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2024屆福建省福州市閩清縣中考一模數(shù)學(xué)試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題(每小題只有一個正確答案,每小題3分,滿分30分)1.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A(2,0),B(0,2),⊙C的圓心為點C(﹣1,0),半徑為1.若D是⊙C上的一個動點,線段DA與y軸交于E點,則△ABE面積的最小值是()A.2B.83C.2+22.某校八(2)班6名女同學(xué)的體重(單位:kg)分別為35,36,38,40,42,42,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是()A.38 B.39 C.40 D.423.計算:得()A.- B.- C.- D.4.如圖,AB為⊙O的直徑,C為⊙O上的一動點(不與A、B重合),CD⊥AB于D,∠OCD的平分線交⊙O于P,則當(dāng)C在⊙O上運(yùn)動時,點P的位置()
A.隨點C的運(yùn)動而變化B.不變C.在使PA=OA的劣弧上D.無法確定5.在函數(shù)y=中,自變量x的取值范圍是()A.x≥0 B.x≤0 C.x=0 D.任意實數(shù)6.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示,若,是這個函數(shù)圖象上的三點,則的大小關(guān)系是()A. B. C. D.7.如圖是由若干個小正方體塊搭成的幾何體的俯視圖,小正方塊中的數(shù)字表示在該位置的小正方體塊的個數(shù),那么這個幾何體的主視圖是()A. B. C. D.8.甲、乙兩人沿相同的路線由A地到B地勻速前進(jìn),A、B兩地間的路程為20km.他們前進(jìn)的路程為s(km),甲出發(fā)后的時間為t(h),甲、乙前進(jìn)的路程與時間的函數(shù)圖象如圖所示.根據(jù)圖象信息,下列說法正確的是()A.甲的速度是4km/h B.乙的速度是10km/hC.乙比甲晚出發(fā)1h D.甲比乙晚到B地3h9.的倒數(shù)是()A. B.-3 C.3 D.10.如圖,矩形OABC有兩邊在坐標(biāo)軸上,點D、E分別為AB、BC的中點,反比例函數(shù)y=(x<0)的圖象經(jīng)過點D、E.若△BDE的面積為1,則k的值是()A.﹣8 B.﹣4 C.4 D.8二、填空題(共7小題,每小題3分,滿分21分)11.某種商品每件進(jìn)價為10元,調(diào)查表明:在某段時間內(nèi)若以每件x元(10≤x≤20且x為整數(shù))出售,可賣出(20﹣x)件,若使利潤最大,則每件商品的售價應(yīng)為_____元.12.已知方程x2﹣5x+2=0的兩個解分別為x1、x2,則x1+x2﹣x1?x2的值為______.13.如圖,等邊三角形AOB的頂點A的坐標(biāo)為(﹣4,0),頂點B在反比例函數(shù)(x<0)的圖象上,則k=.14.已知拋物線開口向上且經(jīng)過點,雙曲線經(jīng)過點,給出下列結(jié)論:;;,c是關(guān)于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根;其中正確結(jié)論是______填寫序號15.若a+b=5,ab=3,則a2+b2=_____.16.如圖,在矩形ABCD中,AB=5,BC=3,將矩形ABCD繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到矩形GBEF,點A落在矩形ABCD的邊CD上,連接CE,則CE的長是________.17.如圖,菱形ABCD的邊長為15,sin∠BAC=35三、解答題(共7小題,滿分69分)18.(10分)已知:如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線AB分別與x軸、y軸交于點B,A,與反比例函數(shù)的圖象分別交于點C,D,CE⊥x軸于點E,tan∠ABO=,OB=4,OE=1.(1)求該反比例函數(shù)的解析式;(1)求三角形CDE的面積.19.(5分)程大位是珠算發(fā)明家,他的名著《直指算法統(tǒng)宗》詳述了傳統(tǒng)的珠算規(guī)則,確立了算盤用書中有如下問題:一百饅頭一百僧,大僧三個更無爭,小僧三人分一個,大小和尚得幾?。馑际牵河?00個和尚分100個饅頭,如果大和尚1人分3個,小和尚3人分1個,正好分完,大、小和尚各有多少人?20.(8分)在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=ax2+bx+2的圖象與x軸交于A(﹣4,0),B(1,0)兩點,與y軸交于點C.(1)求這個二次函數(shù)的解析式;(2)連接AC、BC,判斷△ABC的形狀,并證明;(3)若點P為二次函數(shù)對稱軸上點,求出使△PBC周長最小時,點P的坐標(biāo).21.(10分)如圖,在四邊形ABCD中,E是AB的中點,AD//EC,∠AED=∠B.求證:△AED≌△EBC;當(dāng)AB=6時,求CD的長.22.(10分)如圖,在△ABC中,AB=AC,若將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)180°得到△EFC,連接AF、BE.(1)求證:四邊形ABEF是平行四邊形;(2)當(dāng)∠ABC為多少度時,四邊形ABEF為矩形?請說明理由.23.(12分)M中學(xué)為創(chuàng)建園林學(xué)校,購買了若干桂花樹苗,計劃把迎賓大道的一側(cè)全部栽上桂花樹(兩端必須各栽一棵),并且每兩棵樹的間隔相等,如果每隔5米栽1棵,則樹苗缺11棵;如果每隔6米栽1棵,則樹苗正好用完,求購買了桂花樹苗多少棵?24.(14分)如圖,已知在⊙O中,AB是⊙O的直徑,AC=8,BC=1.求⊙O的面積;若D為⊙O上一點,且△ABD為等腰三角形,求CD的長.
