專題04 利用銳角三角函數(shù)解決實(shí)際問題之六大題型2024年中考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)名校模擬題重要考點(diǎn)分類匯編（江西專用）(解析版)

第第頁專題04利用銳角三角函數(shù)解決實(shí)際問題之六大題型目錄TOC\o"1-3"\h\u【題型一從實(shí)際問題中抽象出特殊三角形之問題】 1【題型二從實(shí)際問題中抽象出非特殊三角形之問題】 10【題型三從實(shí)際問題中抽象出平行四邊形之問題】 21【題型四從實(shí)際問題中抽象出矩形之問題】 27【題型五從實(shí)際問題中抽象出菱形之問題】 33【題型六從實(shí)際問題中抽象出正方形之問題】 38【典型例題】【題型一從實(shí)際問題中抽象出特殊三角形之問題】例題：（2023·江西·中考真題）如圖1是某紅色文化主題公園內(nèi)的雕塑，將其抽象成加如圖2所示的示意圖，已知點(diǎn)，，，均在同一直線上，，測得．（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）

(1)連接，求證：；(2)求雕塑的高（即點(diǎn)E到直線BC的距離）．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)見解析(2)雕塑的高約為米【分析】（1）根據(jù)等邊對(duì)等角得出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出，進(jìn)而得出，即可得證；（2）過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，在中，得出，則，在中，根據(jù)，即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴∵即∴即∴；（2）如圖所示，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，

在中，∴，∴∴在中，，∴（米）．答：雕塑的高約為米．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（23-24九年級(jí)上·浙江寧波·期末）如圖1是一種可折疊單面字展架，其主體部分的示意圖如圖2，由展板、支架（可繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)）和活動(dòng)桿（均為可轉(zhuǎn)動(dòng)支點(diǎn)）組成．該展架是通過改變的大小使其打開或收攏，在使用該展架時(shí)為了防止傾倒，不得小于．現(xiàn)測得，，．(1)求支架底端張開的最大距離．(2)工作人員轉(zhuǎn)動(dòng)支點(diǎn)，使與垂直后并固定（如圖3），請(qǐng)你判斷此時(shí)是否符合規(guī)范使用的要求？并說明理由．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【答案】(1)(2)不符合規(guī)范使用的要求，理由見解析【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形的解題關(guān)鍵．（1）當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，最大，根據(jù)銳角三角函數(shù)即可解答；（2）連接，先根據(jù)銳角三角函數(shù)求出，即可求出，再判斷即可．【詳解】（1）解：當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，最大，過點(diǎn)作，如圖：由等腰三角形的性質(zhì)可知經(jīng)過點(diǎn)，，，，，，即，解得，；（2）解：不符合要求，連接，如圖：，，，，，，，，，，此時(shí)不符合規(guī)范使用的要求．2．（2023·江西萍鄉(xiāng)·模擬預(yù)測）如圖（1），是一個(gè)可調(diào)節(jié)靠椅，其抽象示意圖如圖（2）所示，已知兩支腳架，在水平地面上，，為上固定的連接點(diǎn)，靠背可繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度，．

(1)求點(diǎn)到水平地面的距離；(2)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)到水平地面的距離；(3)在（2）中的狀態(tài)下，繞點(diǎn)將靠背向后調(diào)整到位置，若點(diǎn)在水平方向上移動(dòng)的距離為，求靠背繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的度數(shù)．（參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果保留位小數(shù)）【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）過點(diǎn)A作，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為，先根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得，從而可得，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的值，從而可得，最后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，即可解答；（2）過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，利用等腰三角形的性質(zhì)可得，再利用平行線的性質(zhì)可得，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，最后進(jìn)行計(jì)算即可解答；（3）過點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)題意可得：，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，從而求出的長，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的值，從而求出，最后利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得，從而利用角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】（1）解：過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為，

，，，，，在中，，，在中，，點(diǎn)到水平地面的距離約為；（2）解：過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，

