(diǎn)Q在線段DE上，且AQ∥PC.求梯形APCQ的面積與平行四邊形ABCD的面積的比值．（2013年”希望杯“數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題）解題思路：連接EF，DF，AC，PB，設(shè)S□ABCD=，求得△APQ和△CPQ的面積.能力訓(xùn)練A級(jí)1.如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O.過(guò)點(diǎn)O的直線分別交AD，BC于E，F(xiàn)，則陰影部分面積是______.（海南省競(jìng)賽試題）2.如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是CE的中點(diǎn)，若△BDF的面積為6平方厘米，則長(zhǎng)方形ABCD的面積是_____________平方厘米.（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）3.如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為的正方形，以AB，BC，CD，DA分別為直徑畫(huà)半圓，則這四個(gè)半圓弧所圍成的陰影部分的面積是____________.（安徽省中考試題）4.如圖，已知AB，CD分別為梯形ABCD的上底、下底，陰影部分總面積為5平方厘米，△AOB的面積是0.625平方厘米，則梯形ABCD的面積是_________平方厘米.（“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）5.如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC上的一點(diǎn)，且CF=，則長(zhǎng)方形ABCD的面積是陰影部分面積的()倍.A.2B.3C.4D.56.如圖，是一個(gè)長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形，兩個(gè)陰影圖形都是一對(duì)長(zhǎng)為的底邊在長(zhǎng)方形對(duì)邊上的平行四邊形，則長(zhǎng)方形中未涂陰影部分的面積為().A.B.C.D.7．如圖，線段AB=CD=10cm，和是弧長(zhǎng)與半徑都相等的圓弧，曲邊三角形BCD的面積是以D為圓心、DC為半徑的圓面積的，則陰影部分的面積是()．A．25πB.100C.50πD.200（“五羊杯”競(jìng)賽試題）8．如圖，一個(gè)大長(zhǎng)方形被兩條線段AB、CD中分成四個(gè)小長(zhǎng)方形，如果其中圖形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面積分別為8，6，5，那么陰影部分的面積為()．A.B.C.D．9．如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，BC邊上的任一點(diǎn)，△ABG，△DCH的面積分別為15和20，求陰影部分的面積.（五城市聯(lián)賽試題）10.如圖，正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如圖所示，點(diǎn)G在線段DK上，已知正方形BEFG的邊長(zhǎng)為4，求△DEK的面積．（廣西壯族自治區(qū)省南寧市中考試題）B級(jí)1.如果圖中4個(gè)圓的半徑都為，那么陰影部分的面積為_(kāi)____________.（江蘇省競(jìng)賽試題）2.如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，E是BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)是CD上的一點(diǎn)，若三角形ABE的面積是長(zhǎng)方形ABCD面積的，三角形ADF的面積是長(zhǎng)方形ABCD面積的，三角形CEF的面積為4cm2，那么長(zhǎng)方形ABCD的面積是_________cm2.（北京市“迎春杯”邀請(qǐng)賽試題）3.如圖，邊長(zhǎng)為3厘米與5厘米的兩個(gè)正方形并排放在一起，在大正方形中畫(huà)一段以它的一個(gè)頂點(diǎn)為圓心，邊長(zhǎng)為半徑的圓弧，則陰影部分的面積為_(kāi)__________________.（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）4.