2019-2020年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第二編中檔題型突破專項(xiàng)訓(xùn)練篇中檔題型訓(xùn)練八統(tǒng)計(jì)與概率試題

2019-2020年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第二編中檔題型突破專項(xiàng)訓(xùn)練篇中檔題型訓(xùn)練八統(tǒng)計(jì)與概率試題命題規(guī)律縱觀7年懷化中考試題，對(duì)本內(nèi)容多以解答題的形式出現(xiàn)，側(cè)重對(duì)統(tǒng)計(jì)圖表的理解和分析．概率知識(shí)在中考中以選擇題、填空題為主，也常常把概率和統(tǒng)計(jì)及其他知識(shí)點(diǎn)結(jié)合考查．命題預(yù)測(cè)預(yù)計(jì)2017年懷化中考此考點(diǎn)仍然會(huì)以一道大題、兩道小題的形式呈現(xiàn).統(tǒng)計(jì)知識(shí)的應(yīng)用【例1】(2015梅州中考)在“全民讀書月”活動(dòng)中，小明調(diào)查了班級(jí)里40名同學(xué)本學(xué)期計(jì)劃購(gòu)買課外書的花費(fèi)情況，并將結(jié)果繪制成如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖．請(qǐng)根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問(wèn)題：(直接填寫結(jié)果)(1)這次調(diào)查獲取的樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)是________；(2)這次調(diào)查獲取的樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)是________；(3)若該校共有學(xué)生1000人，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，估計(jì)本學(xué)期計(jì)劃購(gòu)買課外書花費(fèi)50元的學(xué)生有________人．【解析】(1)眾數(shù)就是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，據(jù)此即可判斷；(2)中位數(shù)就是大小處于中間位置的數(shù)，根據(jù)定義判斷；(3)求得調(diào)查的總?cè)藬?shù)，然后利用1000乘以本學(xué)期計(jì)劃購(gòu)買課外書花費(fèi)50元的學(xué)生所占的比例即可求解．【學(xué)生解答】解：(1)30元；(2)50元；(3)250.1．(2016長(zhǎng)沙中考)為積極響應(yīng)市委政府“加快建設(shè)天藍(lán)水碧地綠的美麗長(zhǎng)沙”的號(hào)召，我市某街道決定從備選的五種樹中選購(gòu)一種進(jìn)行栽種．為了更好地了解社情民意，工作人員在街道轄區(qū)范圍內(nèi)隨機(jī)抽取了部分居民，進(jìn)行“我最喜歡的一種樹”的調(diào)查活動(dòng)(每人限選其中一種樹)，并將調(diào)查結(jié)果整理后，繪制成如圖兩個(gè)不完整的統(tǒng)計(jì)圖：請(qǐng)根據(jù)所給信息解答以下問(wèn)題：(1)這次參與調(diào)查的居民人數(shù)為：__1__000__；(2)請(qǐng)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；(3)請(qǐng)計(jì)算扇形統(tǒng)計(jì)圖中“楓樹”所在扇形的圓心角度數(shù)；(4)已知該街道轄區(qū)內(nèi)現(xiàn)有居民8萬(wàn)人，請(qǐng)你估計(jì)這8萬(wàn)人中最喜歡玉蘭樹的有多少人？解：(2)如圖所示；(3)360°×eq\f(100,1000)＝36°；(4)eq\f(250,1000)×80000＝20000(人)．概率知識(shí)的應(yīng)用【例2】(2015連云港中考)九(1)班組織班級(jí)聯(lián)歡會(huì)，最后進(jìn)入抽獎(jiǎng)環(huán)節(jié)，每名同學(xué)都有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，抽獎(jiǎng)方案如下：將一副撲克中點(diǎn)數(shù)為“2”“3”“3”“5”“6”的五張牌背面朝上洗勻，先從中抽出1張牌，再?gòu)挠嘞碌?張牌中抽出1張牌，記錄兩張牌點(diǎn)數(shù)后放回，完成一次抽獎(jiǎng)．記每次抽出兩張牌點(diǎn)數(shù)之差為x，按下表要求確定獎(jiǎng)項(xiàng)．