2021-2022學年黑龍江省齊齊哈爾市龍沙區(qū)九年級（上）期末數學試卷（解析版）

2021-2022學年黑龍江省齊齊哈爾市龍沙區(qū)九年級第一學期期末

數學試卷

一、單項選擇題（每小題3分，共計30分）

1.cos60°的倒數是（）

A.B.

2

3.下列事件中，屬于不可能事件的是（）

A.擲一枚骰子，朝上一面的點數為5

B.某個數的相反數等于它本身

C.任意畫一個三角形，它的內角和是178°

D.在紙上畫兩條直線，這兩條直線互相垂直

4.若根是方程好-%-1=0的一個根，則機2_形+2020的值為（）

A.2019B.2020C.2021D.2022

5.如圖，正六邊形A5CD石廠內接于。0,半徑為4,則這個正六邊形的邊心距0M的長為

c.MD.4?

6.如圖，在平行四邊形ABC。中，點M為CD的中點，AM與相交于點N,若已知

DMN=3，那么等于（）

B

A.m>9B.用n9C.m<-9D.mW-9

9.如圖，將等邊三角形OAB放在平面直角坐標系中，A點坐標（1,0）,將△OAB繞點O

逆時針旋轉60°,則旋轉后點B的對應點方的坐標為（）

10.已知二次函數y=or2+bx+cQWO）的圖象如圖所示，有下列5個結論：

①a6c<0；?b<a+c-③2a+b=0；@4ac-b2<0；⑤（iam+b）（%Wl）.其中

正確的結論有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

二、填空題（本題共計7小題，每題3分，共21分）

11.某商場一月份利潤為100萬元，三月份的利潤為121萬元，則該商場二、三月利潤的平

均增長率為x,則可列出方程為.

12.如圖，在△ABC中，。是線段AB上的一點（不與點A,B重合），連接CZ）.請?zhí)砑?/p>

一個條件使AABC與△D2C相似，這個條件可以是（寫出一個即可）.

13.已知一個圓錐的側面展開圖是一個圓心角為120。，面積為12互加2的扇形，則這個圓

錐的高是cm.

q

14.若關于x的一元二次方程近2-3x-弓=0有實數根，則實數%的取值范圍是.

4

15.如圖，反比例函數y=上■的圖象經過對角線的交點尸，已知點A、C、￡＞在坐標

x

軸上，BDA.DC,nABC。的面積為8,貝U左=.

16.如圖，在RtZkABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,點、E,尸分別在邊BC,AC上，

沿EF所在的直線折疊/C,使點C的對應點。恰好落在邊AB上，若△所C^AABC

相似，則AD的長為

A

17.二次函數yn%2的圖象如圖所示，點Ao位于坐標原點，點4,A2,A3,....,A2020在y

軸的正半軸上，點囪，&,B3,……，&020在二次函數y=T位于第一象限的圖象上，

△AoBiAi,△AI2A2,223A3,......,△Azoig&ccoAzozo都是直角頂點在拋物線上的等腰

直角三角形，則△A2020&021A2021的斜邊長為.

三、解答題。(本題共計7小題，共計69分)

18.計算：(it-2011)°+(sin600)1-|tan30°-V3I+^8,

19.解方程：

(1)3x2-4x-2=0；

(2)5x(x-2)=2(x-2).

20.為了解某地七年級學生身高情況，隨機抽取部分學生，測得他們的身高(單位：cm),

并繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請結合圖中提供的信息，解答下列問題.

(1)填空：樣本容量為,a=；

(2)把頻數分布直方圖補充完整；

(3)若從該地隨機抽取1名學生，估計這名學生身高低于160cm的概率.

學生身高頻數分布直方圖學生身高扇形統(tǒng)計圖

(每組合最小值)

21.如圖，以點。為圓心，AB長為直徑作圓，在OO上取一點C,延長AB至點D,連接

DC,ZDCB=ZDAC,過點A作交DC的延長線于點E.

