工程流體力學：第二章 流體運動學

§2-1跡線、流線和色線§2-2研究流體運動的兩種方法§2-3幾個基本概念§2-4流體連續(xù)性方程第二章流體運動學第二章流體運動學(FluidKinematics)重點：歐拉方法及其流體質點的加速度，定常運動，流線，流管，流量，平均速度，一元不可壓縮運動的連續(xù)性方程(積分形式)，空間不可壓縮運動的連續(xù)性方程(微分形式)難點：流線，歐拉方法下流體質點的加速度本章運用分析和幾何描述方法來研究流體運動的主要性質，即流體運動學，不牽涉力的計算。第二章流體運動學

§2-1跡線、流線和色線一、定常流動與非定常流動

定常流動(SteadyFlow)：空間點上所有流動參數(shù)(速度、壓力、密度、溫度等)不隨時間發(fā)生變化的流動。

特點：

否則，為非定常流動。UnsteadyFlow

大容器小孔出流短時間內可近似認為定常流動，管道內流動達到穩(wěn)定時為定常流動，等等。一瓶水第二章流體運動學§2-1跡線、流線和色線

非定常流動可轉化為定常流動，與選擇坐標系有關。如船舶在靜止的水中等速直線運動周圍水的流動。如果站在岸上觀察，某點水由靜止運動靜止，非定常運動。如果人站在船上觀察，離船等距離的點的流動狀態(tài)是保持不變的，為定常流動。由于定常流動比非定常流動簡單，往往通過轉換坐標系使非定常流動轉化為定常流動，如上例。第二章流體運動學§2-1跡線、流線和色線

二、跡線ParticlePath

跡線：流體質點在空間中運動的軌跡。與Lagrange方法相連。不同的流體質點有不同的跡線，不同時刻經(jīng)過同一空間點的質點具有不同的軌跡。對于定常流動，通過同一空間點的流體質點具有相同的跡線。12t1t2空間點第二章流體運動學§2-1跡線、流線和色線

拉格朗日法：歐拉法：(t為自變量，x,y,z為t的函數(shù))跡線方程：第二章流體運動學§2-1跡線、流線和色線

三、流線StreamLine

流線：在某一瞬時，在流場中作這樣一條曲線，曲線上每一點的切線方向與該瞬時處于該空間點的流體質點的速度方向一致。人為所做的曲線。適應歐拉方法的特點。在流場撒一些小顆粒（如石松粉、鋁粉、鋸木粉等），流體質點帶動小顆粒運動，快拍照，每一顆粒留下一短條線，觀察照片，前后相接的小線段構成流線。第二章流體運動學§2-1跡線、流線和色線

對于定常流動，不同時刻得到的照片上一簇流線是不變的，即定常流動流線形狀、位置不變，且與跡線重合。一般來講，流線不能在流場中相交，除某些速度為0或無窮大點。歐拉法下流線方程：設為流線上的單位線元，為流線上流體質點的速度。第二章流體運動學§2-1跡線、流線和色線

由流線定義，可得：

整理為：這就是流線的微分方程式。（x,y,z為t的函數(shù)，t為參數(shù)）第二章流體運動學§2-1跡線、流線和色線

三、色線StreakLine

色線：不同時刻通過同一空間點的所有流體質點的連線。又稱條紋線、染色線、煙線或脈線。思考：

現(xiàn)從t=0時刻起，不停地從空間點P向外噴煙。開始吹x方向的風，當煙在t=t1時刻到達Q點時，改吹y方向的風，煙在t=t2時刻到達RT線。問：1.到t=t2時刻，t=0時刻的流體質點的跡線？2.t=t1時刻流場中的流線、色線是否存在？是哪條線3.t=t2時刻流場中的流線、色線是否存在？是哪條線第二章流體運動學§2-1跡線、流線和色線

1.PQT2.流線、色線：PQ3.流線：PR、色線：PRT第二章流體運動學§2-1跡線、流線和色線§2-2研究流體運動的兩種方法一、拉格朗日(Lagrange)法(質點法)

拉格朗日法跟蹤流體質點，研究流體質點本身的運動情況，即從研究流體質點的位置坐標（x,y,z）隨時間的變化規(guī)律出發(fā)，得到流體質點的運動規(guī)律，流場中每個質點的運動清楚了，也就知道了整個流場的運動規(guī)律。第二章流體運動學§2-2研究流體運動的兩種方法

