2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題 練習(xí)★★　切線放縮（2大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練）

2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題練習(xí)★★切線放縮（2大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練）在高考?jí)狠S題中，經(jīng)?？疾榕c導(dǎo)數(shù)有關(guān)的不等式問(wèn)題，這些問(wèn)題可以用常規(guī)方法求解，也可以用切線不等式進(jìn)行放縮．導(dǎo)數(shù)切線放縮法是一種非常實(shí)用的數(shù)學(xué)方法，它可以幫助我們更好地理解函數(shù)的性質(zhì)和變化規(guī)律，更能使問(wèn)題簡(jiǎn)單化，利用切線不等式進(jìn)行求解，能起到事半功倍的效果．【知識(shí)導(dǎo)圖】【考點(diǎn)分析】考點(diǎn)一：?jiǎn)吻芯€放縮常見(jiàn)的切線放縮：?x∈R都有ex≥x＋1.當(dāng)x>－1時(shí)，ln(x＋1)≤x.當(dāng)x>0時(shí)，x>sinx；當(dāng)x<0時(shí)，x<sinx.規(guī)律方法該方法適用于凹函數(shù)與凸函數(shù)且它們的凹凸性相反的問(wèn)題(拆成兩個(gè)函數(shù))，兩函數(shù)有斜率相同的切線，這是切線放縮的基礎(chǔ)，引入一個(gè)中間量，分別證明兩個(gè)不等式成立，然后利用不等式的傳遞性即可，難點(diǎn)在合理拆分函數(shù)，尋找它們斜率相等的切線隔板.【例1】（2023上·遼寧大連·高三大連八中?？计谥校┮阎瘮?shù)，．(1)若函數(shù)（其中：為的導(dǎo)數(shù)）有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，求證：．【變式】（2023上·貴州黔東南·高三統(tǒng)考期中）函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，若，求證：.考點(diǎn)二：雙切線放縮規(guī)律方法含有兩個(gè)零點(diǎn)的f(x)的解析式(可能含有參數(shù)x1，x2)，告知方程f(x)＝b有兩個(gè)實(shí)根，要證明兩個(gè)實(shí)根之差小于(或大于)某個(gè)表達(dá)式．求解策略是畫出f(x)的圖象，并求出f(x)在兩個(gè)零點(diǎn)處(有時(shí)候不一定是零點(diǎn)處)的切線方程(有時(shí)候不是找切線，而是找過(guò)曲線上某兩點(diǎn)的直線)，然后嚴(yán)格證明曲線f(x)在切線(或所找直線)的上方或下方，進(jìn)而對(duì)x1，x2作出放大或者縮小，從而實(shí)現(xiàn)證明．【例2】（2024上·浙江嘉興·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)若時(shí)，在其定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；(2)若，時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，求證：．【變式】（2024下·河北·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)(1)若、在處切線的斜率相等，求的值；(2)若方有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，試證明：;(3)若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，試證明：.【強(qiáng)化訓(xùn)練】1．（2024上·江蘇揚(yáng)州·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的最小值為.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求證：.2．（2024上·重慶·高三重慶南開中學(xué)校考階段練習(xí)）若函數(shù)在定義域內(nèi)存在兩個(gè)不同的數(shù)，，同時(shí)滿足，且在點(diǎn)，處的切線斜率相同，則稱為“切合函數(shù)”.(1)證明：為“切合函數(shù)”；(2)若為“切合函數(shù)”（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），并設(shè)滿足條件的兩個(gè)數(shù)為，.（ⅰ）求證：；（ⅱ）求證：.3.(2023·重慶模擬)已知函數(shù)f(x)＝sinx－aln(x＋1)．(1)若a＝1，證明：當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)≥0；(2)若a＝－1，證明：當(dāng)x∈[0，＋∞)時(shí)，f(x)≤2ex－2.4.(2023·柳州模擬)已知函數(shù)f(x)＝lnx＋eq\f(a,x)－2x.(1)當(dāng)a>0時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性；(2)證明：ex＋eq\f(a－2x2－2x,x)>f(x)．5.(2023·福州模擬)已知函數(shù)f(x)＝xlnx－x.若f(x)＝b有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，且x1<x2.求證：be＋e<x2－x1<2b＋e＋eq\f(1,e).6.(2023·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬)已知函數(shù)f(x)＝(x＋1)(ex－1)，若函數(shù)g(x)＝f(x)－m(m>0)有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2，且x1<x2，證明：x2－x1≤1＋2m＋eq\f(m,e－1).7．(2023·廣州模擬)已知函數(shù)f(x)＝ln(x＋1)．(1)證明：當(dāng)x>－1時(shí)，f(x)≤x；(2)已知n∈N*，證明：>sin(n＋1)．8．(2023·遂寧模擬)已知函數(shù)f(x)＝a(x＋1)－eq\f(x＋3,e