2024初中數(shù)學(xué)競賽七年級(jí)競賽輔導(dǎo)講義專題07 整式的加減

2024初中數(shù)學(xué)競賽七年級(jí)競賽輔導(dǎo)講義專題07整式的加減閱讀與思考整式的加減涉及許多概念，準(zhǔn)確地把握這些概念并注意它們的區(qū)別與聯(lián)系是解決有關(guān)問題的基礎(chǔ)，概括起來就是要掌握好以下兩點(diǎn)：1．透徹理解“三式”和“四數(shù)”的概念“三式”指的是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、整式；“四數(shù)”指的是單項(xiàng)式的系數(shù)、次數(shù)和多項(xiàng)式的系數(shù)、次數(shù)．2．熟練掌握“兩種排列”和“三個(gè)法則”“兩種排列”指的是把一個(gè)多項(xiàng)式按某一字母的升冪或降冪排列，“三個(gè)法則”指的是去括號(hào)法則、添括號(hào)法則及合并同類項(xiàng)法則．物以類聚，人以群分．我們把整式中那些所含字母相同、并且相同字母的次數(shù)也相同的單項(xiàng)式作為一類——稱為同類項(xiàng)，一個(gè)多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)可以合聚在一起——稱為合并同類項(xiàng)．這樣，使得整式大為簡化，整式的加減實(shí)質(zhì)就是合并同類項(xiàng)．例題與求解[例1]如果代數(shù)式ax5＋bx3＋cx－5，當(dāng)x＝－2時(shí)的值是7，那么當(dāng)x＝7時(shí)，該式的值是______．(江蘇省競賽試題)解題思路：解題的困難在于變元個(gè)數(shù)多，將x兩個(gè)值代入，從尋找兩個(gè)多項(xiàng)式的聯(lián)系入手．[例2]已知－1＜b＜0，0＜a＜1，那么在代數(shù)式a－b，a＋b，a＋b2，a2＋b中，對于任意a，b對應(yīng)的代數(shù)式的值最大的是()A．a(chǎn)＋bB．a(chǎn)－bC．a(chǎn)＋b2D．a(chǎn)2＋b(“希望杯”初賽試題)解題思路：采用賦值法，令a＝，b＝－，計(jì)算四個(gè)式子的值，從中找出值最大的式子．[例3]已知x＝2，y＝－4時(shí)，代數(shù)式ax2＋by＋5＝1997，求當(dāng)x＝－4，y＝－時(shí)，代數(shù)式3ax－24by3＋4986的值．(北京市“迎春杯”競賽試題)解題思路：一般的想法是先求出a，b的值，這是不可能的．解本例的關(guān)鍵是：將給定的x，y值分別代入對應(yīng)的代數(shù)式，尋找已知與待求式子之間的聯(lián)系，整體代入求值．[例4]已知關(guān)于x的二次多項(xiàng)式a(x3－x2＋3x)＋b(2x2＋x)＋x3－5．當(dāng)x＝2時(shí)的值為－17，求當(dāng)x＝－2時(shí)，該多項(xiàng)式的值．(北京市“迎春杯”競賽試題)解題思路：解題的突破口是根據(jù)多項(xiàng)式降冪排列、多項(xiàng)式次數(shù)等概念挖掘隱含的關(guān)于a，b的等式．[例5]一條公交線路上起點(diǎn)到終點(diǎn)有8個(gè)站．一輛公交車從起點(diǎn)站出發(fā)，前6站上車100人，前7站下車80人．問從前6站上車而在終點(diǎn)下車的乘客有多少人？(“希望杯”初賽試題)解題思路：前7站上車總?cè)藬?shù)等于第2站到第8站下車總?cè)藬?shù)．本例目的是求第8站下車人數(shù)比第7站上車人數(shù)多出的數(shù)量．[例6]能否找到7個(gè)整數(shù)，使得這7個(gè)整數(shù)沿圓周排列成一圈后，任3個(gè)相鄰數(shù)的和等于29？如果，請舉出一例；如果不能，請簡述理由．(“華羅庚金杯”少年邀請賽試題)解題思路：假設(shè)存在7個(gè)整數(shù)a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7排成一圈后，滿足題意，由此展開推理，若推出矛盾，則假設(shè)不成立．