，，∵，，，，在中，，，點(diǎn)到水平地面的距離，點(diǎn)到水平地面的距離約為；（3）解：過點(diǎn)作，垂足為，

由題意得：，在中，，，，在中，，，，，，靠背繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的度數(shù)約為．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握解直角三角形的方法和步驟，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．3．（2023·江西萍鄉(xiāng)·模擬預(yù)測）如圖（1）是一個(gè)創(chuàng)意臺(tái)燈，圖（2）是其抽象示意圖，已知支架，交于點(diǎn)，支架與水平底座的夾角，，，，燈罩抽象為，，，．(1)若支架，①求的度數(shù)；②求與水平底座之間的距離．（結(jié)果精確到）(2)若在（1）的條件下，將支架繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使與水平底座之間的距離為，求支架的旋轉(zhuǎn)方向及角度．（參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】(1)①；②(2)將支架繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，與水平底座之間的距離為【分析】（1）①過點(diǎn)作，交于點(diǎn)K，求出的角度，即可解答；②過點(diǎn)分別作，的垂線，垂足為，則四邊形為矩形，根據(jù)特殊直角三角形的相關(guān)性質(zhì)，即可解答；（2）旋轉(zhuǎn)后，與水平底座之間的距離增加了，即點(diǎn)在豎直方向上上升了，再根據(jù)解直角三角形，即可解答．【詳解】（1）①如圖（1），過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，交于點(diǎn)．，．，，．

，．，，，．

②解：，，．如圖（1），過點(diǎn)分別作，的垂線，垂足為，則四邊形為矩形，，．，．

，

，，，．

答：與水平底座之間的距離約為．（2）解：由（1）②可知當(dāng)時(shí)，與水平底座之間的距離約為，若使與水平底座之間的距離為，則需將支架繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．設(shè)需要將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，如圖（2）．，旋轉(zhuǎn)后，與水平底座之間的距離增加了，即點(diǎn)在豎直方向上上升了（關(guān)鍵點(diǎn)）．過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作于點(diǎn)．結(jié)合（1）②可知．，，，

將支架繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，與水平底座之間的距離為．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練運(yùn)用三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．【題型二從實(shí)際問題中抽象出非特殊三角形之問題】例題：（2023·江西吉安·模擬預(yù)測）一抽紙紙筒被安裝在豎直墻面上，圖1是其側(cè)面示意圖，其中，，，紙筒蓋可以繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，關(guān)閉時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，，，，．

(1)若，求紙筒蓋關(guān)閉時(shí)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長；(2)如圖2，當(dāng)一卷底面直徑為的圓柱體紙巾恰好能放入紙筒內(nèi)時(shí)，求紙筒蓋要打開的最小角的度數(shù)．（參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】(1)紙筒蓋關(guān)閉時(shí)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(2)紙筒蓋要打開的最小角的度數(shù)約為【分析】（1）根據(jù)補(bǔ)角的定義及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，再利用勾股定理及弧長公式即可解答；（2）根據(jù)銳角三角函數(shù)及角的倍數(shù)關(guān)系即可解答．【詳解】（1）解：如圖1，延長交于點(diǎn)，連接、，∵，∴，∵紙筒蓋可以繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，關(guān)閉時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，，∴，∴點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)為圓心，長為半徑的，∵，∴在中，，∴π；答：紙筒蓋關(guān)閉時(shí)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長；

（2）解：如圖2，連接．∵，，∴，．∴，∵，∴，∴，答：紙筒蓋要打開的最小角的度數(shù)約為．

【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)，補(bǔ)角的定義，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，掌握銳角三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·江西上饒·二模）火災(zāi)是最常見、最多發(fā)的威脅公眾安全和社會(huì)發(fā)展的主要災(zāi)害之一，消防車是消防救援的主要裝備．圖1是某種消防車云梯，圖2是其側(cè)面示意圖，點(diǎn)，，在同一直線上，可繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，為云梯的液壓桿，點(diǎn)，A，在同一水平線上，其中可伸縮，套管的長度不變，在某種工作狀態(tài)下測得液壓桿，，．

(1)求的長．(2)消防人員在云梯末端點(diǎn)高空作業(yè)時(shí)，將伸長到最大長度，云梯繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，消防人員發(fā)現(xiàn)鉛直高度升高了，求云梯旋轉(zhuǎn)了多少度．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【答案】(1)(2)【分析】（1）構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）求出旋轉(zhuǎn)前點(diǎn)D的高度，進(jìn)而求出旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)的高度，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出的大小即可解答．【詳解】（1）解：如圖，過點(diǎn)B作于點(diǎn)E，在中，∴，在中，，，∵，∴．答：．