(1)求證：。是O。的切線；

(2)若CZ)=4,DB=2,求AE的長.

22.如圖一次函數yi=hx+3的圖象與坐標軸相交于點A(-2,0)和點8,與反比例函數

>2=絲(x>0)的圖象相交于點C(2,in).

x

(1)求出一次函數與反比例函數的解析式；

(2)若點尸是反比例函數圖象上的一點，連接CP并延長，交x軸正半軸交于點若

PD-CP=1：2時，求△(%)尸的面積；

(3)在(2)的條件下，在y軸上是否存在點。，使尸。+C。的值最小，若存在請直接寫

出PQ+CQ的最小值，若不存在請說明理由.

23.等腰直角三角形ABC中，ZACB=90°,AE為/BAC的角平分線，交BC于點、E,點、

。為AB的中點，連結C。交AE于點G,過點C作CFLAE,垂足為點八交AB于點”.

(1)如圖1,AG與C8的數量關系為；案?的值為；

(2)如圖2,以點C為位似中心，將△C4E做位似變換，得到△CAE,使△。4囚與4

CAE的相似比為％(0<^<1),AE與C。、S的交點分別為G，，尸，隱去線段AE,

試求狀”的值;

Au

(3)如圖3,將(2)中的等腰直角三角形改為等腰三角形，NB=30°,且其他條件不

變，

-CF'

①女了”的值為_______.

Av

②若CF=、Q,直接寫出△AGC的面積.

24.如圖，拋物線丁=?2+6尤+。與x軸交于A(-1,0),B(3,0)兩點，與y軸交于點C

(0,3),拋物線的頂點為D,連接BC,P為線段BC上的一個動點(P不與B、C重

合),過點尸作尸尸〃》軸，交拋物線于點E交x軸于點G.

(1)求拋物線的解析式；

(2)當PG=2P/時，求點尸的坐標；

(3)連接C。、BD、CF、BF,當ACB歹的面積等于△CB。的面積時(點尸與點。不重

合)，求點尸的坐標；

(4)在(3)的條件下，在y軸上，是否存在點。使△CPQ為等腰三角形，若存在，

請直接寫出點。的坐標，若不存在，請說明理由.

參考答案

一、單項選擇題（每小題3分，共計30分）

1.cos60°的倒數是（）

A.B.」C.22

D.

2277

【分析】首先知道cos60。的值，然后再求其倒數.

解：cos60°=p

cos60°的倒數是2,

故選：C.

【分析】根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解.

解：A、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形.故本選項正確;

8、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形.故本選項錯誤；

C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形.故本選項錯誤；

。、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形.故本選項錯誤.

故選：A.

3.下列事件中，屬于不可能事件的是（）

A.擲一枚骰子，朝上一面的點數為5

B.某個數的相反數等于它本身

C.任意畫一個三角形，它的內角和是178。

D.在紙上畫兩條直線，這兩條直線互相垂直

【分析】根據不可能事件的意義，結合具體的問題情境進行判斷即可.

解：A、擲一枚骰子，朝上一面的點數為5是隨機事件，因此選項A不符合題意；

8、某個數的相反數等于它本身是隨機事件，因此選項8不符合題意；

C、任意畫一個三角形，它的內角和是178。是不可能事件，因此選項C符合題意；

。、在紙上畫兩條直線，這兩條直線互相垂直是隨機事件，因此選項。不符合題意；

故選：C.

4.若根是方程N-x-1=0的一個根，貝?。?層-m+2020的值為()

A.2019B.2020C.2021D.2022

【分析】利用一元二次方程根的定義得到然后利用整體代入的方法計算m?

-771+2020的值.

解：???根是方程x2-x-1=0的一個根，

/.m2-777-1=0,

/.m2-m=1,

Am2-771+2020=1+2020=2021.

故選：C.