能力訓(xùn)練A級(jí)1．若－4xm－2y3與x3y7－2n是同類項(xiàng)，m2＋2n＝______．(“希望杯”初賽試題)2．當(dāng)x＝1，y＝－1時(shí)，ax＋by－3＝0，那么當(dāng)x＝－1，y＝1時(shí)，ax＋by－3＝______．(北京市“迎春杯”競賽試題)3．若a＋b＜0，則化簡|a＋b－1|－|3－a－b|的結(jié)果是______．4．已知x2＋x－1＝0，那么整式x3＋2x2＋2002的值為______．5．設(shè)則3x－2y＋z＝______．(2013年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)6．已知A＝a2＋b2－c2，B＝－4a2＋2b2＋3c2，若A＋B＋C＝0，則C＝()．A．5a2＋3b2＋2c2B．5a2－3b2＋4c2A．3a2－3b2－2c2A．3a2＋b2＋4c27．同時(shí)都有字母a，b，c，且系數(shù)為1的7次單項(xiàng)式共有()．A．4個(gè)B．12個(gè)C．15個(gè)D．25個(gè)(北京市競賽題)8．有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示：00bac第8題圖則代數(shù)式|a|－|a＋b|＋|c－a|＋|b－c|化簡后的結(jié)果是為()．A．－aB．2a－2bC．2c－aD．a(chǎn)9．已知a＋b＝0，a≠b，則化簡(a＋1)＋(b＋1)得()．A．2aB．2bC．＋2D．－210．已知單項(xiàng)式0.25xbyc與單項(xiàng)式－0.125xm－1y2n－1的和為0.625axnym，求abc的值．11．若a，b均為整數(shù)，且a＋9b能被5整除，求證：8a＋7b也能被5整除．(天津市競賽試題)B級(jí)1．設(shè)a＜－b＜c＜0，那么|a＋b|＋|b＋c|－|c－a|＋|a||＋b|＋|c|＝______．(“祖沖之杯”邀請賽試題)2．當(dāng)x的取值范圍為______時(shí)，式子－4x＋|4－7x|－|1－3x|＋4的值恒為一個(gè)常數(shù)，這個(gè)值是______．(北京市“迎春杯”競賽試題)3．當(dāng)x＝2時(shí)，代數(shù)式ax3－bx＋1的值等于－17，那么當(dāng)x＝－1時(shí)，代數(shù)式12ax－3bx3－5的值等于______．4．已知(x＋5)2＋|y2＋y－6|＝0，則y2－xy＋x2＋x3＝______．(“希望杯”邀請賽試題)5．已知a－b＝2，b－c＝－3，c－d＝5，則(a－c)(b－d)÷(a－d)＝______．6．如果對于某一特定范圍內(nèi)x的任意允許值，P＝|1－2x|＋|1－3x|＋…＋|1－9x|＋|1－10x|的值恒為一個(gè)常數(shù)，則此值為()．A．2B．3C．4D．5(安徽省競賽試題)7．如果(2x－1)6＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，那么a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6等于______；a0＋a2＋a4＋a6等于______．A．1，365B．0，729C．1，729D．1，0(“希望杯”邀請賽試題)8．設(shè)b，c是整數(shù)，當(dāng)x依次取1，3，6，11時(shí)，某學(xué)生算得多項(xiàng)式x2＋bx＋c的值分別為3，5，21，93．經(jīng)驗(yàn)證，只有一個(gè)結(jié)果是錯(cuò)誤的，這個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)果是()．A．當(dāng)x＝1時(shí)，x2＋bx＋c＝3B．當(dāng)x＝3時(shí)，x2＋bx＋c＝5C．