2020-2021學(xué)年淮南市高二年級上冊期末數(shù)學(xué)試卷(文科)(含解析)

2020-2021學(xué)年淮南市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷（文科）

一、單選題（本大題共10小題，共40.0分）

1.“/x-1/<2成立"是"xQ—3）<0成立”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

2,雙曲線/一4必=1的離心率為（）

A.-B.-C.匹D.遺

3422

3.先后拋擲一個質(zhì)地均勻的骰子兩次，其結(jié)果記為（a,b）,其中a表示第一次拋擲的結(jié)果，b表示第

二次拋擲的結(jié)果，則函數(shù)/（%）=x3+ax2+b%+c有極值點的概率為（）

A-iB.（C4D.1

4,下列對一組數(shù)據(jù)的分析，不正確的說法是

A.數(shù)據(jù)極差越小，樣本數(shù)據(jù)分布越集中、穩(wěn)定

B,數(shù)據(jù)平均數(shù)越小，樣本數(shù)據(jù)分布越集中、穩(wěn)定

C.數(shù)據(jù)標準差越小，樣本數(shù)據(jù)分布越集中、穩(wěn)定

D.數(shù)據(jù)方差越小，樣本數(shù)據(jù)分布越集中、穩(wěn)定

5.沙漏是古代的一種計時裝置，它由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成，開始

時細沙全部在上部容器中，細沙通過連接管道全部流到下部容器所需要的時間稱為該沙漏的一

個沙時.如圖，某沙漏由上下兩個圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為8cm,細沙全部在上部，

其高度為圓錐高度的|（細管長度忽略不計）.假設(shè)該沙漏每秒鐘漏下0.02°巾3的沙，且細沙全部漏

入下部后，恰好堆成一個蓋住沙漏底部的圓錐沙堆.以下結(jié)論正確的是（）

A.沙漏的側(cè)面積是166加力12

B.沙漏中的細沙體積為10247TC7H3

C.細沙全部漏入下部后此錐形沙堆的高度約為1.2CM

D.該沙漏的一個沙時大約是1985秒（兀-3.14）

6.某居民小區(qū)年齡在20歲到45歲的居民共有150人，如圖是他們上網(wǎng)情況的頻率分布直方圖，現(xiàn)

已知年齡在［30,35）,［40,45］的人數(shù)分別是39、21人，則年齡在［35,40）的頻數(shù)（）

22

7.在平面直角坐標系xOy中，點P為橢圓C：京+a=1的下頂點，M,N在橢圓上，若四邊形。PMN

為平行四邊形，a為直線ON的傾斜角，若ae（當，壬，則橢圓C的離心率的取值范圍為（）

A.（f,l）B.（冬泉C.（0,f）D.（0,凈

8.下列命題中，錯誤命題是（）

A.“若工則a>b>0”的逆命題為真

ab

B.線性回歸直線y=+。必過樣本點的中心GJ）

c.在平面直角坐標系中到點（1,0）和（0,1）的距離的和為迎的點的軌跡為橢圓

D.在銳角AABC中，有sin24>cos2B

9.已知圓柱的母線長與底面的半徑之比為魚：1,四邊形4BCD為其軸截面，若點E為上底，面圓

弧觸的中點，則異面直線DE與2B所成的角為（）

AjB二C.gD/

10.已知函數(shù)f（x）的圖象是連續(xù)不斷的，有如下X,對應(yīng)值表：

X123456

f(x)132.5210.5-7.5611.5-53.76-126.8

函數(shù)/（%）在區(qū)間［1,6］上有零點至少有（）

A.6個B.5個C.4個D.3個

二、單空題（本大題共4小題，共16.0分）

11.已知點4(2,—1,3),B(3,l,2),貝=

12.命題“對任意的久6R,/+1<0"的否定是

13.一個幾何體的三視圖如圖所示，正視圖為正方形，俯視圖為半圓，側(cè)視

圖為矩形，則其表面積為

14.在平面直角坐標系xOy中，點4是橢圓巳+?=1上動點，點P在直線02上，且方才.3？=6，則

線段0P在x軸上的投影的最大值為.

三、解答題(本大題共5小題，共44.0分)

15.2013年9月20日是第25個全國愛牙日.某區(qū)衛(wèi)生部門成立了調(diào)查小組，調(diào)查“常吃零食與患踽

齒的關(guān)系”，對該區(qū)六年級800名學(xué)生進行檢查，按患蹣齒和不患蹣齒分類，得匯總數(shù)據(jù)：不常

吃零食且不患齦齒的學(xué)生有60名，常吃零食但不患齦齒的學(xué)生有100名，不常吃零食但患躺齒

的學(xué)生有140名.

