機(jī)械工程圖學(xué)-投影理論的基礎(chǔ)知識(shí)平面的投影

上節(jié)課的重點(diǎn)：各種位置直線的投影特性及作圖。

直線上點(diǎn)的投影特性及其判定與作圖。上節(jié)課的難點(diǎn)：

利用直線的投影求其實(shí)長(zhǎng)及真實(shí)傾角的直角三角形法。

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.2直線的投影

特殊位置直線有哪幾種？各有什么投影特性？一般位置直線又有什么投影特性？

1.投影面平行線：水平線、正平線、側(cè)平線在所平行的投影面上，投影反映實(shí)長(zhǎng)，投影與投影軸之間的夾角表示直線與另外兩個(gè)投影面之間的實(shí)際傾角；在另外兩個(gè)投影面上，投影均平行于相應(yīng)的投影軸。一實(shí)長(zhǎng)、二平行

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.2直線的投影特殊位置直線有哪幾種？各有什么投影特性？一般位置直線又有什么投影特性？

2.投影面垂直線：正垂線、鉛垂線、側(cè)垂線在所垂直的投影面上，投影積聚成一點(diǎn)；在另外兩個(gè)投影面上，投影均垂直于相應(yīng)的投影軸，且反映實(shí)長(zhǎng)。一積聚、二垂直一般位置直線又叫投影面傾斜線三個(gè)投影都傾斜于投影軸，其長(zhǎng)度均小于實(shí)長(zhǎng)；投影與投影軸的夾角不反映直線與投影面的實(shí)際傾角。三類似

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.2直線的投影該直線是水平線，其側(cè)面投影應(yīng)該平行于OYW軸。若直線平行于某一投影面，則它在該投影面上的投影一直線的正面投影平行于OX軸，水平投影傾斜于OX軸，那么該直線是哪一種特殊位置直線？其側(cè)面投影應(yīng)該有什么特征？

a.反映實(shí)長(zhǎng)且平行于相應(yīng)的坐標(biāo)軸。

b.小于實(shí)長(zhǎng)且平行于相應(yīng)的坐標(biāo)軸。

c.反映實(shí)長(zhǎng)且傾斜于相應(yīng)的坐標(biāo)軸。

d.小于實(shí)長(zhǎng)且傾斜于相應(yīng)的坐標(biāo)軸。C.反映實(shí)長(zhǎng)且傾斜于相應(yīng)的坐標(biāo)軸。

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.2直線的投影（a）X坐標(biāo)差。（b）Y坐標(biāo)差。（c）Z坐標(biāo)差。（d）正面投影a′b′。已知一般位置直線AB的水平投影ab

和正面投影a′b′，用直角三角形法求其實(shí)長(zhǎng)時(shí)，（1）若以ab為一直角邊，則另一直角邊應(yīng)為端點(diǎn)A、B的（2）若以a′b′為一直角邊，則（可多選）

（a）另一直角邊為端點(diǎn)A、B的Y坐標(biāo)差。（b）X坐標(biāo)差。（c）斜邊為AB的實(shí)長(zhǎng)。（d）斜邊與a′b′的夾角為AB對(duì)V面的傾角β

。簡(jiǎn)述直線上點(diǎn)的投影特性。

（1）直線上的點(diǎn)的三面投影，必在該直線的同面投影上。（2）點(diǎn)分割直線成定比。（c）（d）（b）（a）作業(yè)《機(jī)械工程圖學(xué)基礎(chǔ)教程習(xí)題集》

P10

～P13

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.2直線的投影作業(yè)《機(jī)械工程圖學(xué)基礎(chǔ)教程習(xí)題集》

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2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.2直線的投影