當(dāng)x＝6時(shí)，x2＋bx＋c＝21D．當(dāng)x＝11時(shí)，x2＋bx＋c＝93(武漢市選拔賽試題)9．已知y＝ax7＋bx5＋cx3＋dx＋e，其中a，b，c，d，e為常數(shù)，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝23；當(dāng)x＝－2時(shí)，y＝－35，那么e的值是()．A．－6B．6C．－12D．12(吉林省競賽試題)10．已知a，b，c三個(gè)數(shù)中有兩個(gè)奇數(shù)，一個(gè)偶數(shù)，n是整數(shù)，如果s＝(a＋n＋1)·(b＋2n＋2)(c＋3n＋3)，那么()．A．s是偶數(shù)B．s是奇數(shù)C．s的奇偶性與n的奇偶性相同D．s的奇偶性不能確定(江蘇省競賽試題)11．(1)如圖1，用字母a表示陰暗部分的面積；(2)如圖2，用字母a，b表示陰暗部分的面積；(3)如圖3，把一個(gè)長方體禮品盒用絲帶打上包裝(圖中虛線為絲帶)，打蝴蝶結(jié)的部分需絲帶(x－y)cm，打好整個(gè)包裝需用絲帶總長度為多少？圖1aaa圖1aaabab圖2axyz圖3將一個(gè)三位數(shù)中間數(shù)碼去掉，成為一個(gè)兩位數(shù)，且滿足＝9＋，如155＝9×15＋4×5．試求出所有這樣的三位數(shù)．專題07整式的加減例1－17例2B例31998提示：由已知得4a－b＝996，待求式＝－3×（4a－b）＋4986.例4原多項(xiàng)式整理得：（a＋1）x3＋（2b－a）x3＋（3a＋b）x－5..又由題意知，該多項(xiàng)式為二次多項(xiàng)式，故a＋1＝0，得a＝－1.把a(bǔ)＝－1，a＝2代入得：4（2b＋1）＋2×（b－3）－5＝－17.解得b＝－1，故原多項(xiàng)式為－x2－4x－5.當(dāng)x＝－2時(shí)，－x2－4x－5＝－4＋8－5＝－1.例5設(shè)前7站上車的乘客數(shù)量依次為a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7人，從第2站到第8站下車的乘客數(shù)量依次為b2，b3，b4，b5，b6，b7，b8人，則a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝b2＋b3＋b4＋b5＋b6＋b7＋b8.又∵a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝100，∴b2＋b3＋b4＋b5＋b6＋b7＝80，即100＋a7＝80＋b8，前6站上車而在終點(diǎn)下車的人數(shù)為b8－a7＝100－80＝20（人）.例6如圖，由題意得a1＋a2＋a3＝29,a2＋a3＋a4＝29,…a6＋a7＋a1＝29,a7＋a1＋a2＝29,將上述7式相加得，3（a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7）＝29×7.∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝67.這與a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7為整數(shù)矛盾.故不存在滿足題設(shè)要求的7個(gè)整數(shù).A級(jí)1.292.－63.－24.20035.10提示：3x－2y＋z＝2×（2x＋y＋3z）－（x＋4y＋5z）＝2×23－36＝46－36＝10.6.C7.C提示：設(shè)滿足條件的單項(xiàng)式為ambncp的形式，其中m，n，p為自然數(shù)，且m＋n＋p＝7.8.C9.D10.1.2提示：由題意得b＝m－1＝n，c＝2n－1＝0，0.625a＝0.25＋（－0.125）.11.提示：8a＋7b＝8（a＋9b）－65b.B級(jí)1.－a＋b＋c2.≥1提示：x的系數(shù)之和為零，須使4－7x≤0且1－3x≤0.3.224.