高中數(shù)學新定義類型題

同步練習學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________

第I卷（選擇題）請點擊修改第I卷的文字說明評卷人得分一、選擇題（本題共22道小題，每小題5分，共110分）1.定義，設實數(shù)滿足約束條件，則的取值范圍是（）（A） （B） （C） （D）2.對于復數(shù),若集合具有性質(zhì)“對任意,必有”,則當時,等于()A、1B、-1C、0D3.在實數(shù)集中定義一種運算“”，，為唯一確定的實數(shù)，且具有性質(zhì)：（1）對任意，；（2）對任意，．關于函數(shù)的性質(zhì)，有如下說法：①函數(shù)的最小值為；②函數(shù)為偶函數(shù)；③函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．其中正確說法的序號為（）A．① B．①② C．①②③ D．②③4.設A是整數(shù)集的一個非空子集，對于k∈A，如果k－1?A且k＋1?A，那么稱k是集合A的一個“好元素”．給定集合S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3個元素構成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有（）A．2個B．4個C．6個 D．8個5.對于集合N和集合，若滿足，則集合中的運算“”可以是加法B．減法C．乘法 D．除法6.設函數(shù)的定義域為R，如果存在函數(shù)為常數(shù)），使得對于一切實數(shù)都成立，那么稱為函數(shù)的一個承托函數(shù).已知對于任意，是函數(shù)的一個承托函數(shù)，記實數(shù)a的取值范圍為集合M，則有（）A.B.C.D.7.用C(A)表示非空集合A中的元素個數(shù)，定義.若，，且|A-B|=1，由a的所有可能值構成的集合為S，那么C(S)等于()A．1B．2C．3D．48.對于集合M、N，定義M－N＝{x|x∈M且xN}，M⊕N＝(M－N)∪(N－M)，設A＝{y|y＝3x，x∈R}，B＝{y|y＝－，x∈R}，則A⊕B等于()A．[0,2)B．(0,2]C．(－∞，0]∪(2，＋∞)D．(－∞，0)∪[2，＋∞)9.在實數(shù)集中定義一種運算“”，，為唯一確定的實數(shù)，且具有性質(zhì)：（1）對任意，；（2）對任意，．關于函數(shù)的性質(zhì)，有如下說法：①函數(shù)的最小值為；②函數(shù)為偶函數(shù)；③函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．其中所有正確說法的個數(shù)為()A． B． C． D．10.給出定義:若（其中為整數(shù)）,則叫做與實數(shù)“親密的整數(shù)”,記作,在此基礎上給出下列關于函數(shù)的四個命題:①函數(shù)在上是增函數(shù);②函數(shù)的圖象關于直線對稱;③函數(shù)是周期函數(shù),最小正周期為1;④當時，函數(shù)有兩個零點.其中正確命題的序號是____________.A．②③④B．=1\*GB3①③C．①②D．②④11.定義運算，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．12.對于函數(shù)，若，為某一三角形的三邊長，則稱為“可構造三角形函數(shù)”，已知函數(shù)是“可構造三角形函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍是A．B．C．D．13.對于集合，如果定義了一種運算“”，使得集合中的元素間滿足下列4個條件：（?。加校唬áⅲ?，使得對，都有；（ⅲ），，使得；（ⅳ），都有，則稱集合對于運算“”構成“對稱集”．下面給出三個集合及相應的運算“”：①，運算“”為普通加法；②，運算“”為普通減法；③，運算“”為普通乘法．其中可以構成“對稱集”的有()A①②B①③C②③D①②③14.