微積分不定積分教案

關(guān)于微積分不定積分教案12例第一節(jié)不定積分的概念一、原函數(shù)與不定積分的概念定義不定積分又稱反導(dǎo)數(shù),它是求導(dǎo)運(yùn)算的逆運(yùn)算.

本章所講的內(nèi)容就是導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算。第2頁,共93頁，2024年2月25日，星期天3原函數(shù)存在定理：簡言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).問題：(1)原函數(shù)是否存在？(2)是否唯一？因此初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都有原函數(shù)

。(但原函數(shù)不一定是初等函數(shù))

第3頁,共93頁，2024年2月25日，星期天4唯一性？第4頁,共93頁，2024年2月25日，星期天5任意常數(shù)積分號(hào)被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量記為定義

第5頁,共93頁，2024年2月25日，星期天6例1求解解例2求第6頁,共93頁，2024年2月25日，星期天7由不定積分的定義，可知結(jié)論：微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆的.或或第7頁,共93頁，2024年2月25日，星期天8實(shí)例啟示能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？二、基本積分表第8頁,共93頁，2024年2月25日，星期天9基本積分表

(k是常數(shù));說明：第9頁,共93頁，2024年2月25日，星期天10基本積分表

(k是常數(shù));第10頁,共93頁，2024年2月25日，星期天11基本積分表

第11頁,共93頁，2024年2月25日，星期天12例3求積分解根據(jù)積分公式（2）第12頁,共93頁，2024年2月25日，星期天13例4設(shè)曲線通過點(diǎn)(1,3),且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程.解設(shè)曲線方程為根據(jù)題意知由曲線通過點(diǎn)(1,3)所求曲線方程為-2-1O12x-2-112

yy

x2+2y

x2(1,3)

．第13頁,共93頁，2024年2月25日，星期天14證等式成立.（此性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)函數(shù)之和的情況）第二節(jié)不定積分的運(yùn)算法則第14頁,共93頁，2024年2月25日，星期天15例1例2例3直接積分法第15頁,共93頁，2024年2月25日，星期天16例4例5第16頁,共93頁，2024年2月25日，星期天17例8例9例10第17頁,共93頁，2024年2月25日，星期天18問題？第三節(jié)換元積分法一、第一類換元法(湊微分法)湊微分第18頁,共93頁，2024年2月25日，星期天19

湊微分法的關(guān)鍵是“湊”,湊的目的是把被積函數(shù)的中間變量變得與積分變量相同.第19頁,共93頁，2024年2月25日，星期天20例1例2

運(yùn)用d(x+k)=dx第20頁,共93頁，2024年2月25日，星期天21例3

運(yùn)用d(ax+b)=adx第21頁,共93頁，2024年2月25日，星期天22例4

運(yùn)用d(x2)=2xdx第22頁,共93頁，2024年2月25日，星期天23(1)根據(jù)被積函數(shù)復(fù)合函數(shù)的特點(diǎn)和基本積分公式的形式,依據(jù)恒等變形的原則,把

dx湊成d

(x).如

(2)把被積函數(shù)中的某一因子與dx湊成一個(gè)新的微分d

(x).如“湊微分”的方法有:方法1較簡單,而方法2則需一定的技巧,請(qǐng)同學(xué)們務(wù)必記牢以下常見的湊微分公式！第23頁,共93頁，2024年2月25日，星期天24常用湊微分公式：等等.第24頁,共93頁，2024年2月25日，星期天25例5例6例7第25頁,共93頁，2024年2月25日，星期天26例7例8第26頁,共93頁，2024年2月25日，星期天27例9例10第27頁,共93頁，2024年2月25日，星期天28練習(xí)一第28頁,共93頁，2024年2月25日，星期天296.7.8.第29頁,共93頁，2024年2月25日，星期天30例11另：例12類似地，第30頁,共93頁，2024年2月25日，星期天31例13練習(xí)說明當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時(shí)，拆開奇次項(xiàng)去湊微分.第31頁,共93頁，2024年2月25日，星期天32例14例15或解第32頁,共93頁，2024年2月25日，星期天33例16例17例18第33頁,共93頁，2024年2月25日，星期天34例19解法1解法2解法3第34頁,共93頁，2024年2月25日，星期天35例20第35頁,共93頁，2024年2月25日，星期天36解例21

設(shè)求.令第36頁,共93頁，2024年2月25日，星期天37第一類換元積分法在積分中是經(jīng)常使用的方法，不過如何適當(dāng)?shù)剡x取代換卻沒有一般的規(guī)律可循，只能具體問題具體分析。要掌握好這種方法，需要熟記一些函數(shù)的微分公式，并善于根據(jù)這些微分公式對(duì)被積表達(dá)式做適當(dāng)?shù)奈⒎肿冃危礈惓龊线m的微分因子。第37頁,共93頁，2024年2月25日，星期天38二、第二類換元法回代,得

問題解決方法“根式替換”第38頁,共93頁，2024年2月25日，星期天39稱為第二換元法回代第39頁,共93頁，2024年2月25日，星期天40例1解“根式替換”第40頁,共93頁，2024年2月25日，星期天41例2解第41頁,共93頁，2024年2月25日，星期天42指數(shù)替換第42頁,共93頁，2024年2月25日，星期天43例5