如圖，若正方形APHM，BNHP，CQHN的面積分別為7，4，6，則陰影部分的面積是_____.(“五羊杯”競(jìng)賽試題）5.如圖，把等邊三角形每邊三等分，使其向外長(zhǎng)出一個(gè)邊長(zhǎng)為原來(lái)的的小等邊三角形，稱(chēng)為一次“生長(zhǎng)”，在得到的多邊上類(lèi)似“生長(zhǎng)”，一共“生長(zhǎng)”三次后，得到的多邊形的邊數(shù)=________，面積是原三角形面積的______倍.(“五羊杯”競(jìng)賽試題）6.如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AE=BG=BF=AD=AB=2，E，H，G在同一條直線上，則陰影部分的面積等于().A.8B.12C.16D．207.如圖，邊長(zhǎng)分別為8cm和6cm的兩個(gè)正方形，ABCD與BEFG并排放在一起，連接EG并延長(zhǎng)交AC于K，則△AKE的面積是().A.48cm2B.49cm2C.50cm2D．51cm2（2013年“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）8.在一個(gè)由8×8個(gè)方格組成的邊長(zhǎng)為8的正方形棋盤(pán)內(nèi)放一個(gè)半徑為4的圓，若把圓經(jīng)過(guò)的所有小方格的圓內(nèi)部分的面積之和記為S1，把圓周經(jīng)過(guò)的所有小方格的圓外部分的面積之和記為S2，則的整數(shù)部分是().A.0B.1C.2D．3（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）9.如圖，△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在三邊上，E是AC的中點(diǎn)，AD，BE，CF交于一點(diǎn)G，BD=2DC，S△GEC=3，S△GDC=4，則△ABC的面積是().A.25B.30C.35D．4010.已知O（0，0），A（2，2），B（1，a），求a為何值時(shí)，S△ABO=5？11.如圖，已知正方形ABCD的面積為1，M為AB的中點(diǎn)，求圖中陰影部分的面積.（湖北省武漢市競(jìng)賽試題）12.如圖，△ABC中，.求的值.（“華羅庚金杯”邀請(qǐng)賽試題）專(zhuān)題25圖形面積的計(jì)算例1196提示：S△AGW=S△AGF-例2D提示：設(shè)△ABC底邊上的高為h，則12×BC×h=24故h=48BC=484CF=12CF=12DE.設(shè)△ABC底邊DE上的高為h1，△BDE底邊DE上的高為h2，則h=h1+h2.∴S△ADE+例32cm.提示：設(shè)△ABE的AE邊上的高為hcm，DE長(zhǎng)為xcm，則5h-12h例4提示：,,,.例5，.設(shè)，則，于是①+②，得，∴，即.例6設(shè)，因?yàn)镋,F分別是AB,BC的中點(diǎn)，所以.∴.如圖，連接EF,DF，則.所以.設(shè)，則.由得.∴.∴.連接AC，又∵AQ∥PC，，∴.∴.連接PB，則.由，得.∴，從而，.于是，∴.A級(jí)提示：,.48.15.625.B.C.B.C.35提示:連接EF，,.解法一：將△DEK的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積之和或差.如圖,延長(zhǎng)AE交PK的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.設(shè)正方形ABCD，正方形PKPF的邊長(zhǎng)分別a，b.則===16.解法二：運(yùn)用等積變形轉(zhuǎn)化問(wèn)題，連接DB,GE,FK.則∠DBA=∠GEB=45°,∴DB∥GE,得，同理GE∥FK，得.∴.B級(jí)1.（或）.2.120提示：設(shè)AB=a，AD=b，CE=c，CF=d.則BE=b-c-，DF=a-d，c=b，d=a，cd=8.3.18.75（≈3）.4.8.5提示：連HD.5.48提示：“生長(zhǎng)”n次后得到邊形，面積為原面積的倍.6.B.7.B提示：過(guò)點(diǎn)K作KH⊥AB.∵AB=8，BE=6，∴AE=8+6=14.又∵∠KAE=∠KEA=45°,∴KH=AE=7..8.B提示：根據(jù)正方形的對(duì)稱(chēng)性，只需考慮它的部分即可.9.B.10.