獎(jiǎng)項(xiàng)一等獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)三等獎(jiǎng)|x||x|＝4|x|＝31≤|x|<3(1)用列表法或畫樹狀圖的方法求出甲同學(xué)獲一等獎(jiǎng)的概率；(2)是否每次抽獎(jiǎng)都會(huì)獲獎(jiǎng)，為什么？【學(xué)生解答】(1)畫樹狀圖如圖所示：可以看出一共有20種等可能情況，其中獲一等獎(jiǎng)的情況有2種．∴P(甲獲一等獎(jiǎng))＝eq\f(2,20)＝eq\f(1,10)；(2)不一定．當(dāng)兩張牌都取3時(shí)，|x|＝0，不會(huì)獲獎(jiǎng)．2．(2015丹東中考)一個(gè)不透明的口袋中裝有4個(gè)分別標(biāo)有數(shù)字－1，－2，3，4的小球，它們的形狀、大小完全相同．小紅先從口袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球記下數(shù)字為x；小穎在剩下的3個(gè)小球中隨機(jī)摸出一個(gè)小球記下數(shù)字為y.(1)小紅摸出標(biāo)有數(shù)字3的小球的概率是__eq\f(1,4)__；(2)請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖的方法表示出由x，y確定的點(diǎn)P(x，y)所有可能的結(jié)果；(3)若規(guī)定：點(diǎn)P(x，y)在第一象限或第三象限小紅獲勝；點(diǎn)P(x，y)在第二象限或第四象限則小穎獲勝．請(qǐng)分別求出兩人獲勝的概率．解：(2)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果如圖：小穎小紅－1－234－1(－1，－2)(－1，3)(－1，4)－2(－2，－1)(－2，3)(－2，4)3(3，－1)(3，－2)(3，4)4(4，－1)(4，－2)(4，3)(3)從上面的表格可以看出，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有12種，且每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，其中點(diǎn)(x，y)在第一象限或第三象限的結(jié)果有4種，在第二象限或第四象限的結(jié)果有8種．∴小紅、小穎兩人獲勝的概率分別為：P(小紅勝)＝eq\f(4,12)＝eq\f(1,3)，P(小穎勝)＝eq\f(8,12)＝eq\f(2,3).統(tǒng)計(jì)與概率的綜合應(yīng)用【例3】課前預(yù)習(xí)是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要環(huán)節(jié)，為了了解所教班級(jí)學(xué)生完成數(shù)學(xué)課前預(yù)習(xí)的具體情況，王老師對(duì)本班部分學(xué)生進(jìn)行了為期半個(gè)月的跟蹤調(diào)查，他將調(diào)查結(jié)果分為四類：A.很好；B.較好；C.一般；D.較差．并將調(diào)查結(jié)果繪制成以下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖解答下列問(wèn)題：(1)王老師一共調(diào)查了多少名同學(xué)？(2)C類女生有______名，D類男生有______名，并將上面的條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；(3)為了共同進(jìn)步，王老師想從被調(diào)查的A類和D類學(xué)生中各隨機(jī)選取一位同學(xué)進(jìn)行“一幫一”互助學(xué)習(xí)．請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖的方法求出所選兩位同學(xué)恰好是一位男同學(xué)和一位女同學(xué)的概率．【解析】(1)根據(jù)A(或B)類人數(shù)以及所占百分比，求總?cè)藬?shù)；(2)利用總?cè)藬?shù)以及扇形圖求各類別人數(shù)，從而得出C組女生人數(shù)和D組男生人數(shù)；(3)利用列表或樹狀圖得到所有可能結(jié)果，然后利用概率公式求解．【學(xué)生解答】解：(1)∵(6＋4)÷50%＝20(名)，∴王老師一共調(diào)查了20名同學(xué)；(2)3；1；補(bǔ)充統(tǒng)計(jì)圖如圖所示；(3)畫樹狀圖如下：∴所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有6種，所選兩位同學(xué)恰好是一男和一女的結(jié)果共有3種．∴P(恰好是一男一女)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).3．