圖像正交變換

關(guān)于圖像正交變換變換問題的引入

頻率域幅值與頻率

空間域灰度第2頁,共78頁，2024年2月25日，星期天什么是圖像變換將圖像看成是線性疊加系統(tǒng)圖像在空域上相關(guān)性很強(qiáng)圖像變換是將圖像從空域變換到其它域如頻域的數(shù)學(xué)變換常用的變換：傅立葉變換、沃爾什變換、哈達(dá)瑪變換、離散余弦變換、離散K-L變換、小波變換第3頁,共78頁，2024年2月25日，星期天11.1

傅立葉變換

傅立葉變換的作用（1）可以得出信號在各個頻率點上的強(qiáng)度。（2）可以將卷積運(yùn)算化為乘積運(yùn)算。（3）傅氏變換和線性系統(tǒng)理論是進(jìn)行圖像恢復(fù)和重構(gòu)的重要手段。（4）傅立葉變換能使我們從空間域與頻率域兩個不同的角度來看待圖像的問題，有時在空間域無法解決的問題在頻域卻是顯而易見的。第4頁,共78頁，2024年2月25日，星期天

傅立葉變換的定義若f(x)為一維連續(xù)實函數(shù)，則它的傅里葉變換可定義為：傅立葉逆變換定義如下：第5頁,共78頁，2024年2月25日，星期天

函數(shù)f(x)和F(u)被稱為傅立葉變換對。即對于任一函數(shù)f(x)，其傅立葉變換F(u)是惟一的；反之，對于任一函數(shù)F(u)，其傅立葉逆變換f(x)也是惟一的。

第6頁,共78頁，2024年2月25日，星期天傅里葉變換的條件

傅里葉變換在數(shù)學(xué)上的定義是嚴(yán)密的，它需要滿足如下狄利克萊條件：(1)具有有限個間斷點；

(2)具有有限個極值點；

(3)絕對可積;第7頁,共78頁，2024年2月25日，星期天F(u)可以表示為如下形式：|F(u)|稱為F(u)的模，也稱為函數(shù)f(x)的傅立葉譜，稱為F(u)的相角。第8頁,共78頁，2024年2月25日，星期天稱為函數(shù)f(x)的能量譜或功率譜。第9頁,共78頁，2024年2月25日，星期天傅立葉變換在圖像濾波中的應(yīng)用首先，我們來看Fourier變換后的圖像，中間部分為低頻部分，越靠外邊頻率越高。因此，我們可以在Fourier變換圖中，選擇所需要的高頻或是低頻濾波。第10頁,共78頁，2024年2月25日，星期天傅立葉變換在卷積中的應(yīng)用直接進(jìn)行時域中的卷積運(yùn)算是很復(fù)雜的。傅立葉變換將時域的卷積變換為頻域的乘積。第11頁,共78頁，2024年2月25日，星期天離散傅立葉變換

離散傅立葉變換的定義

要在數(shù)字圖像處理中應(yīng)用傅立葉變換，還需要解決兩個問題：一是在數(shù)學(xué)中進(jìn)行傅立葉變換的f(x)為連續(xù)（模擬）信號，而計算機(jī)處理的是數(shù)字信號（圖像數(shù)據(jù)）；二是數(shù)學(xué)上采用無窮大概念，而計算機(jī)只能進(jìn)行有限次計算。通常，將受這種限制的傅立葉變換稱為離散傅立葉變換（DiscreteFourierTransform，DFT)。第12頁,共78頁，2024年2月25日，星期天離散傅立葉正變換:離散傅立葉逆變換:第13頁,共78頁，2024年2月25日，星期天二維傅立葉變換1.二維連續(xù)函數(shù)傅立葉變換的定義二維傅立葉正變換:二維傅立葉逆變換:第14頁,共78頁，2024年2月25日，星期天第15頁,共78頁，2024年2月25日，星期天2.二維離散函數(shù)傅立葉變換的定義

根據(jù)一維離散傅立葉變換的定義和二維連續(xù)傅立葉變換理論，對于一個具有M×N個樣本值的二維離散序列f(x，y)，（x=0,1,2,3,…,M-1；y=0,1,2,3,…,N-1）其傅立葉變換為：(1)二維離散傅立葉正變換第16頁,共78頁，2024年2月25日，星期天(2)二維離散傅立葉逆變換若已知頻率二維序列F(u，v)（u=0,1,2,3,…,M-1；v=0,1,2,3,…,N-1），則二維離散序列F(u，v)的傅立葉逆變換定義為：第17頁,共78頁，2024年2月25日，星期天Δx、Δy和Δu、Δv，分別為空間域采樣間隔和頻率域采樣間隔兩者之間滿足如下關(guān)系：第18頁,共78頁，2024年2月25日，星期天