⑴當(dāng)a＞1時(shí)，即B在OA上方時(shí)，如圖.，∴，解得a=6.⑵當(dāng)0≦a＜1時(shí)，即B在OA于x軸之間時(shí)，依題意，有，解得a=-4（不合題意，舍去）.⑶當(dāng)a＜0時(shí)，即B在x軸下方時(shí)，有，解得a=-4.綜上所述，當(dāng)a=-4或a=6時(shí)，..∵為公共部分,∴.又因?yàn)椤鰽MG與△AMD的高的高相等（以A為頂點(diǎn)作高），△MCG與△MCD的高相等（以C為頂點(diǎn)作高），∴,即，解得：.∴.連BG，設(shè),，.則解得同理可得：又S，得.∴故.專(zhuān)題26奇偶分析閱讀與思考整數(shù)可以分為奇數(shù)和偶數(shù)，一個(gè)整數(shù)要么是奇數(shù)，要么是偶數(shù)，因此奇偶性是一個(gè)整數(shù)的固有屬性，即奇數(shù)≠偶數(shù)．由于奇偶性是整數(shù)的固有屬性，因此可以說(shuō)奇偶性是整數(shù)的一種不變性，通過(guò)分析整數(shù)的奇偶性來(lái)解決問(wèn)題的方法叫奇偶分析．運(yùn)用奇偶分析解題，常常要用到奇數(shù)和偶數(shù)的基本性質(zhì)：1.奇數(shù)≠偶數(shù).2.奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)±偶數(shù)=奇數(shù)，偶數(shù)±偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)個(gè)奇數(shù)的和是奇數(shù)，偶數(shù)個(gè)奇數(shù)的和為偶數(shù)，若干個(gè)偶數(shù)的和是偶數(shù).3.若干個(gè)奇數(shù)之積是奇數(shù)，偶數(shù)與任意整數(shù)之積是偶數(shù).4.若是整數(shù)，則與，，（為自然數(shù)）有相同的奇偶性.5.設(shè)，是整數(shù)，則，，，都有相同的奇偶數(shù).6.偶數(shù)的平方是4的倍數(shù)，奇數(shù)的平方是4的倍數(shù)加1.例題與求解【例1】數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…的排列規(guī)律是：前兩個(gè)數(shù)是1，從第三個(gè)數(shù)開(kāi)始，每一個(gè)數(shù)是它前面兩個(gè)數(shù)的和，這個(gè)數(shù)列叫做斐波那契數(shù)列，在斐波那契數(shù)列的前2004個(gè)數(shù)中共有____個(gè)偶數(shù)．解題思路：本例關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)斐波那契數(shù)列的各項(xiàng)奇偶性的規(guī)律.【例2】如果，，都是正整數(shù)，且，是奇數(shù)，則是().A．只當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，其值為奇數(shù)B．只當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，其值為奇數(shù)C．只當(dāng)為3的倍數(shù)時(shí)，其值為奇數(shù)D．無(wú)論為任意正整數(shù)時(shí)，其值均為奇數(shù)解題思路：直接運(yùn)用奇數(shù)偶數(shù)的性質(zhì)作出選擇．【例3】能否找到自然數(shù)和，使.解題思路：假設(shè)存在自然數(shù)和，使等式成立，則，從，的奇偶性展開(kāi)推理．【例4】在6張紙片的正面分別寫(xiě)上整數(shù)1，2，3，4，5，6，打亂次序后，將紙片翻過(guò)來(lái)，在它們的反面也隨意寫(xiě)上1~6這6個(gè)整數(shù)，然后計(jì)算每張紙片正面與反面所寫(xiě)數(shù)字之差的絕對(duì)值，得出6個(gè)數(shù)，請(qǐng)你證明：所得的6個(gè)數(shù)中至少有兩個(gè)是相同的.解題思路：從反面入手，即設(shè)這6個(gè)數(shù)兩兩都不相等，利用與=1，2，3，4，5，6的奇偶性相同，引入字母進(jìn)行推理證明.【例5】表甲是一個(gè)英文字母電子顯示盤(pán)，每一次操作可以使某一行4個(gè)字母同時(shí)改變，或者使某一列4個(gè)字母同時(shí)改變，改變的規(guī)則是：按照英文字母表的順序，每個(gè)英文字母變成它下一個(gè)字母（即A變成B，B變成C…最后字母Z變成A）.