假設流體質點的位置坐標隨時間的變化規(guī)律已知，即：式中(a,b,c)為流體質點的初始位置。由此，還可得流體質點的速度(vx,vy,vz)和加速度(ax,ay,az)：(a,b,c)一定，某一質點的物理量隨時間的變化；t一定，流場所有質點在某一瞬時的值此方法直觀，但太難，除特別情形，很少被實際采用。第二章流體運動學§2-2研究流體運動的兩種方法二、歐拉(Euler)方法歐拉方法不是研究個別的流體質點的運動，而是研究流場中各個固定的空間點。在固定點(x、y、z)處觀察，從給出通過該空間點的流體質點的流動參數(shù)(速度、壓力、密度、溫度等)分布隨時間變化的關系式出發(fā)，分析流體運動規(guī)律的方法。如流場速度分布：

壓力分布：

密度分布：第二章流體運動學§2-2研究流體運動的兩種方法

同理：

下面已知流場速度，看看流體質點的加速度是如何表示的。流體質點加速度是質點速度隨時間的變化率，在歐拉法下，流體質點的位置坐標(x,y,z)也是時間的函數(shù)，那么加速度的表達式：第二章流體運動學§2-2研究流體運動的兩種方法寫成矢量形式：

引入微分算子符號：第二章流體運動學§2-2研究流體運動的兩種方法

歐拉加速度由兩部分組成：

局部加速度（當?shù)丶铀俣龋谝豁棧怯晒潭c處速度隨時間發(fā)生變化而引起的。反映流場的不定常性。localacceleration

遷移加速度——后三項，是由速度場空間分布不均勻引起的(質點空間位置發(fā)生變化，導致速度發(fā)生變化而引起的)。反映流場的不均勻性。convectiveacceleration思考：

1.定常運動局部加速度等于多少？

2.均勻流動遷移加速度等于多少？第二章流體運動學§2-2研究流體運動的兩種方法

用歐拉法求流體質點的其它物理量隨時間的變化率一般式：隨體導數(shù)Substantialdifferential

當?shù)貙?shù)

Local遷移導數(shù)Convective

對于ρ、p等有類似的形式：第二章流體運動學§2-2研究流體運動的兩種方法

具體應用歐拉法研究流體運動時，又有兩種處理方法：一種是在流場空間取一微元體(如六面體)，分析流體通過該微元體時流體微團的運動規(guī)律，建立流體運動時各種微分方程式。因此這種方法叫做微分法。

另一種方法是在流場中取一有限的任意形狀的固定控制體(其邊界封閉曲面稱為控制面)，分析流體通過該控制體時的運動規(guī)律，建立流體運動時各種整體關系式(即積分方程式)。這種方法叫控制體法，或稱積分法。

第二章流體運動學§2-2研究流體運動的兩種方法

一、一維流動、二維流動與三維流動

(Onedimensionalflow)

如果在直角坐標系oxyz下，流動參數(shù)如速度、壓力、密度等只要有一個是x,y,z三個坐標的函數(shù)，稱為三維流動；如果所有物理量只是同一個坐標的函數(shù)，稱為一維流動。類似得出二維流動。且維數(shù)越小，問題越簡單。工程上，在保證一定精度條件下，將三維化為二維，將二維化為一維來近似求解?！?-3幾個基本概念第二章流體運動學§2-3幾個基本概念

如擴散管（帶錐度）內粘性流動，流體質點速度分布在同一橫截面上沿徑向r發(fā)生變化，且沿x軸方向發(fā)生變化，即，速度是r、x的函數(shù)，為二維問題。xrou

當錐度比較小時,工程上，常取橫截面的平均速度代替截面上各點實際速度，則速度在橫截面上為一常值，僅沿x軸發(fā)生變化，轉化為一維問題，。第二章流體運動學§2-3幾個基本概念

二、流管、流束、流量

流管：某一時刻，在流場空間劃一任意封閉曲線，不是流線，過此曲線上每一點作出該時刻的流線，這些流線組成一個管狀的表面，即稱流管。StreamTube特點：1．流體不能穿過流管流出流入：因為流管由流線組成，流線上流體質點速度與流線相切，不可能有法線方向的分速度。2．流管內流體流動與真實管子一樣。換句話說，真實的管道流動可用流管來代替。3．定常流動，流管的形狀及位置不發(fā)生變化。第二章流體運動學§2-3幾個基本概念