P(K2>fco)0.0100.0050.001

ko6.6357.87910.828

能否在犯錯概率不超過0.001的前提下，認為該區(qū)學(xué)生的常吃零食與患齒禹齒有關(guān)系？附:

々2_n(ad-bc')2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)*

16.已知函數(shù)/'(x)=-ja/+(a—1)比+伉比，aER.

(1)討論/'(X)的單調(diào)性；

(2)證明:當x6(0,1)時，f(l-x)</(l+x)；

(3)若函數(shù)有兩個零點打，x2,比較「(詈)與0的大小，并證明你的結(jié)論.

17.如圖，在三棱柱ABC-4/的中，4B，側(cè)面BBiQC,已知=2,AB=V2,SC=1/BCJ=j

(1)求證：CrB1平面&BC；

(2)試在棱CCi(不包含端點C,6)上確定一點E的位置，使得

18.已知函數(shù)/(x)=--a/一萬+a,其中a為實數(shù).

(1)求導(dǎo)數(shù)(。)；

(2)若/(―1)=0,求f(x)在［-2,3］上的最大值和最小值；

(3)若人久)在(-8,-2］和［3,+8)上都是遞增的，求a的取值范圍.

19.設(shè)點P(—2,1)在拋物線/=2py(p>0)上，且到圓C：/+(y+b)2=1上點的最小距離為1.

(I)求「和b的值；

(n)過點尸作兩條斜率互為相反數(shù)的直線，分別與拋物線交于兩點4,B,若直線與圓C交于不同

兩點M,N.

①證明直線4B的斜率為定值；

(譏)求4PMN面積取最大值時直線4B的方程.

參考答案及解析

1.答案：B

解析:試題分析：首先解出兩個不等式,再比較x的范圍，范圍小的可以推出范圍大的，由氏-1|<2,

得一l<x<3,由久(％-3)<0,得0<x<3,故選艮

考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷.

2.答案：C

2

解析：解：雙曲線的標準方程為/一v卷=1,

4

則焦點在久軸上，且a=1,b2=；,

貝H=a2+b2=1+-=

44

則禺心率e=-=—9

a2

故選：c

將雙曲線化為標準方程，結(jié)合雙曲線離心率的定義進行求解即可.

本題主要考查雙曲線離心率的計算，根據(jù)雙曲線的標準方程求出a,6,c是解決本題的關(guān)鍵.比較基

礎(chǔ).

3.答案：D

解析：解：先后拋擲一個質(zhì)地均勻的骰子兩次，其結(jié)果有36種.

函數(shù);'(?有極值點，需使/(久)=3x2+2ax+b=。有兩個不同的根，

故4a2—126>0,即a2>3b.當a=2時,有1種；

當a=3時，有2種；當a=4時，有5種；

當a=5時，有6種；當a=6時，有6種，

故函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c有極值點的概率為：

P=-1-+2-+--5+-6-4--6=5

l369

先后拋擲一個質(zhì)地均勻的骰子兩次，其結(jié)果有36種.函數(shù)f(x)有極值點，需使((X)=3/+2ax+

b=0有兩個不同的根，由此能求出函數(shù)/'(X)=%3+ax2+bx+c有極值點的概率.

本題考查極值點、古典概型等基礎(chǔ)知識，意在考查基本運算能力和轉(zhuǎn)化化歸思想的運用，是中檔題.

4.答案:B

解析：試題分析：由方差（標準差）的概念知，數(shù)據(jù)方差（標準差）越小，樣本數(shù)據(jù)分布越集中、穩(wěn)定,

數(shù)據(jù)極差越小，只是說明數(shù)據(jù)的最大和最小的差別小，并不代表數(shù)據(jù)的分布集中情況，故選c

考點：本題考查了統(tǒng)計的運用

點評：掌握極差、平均數(shù)、標準差、方差的概念是解決此類問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題

5.答案：D

解析：

本題考查命題真假的判斷，涉及到圓錐的側(cè)面積、體積等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、空間思維

能力等核心素養(yǎng)，是中檔題.

根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式、體積公式計算沙漏側(cè)面積和細沙體積，根據(jù)細沙體積不變計算細沙落下后

的高度，根據(jù)體積計算沙時.

