No.40全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽模擬試題

PAGENo.40高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試卷1、拋物線上到直線的距離最小的點(diǎn)的坐標(biāo)是。2、的整數(shù)部分是。CBAS3、在棱長為的正四面體內(nèi)任取一點(diǎn)，到四面體四個面的距離分別記為，，，，則。CBAS4、在三棱錐中，側(cè)棱，，兩兩垂直，，,在三棱錐的內(nèi)部有一個與三棱錐的四面體都相切的球，則此球的半徑.5、若則=。當(dāng)且滿足的的集合為。6、已知的展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)，，且2≤n≤8，則n=______。7、雙曲線關(guān)于直線x-y=1對稱的曲線與直線x+2y=1相切，則k的值等于。8、求函數(shù)的最小值和取最小值時(shí)的值9、證明圓的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)P的軌跡方程是。10、密碼員王超設(shè)計(jì)了一種給自然數(shù)編碼的方法：（1）先將自然數(shù)表示成五進(jìn)制數(shù)（逢五進(jìn)一）（2）再將五進(jìn)制中的個數(shù)碼與集合中的元素建立一個一一對應(yīng)，后來，他發(fā)現(xiàn)三個遞增的相鄰的十進(jìn)制自然數(shù)被編成求被編成的數(shù)所對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)。11、數(shù)列｛an｝的定義是：，證明，該數(shù)列中的項(xiàng)都是正整數(shù)。（德國）12、已知是正數(shù)，并且，求證。烏魯木齊市高級中學(xué)數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)題3參考答案1、解法1設(shè)拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則它到直線的距離是，當(dāng)時(shí)最小，此時(shí).故所求點(diǎn)的坐標(biāo)是.解法2如圖，將直線平移至與拋物線相切，則此時(shí)的切點(diǎn)即為所求點(diǎn).設(shè)切線方程為，代入，得.由，即，得.解得.故所求點(diǎn)的坐標(biāo)是.xyxO-2-2y=x2解法3設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)為P，則過點(diǎn)P的拋物線的切線應(yīng)與直線平行.而其切線方程為，故，..故所求點(diǎn)的坐標(biāo)為.xyxO-2-2y=x22、解，即.取，得49個式子，并相加，得.顯然在8與9之間，故.拓展將題中改為，得推廣1當(dāng)為大于1的自然數(shù)時(shí)，的整數(shù)部分是.推廣2當(dāng)為大于1的自然數(shù)時(shí)，的整數(shù)部分是.證明，令相加得,即,的整數(shù)部分是.由于.同理,,故又得推廣3當(dāng)、為大于1的自然數(shù)時(shí)，的整數(shù)部分是.3、解法1將與正四面體的四個頂點(diǎn)聯(lián)結(jié)，得到以為頂點(diǎn)，正四面體的各個面為底面的四個小棱錐，它們的高分別為，，，,體積的和等于原正四面體的體積.由于四個小棱錐的底面與原正四面體的底面一樣，所以正四面體的高.解法2設(shè)已知正四面體為，由題意，可知為定值.故不妨令為正四面體的一個頂點(diǎn)，則到面、面、面的距離都是，故就是點(diǎn)到面的距離，即正四面體的高.4、解：∵，，兩兩垂直，，，∴，，，，，設(shè)此三棱錐的內(nèi)切球的半徑為，則，即，解得5、希望杯16－2－2－126、08高考遼寧理科15題。答案57、解設(shè)點(diǎn)P（x0,y0）是雙曲線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于直線x－y=1的對稱點(diǎn)為P’（x,y）,則①，又②，解①、②聯(lián)立方程組得③.∵P點(diǎn)在雙曲線上，∴④.③代入④，得⑤，此即對稱曲線的方程，由x+2y=1，得x=1-2y`,代入⑤并整理，得.由題意，△=4-12（k-1）=0，解得k=，故選B.8、解法1由已知函數(shù)式，得，兩邊平方并整理，得，看作關(guān)于的方程，由，知，即，得①或②，因?yàn)?，即，故舍去①，只取②：，將代入已知函?shù)式，得，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值.解法2因?yàn)?，所以設(shè)，，則，故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值.9、證明如圖，易知四邊形APBO1為正方形，所以|PO1|=，所以點(diǎn)P的軌跡是以O(shè)1為圓心，為半徑的圓，其方程是．10、希望杯16－2－2－2211、12、由遞推公式知，，兩式相減，得：，即，（*），記，(**)，從而，，結(jié)合，知數(shù)列中各項(xiàng)為正。12、證法1若與中有一個等于1,那么另一個也等于1,此時(shí),顯然.若且,可將改寫為,由此推得(若,則,得,這與矛盾),由此得得