（2）解：如圖，過點(diǎn)D作于點(diǎn)F，旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，過點(diǎn)作于點(diǎn)G，過點(diǎn)D作于點(diǎn)H，在中，，∴，∴，在中，,∴，∴，∴，即云梯大約旋轉(zhuǎn)了．

【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提，構(gòu)造直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．2．（2023·江西鷹潭·二模）如圖1，是一輛小汽車與墻平行停放的實(shí)物圖片，圖2是它的俯視圖，汽車靠墻一側(cè)與墻平行且距離為0.8米，已知小汽車車門寬為1.2米（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）

(1)當(dāng)車門打開角度為40°時(shí)，車門是否會(huì)碰到墻？請(qǐng)說明理由(2)若車停在原地不動(dòng)，靠墻一側(cè)的車門能打開的最大角度約為多少？【答案】(1)車門不會(huì)碰到墻，理由見解析(2)【分析】（1）如圖：過點(diǎn)A作，垂足為點(diǎn)G．解三角形求出AC的長度，然后比較即可；（2）如圖：過點(diǎn)A作，垂足為D，，求出即可．【詳解】（1）解：車門不會(huì)碰到墻，理由如下：如圖：過點(diǎn)A作，垂足為點(diǎn)C．

在中，，∴，∵，∴車門不會(huì)碰到墻．（2）解：過點(diǎn)A作，垂足為D，

在中，∵，∴．∴，又∵正弦值隨著角度的增大而增大，∴靠墻一側(cè)車門能打開的最大角度為．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確構(gòu)建直角三角形并靈活解直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．3．（2023·江西吉安·三模）學(xué)科綜合我們在物理學(xué)科中學(xué)過，光線從空氣射入水中會(huì)發(fā)生折射現(xiàn)象（如圖1），我們把稱為折射率（其中代表入射角，代表折射角）．觀察實(shí)驗(yàn)小明為了觀察光線的折射現(xiàn)象，設(shè)計(jì)了圖2所示的實(shí)驗(yàn)，即通過細(xì)管可以看見水底的物塊C，但不在細(xì)管所在直線上，圖3是實(shí)驗(yàn)的示意圖，四邊形為矩形，點(diǎn)A，C，B在同一直線上，測得，．

(1)求入射角的度數(shù)．(2)若，求光線從空氣射入水中的折射率n．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)法線為，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)正切的定義求出，從而可得入射角；（2）根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系求出、，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出、即可．【詳解】（1）解：如圖，設(shè)法線為，則，∴，∵，，∴，∵，∴入射角約為；

（2）在中，，，，在中，，，，光線從空氣射入水中的折射率，答：光線從空氣射入水中的折射率．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系以及“折射率”的定義是正確解答的前提．4．（2023·江西撫州·三模）中國自古就是禮儀之邦，平輩行禮，上半身前彎，晚輩行禮，上半身前彎．小賢同學(xué)路遇李老師，面向李老師行了一個(gè)的作揖禮，李老師面向小賢回了一個(gè)的作揖禮（如圖1）．現(xiàn)將其簡化成如圖2所示，已知李老師身高，上半身身高，小賢身高，上半身身高．

(1)求當(dāng)李老師回禮時(shí)，其頭部距地面的高度．(2)行禮之時(shí)，人與人之間應(yīng)該保持以上的距離（指頭與頭之間的水平距離）最為適宜．行禮前，小賢距李老師，請(qǐng)問同時(shí)行禮、回禮時(shí)，李老師與小賢之間的距離是否適宜？（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】(1)當(dāng)李老師回禮時(shí)，其頭部距地面的高度約為(2)行禮時(shí)，李老師與小賢之間的距離適宜【分析】（1）過點(diǎn)C作于點(diǎn)P，構(gòu)造直角三角形求出，再加上下半身即可；（2）分別求出兩人行禮時(shí)的水平長度，用減去兩個(gè)水平長度，與比較大小即可.【詳解】（1）解：如圖，過點(diǎn)C作于點(diǎn)P．

由題意可知，，∴，∵李老師身高，上半身身高，∴下半身身高，∴．答：當(dāng)李老師回禮時(shí)，其頭部距地面的高度約為．（2）解：如圖，過點(diǎn)H作于點(diǎn)Q．