問(wèn)：能否經(jīng)過(guò)若干次操作，使表甲變成表乙？如果能，請(qǐng)寫(xiě)出變化過(guò)程，如不能，說(shuō)明理由.SOBRKBDSTZEPHEXGHOCNRTBSADVXCFYA表甲表乙解題思路：表甲與表乙看上去沒(méi)有規(guī)律，似乎不太容易將表甲變?yōu)楸硪遥梢栽囈辉嚕?，看是否能成功？如果是不能，就?yīng)找出不能的理由，解題的關(guān)鍵是如何將問(wèn)題“數(shù)字化”，挖掘操作變化過(guò)程中的不變量或不變性.【例6】設(shè)，，…為＋1或－1，并且.證明能被4整除.解題思路：應(yīng)用整數(shù)的奇偶性解題，常需變化角度去考察問(wèn)題，從而化難為易．能力訓(xùn)練1．若按奇偶分類(lèi)，則是______數(shù).2．已知是質(zhì)數(shù)，是奇數(shù)，且，則_______.3．若質(zhì)數(shù)，滿(mǎn)足，則的值為_(kāi)___________.4．在12，22，32，…，952這95個(gè)數(shù)中，十位數(shù)字為奇數(shù)的數(shù)共有____________個(gè).5．將1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字排成一排，最后一個(gè)數(shù)是奇數(shù)，且使得其中任意連續(xù)三個(gè)數(shù)之和都能被這三個(gè)數(shù)中的第一個(gè)數(shù)整除，那么，滿(mǎn)足要求的排法有()種.A.2B.3C.4D.56．設(shè)，為整數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論（1）若是偶數(shù)，則是偶數(shù)（2）若是偶數(shù)，則是奇數(shù)（3）若是奇數(shù)，則是偶數(shù)（4）若是奇數(shù)，則是奇數(shù)其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()．A.0B.2C.4D.1或37．如果，，是三個(gè)任意整數(shù)，那么，，()．A.都不是整數(shù)B.至少有兩個(gè)是整數(shù)C.至少有一個(gè)是整數(shù)D.都是正數(shù)8．將1000到1997這998個(gè)自然數(shù)任意排成一行，然后依次地求出三個(gè)相鄰數(shù)的和，在這些和中，奇數(shù)的個(gè)數(shù)至多有()．A.499個(gè)B.496個(gè)C.996個(gè)D.995個(gè)9．設(shè)，，…是1，2，3，…，1999的一個(gè)排列，求證：為偶數(shù).10．在黑板上記上數(shù)1，2，3，…，1974，允許擦去任意兩個(gè)數(shù)，且寫(xiě)上它們的和或差.重復(fù)這樣的操作手續(xù)，直至在黑板上留下一個(gè)數(shù)為止.求證：這個(gè)數(shù)不可能為零．11．你能找到三個(gè)整數(shù)，，，使得關(guān)系式成立嗎？如果能找到，請(qǐng)舉一例；如果找不到，請(qǐng)說(shuō)明理由.12．設(shè)標(biāo)有A，B，C，D，E，F(xiàn)，G記號(hào)的七盞燈順次排成一行，每盞燈安裝一個(gè)開(kāi)關(guān).現(xiàn)在A，C，E，G四盞燈開(kāi)著，其余三盞燈是關(guān)的，小剛從燈A開(kāi)始，順次拉動(dòng)開(kāi)關(guān)，即從A到G，再?gòu)腁開(kāi)始順次拉動(dòng)開(kāi)關(guān)，即又從A到G，…，他這樣拉動(dòng)了1999次開(kāi)關(guān)后，問(wèn)哪幾盞是開(kāi)的？專(zhuān)題26奇偶分析例1668提示：裴波拉數(shù)列各項(xiàng)的奇偶性規(guī)律是：從第一個(gè)數(shù)開(kāi)始，每組連續(xù)的3個(gè)數(shù)中，前兩個(gè)數(shù)是奇數(shù)，第三個(gè)數(shù)是偶數(shù)，又因?yàn)?004÷3＝668.所以前2004個(gè)數(shù)中共有668個(gè)偶數(shù).例2D例3假設(shè)存在自然數(shù)a和b，使.則（a＋b）(a－b)＝2002＝2×1001，若a，b同為奇數(shù)或同為偶數(shù)，則（a＋b）×（a－b）必定是“偶數(shù)×偶數(shù)”；若a，b為一奇一偶，則(a＋b)(a－b)必定是“奇數(shù)×奇數(shù)”.