－94提示：由（x＋5）2＋|y2＋y－6|=0得x＝－5，y2＋y＝6.y2－xy＋x2＋x3＝y(tǒng)2＋y＋（－5）2＋（－5）3＝6＋25－125＝－94.5.－6.B提示：利用絕對值的幾何意義解此題.x的取值范圍在與之間7.A提示：令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝[2×1－1]6=1①令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝[2×（－1）－1]6＝36＝729②①＋②，得2（a0＋a2＋a4＋a6）＝730，即a0＋a2＋a4＋a6＝365.8.C9.A10.A提示：原式＝a＋b＋c＋6n＋6是偶數(shù).11.提示：（1）4.5πa2S陰影＝（a＋a＋a）2＝4.5πa2（2）ab－b2＋πb2S陰影＝（a＋a）b－（b2－πb2）＝ab－b2＋πb2（3）3x＋3y＋2z總長1＝2x＋4y＋2z＋（x－y）＝3x＋3y＋2z.12.因?yàn)椋?00a＋10b＋c，＝10a＋c.由題意得100a＋10b＋c＝9（10a＋c）＋4c.化簡得5（a＋b）＝6c（0≤a，b，c≤9，且a≠0）又∵5是質(zhì)數(shù)，故，從而則符合條件的＝155，245，335，425，515，605.專題08還原與對消——方程的解與解方程閱讀與思考解一元一次方程的一般步驟是：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1、得方程的解．我們在解一元一次方程時(shí)，既要學(xué)會(huì)按部就班(嚴(yán)格按步驟)地解方程，又要能隨機(jī)應(yīng)變(靈活打亂步驟)地解方程．方程的解是方程理論中的一個(gè)重要概念，對于方程解的概念，要學(xué)會(huì)從兩個(gè)方面去運(yùn)用：1．求解：通過解方程，求出方程的解，進(jìn)而解決問題．2．代解：將方程的解代入原方程進(jìn)行解題．當(dāng)方程中的未知數(shù)是用字母表示時(shí)，這樣的方程叫含字母系數(shù)的方程，含字母系數(shù)的一元一次方程總可以化為ax＝b的形式，其方程的解由a，b的取值范圍確定．字母a，b的取值范圍確定或?qū)夥匠痰倪^程并未產(chǎn)生實(shí)質(zhì)性的影響，其解法同數(shù)字系數(shù)的一次方程解法一樣；當(dāng)字母a，b的取值范圍未給出時(shí)，則需討論解的情況，其方法是：(1)當(dāng)a≠0時(shí)，原方程有唯一解x＝；(2)當(dāng)a＝0且b＝0時(shí)，原方程有無數(shù)個(gè)解；(3)當(dāng)a＝0，b≠0時(shí)，原方程無解；例題與求解[例1]已知關(guān)于x的方程3[x－2(x－)]＝4x和－＝1有相同的解，那么這個(gè)解是______．(北京市“迎春杯”競賽試題)解題思路：建立關(guān)于a的方程，解方程．[例2]已知a是任意有理數(shù)，在下面各說法中(1)方程ax＝0的解是x＝1(2)方程ax＝a的解是x＝1(3)方程ax＝1的解是x＝(4)方程|a|x＝a的解是x＝±1結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()．A．0B．1C．2D．3(江蘇省競賽試題)解題思路：給出的方程都是含字母系數(shù)的方程，注意a的任意性．[例3]a為何值時(shí)，方程＋a＝－(x－12)有無數(shù)多個(gè)解？無解？解題思路：化簡原方程，運(yùn)用方程ax＝b各種解的情況所應(yīng)滿足的條件建立a的關(guān)系式．[例4]如果a，b為定值時(shí)，關(guān)于x的方程＝2＋，無論k為何值時(shí)，它的根總是1，求a，b的值．(2013年全國初中數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試題)解題思路：利用一元一次方程方程的解與系數(shù)之間的關(guān)系求解．