有理數(shù)的運(yùn)算

愛(ài)都〔educapital〕教育個(gè)性化輔導(dǎo)教案教師王競(jìng)初學(xué)生呂艷授課時(shí)間2012-7-13授課層次初一上授課課題有理數(shù)的運(yùn)算課型復(fù)習(xí)一對(duì)一參考書籍七年級(jí)數(shù)學(xué)教材、初中數(shù)學(xué)考試大綱教案內(nèi)容：有理數(shù)的加減法加法法那么⑴同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加；⑵絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值；⑶互為相反數(shù)的兩數(shù)相加，和為零；⑷一個(gè)數(shù)與零相加，仍得這個(gè)數(shù)。⑴加法交換律：a+b=b+a⑵加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)在運(yùn)用運(yùn)算律時(shí)，一定要根據(jù)需要靈活運(yùn)用，以到達(dá)化簡(jiǎn)的目的，通常有以下規(guī)律：①互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)先相加——“相反數(shù)結(jié)合法”；②符號(hào)相同的兩個(gè)數(shù)先相加——“同號(hào)結(jié)合法”；③分母相同的數(shù)先相加——“同分母結(jié)合法”；④幾個(gè)數(shù)相加得到整數(shù)，先相加——“湊整法”；⑤整數(shù)與整數(shù)、小數(shù)與小數(shù)相加——“同形結(jié)合法”。一個(gè)數(shù)加正數(shù)后的和比原數(shù)大；加負(fù)數(shù)后的和比原數(shù)小；加0后的和等于原數(shù)。即：⑴當(dāng)b>0時(shí)，a+b>a⑵當(dāng)b<0時(shí)，a+b<a⑶當(dāng)b=0時(shí)，a+b=a減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。用字母表示為：a-b=a+(-b)。在有理數(shù)加減法混合運(yùn)算中，根據(jù)有理數(shù)減法法那么，可以將減法轉(zhuǎn)化成加法后，再按照加法法那么進(jìn)行計(jì)算。在和式里，通常把各個(gè)加數(shù)的括號(hào)和它前面的加號(hào)省略不寫，寫成省略加號(hào)的和的形式。如：(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.和式的讀法：①按這個(gè)式子表示的意義讀作“負(fù)8、負(fù)7、負(fù)6、正5的和”②按運(yùn)算意義讀作“負(fù)8減7減6加5”6.有理數(shù)加減混合運(yùn)算中運(yùn)用結(jié)合律時(shí)的一些技巧：Ⅰ.把符號(hào)相同的加數(shù)相結(jié)合〔同號(hào)結(jié)合法〕(-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)原式=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23)〔將減法轉(zhuǎn)換成加法〕=-33+18-15-1+23〔省略加號(hào)和括號(hào)〕=(-33-15-1)+(18+23)〔把符號(hào)相同的加數(shù)相結(jié)合〕=-49+41〔運(yùn)用加法法那么一進(jìn)行運(yùn)算〕=-8〔運(yùn)用加法法那么二進(jìn)行運(yùn)算〕Ⅱ.把和為整數(shù)的加數(shù)相結(jié)合〔湊整法〕(+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8)原式=(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8)〔將減法轉(zhuǎn)換成加法〕=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8〔省略加號(hào)和括號(hào)〕=(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8〔把和為整數(shù)的加數(shù)相結(jié)合〕=4-10+3.8〔運(yùn)用加法法那么進(jìn)行運(yùn)算〕=7.8-10〔把符號(hào)相同的加數(shù)相結(jié)合，并進(jìn)行運(yùn)算〕=-2.2〔得出結(jié)論〕Ⅲ.把分母相同或便于通分的加數(shù)相結(jié)合〔同分母結(jié)合法〕--+-+-原式=(--)+(-+)+(+-)=-1+0-=-1Ⅳ.既有小數(shù)又有分?jǐn)?shù)的運(yùn)算要統(tǒng)一后再結(jié)合〔先統(tǒng)一后結(jié)合〕(+0.125)-(-3)+(-3)-(-10)-(+1.25)原式=(+)+(+3)+(-3)+(+10)+(-1)=+3-3+10-1=(3-1)+(-3)+10=2-3+10=-3+13=10Ⅴ.把帶分?jǐn)?shù)拆分后再結(jié)合〔先拆分后結(jié)合〕-3+10-12+4原式=(-3+10-12+4)+(-+)+(-)=-1++=-1++-Ⅵ.分組結(jié)合2-3-4+5+6-7-8+9…+66-67-68+69原式=(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+…+(66-67-68+69)=0Ⅶ.先拆項(xiàng)后結(jié)合〔1+3+5+7…+99〕-〔2+4+6+8…+100〕練習(xí)：7．計(jì)算有理數(shù)的乘除法法那么一：兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘；〔“同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)”專指“兩數(shù)相乘”的情況，如果因數(shù)超過(guò)兩個(gè)，就必須運(yùn)用法那么三〕法那么二：任何數(shù)同0相乘，都得0；法那么三：幾個(gè)不是0的數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，積是正數(shù)；負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，積是負(fù)數(shù)；法那么四：幾個(gè)數(shù)相乘，如果其中有因數(shù)為0,那么積等于0.乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，其中一個(gè)數(shù)叫做另一個(gè)數(shù)的倒數(shù)，用式子表示為a·=1〔a≠0〕，就是說(shuō)a和互為倒數(shù)，即a是的倒數(shù)，是a的倒數(shù)。