設與是定義在同一區(qū)間[a，b]上的兩個函數(shù)，若函數(shù)在上有兩個不同的零點，則稱和在上是“關聯(lián)函數(shù)”，區(qū)間稱為“關聯(lián)區(qū)間”．若與在[0,3]上是“關聯(lián)函數(shù)”，則m的取值范圍是()A. B．[－1,0]C．(－∞，－2] D.15.設函數(shù)的定義域為，如果對于任意的，存在唯一的，使得成立（其中為常數(shù)），則稱函數(shù)在上的均值為，現(xiàn)在給出下列4個函數(shù)：①②③④，則在其定義域上的均值為2的所有函數(shù)是下面的（）A.①②B.③④C.①③④D.①③16.對任意實數(shù)定義運算如下，則函數(shù)的值域為（）A.B.C.D.17.設是非空集合，定義，已知，，則等于（）18.設集合A?R，如果x0∈R滿足：對任意a＞0，都存在x∈A，使得0＜|x﹣x0|＜a，那么稱x0為集合A的一個聚點．則在下列集合中：（1）Z+∪Z﹣；（2）R+∪R﹣；（3）{x|x=，n∈N*}；（4）{x|x=，n∈N*}．其中以0為聚點的集合有（） A．1個 B． 2個 C． 3個 D． 4個19.若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但定義域不同，則稱這些函數(shù)為“孿生函數(shù)”，例如解析式為y＝2x2＋1，值域為{9}的“孿生函數(shù)”三個：（1）y＝2x2＋1，；（2）y＝2x2＋1，；（3）y＝2x2＋1，。那么函數(shù)解析式為y＝2x2＋1，值域為{1，5}的“孿生函數(shù)”共有()A．5個 B．4個 C．3個 D．2個20.已知若，稱排列為好排列，則好排列的個數(shù)為21.若，則稱A是“伙伴關系集合”，在集合的所有非空子集中任選一個集合，則該集合是“伙伴關系集合”的概率為A． B． C． D．22.在數(shù)學拓展課上，老師定義了一種運算“SKIPIF1<0”：對于SKIPIF1<0，滿足以下運算性質(zhì)：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0。則SKIPIF1<0的數(shù)值為（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0

第II卷（非選擇題）請點擊修改第II卷的文字說明評卷人得分二、解答題（本題共15道小題，每小題5分，共75分）23.在實數(shù)集R中，我們定義的大小關系“＞”為全體實數(shù)排了一個“序”.類似的，我們在平面向量集上也可以定義一個稱“序”的關系，記為“”.定義如下：對于任意兩個向量，“”當且僅當“”或“”。按上述定義的關系“”，給出如下四個命題：①若，則；②若，則；③若，則對于任意；④對于任意向量，若，則。其中真命題的序號為__________24.給定數(shù)集,對于任意，有且，則稱集合為閉集合．①集合為閉集合；②集合為閉集合；③若集合,為閉集合，則為閉集合；④若集合,為閉集合，且，，則存在,使得．其中，全部正確結(jié)論的序號是________．25.定義：如果函數(shù)在定義域內(nèi)給定區(qū)間上存在，滿足，則稱函數(shù)是上的“平均值函數(shù)”，是它的一個均值點．例如y=|x|是上的“平均值函數(shù)”，0就是它的均值點．給出以下命題：=1\*GB3①函數(shù)是上的“平均值函數(shù)”．=2\*GB3②若是上的“平均值函數(shù)”，則它的均值點x0≥．=3\*GB3③若函數(shù)是上的“平均值函數(shù)”，則實數(shù)m的取值范圍是．=4\*GB3④若是區(qū)間[a，b](b>a≥1)上的“平均值函數(shù)”，是它的一個均值點，則．其中的真命題有．（寫出所有真命題的序號）26.下圖展示了一個由區(qū)間到實數(shù)集的映射過程：區(qū)間中的實數(shù)對應數(shù)軸上的點，如圖①：將線段圍成一個圓，使兩端點恰好重合，如圖②：再將這個圓放在平面直角坐標系中，使其圓心在軸上，點的坐標為，如圖③，圖③中直線與軸交于點，則的象就是，記作．