2023年全國(guó)高考高三押題卷（四）數(shù)學(xué)試題

2023年高考押題卷

數(shù)學(xué)（四）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的.

1.己知集合4={1,2,3,5,7,11},B={x|3<x<15},則ACB中元素的個(gè)數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

2.已知復(fù)數(shù)z=i(l+小i),則耳=()

Z

A.A/5—iB.一小+i

「。1.n^3.1.

C-2_21D.―午+5*

3.已知7U）在R上連續(xù)，y=/（x）是），=大尤）的導(dǎo)函數(shù)，則/（xo）=O是須為函數(shù)4x）極值點(diǎn)的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

4.圓錐的側(cè)面展開圖是直徑為。的半圓面，那么此圓錐的軸截面是（）

A.等邊三角形B.等腰直角三角形

C.頂角為30。的等腰三角形D.其他等腰三角形

1—71

5.若尸（48）=§,尸（4）=],P（8）=w,則事件A與B的關(guān)系是（）

A.事件A與B互斥B.事件A與B對(duì)立

C.事件A與B相互獨(dú)立D.事件A與8既互斥又相互獨(dú)立

6.已知cos/+a）=雪（―^<a<^）,則sin（a+：）=（）

A3也一小B3巾+小c加-30水+3

6666

7.已知。0：f+V=l,點(diǎn)A（0,-2）,B（a,2）,從點(diǎn)A觀察點(diǎn)8,要使視線不被。。擋住，則實(shí)數(shù)

”的取值范圍是（）

A.（―0°,-2）U（2,+°°）B.<―°°,一）U（￥^,+°0）

C.（一8，）U（手，+°°）D.（一摯，孥）

8.函數(shù)兀v）滿足兀r）+_A—x）=0,1x）在R上存在導(dǎo)函數(shù)/（X）,且在（0,+8）上尸（工）</,若網(wǎng)一⑼一

[（1—帆）3—,則實(shí)數(shù)，”的取值范圍為（）

r1n（i1「1,、

A」一》2JB-L，u|_2.十刃

C.（-8,—ID.I，+8）

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.甲、乙兩班舉行電腦漢字錄入比賽，參賽學(xué)生每分鐘錄入漢字的個(gè)數(shù)經(jīng)統(tǒng)計(jì)計(jì)算后填入下表，某同

學(xué)根據(jù)表中數(shù)據(jù)分析得出的結(jié)論正確的是（）

班級(jí)參加人數(shù)中位數(shù)方差平均數(shù)

甲55149191135

乙55151110135

A.甲、乙兩班學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)相同

B.甲班的成績(jī)波動(dòng)比乙班的成績(jī)波動(dòng)大

C.乙班優(yōu)秀的人數(shù)多于甲班優(yōu)秀的人數(shù)（每分鐘輸入漢字?jǐn)?shù)》150個(gè)為優(yōu)秀）

D.甲班成績(jī)的眾數(shù)小于乙班成績(jī)的眾數(shù)

10.已知實(shí)數(shù)相、”和向量a、b,下列結(jié)論中正確的是（）

A.m（a~b）—ma-mbB.（m—n）a—ma—na

C.若ma=mb,則a=）D.若則〃?=〃

11.已知數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為S,=—"2+33"（"eN*）,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.｛狐｝是遞增數(shù)列B.a?=-2n+34

C.當(dāng)"=16或17時(shí),￡取得最大值D.⑶+㈤+…+|頌|=452

12.已知雙曲線C：吾-f=1的一條漸近線方程為4x-3y=0,過(guò)點(diǎn)（5,0）作直線/交該雙曲線于

4和B兩點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的有（）

A.，=16或—9

B.該雙曲線的離心率為（

C.滿足|陰-y的直線/有且僅有一條

D.若A和8分別在雙曲線左、右兩支上，則直線/的斜率的取值范圍是（一點(diǎn)§

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知兀c）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)xG[0,J（x）=x2+2x,則正-1）=.

14.已知拋物線C：x2=2py（p>0）的焦點(diǎn)為F,過(guò)F且垂直于y軸的直線與C相交于A,B兩點(diǎn)，若

△408（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為18,則°=.

12

15.己知3"=5"=A,則[+]=2,則A等于.