微元流管：截面積無限小的流管，其極限為流線。

流束：流管內部流體。

緩變流流束：流線平行或接近平行。

微元流束：有效截面無限小的流束。

有效截面：截面上處處流速垂直于截面，或近似垂直截面，稱有效截面。可能是曲面。有效截面有效截面第二章流體運動學§2-3幾個基本概念

流量：單位時間內流過某一斷面的流體量。flux

體積流量Q：單位時間內流過某一斷面的流體體積。單位：volumeflux

重量（質量）流量：單位時間內流過某一斷面的流體重量（質量）。

通過流管有效截面上的流體體積流量Q：流過dA的體積流量：流過截面的體積流量：第二章流體運動學§2-3幾個基本概念

通過流管任意截面上的流體體積流量Q：

平均速度：有效截面的體積流量與有效截面面積之比。

總流：管道或渠道內流動，將其中的流體作為總的流束，為總流。

αα為速度與面法線之間的夾角。

為速度在面法線上的分速度。第二章流體運動學§2-3幾個基本概念

§2-4流體連續(xù)性方程(EquationofContinuity)

介紹積分形式和微分形式的連續(xù)性方程,重點掌握一維不可壓縮流動積分形式的和三維不可壓縮微分形式的連續(xù)性方程。

連續(xù)性方程式是質量守恒定律在流體力學中的表現(xiàn)形式。質量守恒定律：質量既不能產(chǎn)生也不能消失。第二章流體運動學§2-4流體連續(xù)性方程

一、一維流動的連續(xù)性方程在流場中取一流管表面及其兩有效截面所圍的體積(控制體)作為研究對象，分析控制體體內流體質量的變化規(guī)律。如圖所示。

定常流動，所有物理量不隨時間發(fā)生變化，則體積內流體的質量也不變化，說明從1截面流入的質量等于從2截面流出的，即：第二章流體運動學§2-4流體連續(xù)性方程

流過有效截面的質量流量相等。有多個出入口:

(onedimensionalflow)第二章流體運動學§2-4流體連續(xù)性方程

不可壓縮流動，，控制體的體積不發(fā)生變化，則控制體內流體的質量同樣不變化，說明從1截面流入的質量仍等于從2截面流出的，即：第二章流體運動學§2-4流體連續(xù)性方程流過有效截面的體積流量等。

不可壓一維管流，管徑越大，流速越小，管徑越細，流速越大。達芬奇

有多個出入口:

第二章流體運動學§2-4流體連續(xù)性方程

二、三維流動的微分形式連續(xù)性方程

在流場中取一微六面體(控制體)作為研究對象，邊長分別為

、、

，密度為ρ，分析控制體體內流體質量的變化規(guī)律。如圖所示。流入的質量-流出的質量=控制體質量的增加第二章流體運動學§2-4流體連續(xù)性方程

下面分析控制體的質量變化。

設六面體頂點A(xA,yA,zA)的速度為：流入面:流出面:第二章流體運動學§2-4流體連續(xù)性方程

在dt時間內流入控制體的質量：

在dt時間內流出控制體的質量：流入的質量-流出的質量=控制體質量的增加流入–流出體積第二章流體運動學§2-4流體連續(xù)性方程

控制體內質量的增加

：流入–流出那么，代入質量守恒，有：體積不變，密度增加第二章流體運動學§2-4流體連續(xù)性方程

將上式化簡為：這就是空間三維流動微分形式的連續(xù)性方程。

矢量形式為：第二章流體運動學§2-4流體連續(xù)性方程

定常流動：不可壓縮流體：矢量形式為：矢量形式為：第二章流體運動學§2-4流體連續(xù)性方程例1.已知流場的速度分布為：試求：⑴，位于流體質點的跡線；⑵，位于流體質點的跡線；⑶，過點的流線；⑷，過點的質點加速度。舉例：第二章流體運動學§2-4流體連續(xù)性方程

解：⑴跡線微分方程：此非齊次常系數(shù)線性微分方程組的通解為：將已知條件代入上式得：第二章流體運動學§2-4流體連續(xù)性方程

所以待求跡線方程為：消去t得：過點(-1,-1)的直線第二章流體運動學§2-4流體連續(xù)性方程

⑵將代入所以待求跡線方程為：得：

⑶流線微分方程為：積分，得：整理為：將已知條件代入上式得：則待求流線方程