由題意可知，小賢身高，上半身身高，∴，∵，，∴，∴．∵，，∴行禮時(shí)，李老師與小賢之間的距離適宜．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，輔助線構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．5．（2023·江西贛州·一模）圖1是某電動(dòng)沙發(fā)的實(shí)物圖，圖2是該沙發(fā)主要功能介紹，其側(cè)面示意圖如圖3所示．沙發(fā)通過開關(guān)控制，靠背和腳托可分別繞點(diǎn)B，C旋轉(zhuǎn)調(diào)整角度，坐深與地面水平線平行．圖2中的度數(shù)指的是的度數(shù)，如“看電視”模式時(shí)．已知，，，，初始狀態(tài)時(shí)．

(1)直接寫出“閱讀”模式下的度數(shù)為°，該沙發(fā)從初始位置調(diào)至該模式時(shí)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路徑長為cm．(2)調(diào)至“睡覺”模式時(shí)，該沙發(fā)占地長度最大，請(qǐng)計(jì)算此時(shí)A，之間的水平距離（結(jié)果精確到0.1）．（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】(1)，(2)【分析】（1）由閱讀”模式知，，則，根據(jù)，計(jì)算求解即可；（2）由“睡覺”模式知，，則，如圖，過作于，由題意知，，則根據(jù)A，之間的水平距離為，計(jì)算求解即可．【詳解】（1）解：由閱讀”模式知，，∵，∴，∴，故答案為：45，；（2）解：由“睡覺”模式知，，∵，∴，如圖，過作于，

由題意知，，∴A，之間的水平距離為∴點(diǎn)A，D'之間的水平距離為：．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，弧長，解直角三角形的應(yīng)用解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．6．（2023·江西景德鎮(zhèn)·二模）2022年12月7日，國務(wù)院發(fā)布10條防疫政策，宣告我國3年疫情開始全面放開，但個(gè)人衛(wèi)生防護(hù)依然不能放松，為加強(qiáng)學(xué)生自我防護(hù)意識(shí)，學(xué)校購進(jìn)一批酒精消毒瓶如圖11．所示，為噴嘴，為按壓柄，為伸縮連桿，和為導(dǎo)管，其示意圖如圖2，，，．當(dāng)按壓柄按壓到底時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)到，此時(shí)（如圖3）．(1)求點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)到點(diǎn)的路徑長；(2)求點(diǎn)D到直線的距離（結(jié)果精確到）．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【答案】(1)(2)【分析】（1）由，求出，從而可得，根據(jù)弧長公式即可求得結(jié)果；利用銳角三角函數(shù)分別求得、、，即可求出結(jié)果．（2）過D作于G，過E作于H，【詳解】（1）解：∵，，∴，∵，∴，∵，∴點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)到點(diǎn)的路徑長為；（2）解：過D作于G，過E作于H，如圖：中，，中，，∴，∵，∴點(diǎn)D到直線的距離約為．【點(diǎn)睛】本題考查圓的弧長公式及解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握弧長公式和三角函數(shù)解直角三角形是解題的關(guān)鍵．【題型三從實(shí)際問題中抽象出平行四邊形之問題】例題：（2023·江西吉安·一模）如圖1是街道邊的一種標(biāo)識(shí)牌，將其抽象為圖2，測得，，，，，，，．

(1)求∠B的度數(shù)；(2)求標(biāo)識(shí)牌的高度．（參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果保留一位小數(shù)）【答案】(1)165°(2)【分析】（1）連接，首先證明出四邊形是平行四邊形，然后得到四邊形是矩形，進(jìn)而求解即可；（2）過點(diǎn)F作延長線的垂線．垂足分別為G、H，首先根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，然后利用三角函數(shù)得到，進(jìn)而求解即可．【詳解】（1）連接．∵，，∴四邊形是平行四邊形．

∵，∴∵，，∴四邊形是矩形．∴∴．（2）過點(diǎn)F作延長線的垂線．垂足分別為G、H．∵四邊形是矩形∴．．∵，∴，∴標(biāo)識(shí)牌的高度為．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，準(zhǔn)確認(rèn)清線段關(guān)系，作出合適的直角三角形是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·江西九江·三模）如圖1是某品牌的紙張打孔機(jī)的實(shí)物圖，圖2是從中抽象出的該打孔機(jī)處于打孔前狀態(tài)的側(cè)面示意圖，其中打孔機(jī)把柄，是底座，與所成的夾角為36.8°，點(diǎn)是把柄轉(zhuǎn)軸所在的位咒，且點(diǎn)到底座的距離．與一根套管相連，可繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，此時(shí)，，套管內(nèi)含打孔針，打孔針的頂端觸及到，但與不相連，始終與垂直，且，．