[例5]已知p，q都是質(zhì)數(shù)，并且以x為未知數(shù)的一元一次方程px＋5q＝97的解是1，求代數(shù)式p2－q的值．(北京市“迎春杯”競賽試題)解題思路：用代解法可得到p，q的關(guān)系式，進(jìn)而綜合運(yùn)用整數(shù)相關(guān)知識(shí)分析．[例6](1)在日歷中(如圖①)，任意圈出一豎列上相鄰的三個(gè)數(shù)，設(shè)中間的一個(gè)為a，則用含a的代數(shù)式表示這三個(gè)數(shù)(從小到大排列)分別是______．(2)現(xiàn)將連續(xù)自然數(shù)1至2004按圖中的方式排成一個(gè)長方形陣列，用一個(gè)正方形框出16個(gè)數(shù)(如圖②)．①圖中框出的這16個(gè)數(shù)的和是______；②在右圖中，要使一個(gè)正方形框出的16個(gè)數(shù)之和等于2000，2004，是否可能？若不可能，試說明理由；若有可能，請求出該正方形框出的16個(gè)數(shù)中的最小數(shù)和最大數(shù)．圖①日一二三四五六圖①日一二三四五六6789101112123451314151617181920212223242526272829302003200419971999200020012002…………3637383940414219962930313233343522232425262728151617181920218910111213141234567圖②(湖北省黃岡市中考試題)解題思路：(1)等差數(shù)列，相鄰兩數(shù)相差7．(2)①經(jīng)觀察不難發(fā)現(xiàn)，在這個(gè)方框里的每兩個(gè)關(guān)于中心對稱的數(shù)之和都等于44．如31與13，11與33，17與27都成中心對稱的．于是易算出這16個(gè)數(shù)之和．②設(shè)框出的16個(gè)數(shù)中最小的一個(gè)數(shù)為a，用a表示出16個(gè)數(shù)之和，若算出的a為自然數(shù)，則成立；不為自然數(shù)，則不可能．能力訓(xùn)練A級(jí)1．若關(guān)于x的方程(k－2)x|k－1|＋5k＝0是一元一次方程，則k＝______；若關(guān)于x的方程(k＋2)x2＋4kx－5k＝0是一元一次方程，則方程的解x＝______．2．方程x－[x－(x－)]＝(x－)的解是______．(廣西賽區(qū)選拔賽試題)3．若有理數(shù)x，y滿足(x＋y－2)2＋|x＋2y|＝0，則x2＋y3＝______．(“希望杯”邀請賽試題)4．若關(guān)于x的方程a(2x＋b)＝12x＋5有無數(shù)個(gè)解，則a＝______，b＝______．(“希望杯”邀請賽試題)5．已知關(guān)于x的方程9x－3＝kx＝14有整數(shù)解，那么滿足條件的所有整數(shù)k＝______．(“五羊杯”競賽試題)6．下列判斷中正確的是()．A．方程2x－3＝1與方程x(2x－3)＝x同解B．方程2x－3＝1與方程x(2x－3)＝x沒有相同的解C．方程x(2x－3)＝x的解都是方程2x－3＝1的解D．方程2x－3＝1的解都是方程x(2x－3)＝x的解7．方程＋＋…＋＝1995的解是()．A．1995B．1996C．1997D．19988．若關(guān)于x的方程＝0的解是非負(fù)數(shù)，則b的取值范圍是()．A．b＞0B．b≥0C．b≠2D．b≥0且b≠2(黑龍江省競賽試題)9．關(guān)于x的方程a(x－a)＋b(x＋b)＝0有無窮多個(gè)解，則()．A．a(chǎn)＋b＝0B．a(chǎn)－b＝0C．a(chǎn)b＝0D．＝010．已知關(guān)于x的一次方程(3a＋8b)x＋7＝0無解，則ab是()．A．正數(shù)B．非正數(shù)C．負(fù)數(shù)D．非負(fù)數(shù)(“希望杯”邀請賽試題)11．若關(guān)于x的方程kx－12＝3x＋3k有整數(shù)解，且k為整數(shù)，求符合條件的k值．(北京市“迎春杯”訓(xùn)練題)12．