上述兩種情況均與等式右邊的“偶數(shù)×奇數(shù)”相矛盾，故找不到自然數(shù)a和b，使.例4提示：設(shè)6張卡片正面寫(xiě)的數(shù)是，反面寫(xiě)的數(shù)對(duì)應(yīng)為，則這6張卡片正面寫(xiě)的數(shù)與反面寫(xiě)的數(shù)的絕對(duì)值分別為.設(shè)這6個(gè)數(shù)兩兩都不相等，則它們只能取0，1，2，…，5這6個(gè)值，于是＝0＋1＋2＋…＋5＝15是個(gè)奇數(shù).又與（i＝1，2，3…，6）的奇偶性相同，所以與的奇偶性相同，是個(gè)偶數(shù)，導(dǎo)致矛盾.例5提示：不能，理由如下：將表中的英文字母分別用它們?cè)谧帜副碇械男蛱?hào)代替（即A用1，B用2，…，Z用26代替），這樣表甲和表乙就分別變成了表丙和表丁：1915218112419202661685247815314182021914222436251表丙表丁這樣，每一次操作中字母的置換就相當(dāng)于下面的置換：1→2，2→3，…，25→26，26→1.顯然，每次操作不改變這16個(gè)數(shù)字和的奇偶性，但表丙、表丁16個(gè)數(shù)字的和分別為213，174，它們的奇偶性不同，故表丙不能變成表丁，即表甲不能變成表乙．例6由于乘積都是＋1或－1，且總和為0．所以一定有偶數(shù)項(xiàng)，即n一定是偶數(shù)2m.將上面的n個(gè)數(shù)相乘，一方面，其中的＋1和－1各有m個(gè)，所以它們的乘積為，另一方面，在乘積中，作為因數(shù)都出現(xiàn)四次，所以乘積為＋1，于是，m為偶數(shù)，故n是4的倍數(shù)．【能力訓(xùn)練】1．偶2.1999提示：由＋b＝2001知，b必為一奇一偶．又∵a是質(zhì)數(shù)且a為偶數(shù)．∴a＝2，b＝997，故a＋b＝1999.3.19或254.19提示：在中，十位數(shù)字是奇數(shù)的只有＝16，＝36，兩位數(shù)的平方可以表示為=100＋20ab＋，它的十位數(shù)的奇偶性與十位數(shù)字的奇偶性相同，因此，b只能取4與6，即相鄰的每10個(gè)數(shù)中有兩個(gè)數(shù)的十位數(shù)字是奇數(shù)．5．D提示：設(shè)是1，2，3，4，5中一個(gè)滿(mǎn)足要求的數(shù)列，首先，對(duì)于不能連續(xù)兩個(gè)都是偶數(shù)，否則這兩個(gè)之后都是偶數(shù)，與已知條件矛盾，其次，如果(1≤i≤3)是偶數(shù)，是奇數(shù)，則是奇數(shù)，這說(shuō)明一個(gè)偶數(shù)后面一定要接兩個(gè)或兩個(gè)以上的奇數(shù)，除非接的這個(gè)奇數(shù)是最后一個(gè)數(shù)．所以，只能是偶奇奇偶奇，故有如下5種情形滿(mǎn)足條件：①2，1，3，4，5;②2，3，5，4，1;③2，5，1，4，3;④4，3，1，2，5；⑤4，5，3，2，1.6．B7．C8．D9.提示：10．考慮黑板上保留奇數(shù)的個(gè)數(shù).經(jīng)過(guò)一次操作，如果是一個(gè)奇數(shù)和一個(gè)偶數(shù)，則和或差仍為奇數(shù)，奇數(shù)的個(gè)數(shù)保持不變．如果是兩個(gè)奇數(shù)，則和或差為偶數(shù)．奇數(shù)的個(gè)數(shù)減少2個(gè)；如果是兩個(gè)偶數(shù)，則和或差為偶數(shù)．奇數(shù)的個(gè)數(shù)保持不變.由以上分析知，經(jīng)過(guò)操作，黑板上奇數(shù)的個(gè)數(shù)的奇偶性不變．由于一開(kāi)始黑板上共有奇數(shù)，即有奇數(shù)個(gè)奇數(shù)．經(jīng)過(guò)若干次操作后，黑板上一定仍保留著奇數(shù)個(gè)奇數(shù)，故留下的一個(gè)數(shù)不可能為0．11．找不到滿(mǎn)足條件的三個(gè)整數(shù)，理由如下：假設(shè)存在整數(shù)a，b，c滿(mǎn)足等式，則左邊四個(gè)式子中至少有一個(gè)是偶數(shù)，不妨a＋b＋c為偶數(shù)，則a－b＋c＝(a＋b＋c)－2b，a＋b－c＝(a＋b＋c)－2c，(b＋c－a)－(a＋b＋c)－2a都為偶數(shù)，從而左邊能被16整除，而3388不能被16整除，得出矛盾．12.