(1)打孔針的針尖離底座的距離是多少厘米?(2)壓下把柄，直到點(diǎn)與點(diǎn)重合，如圖3，此時(shí)，．兩點(diǎn)重合，把柄將壓下打孔針并將它鍥入放在底座上的紙張與底座之內(nèi)，從而完成紙張打孔，問：打孔針鍥入底座有多少厘米？（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】(1)打孔針的針尖離底座的距離是0.6厘米(2)打孔針鍥入底座有0.32厘米【分析】（1）如答圖1，連接，先說明四邊形是平行四邊形可得，再解直角三角形可得即可解答；（2）如答圖1，由題意可得四邊形是平行四邊形可得．如圖3中，設(shè)與的交點(diǎn)為，則，．又可得即，進(jìn)而求得，最后根據(jù)線段的和差即可解答．【詳解】（1）解：如答圖1，連接，

由題意可知，，，∴∵，∴四邊形是平行四邊形．∴．又∵與所成的夾角為，∴．在中，．．∴打孔針的針尖離底座的距離是厘米．（2）解：如答圖1，∵，，∴四邊形是平行四邊形．∴如圖3中，設(shè)與的交點(diǎn)為，則，．∵，∴∴，∴，解得．∴．∴打孔針鍥入底座有0．32厘米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用、平行四邊形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，正確做出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．2．（2023·江西南昌·一模）三折傘是我們生活中常用的一種傘，它的骨架是一個(gè)“移動(dòng)副”和多個(gè)“轉(zhuǎn)動(dòng)副”組成的連桿機(jī)構(gòu)，如圖1是三折傘一條骨架的結(jié)構(gòu)圖，當(dāng)“移動(dòng)副”（標(biāo)號(hào)1）沿著傘柄移動(dòng)時(shí)，折傘的每條骨架都可以繞“轉(zhuǎn)動(dòng)副”（標(biāo)號(hào)2－9）轉(zhuǎn)動(dòng)；圖2是三折傘一條骨架的示意圖，其中四邊形和四邊形都是平行四邊形，，，．(1)若關(guān)閉折傘后，點(diǎn)、、三點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合，求的長度；(2)在（1）的條件下，折傘完全撐開時(shí)，，則點(diǎn)到傘柄距離為多少．【答案】(1)(2)【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)可得，，有關(guān)閉折傘后，點(diǎn)A、E、H三點(diǎn)重合，得到，則，；（2）先求出得到，即可得到，求出，過F作于R，過G作于T，在上取一點(diǎn)Q使得，則，解直角三角形得到，設(shè)，則，利用勾股定理得到，解得，即可得到，同理可得，則．【詳解】（1）解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵關(guān)閉折傘后，點(diǎn)A、E、H三點(diǎn)重合，∴，∴，∴，∴；（2）解：由題意得，當(dāng)傘完全撐開時(shí)，三點(diǎn)共線，∵，∴，∴∴∵，∴，∵，∴，∵關(guān)閉折傘后，點(diǎn)A、E、H三點(diǎn)重合，點(diǎn)B與點(diǎn)M重合，∴，過F作于R，過G作于T，在上取一點(diǎn)Q使得，∴，∴，∴，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，∴，解得（負(fù)值舍去），∴，∴，同理可得，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，平行四邊形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等等，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．【題型四從實(shí)際問題中抽象出矩形之問題】例題：（2023·江西九江·模擬預(yù)測）如圖（1）是一種自卸貨車，圖（2）是該貨車的示意圖，貨廂側(cè)面是矩形，，初始狀態(tài)下，點(diǎn)A，B，F(xiàn)在同一水平線上，此時(shí)貨廂底部離地面的距離為．卸貨時(shí)貨廂繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)．