已知關(guān)于x的方程＋a＝x－(x－6)，當(dāng)a取何值時(shí)，(1)方程無解？(2)方程有無窮多解？(重慶市競賽試題)B級(jí)1．已知方程2(x＋1)＝3(x－1)的解為a＋2，則方程2[2(x＋3)－3(x－a)]＝3a的解為______．2．已知關(guān)于x的方程＝的解是x＝2，其中a≠0且b≠0，則代數(shù)式－的值是______．3．若k為整數(shù)，則使得方程(k－1999)x＝2001－2000x的解也是整數(shù)的k值有______個(gè)．(“希望杯”邀請賽試題)4．如果＋＋＋…＋＝，那么n＝______．(江蘇省競賽試題)5．用※表示一種運(yùn)算，它的含義是A※B＝＋，如果2※1＝，那么3※4＝______．(“希望杯”競賽試題)6．如圖所示的兩架天平保持平衡，且每塊巧克力的質(zhì)量相等，每個(gè)果凍的質(zhì)量也相等，則一塊巧克力的質(zhì)量是______克．巧克力巧克力果凍50g砝碼第6題圖(河北省中考試題)7．有四個(gè)關(guān)于x的方程①x－2＝－1 ②(x－2)＋(x－1)＝－1＋(x－1)③x＝0 ④x－2＋＝－1＋其中同解的兩個(gè)方程是()．A．①與②B．①與③C．①與④D．②與④8．已知a是不為0的整數(shù)，并且關(guān)于x的方程ax＝2a3－3a2－5a＋4有整數(shù)解，則a的值共有()．A．1個(gè)B．3個(gè)C．6個(gè)D．9個(gè)(“希望杯”邀請賽試題)9．(1)當(dāng)a取符合na＋3≠0的任意數(shù)時(shí)，式子的值都是一個(gè)定值，其中m－n＝6，求m，n的值．(北京市“迎春杯”競賽試題)(2)已知無論x取什么值，式子必為同一定值，求的值．(“華羅庚杯”香港中學(xué)競賽試題)10．甲隊(duì)原有96人，現(xiàn)調(diào)出16人到乙隊(duì)，調(diào)出后，甲隊(duì)人數(shù)是乙隊(duì)人數(shù)的k(k是不等于1的正整數(shù))倍還多6人，問乙隊(duì)原有多少人？(上海市競賽試題)11．下圖的數(shù)陣是由77個(gè)偶數(shù)排成：第11題圖第11題圖……14214414614815015215430323436384042161820222426282468101214用一平行四邊形框出四個(gè)數(shù)(如圖中示例)．(1)小穎說四個(gè)數(shù)的和是436，你能求出這四個(gè)數(shù)嗎？(2)小明說四個(gè)數(shù)的和是326，你能求出這四個(gè)數(shù)嗎？專題08還原與對消----方程的解與解方程例1提示：兩方程的解分別為x＝a和x＝，由題意知a＝，得a＝.從而可以得到x＝a＝×＝.例2A提示：當(dāng)a＝0時(shí)，各題結(jié)論都不正確.例3提示：原方程化為0x＝6a－12（1）當(dāng)6a－12＝0，即a＝2時(shí)，原方程有無數(shù)個(gè)解.（2）當(dāng)6a－12≠0，即a≠2時(shí)，原方程無解．例4原方程整理可得：(4x＋b)k＝12＋x－a．∵無論k為何值時(shí)，它的根總是1．∴x＝1且k的系數(shù)為0．∴4＋b＝0，13－2a＝0．∴，．例5提示：把x＝1代入方程px＋5q＝97，得p＋5q＝97，故p與5q之中必有一個(gè)數(shù)是偶數(shù)（1）若p＝2，則5q＝95，q＝19，；（2）若5q是偶數(shù)，則q＝2，p＝87，而87不是質(zhì)數(shù)，與題設(shè)矛盾，舍去；因此．例5（1）a－7，a，a＋7；aa＋1a＋2a＋3a＋7a＋8a＋9a＋10a＋14a＋15a＋16a＋17a＋21a＋22a＋23a＋24（2）①44×8＝352；②設(shè)框出的16個(gè)數(shù)中最小的一個(gè)數(shù)為a，則這16個(gè)數(shù)組成的正方形方框如右圖所示，因?yàn)榭蛑忻績蓚€(gè)關(guān)于正方形的中心對稱的數(shù)之和都等于2a＋24，所以這16個(gè)數(shù)之和為8×（2a＋24）＝16a＋192．