－盞燈的開(kāi)關(guān)被拉動(dòng)奇數(shù)次后，改變?cè)瓉?lái)的狀態(tài)，而一盞燈的開(kāi)關(guān)被拉動(dòng)偶數(shù)次后，不改變?cè)瓉?lái)的狀態(tài)，因1999＝7×285＋4，又A，B，C，D四盞燈的開(kāi)關(guān)各被拉動(dòng)了286次，而E，F(xiàn)，G三盞燈的開(kāi)關(guān)各被拉動(dòng)了285次，所以，小剛拉動(dòng)了1999次開(kāi)關(guān)后，A，B，C，D四燈不改變狀態(tài)，E，F(xiàn)，G三燈將改變?cè)瓉?lái)的狀態(tài)，故A，C，F(xiàn)最后是開(kāi)著的，專(zhuān)題27以形借數(shù)——借助圖形思考閱讀與思考數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué)，數(shù)與形以及數(shù)和形的關(guān)聯(lián)與轉(zhuǎn)化，這是數(shù)學(xué)研究的永恒主題，就解題而言，數(shù)與形的恰當(dāng)結(jié)合，常常有助于問(wèn)題的解決，美國(guó)數(shù)學(xué)家斯蒂恩說(shuō)：“如果一個(gè)特定的問(wèn)題可以被轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖形，那么思維就整體地把握了問(wèn)題，并且能創(chuàng)造性地思考問(wèn)題的解法”．將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖形，把問(wèn)題中的條件與結(jié)論直觀地、整體地表示出來(lái)，是一個(gè)十分重要的解題方法，現(xiàn)階段借助圖形思考是指以下兩個(gè)方面：1．從給定的圖形獲取解題信息數(shù)學(xué)問(wèn)題的表述方法很多，既有用文字?jǐn)⑹龅?，也有通過(guò)圖形（如數(shù)軸、圖表、平面圖形等）來(lái)呈現(xiàn)的，善于從給定的圖形獲取解題信息是一個(gè)重要技能．2．有意地畫(huà)圖輔助解題圖形能直觀、形象地表示數(shù)量及關(guān)系，解題中有意地畫(huà)圖（如畫(huà)直線圖、列表、構(gòu)造圖形等）能幫助分析理順復(fù)雜數(shù)量關(guān)系，使問(wèn)題獲得簡(jiǎn)解．閱讀與思考【例1】如圖，圓周上均勻地釘了9枚釘子，釘尖朝上，用橡皮筋套住其中的3枚，可套得一個(gè)三角形，所有可以套出來(lái)的三角形中，不同形狀的共有____________種。解題思路：圓周長(zhǎng)保持不變，設(shè)圓周長(zhǎng)為9，套成的三角形三邊所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)分別為則。不妨設(shè)，借助圖形分析，找出滿(mǎn)足條件的整數(shù)解即可?！纠?】一列快車(chē)從甲地駛往乙地，一列慢車(chē)從乙地駛往甲地，兩車(chē)同時(shí)出發(fā)，設(shè)慢車(chē)行駛的時(shí)間為（h），兩車(chē)之間的距離為（km），圖中的折線表示與之間的函數(shù)關(guān)系。根據(jù)圖像進(jìn)行一下探究：信息讀?。?）甲、乙兩地之間的距離為_(kāi)__________km。（2）請(qǐng)解釋圖中點(diǎn)B的實(shí)際意義。圖像理解（3）求慢車(chē)和快車(chē)的速度。（4）求線段BC所表示的與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量的取值范圍。問(wèn)題解決（5）若第二列快車(chē)也從甲地出發(fā)駛往乙地，速度與第一列快車(chē)相同。在第一列快車(chē)與慢車(chē)相遇30分鐘后，第二列快車(chē)與慢車(chē)相遇。求第二列快車(chē)比第一列快車(chē)晚車(chē)發(fā)多少小時(shí)？解題思路：函數(shù)圖像包含了兩種不同層次的信息：有慢車(chē)行駛900km用了12h等可直接感知的淺層結(jié)構(gòu)信息，也有在0～4小時(shí)之間以及稍后的一段時(shí)間內(nèi)，快車(chē)和慢車(chē)的速度之和為定值和C點(diǎn)表示快車(chē)在某一時(shí)刻已到達(dá)終點(diǎn)等需要經(jīng)過(guò)分析或運(yùn)算才能獲得的深層結(jié)構(gòu)的信息?！纠?】