解：對于4,沙漏的側(cè)面積為s=2itRL=2兀?：-J82+（I）?=32V^mn3,故A錯誤；

對于8,設(shè)細沙在上部時，細沙的底面半徑為r,貝卜=|x4=|cm,

所以細沙的體積為％=?兀x$2x￡=噤兀cm3,故2錯誤；

對于C,設(shè)細沙流入下部后的高度為色,根據(jù)細沙體積不變可知：

-7Tx（-｝義fl】=解得九i=2.4cm,故C錯誤；

3\2718127

對于。，該沙漏的一個沙時為：9盧+0.02=衛(wèi)等上x50p1985秒，故。正確.

ol81

故選：D.

6.答案：C

解析：解：根據(jù)頻率分布直方圖得；

該居民小區(qū)年齡在［30,45）內(nèi)的頻率為

1-（0.024-0,06）x5=0.6,

所以，該年齡段的人數(shù)是

150x0.6=90人；

所以，年齡在［35,40）的頻數(shù)為

90-（39+21）=30.

故選：C.

根據(jù)頻率和為1,求出年齡在［30,45）內(nèi)的頻率以及頻數(shù)，即可求出年齡在［35,40）的頻數(shù).

本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問題，也考查了頻率t的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目.

樣本谷里

7.答案：D

__v

解析：解：聯(lián)立=a2b2,解得%=君量，

聯(lián)立生f2：2=a2b2,解得川=言\

可得外一3^=*葭+/=口，化為：。=百6,r/>x

可得e=”J1一(今2=圣'V

同理：把直線方程y=-g無，y=—gx—a與橢圓方程分別聯(lián)立，

可得：而一%=備+*=口,化為a=b,

此時橢圓不存在.

.?橢圓C的離心率的取值范圍為(0,凈.

故選：D.

(V=—X(V=-X—a

聯(lián)立72V2+Q2%2_力2,解得，N，聯(lián)立182V2%02%2_Q2力2,解得，利用"一丫"=。，化為

I。yru.A-u.uy?u.A-Ltu

a=<3b,求得橢圓離心率；同理把直線方程丫=-號x,y=-gx-a與橢圓方程分別聯(lián)立，再由

yN-yM^a,化為a=6,可得橢圓離心率大于0成立，即可求出橢圓離心率的范圍.

本題考查了直線與橢圓相交問題、離心率計算公式、平行四邊形的性質(zhì)、相互平行的直線斜率之間

的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

8.答案：C

解析：

本題主要考查數(shù)學(xué)的基本概念：命題、回歸直線、軌跡、解三角形.是基本知識的考查.

利用逆命題的真假判斷選項A的正誤；回歸直線方程的性質(zhì)判斷B的正誤;橢圓的定義判斷C的正誤；

三角形的性質(zhì)以及正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷D的正誤；

解：選項4“若冷，則a>6>?！钡哪婷}為：若a>b>。，則!■顯然是真命題；

選項8：線性回歸直線？=+G必過樣本點的中心，所以8正確；

選項C：因為點(1,0)和(0,1)之間的距離為魚，所以在平面直角坐標系中到點(1,0)和(0,1)的距離的和

為魚的點的軌跡為線段，所以C不正確；

選項D：在銳角A4BC中，有a+8>M貝吟>4>,一B>0,所以1>sinA>sin?-B)=cosB>0,

可得siMa>COS2B,所以。正確；

故選：C.

9.答案:D

解析：解：連接。E,OF,

E是卷的中點，二F是比的中點，

???CDLOF,X---EF100,EFLCD,

■：CDOOF=0,OFu平面。EF,CDu平面。EF,

???CD_L平面。EF,OEu平面。EF,OD1OE,

-：AB//DO,.?.異面直線DE與力B所成的角為NEDO,

設(shè)4D=1,則。D=限，；.CD=/，OF=―,EF=1,

22

OE=J12+凈=

V6_

???tan^EDO=迫=壬=5

ODv2

2

0<乙EDO<n,/-EDO=

故選：D.

通過平移線段法得到NEDC是異面直線DE與AB所成角，再證明CD1平面OEF,得證OD1OE,進而

求出。E,。。的長度，即可求出NEDO的大小.

本題考查異面直線所成角的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查直

觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)，是中檔題.

10.答案：D

解析：解:因為函數(shù)滿足”2)/(3)<0,/(3)/(4)<0,7(4)/(5)<0,

所以函數(shù)〃久)在區(qū)間［1,6］上有零點至少有3個零點，

故選：D.

直接利用核對零點判定定理推出結(jié)果即可.

本題考查函數(shù)的零點判定定理的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

11.答案：V6

解析：解：AB=(1,2,-1).

\AB\=\AB\=Vl2+22+(-l)2=V6.

故答案為：A/6.

計算四，利用摸的計算公式即可得出.