式中序列R(u，v)和I(u，v)分別表示離散序列F(u，v)的實序列和虛序列。二維序列f(x，y)的頻譜（傅立葉幅度譜）、相位譜和能量譜（功率譜）分別如下：F(u，v)可以表示為如下形式：第19頁,共78頁，2024年2月25日，星期天(1)線性特性二維離散傅立葉變換的性質(zhì)(2)比例性質(zhì)=第20頁,共78頁，2024年2月25日，星期天(3)平移性質(zhì)

二維傅立葉變換的移位特性表明，當(dāng)用乘以f(x，y)，然后再進(jìn)行乘積的離散傅里葉變換時，可以使空間頻率域u-v平面坐標(biāo)系的原點從(0，0)平移到(u0，v0)的位置。第21頁,共78頁，2024年2月25日，星期天先對行做變換：然后對列進(jìn)行變換f(x,y)（0，0）（N-1，M-1）xyF(x,v)（0，0）（N-1，M-1）xvF(x,v)（0，0）（N-1，M-1）xvF(u,v)（0，0）（N-1，M-1）uv(4)可分離性第22頁,共78頁，2024年2月25日，星期天

二維傅立葉變換的可分離特性表明，一個二維傅立葉變換可通過二次一維傅立葉變換來完成，即：第一次先對y進(jìn)行一維傅立葉變換在此基礎(chǔ)上對x進(jìn)行一維傅立葉變換第23頁,共78頁，2024年2月25日，星期天

若已知頻率二維序列F(u，v)，則二維可分離性對傅立葉逆變換同樣適應(yīng)逆變換的分離性也同樣可以分解為兩次一維傅立葉變換第24頁,共78頁，2024年2月25日，星期天(5)周期性

如果二維離散函數(shù)f(x，y)的傅里葉變換為F(u，v)，則傅立葉變換及其逆變換存在如下周期特性：第25頁,共78頁，2024年2月25日，星期天(6)共軛對稱性第26頁,共78頁，2024年2月25日，星期天半周期的傅里葉頻譜全周期的傅里葉頻譜二維圖像的傅里葉頻譜中心化的傅里葉頻譜第27頁,共78頁，2024年2月25日，星期天

做代換有：

如果被旋轉(zhuǎn),則被旋轉(zhuǎn)同一角度。即有傅立葉變換對：(7)旋轉(zhuǎn)不變性第28頁,共78頁，2024年2月25日，星期天(8)微分性質(zhì)第29頁,共78頁，2024年2月25日，星期天(9)平均值性質(zhì)平均值定義如下平均值性質(zhì)如下：即：

結(jié)論：二維離散函數(shù)的平均值等于其傅立葉變換在頻率原點處值的1/MN。第30頁,共78頁，2024年2月25日，星期天(10)卷積定理：f(x,y)*h(x,y)<=>F(u,v)H(u,v)f(x,y)h(x,y)<=>F(u,v)*H(u,v)第31頁,共78頁，2024年2月25日，星期天二維傅立葉變換(幅值及相位)意義第32頁,共78頁，2024年2月25日，星期天左邊一列:

上方為原始圖像,下方為本圖的相關(guān)說明說明;中間一列:

上圖幅值譜,下圖為根據(jù)幅值譜的傅立葉逆變換(忽略相位信息,設(shè)相位為0);右邊一列:

上圖相位譜,下圖為根據(jù)相位譜的傅立葉逆變換(忽略幅值信息,設(shè)幅值為某一常數(shù));圖像的說明第33頁,共78頁，2024年2月25日，星期天第34頁,共78頁，2024年2月25日，星期天Fourier變換示意圖第35頁,共78頁，2024年2月25日，星期天Fourier變換的頻率特性返回第36頁,共78頁，2024年2月25日，星期天Fourier變換的低通濾波返回第37頁,共78頁，2024年2月25日，星期天Fourier變換的高通濾波返回第38頁,共78頁，2024年2月25日，星期天Fourier變換的壓縮原理另一幅圖像效果壓縮率為：1.7：1壓縮率為：2.24：1壓縮率為：3.3：1第39頁,共78頁，2024年2月25日，星期天Fourier變換的壓縮原理