(1)當(dāng)時(shí)，求貨廂最高點(diǎn)C離地面的距離．(2)點(diǎn)A處的轉(zhuǎn)軸與貨車后車輪轉(zhuǎn)軸（點(diǎn)E）的水平距離叫做安全軸距，已知該車的安全軸距為．貨廂對(duì)角線的交點(diǎn)G是貨廂的重心．卸貨時(shí)，如果A，G兩點(diǎn)間的水平距離小于安全軸距，那么車輛會(huì)傾覆．當(dāng)時(shí)，該貨車是否會(huì)傾覆？請(qǐng)說明理由．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)貨廂最高點(diǎn)C離地面的距離約為(2)該貨車不會(huì)傾覆，理由見解析【分析】（1）要求車廂最高點(diǎn)C離地面的距離，所以過點(diǎn)C作，垂足為H，再過點(diǎn)B作，垂足為P，過點(diǎn)B作，垂足為Q，這樣構(gòu)造一個(gè)矩形，兩個(gè)直角三角形和，然后進(jìn)行計(jì)算即可；（2）要求A、G兩點(diǎn)的水平距離，所以過點(diǎn)G作，垂足為O，再過點(diǎn)C作，垂足為M，交于點(diǎn)I，過點(diǎn)B作，垂足為N，過點(diǎn)B作，垂足為K，這樣構(gòu)造一個(gè)矩形，四個(gè)直角三角形，分別為，，，，然后進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）過點(diǎn)C作，垂足為H，過點(diǎn)B作，垂足為P，過點(diǎn)B作，垂足為Q，

則四邊形為矩形，∴，在中，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，在中，，∴，答：車廂最高點(diǎn)C離地面的距離是5.3米；（2）不會(huì)發(fā)生安全事故，理由是：過點(diǎn)G作，垂足為O，過點(diǎn)C作，垂足為M，交于點(diǎn)I，過點(diǎn)B作，垂足為N，過點(diǎn)B作，垂足為K，

則四邊形為矩形，∴，在中，，∴，∵，∴，∴，在中，，∴，在中，∵，∴，∴，在中，∵，∴，∵，∴∵，∴，∵，∴不會(huì)發(fā)生安全事故．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，三角形的重心，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1.（2023春·江西南昌·九年級(jí)南昌市第二十八中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）某景區(qū)草地上豎立著一個(gè)如圖（1）所示的雕塑，現(xiàn)將其中兩個(gè)近似大小相同的矩形框架抽象成如圖（2）所示的圖形，矩形可由矩形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)在上，延長交于點(diǎn)．連接．

(1)判斷四邊形的形狀并給予證明；(2)若點(diǎn)在水平地面上，與水平地面平行，，求點(diǎn)到水平地面的距離．（結(jié)果精確到．）參考數(shù)據(jù)：【答案】(1)平行四邊形，見解析(2)【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)結(jié)合矩形的性質(zhì)推出，利用證明，得到，據(jù)此可證明四邊形是平行四邊形；（2）延長交水平地面于點(diǎn)，連接．利用正切函數(shù)求得的長，得到，推出，再根據(jù)余弦函數(shù)求得的長，據(jù)此即可求解．【詳解】（1）解：四邊形是平行四邊形．證明：∵四邊形是矩形，∴，，，∴，∵四邊形是矩形，∴，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得，∴，∴，∴，由旋轉(zhuǎn)得，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形；（2）解：如圖，延長交水平地面于點(diǎn)，連接．