本題考查了向量坐標運算法則、模的計算公式，考查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計算能力，屬于

基礎(chǔ)題.

12.答案：存在xeR,/_/+]>()

解析：因為利用全稱命題的否定為特稱命題可知其否定為：

存在xeR,/+1>0。

13.答案：3兀+4

解析：解：由三視圖可知：原幾何體為圓柱的一半，(沿中軸線切開)

由題意可知，圓柱的高為2,底面圓的半徑為1,

故其表面積為S=2x|7ixl2+2x2+|x27rxlx2=37r+4

故答案為：3兀+4

原幾何體為圓柱的一半，且高為2,底面圓的半徑為1,表面積由上下兩個半圓及正面的正方形和側(cè)

面圓柱面積構(gòu)成，分別求解相加可得答案.

本題考查由幾何體的三視圖求面積，由三視圖得出原幾何體的形狀和數(shù)據(jù)是解決問題的關(guān)鍵，屬基

礎(chǔ)題.

14.答案：V3

解析：解：???點P在線段。4的延長線上，

二設(shè)加=4瓦5(/1>1)，由瓦？?麗=6，得川土？『=6，可得a=看，

設(shè)2(x,y),P(m,n),

666%24

可得m=/Lr=——~?X=-----------2~?X=3——

29

%+y%2+(4告)-X+43x+—x

研究點P橫坐標巾的最大值，根據(jù)力點在橢圓上，設(shè)久6(0,4),

可得3x+^x>2J3x-=8V3,當且僅當3x=?取等號,

2424

???m==遍.

3X+￡-8V5

由此可得：當且僅當3'=?,即4點橫坐標一竽時,P點橫坐標的最大值為后

故答案為：V3.

f-24

根據(jù)向量共線定理設(shè)設(shè)行=2示，得4=春，設(shè)4(x,y)，P(m,n),得小=丘=豆甘，由此借助

均值定理能求出線段0P在x軸上的投影的最大值.

本題已知橢圓上的動點滿足的條件，求點P橫坐標的最大值.著重考查了向量的數(shù)量積及其運算性質(zhì)、

向量的坐標運算公式、基本不等式與橢圓的簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題.

15.答案：解：由題意可得列聯(lián)表：

不常吃零食常吃零食總計

不患齒離齒60100160

患脯齒140500640

總計200600800

因為1=嗎黑以黑Z*16.667>10,828.

所以能在犯錯率不超過0.001的前提下，為該區(qū)學(xué)生常吃零食與患蹣齒有關(guān)系.

解析：先作出2x2列聯(lián)表，再利用公式求出K2的值，與臨界值比較，即可得到結(jié)論.

本題主要考查了獨立性檢驗知識，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題.

16.答案：解：(l)f(x)=-ax+(a-1)+^=9+嚴-。,(久>。).

①a20時，/Q)在(0,1)上遞增，在(1,+8)上遞減；

②a<0時，/'(x)=0的兩根為一，，1

若一(=1,即a=-l時，/(%)在(0,+8)上遞增；

若—,即a<—1時，/(%)在(0,—》上遞增，(一11)上遞減，(1,+8)上遞增；

且/(—，)=一1+/+In(-：)<0,故此時/(x)在(0,+8)上有且只有一■個零點.

若一1>1,即—l<a<0時，/(%)在(0,1)上遞增，(1,一：)上遞減，(―，+8)上遞增;

且/(I)=：—1<0,故此時/(久)在(0,+8)上有且只有一個零點.

綜上所述：a<—1時，/(%)在(0,-9上遞增，(一11)上遞減，(1,+8)上遞增；

a=-l時,f(x)在(0,+8)上遞增；

-l<a<0時，/(久)在(0,1)上遞增，(1,一》上遞減，(一1+8)上遞增；

a20時，/(x)在(0,1)上遞增，在(1,+8)上遞減；

(2)證明：/(1-%)</(1+%)

11

—2a(1-%)2+(0—1)(1—%)4~ln(l—%)<——cz(l+—1)(1+%)+ln(l+%)

02%+ln(l—x)—ln(l+%)<0,

設(shè)<9(%)=2%+ln(l—%)—ln(l+%),xE(0,1).

?

?”?g''()%)=2——l-x----l-+-x=—l-—x2i<0-

???g(%)在％e(0,1)上單調(diào)遞減，

??.g(%)<g(0)=0得證.

(3)由(1)知，函數(shù)/(%)要有兩個零點汽i，冷，貝，/⑴=2一1>0，

a>2.

不妨設(shè)0<%1<1V%2，

???由(2)得f(2-%2)=/(1+1-%2)>/(%2)=/(%1)=0.