下列說法中正確命題的序號是（填出所有正確命題的序號）①②是奇函數(shù)③在定義域上單調(diào)遞增④是圖像關于點對稱．27.在平面直角坐標系中，定義d(P,Q)=為兩點之間的“折線距離”，則坐標原點O與直線上任意一點的“折線距離”的最小值是_________.28.設是的兩個非空子集，如果存在一個從到的函數(shù)滿足；(i)；(ii)對任意，當時,恒有．那么稱這兩個集合“保序同構”．現(xiàn)給出以下4對集合：①；②；③；④其中，“保序同構”的集合對的對應的序號是_________(寫出所有“保序同構”的集合對的對應的序號)．29.若直角坐標平面內(nèi)兩點滿足條件：①都在函數(shù)的圖象上；②關于原點對稱，則稱是函數(shù)的一個“伙伴點組”（點組與看作同一個“伙伴點組”）．已知函數(shù)有兩個“伙伴點組”，則實數(shù)的取值范圍是__▲_．30.已知有限集.如果中元素滿足，就稱為“復活集”，給出下列結(jié)論：①集合是“復活集”；②是“復活集”，則；③不可能是“復活集”；④若，則“復活集”有且只有一個，且.其中正確的結(jié)論是___________________．（填上你認為所有正確的結(jié)論序號）31.對于定義在上的函數(shù)，若存在距離為的兩條直線和，使得對任意都有恒成立，則稱函數(shù)有一個寬度為的通道.給出下列函數(shù)：①；②；③；④其中在區(qū)間上通道寬度可以為的函數(shù)有(寫出所有正確的序號).32.設S為復數(shù)集C的非空子集.若對任意，都有，則稱S為封閉集。下列命題：①集合S＝{a＋bi|（為整數(shù)，為虛數(shù)單位）}為封閉集；②若S為封閉集，則一定有；③封閉集一定是無限集；④若S為封閉集，則滿足的任意集合也是封閉集.其中真命題是____________.（寫出所有真命題的序號）33.已知函數(shù)的自變量取值區(qū)間為A，若其值域也為A，則稱區(qū)間A為的保值區(qū)間．若的保值區(qū)間是，則的值為_______________．34.存在區(qū)間（），使得，則稱區(qū)間為函數(shù)的一個“穩(wěn)定區(qū)間”.給出下列4個函數(shù)：①；②；③；④其中存在“穩(wěn)定區(qū)間”的函數(shù)有____________.（把所有正確的序號都填上）35.若函數(shù)f（x）在定義域D內(nèi)某區(qū)間I上是增函數(shù)，且在I上是減函數(shù)，則稱y=f（x）在I上是“弱增函數(shù)”．已知函數(shù)h（x）=x2﹣（b﹣1）x+b在（0，1]上是“弱增函數(shù)”，則實數(shù)b的值為________．36.定義一個對應法則．現(xiàn)有點與，點是線段上一動點，按定義的對應法則．當點在線段AB上從點A開始運動到點B結(jié)束時，點M的對應點所經(jīng)過的路線長度為．37.已知數(shù)列滿足，若正整數(shù)滿足為整數(shù)，則稱為“馬數(shù)”，那么，在區(qū)間內(nèi)所有的“馬數(shù)”之和為．評卷人得分三、解答題（本題共3道小題，每小題10分，共30分）38.（本小題滿分12分）在R上定義運算（b、c為實常數(shù)）.記.令（I）如果函數(shù)在處有極值，試確定b、c的值；（II）求曲線上斜率為c的切線與該曲線的公共點；（III）記的最大值為M.若對任意的b、c恒成立，試求k的最大值.39.己知集合A={l,2,3,…,2n},，對于A的一個子集S，若存在不大于n的正整數(shù)m，使得對于S中的任意一對元素，都有，則稱S具有性質(zhì)P。(1)當n=10時，試判斷集合和是否一定具有性質(zhì)P?并說明理由。(2)當n=2014時①若集合S具有性質(zhì)P，那么集合是否一定具有性質(zhì)P?說明理由，②若集合S具有性質(zhì)P，求集合S中元素個數(shù)的最大值．40.對于函數(shù)，若圖象上存在2個點關于原點對稱，則稱為“局部中心對稱函數(shù)”．（Ⅰ）已知二次函數(shù)，試判斷是否為“局部中心對稱函數(shù)”？并說明理由；（Ⅱ）若為定義域上的“局部中心對稱函數(shù)”，求實數(shù)m的取值范圍．