注意：①0沒(méi)有倒數(shù)；②求假分?jǐn)?shù)或真分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，只要把這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母點(diǎn)顛倒位置即可；求帶分?jǐn)?shù)的倒數(shù)時(shí)，先把帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，再把分子、分母顛倒位置；③正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)?！睬笠粋€(gè)數(shù)的倒數(shù)，不改變這個(gè)數(shù)的性質(zhì)〕；④倒數(shù)等于它本身的數(shù)是1或-1,不包括0。⑴乘法交換律：一般地，有理數(shù)乘法中，兩個(gè)數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等。即ab=ba⑵乘法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，積相等。即(ab)c=a(bc).⑶乘法分配律：一般地，一個(gè)數(shù)同兩個(gè)數(shù)的和相乘，等于把這個(gè)數(shù)分別同這兩個(gè)數(shù)相乘，在把積相加。即a(b+c)=ab+ac〔1〕除以一個(gè)不等0的數(shù)，等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)?！?〕兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除。0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)，都得0〔1〕乘除混合運(yùn)算往往先將除法化成乘法，然后確定積的符號(hào)，最后求出結(jié)果。〔2〕有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算，如無(wú)括號(hào)指出先做什么運(yùn)算，那么按照‘先乘除，后加減’的順序進(jìn)行。4.有理數(shù)的乘方求n個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪。在中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)?！?〕負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪的正數(shù)。〔2〕正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，0的任何正整數(shù)次冪都是0。2.有理數(shù)的混合運(yùn)算做有理數(shù)的混合運(yùn)算時(shí)，應(yīng)注意以下運(yùn)算順序：1.先乘方，再乘除，最后加減；2.同級(jí)運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；3.如有括號(hào)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)，中括號(hào)，大括號(hào)依次進(jìn)行?？键c(diǎn)1：考查對(duì)運(yùn)算律的掌握例1〔2007年株洲市〕計(jì)算：．分析：此題可以根據(jù)有理數(shù)混合運(yùn)算的順序，先進(jìn)行括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，再算乘法．但仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)，可以運(yùn)用乘法分配律，使計(jì)算簡(jiǎn)捷．解：原式=－×(－24)+×(－24)－×(－24)=12－16+6=2．點(diǎn)評(píng)：進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算時(shí)，要根據(jù)式子的特點(diǎn)，靈活運(yùn)用運(yùn)算律以到達(dá)簡(jiǎn)便計(jì)算的目的．利用乘法分配律時(shí)，一要注意不要忘記對(duì)括號(hào)中的每一項(xiàng)都乘以－24，不能漏乘，二要注意不能把“－”號(hào)丟掉．考點(diǎn)2：考查對(duì)程序計(jì)算的理解例2〔2007年寧德市〕按下面程序計(jì)算，輸入，那么輸出的答案是．輸入輸入平方答案分析：這是一道與有理數(shù)混合運(yùn)算有關(guān)的程序計(jì)算問(wèn)題，解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是能根據(jù)給出的程序計(jì)算圖列出計(jì)算的式子，然后再根據(jù)有理數(shù)混合運(yùn)算法那么進(jìn)行計(jì)算．注意要利用整體思想去看待問(wèn)題，在列計(jì)算式時(shí)，適當(dāng)?shù)靥砑永ㄌ?hào)．解：由程序計(jì)算圖可得：[(－3)2＋(－3)]÷2，計(jì)算為[9－3]÷2=6÷2=3．點(diǎn)評(píng)：程序計(jì)算與設(shè)計(jì)是學(xué)習(xí)計(jì)算機(jī)語(yǔ)言的根底，因此有關(guān)這類的試題已成為中考的熱點(diǎn)題型，這類題既考查了同學(xué)們的運(yùn)算能力，又考查了閱讀理解能力．考點(diǎn)3：考查解決新運(yùn)算的能力例3〔2007年天水市〕對(duì)于任意有理數(shù)a，b，規(guī)定一種新的運(yùn)算a*b＝a2＋b2－a－b＋1．那么(－3)*5＝________．分析：新運(yùn)算類試題又是近幾年中考的一大特色題，解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是要能通過(guò)閱讀題目中給出的新運(yùn)算，將它轉(zhuǎn)化為我們熟悉的有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方運(yùn)算即可解決問(wèn)題．解：由a*b＝a2＋b2－a－b＋1，知(－3)*5=(－3)2＋52－(－3)－5＋1=33．點(diǎn)評(píng)：通過(guò)運(yùn)算我們感知，兩個(gè)有理數(shù)進(jìn)行“*”運(yùn)算，是把這種新的運(yùn)算通過(guò)規(guī)定的法那么，變?yōu)槲覀兪煜さ募?、減、乘方運(yùn)算，然后根據(jù)傳統(tǒng)的有關(guān)運(yùn)算法那么和運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算．要注意這里的兩數(shù)運(yùn)算通過(guò)變數(shù)規(guī)那么后，變成五個(gè)數(shù)的運(yùn)算，神奇吧！考點(diǎn)4：考查探究規(guī)律的能力例4〔2007年赤峰市〕觀察以下各式：152=1×(1+1)×100+52=225；252=2×(2+1)×100+52=625；352=3×(3+1)×100+52=1225；……依此規(guī)律，第個(gè)等式〔為正整數(shù)〕為．分析：觀察給出的式子發(fā)現(xiàn)，求一個(gè)末位數(shù)字是5的正整數(shù)的平方，可先將這個(gè)正整數(shù)拆成兩局部，即末位數(shù)字5與它前面的數(shù)字，然后