(2016孝感中考)為弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，我市教育局在全市中小學(xué)積極推廣“太極拳”運(yùn)動(dòng)．弘孝中學(xué)為爭(zhēng)創(chuàng)“太極拳”示范學(xué)校，今年3月份舉行了“太極拳”比賽，比賽成績(jī)?cè)u(píng)定為A，B，C，D，E五個(gè)等級(jí)，該校七(1)班全體學(xué)生參加了學(xué)校的比賽，并將比賽結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．請(qǐng)根據(jù)圖中信息，解答下列問(wèn)題：(1)該校七(1)班共有__50__名學(xué)生；扇形統(tǒng)計(jì)圖中C等級(jí)所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角等于__144__°；并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；(2)A等級(jí)的4名學(xué)生中有2名男生，2名女生，現(xiàn)從中任意選取2名學(xué)生作為全班訓(xùn)練的示范者，請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖的方法，求出恰好選到1名男生和1名女生的概率．解：(1)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示；(2)記2名男生為A1，A2，記2名女生為B1，B2，列表如下：A1A2B1B2A1(A2，A1)(B1，A1)(B2，A1)A2(A1，A2)(B1，A2)(B2，A2)B1(A1，B1)(A2，B1)(B2，B1)B2(A1，B2)(A2，B2)(B1，B2)則符合條件的概率為P＝eq\f(8,12)＝eq\f(2,3).2019-2020年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第二編中檔題型突破專項(xiàng)訓(xùn)練篇中檔題型訓(xùn)練六直角三角形的應(yīng)用試題命題規(guī)律解直角三角形的應(yīng)用是懷化市中考的必考內(nèi)容之一，它通常以實(shí)際生活為背景，考查學(xué)生運(yùn)用直角三角形知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型的能力，解答這類問(wèn)題的方法是運(yùn)用“遇斜化直”的數(shù)學(xué)思想，即通過(guò)作輔助線(斜三角形的高線)把它轉(zhuǎn)化為直角三角形問(wèn)題，然后根據(jù)已知條件與未知元素之間的關(guān)系，利用解直角三角形的知識(shí)，列出方程來(lái)求解．命題預(yù)測(cè)預(yù)計(jì)2017年懷化中考，仍會(huì)考此知識(shí)點(diǎn)，以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)的可能性較大，也可能出現(xiàn)解答題.仰角、俯角問(wèn)題【例1】(2016廣州中考)如圖，某無(wú)人機(jī)于空中A處探測(cè)到目標(biāo)B，D.從A處看目標(biāo)B，D的俯角分別是30°，60°，此時(shí)無(wú)人機(jī)的飛行高度AC為60m，隨后無(wú)人機(jī)從A處繼續(xù)水平飛行30eq\r(3)m到達(dá)A′處．(1)求A，B之間的距離；(2)求從A′處看目標(biāo)D的俯角的正切值．【學(xué)生解答】解：(1)∵∠BAC＝90°－30°＝60°，AC＝60m，∴在Rt△ABC中，有AB＝eq\f(AC,cos∠BAC)＝eq\f(60,cos60°)＝120(m)．故A，B之間的距離為120m；(2)過(guò)點(diǎn)D作DE⊥A′A，交A′A的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接A′D，∵∠DAC＝90°－60°＝30°，AC＝60m，∴在Rt△ADC中，有CD＝AC×tan∠DAC＝60×tan30°＝20eq\r(3)(m)．∵∠AED＝∠EAC＝∠C＝90°，∴四邊形ACDE是矩形．∵ED＝AC＝60m，EA＝CD＝20eq\r(3)m，∴在Rt△A′ED中，有tan∠EA′D＝eq\f(ED,EA′)＝eq\f(ED,EA＋AA′)＝eq\f(60,20\r(3)＋30\r(3))＝eq\f(2\r(3),5).即從A′處看目標(biāo)D的俯角的正切值為eq\f(2\r(3),5).1．(2016瀘州中考)為了測(cè)量出樓房AC的高度，從距離樓底C處60eq\r(3)m的點(diǎn)D(點(diǎn)D與樓底C在同一水平面上)出發(fā)，沿斜面坡度為i＝1∶eq\r(3)的斜坡DB前進(jìn)30m到達(dá)點(diǎn)B，在點(diǎn)B處測(cè)得樓頂A的仰角為53°，求樓房AC的高度．