∵，，∴，∴，∴，由（1）知，又，∴，由平行線的性質(zhì)知，∴，∴，即點(diǎn)到水平地面的距離約為．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定，矩形的性質(zhì)和判定，利用三角函數(shù)解直角三角形等，解題的關(guān)鍵是：（1）掌握等腰三角形中等邊對(duì)等角；（2）通過添加輔助線構(gòu)造直角三角形．2．（2023·山東青島·統(tǒng)考二模）如圖1，一吸管杯放置在水平桌面上，矩形為其橫截面，為吸管，其示意圖如圖所示，，，．將杯子繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使與水平線平行(如圖3)．(1)杯子與水平線的夾角______；(2)由圖2到圖3，點(diǎn)A的位置是升高了還是下降了？變化了多少厘米？(結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，)【答案】(1)(2)點(diǎn)A的位置是下降了厘米【分析】（1）過點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長交的延長線于點(diǎn)，在中，，在中，，，求得，即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，過點(diǎn)作，∴，，∴，∵，∴；（2）如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長交的延長線于點(diǎn)，∵，∴，∴，在中，，∴，∴，在中，，，∴，，∴；點(diǎn)A的位置是下降了厘米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)，求扇形面積，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【題型五從實(shí)際問題中抽象出菱形之問題】例題：如圖是一個(gè)晾衣架的實(shí)物圖，支架的基本圖形是菱形，MN是晾衣架的一個(gè)滑槽，點(diǎn)P在滑槽MN上、下移動(dòng)時(shí)，晾衣架可以伸縮，其示意圖如圖所示，已知每個(gè)菱形的邊長均為20cm，且．當(dāng)點(diǎn)P向下滑至點(diǎn)N處時(shí)，測得時(shí)求滑槽MN的長度；此時(shí)點(diǎn)A到直線DP的距離是多少？當(dāng)點(diǎn)P向上滑至點(diǎn)M處時(shí)，點(diǎn)A在相對(duì)于的情況下向左移動(dòng)的距離是多少？結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)【答案】（1）①；②（2）【分析】（1）①作于H，由得出，進(jìn)而求出MN；②點(diǎn)A到直線DP的距離是；（2）當(dāng)點(diǎn)P向上滑至點(diǎn)M處時(shí)，是等邊三角形，作于G，求CG，即可求出結(jié)果．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)P向下滑至點(diǎn)N處時(shí)，如圖1中，作于H．，，，即，，，．滑槽MN的長度為．根據(jù)題意，點(diǎn)A到直線DP的距離是．當(dāng)點(diǎn)P向上滑至點(diǎn)M處時(shí)，如圖2中，是等邊三角形，，作于G，則，此時(shí)點(diǎn)A到直線DP的距離是，，∴點(diǎn)A在相對(duì)于的情況下向左移動(dòng)的距離是．

【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)，找到對(duì)應(yīng)長度是關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．如圖1為搭建在地面上的遮陽棚，圖2、圖3是遮陽棚支架的示意圖．遮陽棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形構(gòu)成，滑塊E，H可分別沿等長的立柱AB，DC上下移動(dòng)，AF＝EF＝FG＝1m．（1）若移動(dòng)滑塊使AE＝EF，求∠AFE的度數(shù)和棚寬BC的長．（2）當(dāng)∠AFE由60°變?yōu)?4°時(shí)，問棚寬BC是增加還是減少？增加或減少了多少？（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【答案】（1）6.9m；（2）當(dāng)∠AFE由60°變?yōu)?4°時(shí)，棚寬BC是減少了，減少了0.5m．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠AFE＝60°,連接MF并延長交AE于K，則FM＝2FK，求得,于是得到結(jié)論;（2）解直角三角形即可得到結(jié)論.【詳解】解：（1）∵AE＝EF＝AF＝1,∴△AEF是等邊三角形,∴∠AFE＝60°,連接MF并延長交AE于K，則FM＝2FK,∵△AEF是等邊三角形,∴AK＝,∴,∴FM＝2FK＝,∴BC＝4FM＝4≈6.92≈6.9（m）;（2）∵∠AFE＝74°,∴∠AFK＝37°,∴KF＝AF?cos37°≈0.80,∴FM＝2FK＝1.60,∴BC＝4FM＝6.40＜6.92,6.92﹣6.40＝0.5,答：當(dāng)∠AFE由60°變?yōu)?4°時(shí),棚寬BC是減少了，減少了0.5m.【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用,觀察圖形,發(fā)現(xiàn)直角三角形是解題的關(guān)鍵.2．（2023·江西南昌·一模）圖1是一款簡約時(shí)尚升降旋轉(zhuǎn)多功能用桌，圖2是它的示意圖，支架與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，桌面鋪在支點(diǎn)、處，與地面平行，通過活動(dòng)調(diào)節(jié)器（在對(duì)角線上），可改變的大小，從而調(diào)節(jié)桌面的高度（與之間的距離）．經(jīng)測量，，，，．(1)求此時(shí)的大?。?2)一般情況下，桌面的高度在至之間較為適宜，妙妙同學(xué)通過活動(dòng)調(diào)節(jié)器改變的大小，使得，如圖3，問此時(shí)桌面的高度是否較為適宜？說明理由．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)(2)桌面的高度在至之間，桌面高度較為適宜，理由見解析【分析】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，再根據(jù)余弦得出的度數(shù)，最后通過角度的轉(zhuǎn)換得到；（2）作直線分別交、于點(diǎn)，根據(jù)菱形的判定和性質(zhì)得出的長度就是桌面的高度，再解直角三角形算出長度即可得到答案．【詳解】（1）解：如圖