隨機(jī)信號(hào)分析課后習(xí)題答案

PAGEPAGE18第一次作業(yè)：練習(xí)一之1、2、3題1.1離散隨機(jī)變量X由0，1，2，3四個(gè)樣本組成，相當(dāng)于四元通信中的四個(gè)電平，四個(gè)樣本的取值概率順序?yàn)?/2，1/4，1/8，和1/8。求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差。解：1.2設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量X的概率分布函數(shù)為求（1）系數(shù)A；（2）X取值在（0.5，1）內(nèi)的概率。解：由得1.3試確定下列各式是否為連續(xù)隨機(jī)變量的概率分布函數(shù)，如果是概率分布函數(shù)，求其概率密度。（1）（2）（3）（4）解：（1）當(dāng)時(shí)，對(duì)于，有，是單調(diào)非減函數(shù)；成立；也成立。所以，是連續(xù)隨機(jī)變量的概率分布函數(shù)。求得，（2）在A>0時(shí)，對(duì)于，有，是單調(diào)非減函數(shù)；欲使和成立，必須使A=1。所以，在A=1時(shí)，是連續(xù)隨機(jī)變量的概率分布函數(shù)。同理，欲滿足，也必須使A=1。所以，（3）上式可改寫為對(duì)于，不成立。所以，不是連續(xù)隨機(jī)變量的概率分布函數(shù)。（4）當(dāng)時(shí)，不滿足，所以不是連續(xù)隨機(jī)變量的概率分布函數(shù)。第二次作業(yè)：練習(xí)一之4、5、6、7題1.4隨機(jī)變量X在[α，β]上均勻分布，求它的數(shù)學(xué)期望和方差。解：因X在[α，β]上均勻分布1.5設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為，求Y=5X+1的概率密度函數(shù)。解：反函數(shù)X=h(y)=(Y-1)/5h′(y)=1/51≤y≤6fY(y)=fX(h(y))｜h′(y)∣=1×1/5=1/5于是有1.6設(shè)隨機(jī)變量上均勻分布，且互相獨(dú)立。若,求（1）n=2時(shí)，隨機(jī)變量Y的概率密度。（2）n=3時(shí)，隨機(jī)變量Y的概率密度。解：n=2時(shí)，積分上下限選錯(cuò)了，此題答案有誤同理，n=3時(shí)，1.7設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望和方差分別為m和，求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差及X和Y的相關(guān)矩。解：數(shù)學(xué)期望：方差：相關(guān)矩：第三次作業(yè)：練習(xí)一之9、10、11題1.9隨機(jī)變量X和Y分別在[0,a]和[0,]上均勻分布，且互相獨(dú)立。對(duì)于，證明：證：rv.X和Y分別在[0,a]和[0,]上均勻分布有和因?yàn)閞v.X和Y相互獨(dú)立命題得證1.10已知二維隨機(jī)變量（）的聯(lián)合概率密度為，隨機(jī)變量（）與隨機(jī)變量（）的關(guān)系由下式唯一確定證明：（）的聯(lián)合概率密度為證：做由到的二維變換==1.11隨機(jī)變量X,Y的聯(lián)合概率密度為求：（1）系數(shù)A；（2）X,Y的數(shù)學(xué)期望；（3）X,Y的方差；（4）X,Y的相關(guān)矩及相關(guān)系數(shù)。解：（1）（2）同理（3）（4）相關(guān)矩協(xié)方差相關(guān)系數(shù)第四次作業(yè)：練習(xí)一之12、13、14、15題1.12求隨機(jī)變量X的特征函數(shù)，已知隨機(jī)變量X的概率密度解：利用傅氏變換：1.13已知隨機(jī)變量X服從柯西分布，求他的特征函數(shù)。解：利用傅氏變換：1.14求概率密度為的隨機(jī)變量X的特征函數(shù)。解：利用傅氏變換：1.15已知相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X1，X2，X3，…，Xn的特征函數(shù)，求X1，X2，X3，…，Xn線性組合的特征函數(shù)。ai和c是常數(shù)。解：互相獨(dú)立隨機(jī)變量之和的特征函數(shù)等于各隨機(jī)變量特征函數(shù)之積。第五次作業(yè)：練習(xí)二之1、2、3、4、5題2.1隨機(jī)過(guò)程，其中為常數(shù)，A、B是兩個(gè)相互獨(dú)立的高斯變量，并且，。求X(t)的數(shù)學(xué)期望和自相關(guān)函數(shù)。解：（）（）（）2.2若隨機(jī)過(guò)程X(t)在均方意義下連續(xù)，證明它的數(shù)學(xué)期望也必然連續(xù)。證：由均方連續(xù)的定義，展開左式為：=固有，證得數(shù)學(xué)期望連續(xù)。2.3證明隨機(jī)過(guò)程存在均方導(dǎo)數(shù)的充分條件是：自相關(guān)函數(shù)在他的自變量相等時(shí)存在二階偏導(dǎo)數(shù)。證：在時(shí)存在，也就是存在。2.4判斷隨機(jī)過(guò)程是否平穩(wěn)？其中為常數(shù)，A、分別為均勻分布和瑞利分布的隨機(jī)變量，且相互獨(dú)立。；解：與時(shí)間的起點(diǎn)無(wú)關(guān)，且因此，是廣義平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程。2.5證明由不相關(guān)的兩個(gè)任意分布的隨機(jī)變量A、B構(gòu)成的隨機(jī)過(guò)程是寬平穩(wěn)而不一定是嚴(yán)平穩(wěn)的。其中為常數(shù)，A、B的數(shù)學(xué)期望為零，方差相同。證：（）因此，是廣義平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程?？梢?jiàn)，該隨機(jī)過(guò)程構(gòu)不成三階平穩(wěn)，因此不符合嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程的要求。