參考答案一、選擇題(每小題只有一個正確答案,每小題3分,滿分30分)1、C【解析】當(dāng)⊙C與AD相切時,△ABE面積最大,連接CD,則∠CDA=90°,∵A(2,0),B(0,2),⊙C的圓心為點C(-1,0),半徑為1,∴CD=1,AC=2+1=3,∴AD=AC2-CD∵∠AOE=∠ADC=90°,∠EAO=∠CAD,∴△AOE∽△ADC,∴OA即222=∴BE=OB+OE=2+2∴S△ABE=1BE?OA=12×(2+22故答案為C.2、B【解析】
根據(jù)中位數(shù)的定義求解,把數(shù)據(jù)按大小排列,第3、4個數(shù)的平均數(shù)為中位數(shù).【詳解】解:由于共有6個數(shù)據(jù),
所以中位數(shù)為第3、4個數(shù)的平均數(shù),即中位數(shù)為=39,
故選:B.【點睛】本題主要考查了中位數(shù).要明確定義:將一組數(shù)據(jù)從小到大(或從大到小)重新排列后,若這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù),則最中間的那個數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù);若這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù),則最中間兩個數(shù)的平均數(shù)是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).3、B【解析】
同級運(yùn)算從左向右依次計算,計算過程中注意正負(fù)符號的變化.【詳解】-故選B.【點睛】本題考查的是有理數(shù)的混合運(yùn)算,熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.4、B【解析】
因為CP是∠OCD的平分線,所以∠DCP=∠OCP,所以∠DCP=∠OPC,則CD∥OP,所以弧AP等于弧BP,所以PA=PB.從而可得出答案.【詳解】解:連接OP,∵CP是∠OCD的平分線,∴∠DCP=∠OCP,
又∵OC=OP,
∴∠OCP=∠OPC,
∴∠DCP=∠OPC,
∴CD∥OP,
又∵CD⊥AB,
∴OP⊥AB,
∴,
∴PA=PB.
∴點P是線段AB垂直平分線和圓的交點,
∴當(dāng)C在⊙O上運(yùn)動時,點P不動.
故選:B.【點睛】本題考查了圓心角、弦、弧之間的關(guān)系,以及平行線的判定和性質(zhì),在同圓或等圓中,等弧對等弦.5、C【解析】
當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是二次根式時,被開方數(shù)為非負(fù)數(shù).據(jù)此可得.【詳解】解:根據(jù)題意知,
解得:x=0,
故選:C.【點睛】本題主要考查函數(shù)自變量的取值范圍,函數(shù)自變量的范圍一般從三個方面考慮:(1)當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是整式時,自變量可取全體實數(shù);(2)當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是分式時,考慮分式的分母不能為0;(3)當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是二次根式時,被開方數(shù)為非負(fù)數(shù).6、A【解析】
先求出二次函數(shù)的對稱軸,結(jié)合二次函數(shù)的增減性即可判斷.【詳解】解:二次函數(shù)的對稱軸為直線,∵拋物線開口向下,∴當(dāng)時,y隨x增大而增大,∵,∴故答案為:A.【點睛】本題考查了根據(jù)自變量的大小,比較函數(shù)值的大小,解題的關(guān)鍵是熟悉二次函數(shù)的增減性.7、B【解析】
根據(jù)俯視圖可確定主視圖的列數(shù)和每列小正方體的個數(shù).【詳解】由俯視圖可得,主視圖一共有兩列,左邊一列由兩個小正方體組成,右邊一列由3個小正方體組成.故答案選B.【點睛】由幾何體的俯視圖可確定該幾何體的主視圖和左視圖.8、C【解析】甲的速度是:20÷4=5km/h;乙的速度是:20÷1=20km/h;由圖象知,甲出發(fā)1小時后乙才出發(fā),乙到2小時后甲才到,故選C.9、A【解析】
先求出,再求倒數(shù).【詳解】因為所以的倒數(shù)是故選A【點睛】考核知識點:絕對值,相反數(shù),倒數(shù).10、B【解析】
根據(jù)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)結(jié)合矩形和三角形面積解答.【詳解】解:作,連接.∵四邊形AHEB,四邊形ECOH都是矩形,BE=EC,∴故選B.【點睛】此題重點考查學(xué)生對反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)的理解,熟練掌握反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.二、填空題(共7小題,每小題3分,滿分21分)11、1【解析】