16.如圖，某款酒杯容器部分為圓錐，且該圓錐的軸截面為面積是cm2的正三角形.若在該酒

杯內(nèi)放置一個(gè)圓柱形冰塊，要求冰塊高度不超過(guò)酒杯口高度，則酒杯可放置圓柱冰塊的最大體積為

cm3.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.（10分）在aABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且cos.

⑴求C；

⑵若c=2a,求sinB.

13

18.（12分）已知數(shù)列｛“〃｝為首項(xiàng)的=1的等比數(shù)列，其前〃項(xiàng)和S〃中S3=正，

（1）求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)力=10㈤，刀尸人+康+…+合,求T*

19.

P

(12分)如圖，四棱錐P-ABC。中，AB//CD,BCLCD,BC=CD=2AB=2,PB=PD=2,PC=^,

AD=3AM,N為尸C中點(diǎn).

(1)證明：BD1.PC；

(2)求直線MN與平面P8O所成角的正弦值.

20.(12分)為落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，堅(jiān)持五育并舉全面推進(jìn)素質(zhì)教育，某學(xué)校舉行了乒乓球比賽，

其中參加男子乒乓球決賽的12名隊(duì)員來(lái)自3個(gè)不同校區(qū)，三個(gè)校區(qū)的隊(duì)員人數(shù)分別是3,4,5.本次決賽的

比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每名隊(duì)員進(jìn)行11場(chǎng)比賽(每場(chǎng)比賽都采取5局3勝制)，最后根據(jù)積分選出冠

軍.積分規(guī)則如下：比賽中以3：0或3：1取勝的隊(duì)員積3分，失敗的隊(duì)員積0分；而在比賽中以3：2

取勝的隊(duì)員積2分，失敗的隊(duì)員積1分.已知第10輪張三對(duì)抗李四，設(shè)每局比賽張三取勝的概率均為

p(0<p<l).

(1)比賽結(jié)束后冠亞軍(沒(méi)有并列)恰好來(lái)自不同校區(qū)的概率是多少？

⑵第10輪比賽中，記張三3：1取勝的概率為加).

①求出y(p)的最大值點(diǎn)po；

②若以po作為〃的值，這輪比賽張三所得積分為x,求x的分布列及期望.

21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(—2,0),BQ,0),M(—1,0),N(l,0),點(diǎn)尸是平面內(nèi)的

動(dòng)點(diǎn)，且以AB為直徑的圓。與以為直徑的圓。?內(nèi)切.

(1)證明IPM+IPM為定值，并求點(diǎn)P的軌跡Q的方程.

(2)過(guò)點(diǎn)A的直線與軌跡C交于另一點(diǎn)0(異于點(diǎn)B),與直線x=2交于一點(diǎn)G,NQNB的角平分線與

直線x=2交于點(diǎn)4,是否存在常數(shù)2,使得麗=4反；恒成立？若存在，求出2的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

2

22.(12分)已知函數(shù)g(x)=〃x+;—5.

(1)證明：；

(2)若函數(shù)/U)的圖象與g(x)的圖象有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍

2023年高考數(shù)學(xué)押題卷（四）

1.答案:B

2.答案:D

3.答案:C

4.答案:A

5.答案:C

6.答案:A

7.答案:B

8.答案:D

9.答案:ABC

10.答案:ABD

11.答案：BC

12.答案：BD

13.答案:一3

14.答案：6

15.答案：5y/3

免去256V5兀

16.口:27

解析：⑴因?yàn)閏os一函,

17.

即2ccosB=2a-b,由正弦定理可得2sinCcos5=2sinA—sinB,

又sinA=sin[n-[B+C)]=sin(B+C),

即2sinCcosB=2sin(B+C)—sinB,

所以2sinCcosB=2sinBcosC+2cosBsinC-sinB,

即2sin3cosc=sin3,因?yàn)閟in8>0,所以cosC=；,又?！?0,兀)，所以C=1.