當(dāng)16a＋192＝2000時(shí)，a＝113；當(dāng)16a＋192＝2004時(shí)，a＝113.25．∵a為自然數(shù)，∴a＝113.25不合題意，則框出的16個(gè)數(shù)之和不可能等于2004，由長方形陣列的排列可知，a只能在1，2，3，4列，則a被7整除的余數(shù)只能是1，2，3，4．因?yàn)?13＝16×7＋1，所以，這16個(gè)數(shù)之和等于2000是可能的．這時(shí)，方框漲最小的數(shù)是113，最大的數(shù)是113＋24＝137．A級(jí)1．0；2．x＝03．84．6；5．10；26；8；－8提示：，能被17整除，則，或6．D7．B提示：原方程化為8．D9．A10．B11．原方程的解為，顯然k－3＝±1，±3，±7，±21，即k＝4，2，6，0，－4，10，24，－18．12．提示：原方程化為（1）當(dāng)a＝－1時(shí)，方程無解；（2）當(dāng)a＝1時(shí)，方程有無窮多解．B級(jí)1．10.52．提示：當(dāng)x＝2時(shí)，代入得．3．16提示：為整數(shù)，2001＝1×3×23×29，故k可取±1，±3，±23，±29，±3×23，±3×29，±23×29，±22001共16個(gè)值．4．2003提示：＝，得．5．提示：，解得x＝8．6．207．A8．C9．（1）取a＝0，則；取a＝1，則，得，又，解得，．（2）令x＝0，則；令x＝1，則，得，即，故．10．設(shè)乙隊(duì)原有x人，則80＝k(x＋16)＋6，解得．∵x必須為正整數(shù)且k≠1，∴，，得出k＝2或37，只有當(dāng)k＝2時(shí)，x＝21人．11．（1）能，這四個(gè)數(shù)分別是100，102，116，118．（2）不能．專題09含絕對值符號(hào)的一次方程閱讀與思考絕對值符號(hào)中含有未知數(shù)的一次方程叫含絕對值符號(hào)的一次方程，簡稱絕對值方程．解這類方程的基本思路是：脫去絕對值符號(hào)，將原方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解，其基本類型與解法是：1．形如的最簡絕對值方程這類絕對值方程可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)普通一元一次方程：或．2．含多重或多個(gè)絕對值符號(hào)的復(fù)雜絕對值方程這類絕對值方程可通過分類討論轉(zhuǎn)化為最簡絕對值方程求解．解絕對值方程時(shí)，常常要用到絕對值的幾何意義、去絕對值符號(hào)法則、常用的絕對值基本性質(zhì)等與絕對值相關(guān)的知識(shí)、技能與方法．例題與求解【例1】方程的解是__________．（四川省競賽試題）解題思路：設(shè)法脫去絕對值符號(hào)，將原方程轉(zhuǎn)化為一般的一無一次方程求解．【例2】方程的整數(shù)解有（）．A．2個(gè) B．3個(gè) C．5個(gè) D．無窮多個(gè)（“希望杯”邀請賽試題）解題思路：借助數(shù)軸，從絕對值的幾何意義入手能獲得簡解．【例3】已知：有理數(shù)、、滿足，．并且，，．求的值．（北京市“迎春杯”競賽試題）解題思路：本題關(guān)鍵在于確定、、的符號(hào)．三者的符號(hào)有聯(lián)系，可圍繞其中一個(gè)數(shù)分類討論．【例4】解下列方程：（1）；（天津市競賽試題）（2）；（北京市“迎春杯”競賽試題）（3）．（“祖沖之杯”邀請賽試題）解題思路：解多重絕對值方程的基本方法是：根據(jù)絕對值定義，從內(nèi)向外化簡原方程；零點(diǎn)分段討論法是解多個(gè)絕對值方程的有效手段．【例5】已知，求的最大值與最小值．（江蘇省競賽試題）解題思路：已知等式可化為：，再根據(jù)絕對值的幾何意義來探求、的取值范圍，進(jìn)而可得的最大值與最小值．【例6】當(dāng)時(shí)，試判定關(guān)于的方程的解的情況．（上海市競