返回壓縮率為：8.1：1壓縮率為：10.77：1壓縮率為：16.1：1第40頁,共78頁，2024年2月25日，星期天快速傅里葉變換問題的提出：離散傅里葉變換已成為數(shù)字信號處理的重要工具。然而，它的計算量較大，運(yùn)算時間長，在某種程度上卻限制了它的使用范圍。第41頁,共78頁，2024年2月25日，星期天

二維離散傅立葉變換具有可分離性，即它可由兩次一維離散傅立葉變換計算得到，因此，僅研究一維離散傅立葉變換的快速算法即可。改寫公式：式中，W=e-j2π／N

，稱為旋轉(zhuǎn)因子。W=e-j2π／N=cos(2π／N)-jsin(2π／N)(以N為周期)式中很多Wux系數(shù)相同，不必進(jìn)行多次重復(fù)計算。第42頁,共78頁，2024年2月25日，星期天FFT的推導(dǎo)過程：設(shè)N為2的正整數(shù)次冪，即令M=N/2,離散傅立葉變換可改寫成如下形式：

偶離散點奇離散點第43頁,共78頁，2024年2月25日，星期天

定義第44頁,共78頁，2024年2月25日，星期天于是

將一個N點的離散傅立葉變換分解成兩個N／2短序列的離散傅立葉變換，即分解為偶數(shù)和奇數(shù)序列的離散傅立葉變換Fe(u)和Fo(u)。設(shè)N=237.2.2快速離散傅立葉變換第45頁,共78頁，2024年2月25日，星期天7.2.2快速離散傅立葉變換第46頁,共78頁，2024年2月25日，星期天蝶形運(yùn)算單元7.2.2快速離散傅立葉變換第47頁,共78頁，2024年2月25日，星期天Fe(0)Fe(1)Fe(2)Fe(3)Fo(0)Fo(1)Fo(2)Fo(3)08W18W28W38W08W－18W－28W－38W－F(0)F(1)F(2)F(3)F(4)F(5)F(6)F(7)7.2.2快速離散傅立葉變換第48頁,共78頁，2024年2月25日，星期天

Fe(u)和Fo(u)都是4點的DFT，對它們再按照奇偶進(jìn)行分組Fee(0)Feo(1)08W28W－Fee(1)Feo(0)Fe(0)Fe(1)Fe(2)Fe(3)28W08W－Foe(0)Foo(1)08W28W－Foe(1)Foo(0)Fo(0)Fo(1)Fo(2)Fo(3)28W08W－7.2.2快速離散傅立葉變換第49頁,共78頁，2024年2月25日，星期天8點DFT的蝶形流程圖第50頁,共78頁，2024年2月25日，星期天例：0102030405060708Fe(0)Fo(1)04W14W－Fe(1)Fo(0)F(0)F(1)F(2)F(3)14W04W－04W04W04W04W－－f(0)f(2)f(1)f(3)第51頁,共78頁，2024年2月25日，星期天0102

0304050607083i-3-i

0304050607080012003-13i-3-ii-i

－1

－1

－17.2.2快速離散傅立葉變換第52頁,共78頁，2024年2月25日，星期天0034007-17i-7-ii-i

－1

－1

－13i-3-i7i-7-i050607083i-3-i

0304050607087.2.2快速離散傅立葉變換第53頁,共78頁，2024年2月25日，星期天00560011-111i-11-ii-i

－1

－1

－13i-3-i7i-7-i050607083i-3-i7i-7-i11i-11-i07087.2.2快速離散傅立葉變換第54頁,共78頁，2024年2月25日，星期天00780015-115i-15-ii-i

－1

－1

－13i-3-i7i-7-i11i-11-i07083i-3-i7i-7-i11i-11-i15i-15-i7.2.2快速離散傅立葉變換第55頁,共78頁，2024年2月25日，星期天31171514-822-836-8+8i-8-8-8ii-i

－1

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-8+8ii-7-i-8i-11-i-8-8ii-15-i7.2.2快速離散傅立葉變換第56頁,共78頁，2024年2月25日，星期天iiii2i02i04i000i-i

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0-15-i7.2.2快速離散傅立葉變換第57頁,共78頁，2024年2月25日，星期天-3-11-7-15-148-228-368-8i88+8ii-i

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08+8i-i7.2.2快速離散傅立葉變換第58頁,共78頁，2024年2月25日，星期天-i-i-i-i-2i0-2i0-4i000i-i

－1

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4i-36-4i-8+8i08-8i0-8080-8-8i08+8i07.2.2快速離散傅立葉變換第59頁,共78頁，2024年2月25日，星期天