試卷答案1.B2.B3.B知識點：命題的真假判斷與應用解析：∵=（ex）?+（ex）*0+*0=1+ex+，對于①，∵1+ex+≥1+=3（當且僅當x=0時取“=”），∴f（x）min=3，故①正確；對于②，∵f（x）=1+ex+=1+ex+e﹣x，∴f（﹣x）=1+ex+e﹣x=1+ex+e﹣x=f（x），∴函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，故②正確；對于③，∵f′（x）=ex﹣e﹣x=，∴當x≥0時，f′（x）≥0，即函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，﹣∞），故③錯誤；∴正確說法的序號為①②，故選：B．【思路點撥】依題意，可得f（x）=1+ex+e﹣x，對于①，可由基本不等式1+ex+≥1+=3判斷其正誤；對于②，利用偶函數(shù)的定義可判斷其正誤；對于③，由f′（x）≥0，求得其單調(diào)遞增區(qū)間，可判斷其正誤．4.C略5.C6.C略7.A略8.C略9.C略10.A略11.D12.D略13.B略14.A略15.D略16.B17.A18.B略19.C20.C略21.A22.C23.①②③略24.②25.【知識點】新定義型函數(shù)B10【答案解析】①③④解析：解：=1\*GB3①容易證明正確．=2\*GB3②不正確．反例：在區(qū)間[0，6]上．=3\*GB3③正確．由定義：得，又所以實數(shù)的取值范圍是．=4\*GB3④正確．理由如下：由題知．要證明，即證明：，令，原式等價于．令，則，所以得證．【思路點撥】根據(jù)新函數(shù)的定義可分析每一個選項的正誤情況.26.③④試題分析：解：如圖，因為在以為圓心，為半徑的圓上運動，對于①當時，的坐標為，直線的方程，所以點的坐標為，故，即①錯；對于②，因為實數(shù)所在的區(qū)間不關于原點對稱，所以不存在奇偶性，故②錯；對于③，當實數(shù)越來越大時，如圖直線與軸的交點也越來越往右，即越來越大，所以在定義域上單調(diào)遞增，即③對；對于④當實數(shù)時，對應的點在點的正下方，此時點，所以，再由圖形可知的圖象關于點對稱，即④對，故答案為③④．考點：在新定義下解決函數(shù)問題．27.略28.②③④略29.【知識點】一元二次方程根的分布，對稱問題【答案解析】解析：解：設(m，n)為函數(shù)當x≥0時圖象上任意一點，若點(m，n)是函數(shù)的一個“伙伴點組”中的一個點，則其關于原點的對稱點(－m，－n)必在該函數(shù)圖象上，得，消去n得，若函數(shù)有兩個“伙伴點組”，則該方程有2個不等的正實數(shù)根，得，解得.【思路點撥】對于新定義題，讀懂題意是解題的關鍵，本題通過條件最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的分布問題進行解答.30.①③④略31.32.①②略33.略34.②③略35.1略36.37.38.39.(1)略(2)2685解析：解：（1）當n=10時，A={1，2，3，…，19，20}，B={x∈A|x＞9}={10，11，12，…，19，20}；∵對于任意不大于10的正整數(shù)m，都可以找到集合B中兩個元素b1=10，b2=10+m，使得|b1﹣b2|=m成立；∴集合B不具有性質(zhì)P；集合C={x∈A|x=3k﹣1，k∈N*}具有性質(zhì)P；∵可取m=1＜10，對于集合C中任意一對元；都有|c1﹣c2|=3|k1﹣k2|≠1；即集合C具有性質(zhì)P；（2）當n=2014時，A={1，2，3，…，4027，4028}；①若集合S具有性質(zhì)P，則集合T={4029﹣x|x∈S}一定具有性質(zhì)P：任取t=4029﹣∈T，∈S；∵S?A，∴∈{1，2，3，…，4028}；∴1≤4029﹣≤4028，即t∈A，∴T?A；由S具有性質(zhì)P知，存在不大于2014的正整數(shù)m，使得對于S中的任意一對元素s1，s2，都有|s1﹣s2|≠m；對于上述正整數(shù)m