(2)因?yàn)閏=2a,所以sinA=^sinC=^X乎二坐,

________加

因?yàn)閏>〃，所以cosA={1—sin2A=*二，

、/5i工逅乂近V3+V39

所以sinB=sin(A+0=sinAcosC+cosAsinC=X]十4X2—8

33

18.解析：⑴若(7=1,則S3=42正不符合題意，，夕W1,

P，=4,產(chǎn)；

當(dāng)它1時(shí)，由jg(1—03，得]「

產(chǎn)一\-q-16\S~~2

"尸9?(—1)門=(一4

⑵?.現(xiàn)=logi|斯|=log](―|)'=〃+1,

22

.[=11[

**h,ihn+\(〃+1)(〃+2)n+1〃+2'

?T=-L+-L+...+-L-1_11_1)+...+(,—L.)」__L_

bi加十b力3十十b.b“+i=(”3)，十+((34)十十%+1n+2)2n+2'

19.解析：（1）連接CM交于點(diǎn)O,連接P。,

因?yàn)锳O=34M,延長(zhǎng)CM交AB于E,

ApAM1

由AB〃CD,則而=5，可得AE=1,

JLxLvJL^

四邊形EBCO為正方形，則且。為8。中點(diǎn),

由PB=PD=2,則BC_LP。，且CMCIPO=。，CM,POu平面PCM,

所以8。_L平面PCM,PCu平面PCM,則BO_LPC；

(2)以C為原點(diǎn)，CD為x軸，CB為)，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則用弓，W，0),8(0,2,0),0(2,0,0),C(0,0,0),設(shè)P(x,y,z),

由8。，平面PCM,BOu平面ABCD,所以平面A88_L平面PCM,

由PB=PD=2,貝ijPO=yf2,由BC=CD=24B=2且BC±CD,則OC=y/2,

又PC=p,故△POC為等邊三角形，且平面ABCDJ_平面POC,

所以pg,1,乎),則延,[,乎),

綜上，MN=(一]|，乎)，昉=Q，—2,0),PD=g,—,

14JL44+、乙乙乙J

nBD=2x-2y=0

,416，令工=m,解得〃=(加，加，

{n-PD=p;-2)?—2z==0

2),

_5乖_5小

所以sin8=上”川

|曲山|-14巾~14,

C；C：+C：C；+C；C：

=47

20.解析：(1)比賽結(jié)束后冠亞軍恰好來(lái)自不同校區(qū)的概率是P=苴=66；

(2)①由題可知1p)=C；p3(1-p)=3p3(l-p),

/伽)=3[3p2(I-p)+p3X(-1)]=3P2(3-4p),

3

令FS)=O,得p=]，

33

當(dāng)p￡(0,-)時(shí)，/防)>0,加)在(0,4)上單調(diào)遞增;

當(dāng)〃,1)0+,/(/?)<0,加)在?,1)上單調(diào)遞減.

3

所以角?)的最大值點(diǎn)PO=W，

②X的可能取值為0,1,2,3.

□Q313

P(X=0)=(l-p)3+C|p(l-p)3=(l-4)3+C|X]X(l-^)3=荻；

P(X=1)=C；p2(l—p)3=C：x(1)2X(1—()3=堂:

38

X-

P(X=2)=C*4-

512

3333

3+G2Xzn-X-18-9

P(X=3)=p3+pC；0Ix(-44-6

251

所以X的分布列為

X0123

132781189

p

256512512256

X的期望為E(X)=0X裊+1X系+2x[g+3X黑=號(hào)第.21.解析:

/Jk4JL44JUJX4

(1)如圖，以AB為直徑的圓。與以PM為直徑的圓Oi內(nèi)切，

則叫=粵-?

1」PM

-22-

IPA/I

連接PN,因?yàn)辄c(diǎn)。和。1分別是MN和尸M的中點(diǎn)，所以lOOik：1.

故有皇=2一臂,即|PN]+|PM=4,

又4>2=|MN|,所以點(diǎn)尸的軌跡是以M,N為焦點(diǎn)的橢圓.

因?yàn)?n=4,c=l,所以〃=/—，=3,故。的方程為，+5=1.

(2)存在7=爹滿足題意.

理由如下：設(shè)Q(xo,yo),G(2,a),H(2,)也).顯然yi)，2>0.

依題意，直線A。不與坐標(biāo)軸垂直，設(shè)直線AQ的方程為2(機(jī)#0),

4

因?yàn)辄c(diǎn)G在這條直線上，所以次y=4,機(jī)=工,

x?—tny—2,

聯(lián)立「2一2得(3W+4)y2—]2〃7y=°的兩根分別為州和0,

3JT十4y=12,

12/n6/w2—8

則泗=藐47，X0=ZW>，0-2=W+4，

12/n

3相2+4

所以5駕

6M—8nr~44—)彳，kNH=yz.