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.2直線的投影

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.2直線的投影不在同一直線上的三點(diǎn)直線及線外一點(diǎn)abca

b

c

●●●●●●d●d

●平行兩直線abca

b

c

●●●●●●相交兩直線平面圖形c

●●●abca

b

●●●c●●●●●●aba

b

c

b●●●●●●aca

b

c

XXXXX用幾何要素表示平面2.3.3平面的投影

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.3平面的投影圖2-24平面的表示方法

正面跡線(V面跡線）PV：平面P與V面的交線

水平跡線(H面跡線）PH：平面P與H面的交線

側(cè)面跡線(W面跡線）PW：平面P與W面的交線用平面的跡線表示平面

WHVOpVXZYHYWpHpwpxpypzpyP

pH

pVpw平面與投影面的交線，稱為平面的跡線。

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.3平面的投影對(duì)于一般位置的平面展開用平面的跡線表示平面對(duì)于特殊位置的平面

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.3平面的投影（a）水平面（b）正垂面（c）鉛垂面圖2-24平面的表示方法（續(xù)）1.各種位置平面的投影特性垂直傾斜投影特性平面平行于投影面——投影即平面實(shí)形平面垂直于投影面——投影積聚成直線平面傾斜于投影面——投影類似原平面實(shí)形性類似性積聚性平面對(duì)一個(gè)投影面的投影特性平行

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.3平面的投影平面在三投影面體系中的投影特性平面對(duì)于三個(gè)投影面的位置可分為三類：投影面垂直面

投影面平行面投影面傾斜面（一般位置平面）特殊位置平面垂直于某一投影面，傾斜于另兩個(gè)投影面平行于某一投影面，垂直于另兩個(gè)投影面與三個(gè)投影面都傾斜鉛垂面正垂面?zhèn)却姑嫠矫嬲矫鎮(zhèn)绕矫?/p>

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.3平面的投影（1）投影面垂直面

垂直于一個(gè)投影面而與其余兩個(gè)投影面皆傾斜的平面。

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.3平面的投影

圖2-25投影面垂直面的立體圖

垂直于水平面的平面稱為鉛垂面。XYYWYHOa(d)c(b)d’b’a’c’b”a”c”d”ABCDa(d)b(c)d’b’a’c’b”a”c”d”

鉛垂面

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.3平面的投影

垂直于正面的平面稱為正垂面。

正垂面ABCDd’(a’)c’(d’)abcdc″b″d″a″XYYWYHOd′

(a′

)c′

(d′)abcdc″b″d″a″

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.3平面的投影ABCDabcdd′b′a′c′a″(b″)

d″(c″)

側(cè)垂面

垂直于側(cè)面的平面稱為側(cè)垂面。XYYWYHOd″(c″)abcda″(b″)d′

b′a′

c′

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.3平面的投影c

c

投影面垂直面的投影特性abca

b

b

a

類似性類似性積聚性鉛垂面γβ投影特性：

在所垂直的投影面上的投影積聚成直線。該直線與投影軸的夾角就是平面與另外兩投影面的夾角。在另外兩個(gè)投影面上的投影為類似形。（一積聚、二類似）

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.3平面的投影投影面垂直面投影特性的小結(jié)

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.3平面的投影

一積聚、二類似（2）投影面平行面

平行于一個(gè)投影面的平面。必然同時(shí)垂直于另外兩個(gè)投影面！

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.3平面的投影

圖2-26投影面平行面的立體圖

①水平投影反映平面的實(shí)形。②正面投影和側(cè)面投影積聚為一條與相應(yīng)軸平行的直線。平行于H

面的稱為水平面，其投影特性為：水平面的投影特性

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.3平面的投影

①正面投影反映平面的實(shí)形。

②水平投影和側(cè)面投影積聚為一條與相應(yīng)軸平行的直線。正平面的投影平行于V面的稱為正平面，其投影特性為：

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.3平面的投影①側(cè)面投影反映平面的實(shí)形。

②正面投影和水平投影積聚為一條與相應(yīng)軸平行的直線。側(cè)平面的投影特性平行于W面的稱為側(cè)平面，其投影特性為：

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.3平面的投影a

b

c

a

b

c

abc積聚性積聚性實(shí)形性水平面投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映實(shí)形。