第六次作業(yè)：練習(xí)二之6、7、8、9、10題2.6有三個(gè)樣本函數(shù)組成的隨機(jī)過(guò)程，每個(gè)樣本函數(shù)發(fā)生的概率相等，是否滿足嚴(yán)平穩(wěn)或?qū)捚椒€(wěn)的條件？解：由于數(shù)學(xué)期望與時(shí)間相關(guān)，不為常數(shù)，因此不滿足一階平穩(wěn)，也就不滿足嚴(yán)平穩(wěn)或?qū)捚椒€(wěn)的條件。2.7已知隨機(jī)過(guò)程，為在[]內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量，A可能是常數(shù)、時(shí)間函數(shù)或隨機(jī)變量。A滿足什么條件時(shí)，是各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程？解：（1）考查為平穩(wěn)過(guò)程的條件在A為常數(shù)或與不相關(guān)的隨機(jī)變量時(shí)，滿足（2）考查為各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程的條件在A為常數(shù)或與不相關(guān)的隨機(jī)變量時(shí)，滿足而只有在A為常數(shù)時(shí)，滿足。欲使是各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程，A必為常數(shù)。2.8設(shè)和是相互獨(dú)立的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，他們的乘積是否平穩(wěn)？解：令又和的乘積是平穩(wěn)的。2.9求用自相關(guān)函數(shù)及功率譜密度表示的的自相關(guān)函數(shù)及功率譜密度。其中，為在[]內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量，是與相互獨(dú)立的隨機(jī)過(guò)程。解：2.10平穩(wěn)高斯過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)為，求的一維和二維概率密度。解：（1）的一維概率密度：（2）求出r,帶人二維高斯概率密度公式即可。第七次作業(yè)：練習(xí)二之11、12、13、14、15題2.11對(duì)于兩個(gè)零均值聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程和，已知，說(shuō)明下列函數(shù)是否可能為他們的自相關(guān)函數(shù)，并說(shuō)明原因。解：（a）自相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù)，僅有(1)、(2)、(3)、(6)滿足；（b），（a）中僅有(2)、(3)、(6)滿足；（c）對(duì)于非周期平穩(wěn)過(guò)程有，（b）中僅有(6)滿足。因此，(6)是自相關(guān)函數(shù)。2.12求隨機(jī)相位正弦信號(hào)的功率譜密度，為在[]內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量，是常數(shù)。解：2.13已知隨機(jī)過(guò)程，式中是常數(shù)，是平穩(wěn)過(guò)程，并且相互之間是正交的，若表示的功率普密度，證明功率譜密度為證：因是平穩(wěn)過(guò)程，并且相互之間是正交的，。2.14由和聯(lián)合平穩(wěn)過(guò)程定義了一個(gè)隨機(jī)過(guò)程（1）和的數(shù)學(xué)期望和自相關(guān)函數(shù)滿足那些條件可使是平穩(wěn)過(guò)程。（2）將（1）的結(jié)果用到，求以和的功率譜密度和互譜密度表示的的功率譜密度。（3）如果和不相關(guān)，那么的功率譜密度是什么？解：（1）欲使與時(shí)間無(wú)關(guān)，不隨時(shí)間函數(shù)、t變化，和的數(shù)學(xué)期望必須是；推導(dǎo)有誤在時(shí)，上式可寫作與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)的表達(dá)式：因此，當(dāng)，時(shí)，是平穩(wěn)過(guò)程。（2）對(duì)兩邊同時(shí)作傅氏變換：結(jié)果有誤，第二項(xiàng)系數(shù)是1/(2j).（3）和不相關(guān)，的互功率譜密度為零。2.15設(shè)兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程和各是平穩(wěn)的，且聯(lián)合平穩(wěn)式中，為在[]內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量，是常數(shù)。他們是否不相關(guān)、正交、統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。解：有誤：改為sin(wot+wot+θ)和是相關(guān)的，不是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的；又，和是非正交的。第八次作業(yè)：練習(xí)三之1、2、3、4、5題3.1RC積分電路的輸入電壓為，其中和分別是在[0，1]和[0，]上均勻分布的隨機(jī)變量，且相互獨(dú)立。求輸出電壓Y(t)的自相關(guān)函數(shù)。解：上述過(guò)程解法復(fù)雜啦。。。RC積分電路的=3.2若圖示系統(tǒng)的輸入X(t)為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，求輸出的功率譜密度。解：3.3沖激響應(yīng)為和的兩個(gè)系統(tǒng)并聯(lián)，求、和X(t)的自相關(guān)函數(shù)表示的和的互相關(guān)函數(shù)。解：設(shè)X(t)為平穩(wěn)過(guò)程，和為線性時(shí)不變系統(tǒng)，有3.4隨機(jī)過(guò)程X(t)作用到脈沖響應(yīng)為和的串聯(lián)系統(tǒng)。求、和X(t)的自相關(guān)函數(shù)表