(參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈eq\f(4,3)，計(jì)算結(jié)果用根號(hào)表示，不取近似值)解：AC＝(60eq\r(3)＋15)m.2．(2015達(dá)州中考)學(xué)習(xí)“利用三角函數(shù)測(cè)高”后，某綜合實(shí)踐活動(dòng)小組實(shí)地測(cè)量了鳳凰山與中心廣場(chǎng)的相對(duì)高度AB，其測(cè)量步驟如下：(1)在中心廣場(chǎng)測(cè)點(diǎn)C處安置測(cè)傾器，測(cè)得此時(shí)山頂A的仰角∠AFH＝30°；(2)在測(cè)點(diǎn)C與山腳B之間的D處安置測(cè)傾器(C，D與B在同一直線上，且C，D之間的距離可以直接測(cè)得)，測(cè)得此時(shí)山頂上紅軍亭頂部E的仰角∠EGH＝45°；(3)測(cè)得測(cè)傾器的高度CF＝DG＝1.5m，并測(cè)得CD之間的距離為288m；已知紅軍亭高度EA為12m，請(qǐng)根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)求出鳳凰山與中心廣場(chǎng)的相對(duì)高度AB.(eq\r(3)取1.732，結(jié)果保留整數(shù))解：設(shè)AH＝xm，在Rt△EHG中，∵∠EGH＝45°，∴GH＝EH＝AE＋AH＝x＋12，∵GF＝CD＝288m，∴HF＝GH＋GF＝x＋12＋288＝x＋300，在Rt△AHF中，∵∠AFH＝30°，∴AH＝HF·tan∠AFH，即x＝(x＋300)·eq\f(\r(3),3)，解得x＝150(eq\r(3)＋1)．∴AB＝AH＋BH≈409.8＋1.5≈411(m)．答：鳳凰山與中心廣場(chǎng)的相對(duì)高度AB大約是411m.方位角問(wèn)題【例2】一艘觀光游船從港口A處以北偏東60°的方向出港觀光，航行80海里至C處時(shí)發(fā)生了側(cè)翻沉船事故，立即發(fā)出了求救信號(hào)．一艘在港口正東方向B處的海警船接到求救信號(hào)，測(cè)得事故船在它的北偏東37°方向，馬上以40海里/h的速度前往救援，求海警船到達(dá)事故船C處所需的大約時(shí)間．(參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6)【學(xué)生解答】解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.由題意得∠CAD＝30°，∠CBD＝53°，AC＝80海里，∴CD＝40海里．在Rt△CBD中，sin53°＝eq\f(CD,CB)，CB＝eq\f(CD,sin53°)≈eq\f(40,0.8)＝50(海里)．行駛時(shí)間為eq\f(50,40)＝1.25(h)．答：海警船到達(dá)C處大約需1.25h.3．(2016宿遷中考)如圖，大海中某燈塔P周圍10海里范圍內(nèi)有暗礁，一艘海輪在點(diǎn)A處觀察燈塔P在北偏東60°方向，該海輪向正東方向航行8海里到達(dá)點(diǎn)B處，這時(shí)觀察燈塔P恰好在北偏東45°方向．如果海輪繼續(xù)向正東方向航行，會(huì)有觸礁的危險(xiǎn)嗎？試說(shuō)明理由．(參考數(shù)據(jù)：eq\r(3)≈1.73)解：過(guò)點(diǎn)P作PC⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C.由題意知∠PAC＝30°，∠PBC＝45°.設(shè)PC＝x，在Rt△PBC中，BC＝x，在Rt△PCA中，AC＝eq\r(3)x，8＋x＝eq\r(3)x，x≈10.92.∵PC>10，∴不會(huì)觸礁．坡度、坡比問(wèn)題【例3】(2015內(nèi)江中考)如圖，某校綜合實(shí)踐活動(dòng)小組的同學(xué)欲測(cè)量公園內(nèi)一棵樹DE的高度，他們?cè)谶@棵樹正前方一座樓亭的臺(tái)階上A點(diǎn)處測(cè)得樹頂端D的仰角為30°，朝著這棵樹的方向走到臺(tái)階下的點(diǎn)C處，測(cè)得樹頂端D的仰角為60°.已知A點(diǎn)的高度AB為3m，臺(tái)階AC的坡度為1∶eq\r(3)(即AB∶BC＝1∶eq\r(3))，且B，C，E三點(diǎn)在同一條直線上．請(qǐng)根據(jù)以上條件求出樹DE的高度(測(cè)傾器的高度忽略不計(jì))．【學(xué)生解答】解：在Rt△ABC中，tan∠ACB＝eq\f(AB,BC)＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，∴∠ACB＝30°，∴∠BAC＝60°，∠PAC＝30°，∠ACD＝180°－∠ACB－∠DCE＝90°，∴∠DAC＝60°.