本題是營銷問題,基本等量關(guān)系:利潤=每件利潤×銷售量,每件利潤=每件售價﹣每件進(jìn)價.再根據(jù)所列二次函數(shù)求最大值.【詳解】解:設(shè)利潤為w元,則w=(20﹣x)(x﹣10)=﹣(x﹣1)2+25,∵10≤x≤20,∴當(dāng)x=1時,二次函數(shù)有最大值25,故答案是:1.【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用,此題為數(shù)學(xué)建模題,借助二次函數(shù)解決實際問題.12、1【解析】解:根據(jù)題意可得x1+x2==5,x1x2==2,∴x1+x2﹣x1x2=5﹣2=1.故答案為:1.點睛:本題主要考查了根據(jù)與系數(shù)的關(guān)系,利用一元二次方程的兩個根x1、x2具有這樣的關(guān)系:x1+x2=,x1x2=是解題的關(guān)鍵.13、-4.【解析】
過點B作BD⊥x軸于點D,因為△AOB是等邊三角形,點A的坐標(biāo)為(-4,0)所∠AOB=60°,根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出BD及OD的長,可得出B點坐標(biāo),進(jìn)而得出反比例函數(shù)的解析式.【詳解】過點B作BD⊥x軸于點D,∵△AOB是等邊三角形,點A的坐標(biāo)為(﹣4,0),∴∠AOB=60°,OB=OA=AB=4,∴OD=OB=2,BD=OB?sin60°=4×=2,∴B(﹣2,2),∴k=﹣2×2=﹣4.【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點、等邊三角形的性質(zhì)、解直角三角函數(shù)等知識,難度適中.14、①③【解析】試題解析:∵拋物線開口向上且經(jīng)過點(1,1),雙曲線經(jīng)過點(a,bc),∴,∴bc>0,故①正確;∴a>1時,則b、c均小于0,此時b+c<0,當(dāng)a=1時,b+c=0,則與題意矛盾,當(dāng)0<a<1時,則b、c均大于0,此時b+c>0,故②錯誤;∴可以轉(zhuǎn)化為:,得x=b或x=c,故③正確;∵b,c是關(guān)于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根,∴a﹣b﹣c=a﹣(b+c)=a+(a﹣1)=2a﹣1,當(dāng)a>1時,2a﹣1>3,當(dāng)0<a<1時,﹣1<2a﹣1<3,故④錯誤;故答案為①③.15、1【解析】試題分析:首先把等式a+b=5的等號兩邊分別平方,即得a2+2ab+b2=25,然后根據(jù)題意即可得解.解:∵a+b=5,∴a2+2ab+b2=25,∵ab=3,∴a2+b2=1.故答案為1.考點:完全平方公式.16、【解析】
解:連接AG,由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知,∠ABG=∠CBE,BA=BG=5,BC=BE,由勾股定理得,CG==4,∴DG=DC﹣CG=1,則AG==,∵,∠ABG=∠CBE,∴△ABG∽△CBE,∴,解得,CE=,故答案為.【點睛】本題考查的是旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì),掌握勾股定理、矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.17、24【解析】試題分析:因為四邊形ABCD是菱形,根據(jù)菱形的性質(zhì)可知,BD與AC互相垂直且平分,因為sin∠BAC=35,AB=10,所以1考點:三角函數(shù)、菱形的性質(zhì)及勾股定理;三、解答題(共7小題,滿分69分)18、(1);(1)11.【解析】
(1)根據(jù)正切的定義求出OA,證明△BAO∽△BEC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算;(1)求出直線AB的解析式,解方程組求出點D的坐標(biāo),根據(jù)三角形CDE的面積=三角形CBE的面積+三角形BED的面積計算即可.【詳解】解:(1)∵tan∠ABO=,OB=4,∴OA=1,∵OE=1,∴BE=6,∵AO∥CE,∴△BAO∽△BEC,∴=,即=,解得,CE=3,即點C的坐標(biāo)為(﹣1,3),∴反比例函數(shù)的解析式為:;(1)設(shè)直線AB的解析式為:y=kx+b,則,解得,,則直線AB的解析式為:,,解得,,,∴當(dāng)D的坐標(biāo)為(6,1),∴三角形CDE的面積=三角形CBE的面積+三角形BED的面積=×6×3+×6×1=11.【點睛】此題考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題,掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的一般步驟、求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點的方法是解題的關(guān)鍵.19、大和尚有25人,小和尚有75人.【解析】