???2—%2>，

??.—<1.

2

>0.

解析：⑴/⑴=_a久+(a_1)+；(ax+?d),(尤>0).對a分類討論，即可得出函數(shù)f(x)的單

調(diào)性.

1r1o

(2)/(1-%)</(!,+x)。—5a(1—x)+(a-1)(1-%)+ln(l-%)<—5a(1+%)+(a—

1)(1+x)+ln(l+久)=2x+ln(l—x)—ln(l+x)<0,設(shè)g(x)=2x+ln(l—x)—ln(l+x),x6

(0,1).利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可證明結(jié)論.

,(a>0

(3)由(1)知，函數(shù)f(久)要有兩個零點X1，%2,貝=q_]>0,可得a>2.不妨設(shè)0<久1<1<%2，

利用(2)的結(jié)論可得：/(2—久2)=/(1+1—工2)>/(%2)=/(%】)=。，進而得出結(jié)論.

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、等價轉(zhuǎn)化方法、分類討論方法、方程與不等式

的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題.

17.答案：解：(/)證明：側(cè)面BBiQC,.?.力

在ABCiC中，BC=1,CQ=BBr=2,NBCQ=g,

由余弦定理得BC/=BC2+CCl-2BC-CQCOSg=l2+22-2x1x2Xj=3,.-.5^=73.

故有8c2+BCl=CCf,???CrB1BC,

WCnXF=BS.AB,BCu平面ABC,

C±B1平面ABC.

(〃)如圖所示：以線段BN1為直徑畫圓。，分別交線段CQ于點E、Q./\

下面說明點E、&是上述所畫的圓與線段CG的交點.-TV—

5ss

①BiG=OB1—1,Z.OB1C1=.-.AOBiG是正三角形，二。。1—1，(

即點G在所畫的圓上.

②作。K1CG，垂足為K,取EK=KG，則點E也在所畫的圓上.

?；0E=。6=1,.?.點E也在所畫的圓上.

???CCJ/BBi，??.NOBE=NOBiG=g,.?.△OBE是正三角形，.?.EB=1,

EB=BC=1,又乙BCE=pBCE為正三角形，:CE=1,即E點是線段CC1的中點.

下面證明點E滿足條件.

-AB1側(cè)面BBiGC,B［E1BE,據(jù)三垂線定理可得當E1AE.

故線段CG的中點E即是要求的點.

解析：(I)要證明c/1平面ABC,根據(jù)線面垂直的判定定理可知：需要證明QB垂直于平面4BC內(nèi)

的兩條相交直線即可.由已知力B1側(cè)面BBiGC,即可得到481BC1；在ACC/中，先使用余弦定

理求出BCi的長，進而再使用勾股定理得逆定理即可證得BQ1BC.

(口)由于48，側(cè)面BBiGC,要在線段CG上找一點E,滿足B1E14E,根據(jù)三垂線定理，只要E點滿

足B1E1BE即可.若以線段為直徑畫圓與線段CC1的交點(去掉點C、Q)即可滿足要求.

本題綜合考查了線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理及三垂線定理，深刻理解以上定理是解決問題的關(guān)

鍵.

18.答案:解：(1)/'(久)=3/一2a久—1(3分)

1)—3+2a—1—0a=—1/(x)—x3+x2-x—1/z(x)=3x2+2x—1

由.?.f'(x)=0可得久=［或x=-1

又f?=-||./(-2)=-3J(3)=32,/(-l)=0

.-?在［—2,3］上的最小值為—3.(9分)

⑶??,/'(%)=3x2-2ax-1圖象開口向上,且恒過點(0,-1)

由條件可得：??.((-2)N0,11+4a20即：a2-今由尸⑶20得awf

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a的取值范圍是(14分)

解析：(1)由已知中函數(shù)f(x)=x3—&/—尤+a,根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解公式，代入即可求出導(dǎo)數(shù)((久)；

(2)若/(-1)=0,我們構(gòu)造關(guān)于a的方程，解方程，即可求出參數(shù)a的值，進而求出(。)的解析式,

分別函數(shù)的在各區(qū)間上的符號，求出區(qū)間［-2,3］的最值點，代入即可求出［-2,3］上的最大值和最小值;

⑶由若/(x)在(一8,-2］和［3,+8)上都是遞增的，結(jié)合已知中((%)=3久2-2ax—1圖象開口向上,

且恒過點可轉(zhuǎn)化為((-2)20,解不等式即可求出a的取值范圍.

本題考查的知識點是利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)

的關(guān)系，其中根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)值之間的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化