在Rt△ABC中，∵∠ACB＝30°，∴AC＝2AB＝6.在Rt△ACD中，DC＝AC·tan∠DAC＝6×tan60°＝6eq\r(3).在Rt△CDE中，DE＝DC·sin∠DCE＝6eq\r(3)×sin60°＝9(m)．答：樹DE的高為9m.4．(2016黃石中考)如圖，為測(cè)量一座山峰CF的高度，將此山的某側(cè)山坡劃分為AB和BC兩段，每一段山坡近似是“直”的，測(cè)得坡長(zhǎng)AB＝800m，BC＝200m，坡角∠BAF＝30°，∠CBE＝45°.(1)求AB段山坡的高度EF；(2)求山峰的高度CF.(eq\r(2)≈1.414，結(jié)果精確到米)解：(1)EF＝ABsin30°＝400.答：AB段山坡高度為400m；(2)CE＝BC·sin45°＝100eq\r(2)≈141，∴CF＝CE＋EF≈541(m)．答：山峰CF的高度約為541m.生活中的解直角三角形問(wèn)題【例4】(2015紹興中考)如圖，傘不論張開還是收緊，傘柄AP始終平分同一平面內(nèi)兩條傘架所成的角∠BAC，當(dāng)傘收緊時(shí)，結(jié)點(diǎn)D與點(diǎn)M重合，且點(diǎn)A、E、D在同一條直線上，已知部分傘架的長(zhǎng)度(單位：cm)如下：傘架DEDFAEAFABAC長(zhǎng)度363636368686(1)求AM的長(zhǎng)；(2)當(dāng)∠BAC＝104°時(shí)，求AD的長(zhǎng)．(精確到1cm)(備用數(shù)據(jù)：sin52°≈0.788，cos52°≈0.6157，tan52°≈1.2799)【學(xué)生解答】解：(1)由題意，得AM＝AE＋DE＝36＋36＝72(cm)．故AM的長(zhǎng)為72cm；(2)∵AP平分∠BAC，∠BAC＝104°，∴∠EAD＝eq\f(1,2)∠BAC＝52°.過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AD于G，∵AE＝DE＝36，∴AG＝DG，AD＝2AG.在△AEG中，∵∠AGE＝90°，∴AG＝AE·cos∠EAG＝36·cos52°＝36×0.6157＝22.1652.∴AD＝2AG＝2×22.1652≈44(cm)．答：AD的長(zhǎng)約為44cm.

5．(2015重慶中考)某水庫(kù)大壩的橫截面是如圖所示的四邊形ABCD，其中AB∥CD，大壩頂上有一瞭望臺(tái)PC，PC正前方有兩艘漁船M，N.觀察員在瞭望臺(tái)頂端P處觀測(cè)到漁船M的俯角α為31°，漁船N的俯角β為45°.已知MN所在直線與PC所在直線垂直，垂足為E，且PE長(zhǎng)為30m.(1)求兩漁船M，N之間的距離；(結(jié)果精確到1m)(2)已知壩高24m，壩長(zhǎng)100m，背水坡AD的坡度i＝1∶0.25，為提高大壩防洪能力，請(qǐng)施工隊(duì)將大壩的背水坡通過(guò)填筑土石方進(jìn)行加固，壩底BA加寬后變?yōu)锽H，加固后背水坡DH的坡度i＝1∶1.75，施工隊(duì)施工10天后，為盡快完成加固任務(wù)，施工隊(duì)增加了機(jī)械設(shè)備，工作效率提高到原來(lái)的2倍，結(jié)果比原計(jì)劃提前20天完成加固任務(wù)，施工隊(duì)原計(jì)劃平均每天填筑土石方多少立方米？(參考數(shù)據(jù)：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52)解：(1)在Rt△PEN中，EN＝PE＝30m，ME＝eq\f(PE,tan31°)＝50(m)，則MN＝EM－EN＝20(m)．答：兩漁船M，N之間的距離是20m；(2)過(guò)點(diǎn)D作DN′⊥AH于點(diǎn)N′.由題意得：tan∠DAB＝4，tan∠H＝eq\f(4,7).在Rt△DAN′中，AN′＝eq\f(DN′,tan∠DAB)＝eq\f(24,4)＝6(m)，在Rt△DHN′中，HN′＝eq\f(DN′,tan∠H)＝eq\f(24,\f(4,7))＝42(m)．故AH＝HN′－AN′＝42－6＝36(m)．S△ADH＝eq\f(1,2)AH·DN′＝432(m2)．故需要填筑的土石方是V＝S△ADH·100＝432×100＝43200(m3)．設(shè)原計(jì)劃平均每天填筑土石方xm3，則原計(jì)劃eq\f(43200,x)天完成，則增加機(jī)械設(shè)備后，現(xiàn)在平均每天填筑2xm3.根據(jù)題意，得：10x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(43200,x)－10－20))·2x＝43200，解得x＝864.經(jīng)檢驗(yàn)，x＝864是原方程的解．答：施工隊(duì)原計(jì)劃平均每天填筑土石方864m3.相似三角形與圓【例5】(2015六盤水中考)如圖，在