MATLAB使用函數(shù)fft、fft2和fftn分別可以實現(xiàn)一維、二維和N維FFT算法；而函數(shù)ifft、ifft2和ifftn則用來計算反FFT算法。調(diào)用格式如下：A＝fft(X,N,DIM)其中，X表示輸入圖像；N表示采樣間隔點，如果X小于該數(shù)值，那么MATLAB將會對X進(jìn)行零填充，否則將進(jìn)行截取，使之長度為N；DIM表示要進(jìn)行離散傅立葉變換。第60頁,共78頁，2024年2月25日，星期天A＝fft2(X,MROWS,NCOLS)其中，MROWS和NCOLS指定對X進(jìn)行零填充后的X大小。A＝fftn(X,SIZE)其中，SIZE是一個向量，它們每一個元素都將指定X相應(yīng)維進(jìn)行零填充后的長度。A=fftshift(X)可以用于調(diào)整fft、fft2和fftn的輸出結(jié)果，對于一維fft，將左右元素互換，對于二維fft，進(jìn)行對角元素的互換，對于n維fft，將各維的兩半進(jìn)行互換。函數(shù)ifft、ifft2和ifftn的調(diào)用格式與對應(yīng)的離散傅立葉快速變換函數(shù)一致。第61頁,共78頁，2024年2月25日，星期天d=zeros(32,32);%圖象大小32*32d(13:20,13:20)=1;%中心白色方塊大小為8*8subplot(221);imshow(d,'notruesize');title('原始圖像')D=fft2(d);%計算圖象d的傅立葉變換subplot(222);%顯示圖象d的傅立葉變換譜imshow(abs(D),[-15],'notruesize');title('傅立葉變換譜')subplot(223);%顯示圖象d的傅立葉變換對數(shù)譜imshow(log(abs(D)),[-15],'notruesize');title('傅立葉變換對數(shù)譜')subplot(224);DF=fftshift(D);%顯示圖象d的傅立葉變換中心譜imshow(log(abs(DF)),[-15],'notruesize');title('傅立葉變換中心譜')第62頁,共78頁，2024年2月25日，星期天第63頁,共78頁，2024年2月25日，星期天程序生成一個矩形函數(shù)，區(qū)域內(nèi)像素值為1，區(qū)域外為0。然后對矩形做二維傅立葉變換，由于圖像的傅立葉變換矩陣元素一般是復(fù)數(shù)，不能直接顯示，需要調(diào)用abs函數(shù)對變換后的結(jié)果求模，圖中下面兩幅圖分別是傅立葉變換的對數(shù)譜和中心譜。第64頁,共78頁，2024年2月25日，星期天11.2離散余弦變換（DCT）

Fourier變換的一個最大的問題是：它的參數(shù)都是復(fù)數(shù)，在數(shù)據(jù)的描述上相當(dāng)于實數(shù)的兩倍。為此，我們希望有一種能夠達(dá)到相同功能但數(shù)據(jù)量又不大的變換。在此期望下，產(chǎn)生了DCT變換。第65頁,共78頁，2024年2月25日，星期天一維離散余弦變換一維離散余弦反變換第66頁,共78頁，2024年2月25日，星期天二維離散余弦變換二維離散反余弦變換第67頁,共78頁，2024年2月25日，星期天如果令N=4，由一維解析式定義可得如下展開式：寫成矩陣形式：[F(u)]=[A][f(x)]第68頁,共78頁，2024年2月25日，星期天同理，可得到反變換展開形式：寫成矩陣形式：[f(x)]=[A]T[F(u)]二維離散余弦變換為：[F(u,v)]=[A][f(x,y)][A]T[f(x,y)]=[A]T[F(u,v)][A]T第69頁,共78頁，2024年2月25日，星期天離散余弦變換的計算與傅立葉變換一樣，離散余弦變換可以由定義出發(fā)進(jìn)行計算，但這樣的計算量太大，在實際應(yīng)用中很不方便，尋找快速算法首先，從定義出發(fā)，作如下推導(dǎo)取實部的意思如果把時域數(shù)據(jù)向量作系列延拓，即第70頁,共78頁，2024年2月25日，星期天則fe(x)的離散余弦變換可寫成為：則是2N點的離散傅立葉變換，所以在作余弦變換時，可以把序列長度延拓為2N，然后作離散傅立葉變換，產(chǎn)生的結(jié)果取其實部便可得到余弦變換第71頁,共78頁，2024年2月25日，星期天同理，在反變換時，首先在變換空間，把[F(u)