求解令注意：根式替換與指數(shù)替換可以結(jié)合使用第43頁,共93頁，2024年2月25日，星期天44例4解三角替換正弦替換第44頁,共93頁，2024年2月25日，星期天45例5解正切替換第45頁,共93頁，2024年2月25日，星期天46例6解正割替換第46頁,共93頁，2024年2月25日，星期天47說明：以上幾例所使用的均為三角代換,目的是化掉根式.一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有可令可令可令

但是否一定采用三角代換并不是絕對(duì)的,有時(shí)可靈活采用別的方法.注意：所作代換的單調(diào)性。對(duì)三角代換而言，掌握著取單調(diào)區(qū)間即可。第47頁,共93頁，2024年2月25日，星期天48例7解或解：倒數(shù)代換第48頁,共93頁，2024年2月25日，星期天49例8解或解：（練習(xí)）第49頁,共93頁，2024年2月25日，星期天50若被積函數(shù)包含根式可考慮如下替換：第50頁,共93頁，2024年2月25日，星期天51第51頁,共93頁，2024年2月25日，星期天52基本積分表

第52頁,共93頁，2024年2月25日，星期天53第53頁,共93頁，2024年2月25日，星期天54例9例10第54頁,共93頁，2024年2月25日，星期天55例11例12第55頁,共93頁，2024年2月25日，星期天56湊微分分部積分公式問題解決思路利用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則.第四節(jié)分部積分法分部積分的過程：

第56頁,共93頁，2024年2月25日，星期天57

在兩個(gè)被積函數(shù)中選擇一個(gè)先積出來，使得原來的較難積出的不定積分轉(zhuǎn)移為另一個(gè)比較容易積出的不定積分，這種新的積分技巧，被稱為“分部積分法”。分部積分法中先積函數(shù)（v′(x)

）的選擇，一般可以遵照“指三冪對(duì)反”的先積原則，也就是排在前面的函數(shù)，作為v′（與dx湊微分后成dv）為好。第57頁,共93頁，2024年2月25日，星期天58例1注積分更難進(jìn)行.例2第58頁,共93頁，2024年2月25日，星期天59例3例4分部積分法可多次使用.第59頁,共93頁，2024年2月25日，星期天60練習(xí)總結(jié)若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正(余)弦函數(shù)或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積,就考慮設(shè)冪函數(shù)為,使其降冪一次(假定冪指數(shù)是正整數(shù))第60頁,共93頁，2024年2月25日，星期天61例6第61頁,共93頁，2024年2月25日，星期天62例7例8第62頁,共93頁，2024年2月25日，星期天63例9例10練習(xí)第63頁,共93頁，2024年2月25日，星期天64例11第64頁,共93頁，2024年2月25日，星期天65所以例12第65頁,共93頁，2024年2月25日，星期天66例13解第66頁,共93頁，2024年2月25日，星期天67例13分部積分法與換元法結(jié)合:

解第67頁,共93頁，2024年2月25日，星期天68例14第68頁,共93頁，2024年2月25日，星期天69解例15由題意,第69頁,共93頁，2024年2月25日，星期天70說明:分部積分題目的類型:1)直接分部化簡積分;2)分部產(chǎn)生循環(huán)式,由此解出積分式;(注意:兩次分部選擇的u,v函數(shù)類型不變,

解出積分后加

C)第70頁,共93頁，2024年2月25日，星期天71思考與練習(xí)1.下述運(yùn)算錯(cuò)在哪里?應(yīng)如何改正?得

0=1答:

不定積分是原函數(shù)族,相減不應(yīng)為0.求此積分的正確作法是用換元法.第71頁,共93頁，2024年2月25日，星期天72第五節(jié)幾種特殊類型函數(shù)的積分一、有理函數(shù)的積分第72頁,共93頁，2024年2月25日，星期天73假定分子與分母之間沒有公因式有理函數(shù)是真分式；有理函數(shù)是假分式；利用多項(xiàng)式除法,假分式可以化成一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和.例要點(diǎn)將有理函數(shù)化為部分分式之和.以下只考慮真分式的積分.

第73頁,共93頁，2024年2月25日，星期天74將分母作因式分解，按照多項(xiàng)式的性質(zhì)得知，得到的因式只可能出現(xiàn)下面四種可能：第74頁,共93頁，2024年2月25日，星期天75（1）分母中若有因式，則分解后有有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律：特殊地：分解后為第75頁,共93頁，2024年2月25日，星期天76（2）分母中若有因式，其中則分解后有特殊地：分解后為第76頁,共93頁，2024年2月25日，星期天77真分式化為部分分式之和的待定系數(shù)法例1第77頁,共93頁，2024年2月25日，星期天78代入特殊值來確定系數(shù)例2第78頁,共93頁，2024年2月25日，星期天79例3第79頁,共93頁，2024年2月25日，星期天80真分式可分為以下四種類型的分式之和：

這四類分式均可積分,且原函數(shù)為初等函數(shù).因此,有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù).

第80頁,共93頁，2024年2月25日，星期天81四種典型部分分式的積分:

變分子為再分項(xiàng)積分第81頁,共93頁，2024年2月25日，星期天82例4例5第82頁,共93頁，2024年2月25日，星期天83例6例7第83頁,共93頁，2024年2月25日，星期天84例8.

求解:

原式思考:如何求提示:變形方法同例8,并利用遞推公式。第84頁,共93頁，2024年2月25日，