傳遞函數(shù)模型表述

關(guān)于傳遞函數(shù)模型表述主要內(nèi)容傳遞函數(shù)模型表述;利用傳遞函數(shù)模型的預(yù)測(cè);擾動(dòng)模型;4.廣義預(yù)測(cè)控制模型(GPC);5.多變量系統(tǒng).第2頁,共25頁，2024年2月25日，星期天1.傳遞函數(shù)模型表述以輸入—輸出差分方程來描述系統(tǒng)的行為如下：在SISO系統(tǒng)的情況下，和可分別表示為以下多項(xiàng)式：（1）（2）（3）因此，可以把（1）式寫成差分方程：（4）第3頁,共25頁，2024年2月25日，星期天還可以定義多項(xiàng)式:對(duì)輸入—輸出時(shí)間序列采用Z變換以后，得到脈沖傳遞函數(shù)表達(dá)式為：（5）（6）（7）（8）式中，及分別為時(shí)間序列和的Z變換第4頁,共25頁，2024年2月25日，星期天對(duì)于MIMO系統(tǒng)，和是多項(xiàng)式矩陣：（10）（9）式中是矩陣，是矩陣多項(xiàng)式和可以定義成：（12）（11）于是多變量系統(tǒng)的傳遞函數(shù)描述為：（14）（13）第5頁,共25頁，2024年2月25日，星期天

雖然原理上幾乎任何方法多可以在多變量的情況下實(shí)現(xiàn)，但這些多項(xiàng)式矩陣和傳遞函數(shù)矩陣方法與SISO情況相比更不方便也更少使用，所以本節(jié)僅討論SISO的情況。傳遞函數(shù)矩陣（13）式中當(dāng)d=1時(shí)相應(yīng)的多變量差分方程為：（15）下面來導(dǎo)出傳遞函數(shù)模型和狀態(tài)空間模型描述方式之間的轉(zhuǎn)換，假設(shè)標(biāo)準(zhǔn)的狀態(tài)空間模型為：（17）（16）第6頁,共25頁，2024年2月25日，星期天做Z變換得（19）（18）由此，在假定x（0）=0的情況下有：（21）（20）所以有這就是傳遞函數(shù)矩陣Z變換的表達(dá)式，它對(duì)于SISO及MIMO（d=1）系統(tǒng)兩者都適用。第7頁,共25頁，2024年2月25日，星期天我們還可以導(dǎo)出傳遞函數(shù)模型和階躍響應(yīng)或脈沖傳遞函數(shù)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，事實(shí)上傳遞函數(shù)被定義為脈沖響應(yīng)的Z變換，所以有（24）（23）（22）上式表明，在SISO情況下，可以由傳遞函數(shù)得到系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)。第8頁,共25頁，2024年2月25日，星期天2.利用傳遞函數(shù)模型的預(yù)測(cè)對(duì)SISO系統(tǒng)，將（4）式改寫成如下形式：（25）注意到上式中d僅表示純滯后，屬于離散化模型固有的特性d0=1已從d中減去，并列入表達(dá)式中了，可以利用這個(gè)表達(dá)式作為預(yù)測(cè)的基礎(chǔ)，其中d>=1.第9頁,共25頁，2024年2月25日，星期天預(yù)測(cè)控制的顯示表達(dá)如下：（26）（27）（28）...第10頁,共25頁，2024年2月25日，星期天或者，一般地還可以表達(dá)成：式中（29）（30）（31）（32）第11頁,共25頁，2024年2月25日，星期天

假設(shè)有多項(xiàng)式，其階次不大于i-1，（i為正整數(shù)），并有階次等于n-1的多項(xiàng)式，可將1/A分解為一個(gè)恒等式

通過比較同冪項(xiàng)系數(shù)，能夠解出兩個(gè)多項(xiàng)式，而且。用乘以（30），并利用（34）式子給出或或（33）（34）（35）（36）第12頁,共25頁，2024年2月25日，星期天注意到恰好就是，因此僅包含過去輸出的可測(cè)值。所以可以寫出預(yù)測(cè)輸出如下

至此，方程右邊已經(jīng)不包含任何預(yù)測(cè)輸出，這全都取決于（34）對(duì)多項(xiàng)式和有解。可用上式導(dǎo)出一個(gè)有趣的表達(dá)式。用乘以（33）式兩邊將它代入（37）得：（37）（38）第13頁,共25頁，2024年2月25日，星期天這就表明了預(yù)測(cè)具有“預(yù)估-校正”結(jié)構(gòu)。在這里的預(yù)測(cè)和是長區(qū)間預(yù)測(cè)，它僅由輸入信號(hào)構(gòu)成，在任何時(shí)候都不用輸出測(cè)量值來校正。（40）（39）第14頁,共25頁，2024年2月25日，星期天3.擾動(dòng)模型如圖，系統(tǒng)有一個(gè)未知擾動(dòng)，令它等于測(cè)量值與預(yù)測(cè)輸出值之差：

則輸出y的預(yù)測(cè)方程為：裝置（42）（41）第15頁,共25頁，2024年2月25日，星期天擾動(dòng)的一般性模型不失一般性，設(shè)系統(tǒng)有不可測(cè)得輸出擾動(dòng)，則可用的濾波器來描述輸出擾動(dòng)模型：

從上式可得，v(k)在白噪聲的情況下，d(k)為平穩(wěn)隨機(jī)過程。上述模型對(duì)于確定性和白色隨機(jī)擾動(dòng)建模方式以及混合建模通常已經(jīng)足夠了。（44）（43）第16頁,共25頁，2024年2月25日，星期天例1正弦曲線擾動(dòng)為建立一個(gè)正弦曲線輸出擾動(dòng)的模型，其中頻率已知幅值和相位未知，可以取，并且

式中，Ts是采樣周期，而于是d(k)的Z變換由下式給出：反變化后得到的離散形式的信號(hào)：第17頁,共25頁，2024年2月25日，星期天可以取V(k)的概率分布對(duì)所有的k都是相同的。若是一個(gè)漸進(jìn)穩(wěn)定的傳遞函數(shù)，d(k)將是一個(gè)具有如下譜密度的平穩(wěn)隨機(jī)過程：注意到，所以總可以選擇使得它的全部根位于單位圓內(nèi)。第18頁,共25頁，2024年2月25日，星期天利用擾動(dòng)模型的預(yù)測(cè)利用(43),(44)式作為擾動(dòng)模型，可以得到預(yù)測(cè)輸出。設(shè)有兩個(gè)求解下述方程的多項(xiàng)式

和（45）能從下述的方程解出和從（44）和（45）可以得到=（46）（48）（47）第19頁,共25頁，2024年2月25日，星期天接著可由（49）來估計(jì)v(k)=（49）（51）（50）第20頁,共25頁，2024年2月25日，星期天由（48），（49）可列出向前i步的預(yù)測(cè)輸出=（53）（52）第21頁,共25頁，2024年2月25日，星期天4.廣義預(yù)測(cè)控制模型在廣義預(yù)測(cè)控制模型中，擾動(dòng)通常假設(shè)是隨機(jī)的，并在（44）中分母多項(xiàng)式總是取

若擾動(dòng)為隨機(jī)過程，即意味著使為白噪聲，加在輸出上的擾動(dòng)將是一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程，不再是白噪聲，這將給基于統(tǒng)計(jì)特性的計(jì)算帶來一定的困難。

（54）第22頁,共25頁，2024年2月25日，星期天

將是（44）代入到（46）中，從每一項(xiàng)中消去得到利用可以得到（57）（56）（55）第23頁,共25頁，2024年2月2