另兩個(gè)投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)的投影軸平行的直線。投影面平行面的投影特性（一實(shí)形、二積聚）

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.3平面的投影投影面平行面投影特性的小結(jié)

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.3平面的投影

一實(shí)形、二積聚

對(duì)三個(gè)投影面都傾斜的平面稱為投影面傾斜面。

投影面傾斜面的三個(gè)投影都是小于實(shí)形的類似形，也不能反映該平面與投影面的夾角。（3）投影面傾斜面（一般位置平面）

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.3平面的投影圖2-27投影面傾斜面（一般位置平面）2.平面內(nèi)的直線和點(diǎn)的投影位于平面上的直線應(yīng)滿足的條件：（1）平面內(nèi)的直線的投影●●MNAB●M

若一直線過平面上的兩點(diǎn)，則此直線必在該平面內(nèi)。

若一直線過平面上的一點(diǎn)且平行于該平面上的另一直線，則此直線在該平面內(nèi)。

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.3平面的投影在已知平面△ABC內(nèi)求作任意一直線的方法：方法一是在直線AB上任取一點(diǎn)E（e、e′），在直線AC上任取一點(diǎn)F（f、f

′），連接E、F兩點(diǎn)的同面投影e、f和e′、f

′即可。

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.3平面的投影

方法二是先在直線AB上任取一點(diǎn)G（g、g′），再過點(diǎn)G作直線GH平行于已知直線BC（即gh∥bc、g′h′∥b′c′）即可。圖2-28在平面上取直線的方法（a）題圖（b）作圖過程及結(jié)果

【例2-9】試由△ABC的頂點(diǎn)A作出其中線AD的投影。先利用“定比性”在bc上作出中點(diǎn)d，并由d作投影連線求出d′；再連接同面投影即可。

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.3平面的投影圖2-29求作三角形中線的投影（2）平面內(nèi)的點(diǎn)的投影

先找出過此點(diǎn)且在平面內(nèi)的一條直線作為輔助線，然后再在該直線上確定點(diǎn)的位置?！纠恳阎c(diǎn)K在平面ABC上，試求其水平投影。baca

k

b

●①c

平面內(nèi)取點(diǎn)的方法：利用平面的積聚性求解通過在平面內(nèi)作輔助線求解首先在面上取線k●d

d②●abca

b

k

c

k●

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.3平面的投影

【例2-10】已知△ABC上點(diǎn)M的水平投影m，試求其正面投影m′。

先在H面投影中連接a、m并延長(zhǎng)交bc于d。再過d作投影連線求得d′，連接a′d′，則m′一定在a′d′上，過m作投影連線，與a′d′的交點(diǎn)即為點(diǎn)M的正面投影m′。

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.3平面的投影思路：先在平面內(nèi)作線，再在線上求點(diǎn)。圖2-30求平面內(nèi)點(diǎn)的投影圓平面的投影特性（1）圓平面為投影面平行面時(shí)，在所平行的投影面上的投影為圓，另外兩個(gè)投影分別積聚為直線，其長(zhǎng)度就等于圓的直徑。（一實(shí)形二積聚

）（2）圓平面為投影面垂直面時(shí)，在所垂直的投影面上的投影積聚成一直線，另外兩個(gè)投影均為橢圓，其長(zhǎng)軸均等于圓的直徑。（一積聚二類似）（3）圓平面為一般位置平面時(shí)，其三個(gè)投影均為橢圓。（三類似

）3.圓平面的投影

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.3平面的投影

【例2-11】

已知圓平面為鉛垂面，對(duì)V面的傾角為β，直徑為D，圓心O1的兩個(gè)投影為o1、o1′，試求作該圓平面的兩面投影。（a）立體圖

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.3平面的投影圖2-31圓平面的投影

過O1作長(zhǎng)度為D的直線ab與OX軸成β角，且O1位于ab的中點(diǎn)。作出橢圓，即為圓的正面投影。

先過O1′作長(zhǎng)度為直徑D的鉛垂線c′d′，再過O1′作水平線a′b′（=cosβ）；c′d′、a′b′即分別為橢圓的長(zhǎng)、短軸。

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.3平面的投影圖2-31圓平面的投影4.多邊形平面的投影多邊形由一些點(diǎn)和線（主要是直線）構(gòu)成，因此，作多邊形的投影圖，就要用到點(diǎn)、直線的投影特性以及在平面內(nèi)作點(diǎn)和直線的方法。