某電視臺(tái)為了解三個(gè)特色欄目的收視情況，向28位觀眾進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查后得知：每位觀眾至少收看了其中的一個(gè)欄目；沒(méi)有收看欄目的觀眾中，收看欄目人數(shù)為收看欄目的兩倍；在收看欄目的觀眾中，只收看欄目的觀眾人數(shù)比除了收看欄目之外同時(shí)還收看其他欄目的人數(shù)多1；只收看一個(gè)欄目的觀眾中，有一半沒(méi)有收看或欄目，求欄目的收視率。解題思路：設(shè)未知數(shù)，借助于圖表表示題中各數(shù)量之間的關(guān)系?！纠?】甲、乙、丙、丁、戌五名同學(xué)參加推鉛球比賽，通知抽簽決定出賽順序，在未公布順序前每人都對(duì)出賽順序進(jìn)行了猜測(cè)。甲猜：乙第三，丙第五；乙猜：戌第四，丁第五；丙猜：甲第一，戌第四；丁猜：丙第一，乙第二；戌猜：甲第三，丁第四。老師說(shuō)每人的出賽順序都至少被一人所猜中，問(wèn)：出賽順序中，第一、第三、第五分別是哪位同學(xué)？解題思路：文字羅列出來(lái)的條件，其相互關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜，不便分析和推斷，不妨借助于圖表直觀地表示研究對(duì)象及其關(guān)系?！纠?】某班有50名同學(xué)，期末考試優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)及科目如表：一科二科三科科目數(shù)外語(yǔ)數(shù)、語(yǔ)數(shù)、外語(yǔ)外數(shù)、語(yǔ)、外人數(shù)32312916171810這里，一科優(yōu)秀者包括兩、三科優(yōu)秀者，兩科優(yōu)秀者包括三科優(yōu)秀者，試說(shuō)明上述統(tǒng)計(jì)表有錯(cuò)誤。解題思路：借助于圖形直觀地表示出數(shù)學(xué)、外語(yǔ)、語(yǔ)文優(yōu)秀學(xué)生的集合，有利于分析與推斷。能力訓(xùn)練1．甲、乙、丙、丁與小強(qiáng)五位同學(xué)一起比賽象棋，每?jī)扇硕家荣愐槐P(pán)，到現(xiàn)在為止，甲已經(jīng)賽了4盤(pán)，乙賽了3盤(pán)，丙賽了2盤(pán)，丁賽了1盤(pán)。則小強(qiáng)已經(jīng)賽了________盤(pán)。2．某市儲(chǔ)運(yùn)部緊急調(diào)撥一批物資，調(diào)進(jìn)物資共用4小時(shí)，調(diào)進(jìn)物資2小時(shí)后開(kāi)始調(diào)出物資（調(diào)進(jìn)物資與調(diào)出物資的速度保持不變）。儲(chǔ)運(yùn)部庫(kù)存物資與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系如圖，這批物資從開(kāi)始調(diào)進(jìn)到全部調(diào)出所需要的時(shí)間是___________________。3．甲、乙兩人同時(shí)從地出發(fā)，以各自的速度勻速汽車(chē)到地后原地休息，甲、乙兩人的距離與乙騎車(chē)的時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系的圖像如圖，則兩地的距離為_(kāi)_____________________千米。4．一臺(tái)計(jì)算機(jī)的硬盤(pán)分為3個(gè)區(qū)，每個(gè)區(qū)的使用情況如圖所示，則這個(gè)硬盤(pán)的使用率為_(kāi)_____________________。5．三支足球隊(duì)舉行單循環(huán)比賽（每支隊(duì)與另一支隊(duì)只比賽一場(chǎng)，共三場(chǎng)），下表給出的是比賽的部分結(jié)果：球隊(duì)比賽場(chǎng)數(shù)勝負(fù)平總進(jìn)球數(shù)總失球數(shù)2212124237請(qǐng)根據(jù)上表，填上隊(duì)與隊(duì)比賽時(shí)的比分為_(kāi)______________。6．如圖是某班全體學(xué)生外出時(shí)乘車(chē)、步行、騎車(chē)的人數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖（兩圖都不完整），則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．該班總?cè)藬?shù)為50人B．