設(shè)大和尚有x人,小和尚有y人,根據(jù)100個和尚吃100個饅頭且1個大和尚分3個、3個小和尚分1個,即可得出關(guān)于x,y的二元一次方程組,解之即可得出結(jié)論.【詳解】解:設(shè)大和尚有x人,小和尚有y人,依題意,得:,解得:.答:大和尚有25人,小和尚有75人.【點睛】考查了二元一次方程組的應(yīng)用,找準(zhǔn)等量關(guān)系,正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵.20、(1)拋物線解析式為y=﹣x2﹣x+2;(2)△ABC為直角三角形,理由見解析;(3)當(dāng)P點坐標(biāo)為(﹣,)時,△PBC周長最小【解析】
(1)設(shè)交點式y(tǒng)=a(x+4)(x-1),展開得到-4a=2,然后求出a即可得到拋物線解析式;
(2)先利用兩點間的距離公式計算出AC2=42+22,BC2=12+22,AB2=25,然后利用勾股定理的逆定理可判斷△ABC為直角三角形;
(3)拋物線的對稱軸為直線x=-,連接AC交直線x=-于P點,如圖,利用兩點之間線段最短得到PB+PC的值最小,則△PBC周長最小,接著利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=x+2,然后進(jìn)行自變量為-所對應(yīng)的函數(shù)值即可得到P點坐標(biāo).【詳解】(1)拋物線的解析式為y=a(x+4)(x﹣1),即y=ax2+3ax﹣4a,∴﹣4a=2,解得a=﹣,∴拋物線解析式為y=﹣x2﹣x+2;(2)△ABC為直角三角形.理由如下:當(dāng)x=0時,y=﹣x2﹣x+2=2,則C(0,2),∵A(﹣4,0),B(1,0),∴AC2=42+22,BC2=12+22,AB2=52=25,∴AC2+BC2=AB2,∴△ABC為直角三角形,∠ACB=90°;(3)拋物線的對稱軸為直線x=﹣,連接AC交直線x=﹣于P點,如圖,∵PA=PB,∴PB+PC=PA+PC=AC,∴此時PB+PC的值最小,△PBC周長最小,設(shè)直線AC的解析式為y=kx+m,把A(﹣4,0),C(0,2)代入得,解得,∴直線AC的解析式為y=x+2,當(dāng)x=﹣時,y=x+2=,則P(﹣,)∴當(dāng)P點坐標(biāo)為(﹣,)時,△PBC周長最?。军c睛】本題考查了拋物線與x軸的交點:把求二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0)與x軸的交點坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化解.關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標(biāo).也考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和最短路徑問題.21、(1)證明見解析;(2)CD=3【解析】分析:(1)根據(jù)二直線平行同位角相等得出∠A=∠BEC,根據(jù)中點的定義得出AE=BE,然后由ASA判斷出△AED≌△EBC;(2)根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等得出AD=EC,然后根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形AECD是平行四邊形,根據(jù)平行四邊形的對邊相等得出答案.詳解:(1)證明:∵AD∥EC∴∠A=∠BEC∵E是AB中點,∴AE=BE∵∠AED=∠B∴△AED≌△EBC(2)解:∵△AED≌△EBC∴AD=EC∵AD∥EC∴四邊形AECD是平行四邊形∴CD=AE∵AB=6∴CD=AB=3點睛:本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題,屬于中考??碱}型.22、(1)證明見解析(2)當(dāng)∠ABC=60°時,四邊形ABEF為矩形【解析】
(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)得出CA=CE,CB=CF,根據(jù)平行四邊形的判定得出即可;(2)根據(jù)等邊三角形的判定得出△ABC是等邊三角形,求出AE=BF,根據(jù)矩形的判定得出即可.【詳解】(1)∵將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)180°得到△EFC,∴△ABC≌△EFC,∴CA=CE,CB=
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