定積分思想在物理學(xué)中的應(yīng)用

定積分思想在物理學(xué)中的應(yīng)用面積元素數(shù)學(xué)是一門高等學(xué)科，更是解決其他學(xué)科問題的有效工具，定積分作為高等數(shù)學(xué)重要的組成部分，在物理學(xué)中不僅是數(shù)學(xué)工具的應(yīng)用，還是一種思維方法的應(yīng)用。微分和積分是定積分的精髓，正是其告訴我們之所以可以解決很多非線性問題，本質(zhì)的原因在于化曲為直了。面積元素定積分A=i=1nf(δi重要思想：分割近似，極限求和方法：微元法如果依據(jù)以前的常規(guī)函數(shù)，只能解決一些線性問題，但在實際問題中，物體的狀態(tài)常常是變化的，，這時利用定積分的無限分割思想就能解決困難的物理問題。定積分在物理應(yīng)用關(guān)鍵在于：首先對各種常用坐標系有整體概念，其次理解各種常用坐標系下的“數(shù)學(xué)微元”意義，如：微功，微壓力，微引力等，進而求出變力做功、水壓力、引力和轉(zhuǎn)動慣量等物理問題。定積分為物理學(xué)提供的思想工具：解決速度和加速度的問題勻速直線運動，位移和速度之間的關(guān)系x=vt，但變速直線運動，物體的唯一如何求解呢？例：汽車以10m/s的速度行駛，設(shè)汽車以2m/a2<解析>現(xiàn)在我們知道，根據(jù)勻減速直線運動速度位移公式，就可以求得汽車走了0.025公里。但是，所謂的勻減速直線運動速度位移公式怎么來的，其實就是應(yīng)用了定積分思想：把物體運動的時間無限細分。在每一份時間微元內(nèi)，速度的變化量很小，可以忽略這種微小變化，認為物體在做勻速直線運動，接下來把所有時間內(nèi)的位移相加，即“無限求和”，則總的位移就可以知道?，F(xiàn)在我們明白物體在變速直線運動時的位移等于速度時間圖像與時間軸所圍圖形的“面積”，即：<定積分求解>從開始剎車到停車的時間t=5s，所以汽車由剎車到停車行駛的位移X=0510-解決變力做功問題分析：設(shè)質(zhì)點由點A移動到點B（A的坐標為a，點B的坐標為b），作用于質(zhì)點上的力F是坐標x的連續(xù)函數(shù)F=F(x)則在［a,b］上任取子區(qū)間［x,x+dx］,質(zhì)點從點x移動到x+dx時，力所作的功為dW=F(x)dx將微元dW從a到b求定積分，的F（x）在整個區(qū)間上所做的功為：W=a例1：一彈簧原長是10cm，把它由原長拉長6cm，計算力F克服彈力所作的功。根據(jù)胡可定律克制，力F與彈簧的伸長量x成正比，即F=kx.其中k為彈簧的彈性系數(shù)，顯然力F隨x的變化而變化，它是一個變力.去彈簧伸長量x為積分變量，x［0,6］，在［0,6］上任取子區(qū)間［x，x+dx］，功元素為dW=kxdx，所以功W=06kxdx=kx2(注意)如果選取伸長量為x-10，x的變化區(qū)間為［10,16］，力F為F＝k（x-10）.dF=γ﹒xsinα﹒?F=x0x0+bγasinα﹒xdx=γasinα［(x0=γab(2h+bsinα)得出液體側(cè)壓力函數(shù)為P=ab引力問題有萬有引力定律，兩質(zhì)點之間的萬有引力為F=G，若要計算一細長桿對一質(zhì)點的引力，此時由于細桿上各點與質(zhì)點的距離是變化的，不能直接用萬有引力定律公式計算，必須用到定積分的思想來解決。例：設(shè)有質(zhì)量為M，長度為l的均勻細桿，另有一質(zhì)量為m的質(zhì)點位于同一直線上，且到桿的近段距離為a，求桿對質(zhì)點的引力。解：取x為積分變量，變化區(qū)間為［0，l］，任意小段［x，x+dx］近似于質(zhì)點，且質(zhì)量為dx，則引力微元為dF=G=G則引力為F=011==在剛體轉(zhuǎn)動上的應(yīng)用在剛體力學(xué)中轉(zhuǎn)動慣量是一個很重要的物理量，若質(zhì)點質(zhì)量為m，到軸距離為r，則該質(zhì)點繞軸的轉(zhuǎn)動慣量為I=mr現(xiàn)在考慮質(zhì)量連續(xù)分布的物體繞軸的轉(zhuǎn)動慣量問題，一般地，如果物體的形狀對稱，并且質(zhì)量均勻分布時，則可以用定積分來解決。轉(zhuǎn)動慣量微元轉(zhuǎn)動慣量微元dJ=(μdx)x2=μxJ=01μx2dx=μl3=例：一均勻細桿長為l，質(zhì)量為m，試計算細桿繞過它的重點且垂直于桿的轉(zhuǎn)動慣量。解：先求轉(zhuǎn)動慣量微元dI，為此考慮細桿上［x,x+dx］y一段，它的質(zhì)量為dx，把這一小段桿設(shè)想為位于x處的一質(zhì)點，它到轉(zhuǎn)動軸距離為|x|，于是得微元為dI=dx沿細桿從-到積分，得整個細桿轉(zhuǎn)動慣量為I=-l2l2lmdx=|=多重積分計算不規(guī)則物體二重積分求體積V=f（ξ，η）Δσ體積元素體積元素=dσ三重積分求質(zhì)量質(zhì)量元素A．M=ρ(ξ,n,?)ΔV質(zhì)量元素=f(x,y)dσB．求平面非均勻薄片的質(zhì)量；dm=f(x,y)dσ質(zhì)量微元質(zhì)量微元m=f(x,y)dxdy總結(jié)：在用定積分應(yīng)用到物理問題中涉及到積分元，積分變量，積分上下限如何確定等問題，恰當(dāng)?shù)剡x擇積分元或積分變量，能讓物理問題的求解變得十分方便和簡單。定積分思想在物理學(xué)中，要保證在所選取的微元內(nèi)能近似處理成簡單基本的物理模型，以便于分析物理問題；其次，盡量把微分元