騎車(chē)人數(shù)占總?cè)藬?shù)的20％C．步行人數(shù)30人D．乘車(chē)人數(shù)是騎車(chē)人數(shù)的2.5倍7．某人騎車(chē)沿直線旅行，先前進(jìn)了千米，休息了一段時(shí)間，又原路返回千米（），再前進(jìn)千米，則此人離起點(diǎn)的距離與時(shí)間的關(guān)系示意圖為（）。A．B．C．D．8．一圓形地塊，打算分四個(gè)區(qū)域栽種觀賞植物，要在同一區(qū)域種同一種植物，相鄰（有公共邊）的兩塊里中不同的植物?，F(xiàn)有4種不同的植物可供選擇，那么所有的栽種方案的個(gè)數(shù)為()。A．66B．68C．60D．849．某校參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽有120名男生，80名女生；參加英語(yǔ)競(jìng)賽有120名女生，80名男生。已知該?？偣灿?60名學(xué)生參加了競(jìng)賽，其中有75名男生兩科競(jìng)賽都參加了，問(wèn)參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽而沒(méi)有參加英語(yǔ)競(jìng)賽的女生人數(shù)有多少人？10．某人租用一輛汽車(chē)由城前往城，沿途可能經(jīng)過(guò)的城市以及通過(guò)兩城市之間所需的時(shí)間（單位：h）如圖所示。若汽車(chē)行駛的平均速度為km/h。而汽車(chē)每行駛km需要的平均費(fèi)用為元。試指出此人從城出發(fā)到城的最短線路，并求出所需費(fèi)用最少多少元？11.剛回到營(yíng)地的兩個(gè)搶險(xiǎn)隊(duì)又接到救災(zāi)命令：一分隊(duì)立即出發(fā)趕往30千米外的A鎮(zhèn);二分隊(duì)因疲勞可在營(yíng)地休息小時(shí)再趕往A鎮(zhèn)參加救災(zāi)。一分隊(duì)出發(fā)后得知，唯一通往A鎮(zhèn)的道路在里營(yíng)地10千米處發(fā)生塌方，塌方處地形復(fù)雜，必須有一分隊(duì)用1小時(shí)打通．已知一分隊(duì)的行進(jìn)速度為5千米/時(shí)，二分隊(duì)的行進(jìn)速度是千米/時(shí)．（1）若二分隊(duì)在營(yíng)地不休息，問(wèn)二分隊(duì)幾個(gè)小時(shí)能趕到A鎮(zhèn)？（2）若需要二分隊(duì)和一分隊(duì)同時(shí)趕到A鎮(zhèn)，二分隊(duì)?wèi)?yīng)在營(yíng)地休息幾個(gè)小時(shí)？（3）下列圖中，①②分別描述一分隊(duì)和二分隊(duì)離A鎮(zhèn)的距離（千米）和時(shí)間（小時(shí)）的函數(shù)關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出你認(rèn)為所有可能合理圖像的代號(hào)，并說(shuō)明它們的實(shí)際意義．ABCD12.已知函數(shù)QUOTE．（1）在直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)圖象．（2）已知關(guān)于的方程QUOTE有三解.求的取值范圍．專(zhuān)題27以形助數(shù)——借助圖形思考例17提示：設(shè)圓周長(zhǎng)為9，套成的三角形三邊所對(duì)的弧長(zhǎng)分別為x，y，z，則x+y+z=9，不妨設(shè)，則（x，y，z）只有（1，1，7），（1，2，6），（1，3，5），（1，4，4），（2，2，5），（2，3，4）和（3，3，3）這7種情形.例2（1）900（2）圖中點(diǎn)B的實(shí)際意義是：當(dāng)慢車(chē)行駛4h時(shí)，慢車(chē)和快車(chē)相遇.（3）由圖像可知，慢車(chē)12h行駛的路程為900km，所以慢車(chē)的速度為=75km/h；當(dāng)慢車(chē)行駛4h時(shí)，慢車(chē)和快車(chē)相遇，兩車(chē)行駛的路程之和為900km，所以慢車(chē)和快車(chē)行駛的速度之和為=225km/h,所以快車(chē)的速度為150km/h.（4）根據(jù)題意快車(chē)行駛900km到達(dá)乙地，所以快車(chē)行駛=6h到達(dá)乙地，此時(shí)兩車(chē)之間的距離為6×75=450km，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)