【例2-12】

如圖2-32所示，在平行四邊形平面ABCD上有一燕尾形缺口ⅠⅡⅢⅣ，已知其正面投影，試求作其水平投影。

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.3平面的投影圖2-32求平面上燕尾形缺口的水平投影圖2-32求平面上燕尾形缺口的水平投影由1′、4′可直接在ab上求出Ⅰ、Ⅳ兩點(diǎn)的水平投影1、4。延長(zhǎng)1′2′與c′d′相交于5′，求出5，連接1、5，再由2′求出2。過2作cd

的平行線，與從3′作的投影連線相交，可求得3。連接1、2、3、4，即得到燕尾形缺口的水平投影。

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.3平面的投影

【例2-13】

如圖2-33（a）所示，結(jié)合立體圖看懂三面投影圖，并完成以下內(nèi)容：（3）分析平面ABGH、ABCDEF的位置。（1）在三面投影圖上標(biāo)出點(diǎn)A~H的投影。（2）分析直線AH、AB、BC的位置。

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.3平面的投影圖2-33分析立體上的直線和平面標(biāo)出點(diǎn)A~H的投影如圖（b）所示。平面ABGH為正垂面；ABCDEF為鉛垂面。直線AH為正垂線；AB為一般位置直線；BC為水平線。

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.3平面的投影圖2-33分析立體上的直線和平面5.直線與平面相交

【例2-14】試求直線AB與鉛垂面EFGH的交點(diǎn)。

平面處于特殊位置（即平面的投影具有積聚性）直線AB的水平投影與鉛垂面水平投影的交點(diǎn)k，就是空間交點(diǎn)K的水平投影，由k可求得k′。可采用重影點(diǎn)法判斷直線重疊部分的可見性。

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.3平面的投影

圖2-34求直線與鉛垂面的交點(diǎn)6.兩平面相交【例2-15】試求矩形平面DEFG與平面△ABC的交線。其中一個(gè)平面處于特殊位置（即平面的投影具有積聚性）可直接求出平面△ABC上的直線AC、BC與矩形平面DEFG交點(diǎn)K、L的水平投影k、l，再求出k′和l′，連接k′l′，則KL即為所求的交線。可采用觀察法判斷重疊部分的可見性。

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.3平面的投影圖2-35求兩平面的交線本節(jié)課的重點(diǎn)：各種位置平面的投影特性及作圖；

平面內(nèi)的直線和點(diǎn)的投影的特性及其判定與作圖。本節(jié)課的難點(diǎn)：平面內(nèi)的直線和點(diǎn)的投影；直線與平面相交、兩平面相交問題的求解。

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.3平面的投影

特殊位置平面有哪幾種？各有什么投影特性？一般位置平面又有什么投影特性？

1.投影面垂直面：正垂面、鉛垂面、側(cè)垂面在所垂直的投影面上，平面的投影積聚成一條與投影軸不平行（不垂直）的直線；在另外兩個(gè)投影面上，平面的投影為其類似形。一積聚、二類似

2.3點(diǎn)、直線和平面的投影—2.3.3平面的投影特殊位置平面有哪幾種？各有什么投影特性？一般位置平面又有什么投影特性？

2.投影面平行面：正平面、水平面、側(cè)平面在所平行的投影面上，平面的投影反映實(shí)形；在所垂直的其余兩個(gè)投影面上，平面的投影分別積聚為直線，且與相應(yīng)的投影軸平行。

一般位置平面也稱為投影面傾斜面

各個(gè)投影既不