5.如圖，正六邊形ABC。所內接于。。，半徑為4,則這個正六邊形的邊心距的長為

()

A.2B.273C.弧D.4^3

【分析】連接OC、OB,證出△BOC是等邊三角形，根據銳角三角函數的定義求解即可.

解:如圖所示，連接OC、0B

;多邊形ABCDEF是正六邊形，

AZBOC=60°,

?：OA=OB,

/.△BOC是等邊三角形，

/.ZOBM=60°,

OM=OBsmZOBM=4X浮=2?,

故選：B.

6.如圖，在平行四邊形ABC。中，點〃為C。的中點，AM與8。相交于點N,若已知S4

A.6B.9C.12D.3

【分析】證ADMNs/\BAN得DN：NB=DM：AB=MN：AN=1：2,據止匕知S^ZWN：S

△ADN=MN：AN=1：2,從而得出答案.

解：在口ABC。中，^DC//AB,AB=CD,

??,點〃為8的中點，

：.AB=2DM,

:?叢DMNsABAN,

：.DN：NB=DM：AB=MN：AN=1：2,

:?SADMN：SLADN=MN:AN=1：2,

?:叢DMN=3,

??SAADN=6,

7.若拋物線y=12-6x+加與x軸沒有交點，則機的取值范圍是（）

A.m>9B.m29C.m<-9D.mW-9

【分析】利用根的判別式△VO列不等式求解即可.

解：:?拋物線y=x2-6x+m與x軸沒有交點，

A=b2-4〃c<0,

???(-6)2-4X1?小VO,

解得m>9,

Am的取值范圍是m>9.

故選：A.

【分析】根據一次函數的性質和反比例函數的性質，可以判斷各個選項中的圖象是否正

確.

解：當機V0,幾＞0時，函數〃的圖象經過第一、二、四象限，y=（加盧。）的

x

圖象在第二、四象限，故選項A錯誤、選項。正確；

當機＞0,〃＞0時，函數y=mx+〃的圖象經過第一、二、三象限，了=^^（11111卉0）的圖

x

象在第一、三象限，故選項5錯誤；

當相＞0,〃V0時，函數〃的圖象經過第一、三、四象限，了=^咀（1101戶0）的圖

x

象在第二、四象限，故選項C錯誤；

故選：D.

9.如圖，將等邊三角形放在平面直角坐標系中，A點坐標（1,0）,將△O4B繞點。

逆時針旋轉60°,則旋轉后點8的對應點"的坐標為（）

C.(--1,

【分析】如圖，故點2作BHLOA于區(qū)設2次交y軸于工求出點3的坐標，證明3,

B'關于y軸對稱，即可解決問題.

解：如圖，故點8作皮于X,設28'交y軸于J.

：.OA=1,

?.?△AOB是等邊三角形，BH1OA,

：.OH=AH=^-OA=^,88=.而汨=淬,

VZAOB=ZBOB'=60°,ZJOA=90°,

AZBOJ=ZJOB'=30°,

?：OB=OB，,

：.BB'±OJ,

：.B,B'關于y軸對稱，

故選：A.

10.已知二次函數y=〃x2+bx+c(Q#0)的圖象如圖所示，有下列5個結論：

①〃hcVO；②Z?V〃+c；③2〃+/?=0；@4ac-b2<0；⑤)a+b<m(am+b)(mv￡l).其中

正確的結論有()

A.2個B.3個C.4個D.5個

【分析】由圖象可獲?。洪_口向下，a<0；對稱軸為直線工=-1,b=2a<0；拋物線與

y軸的交點在y軸正半軸，。>0；拋物線與冗軸有兩個不同的交點，△=b2-4ac>0；當

元=-1時，y有最大值.再結合選項進行判斷即可.

解：???開口向下，

???對稱軸為直線X=-1,

；?b=2a<3

故③不正確；

???拋物線與y軸的交點在y軸正半軸，

.*.c>0,

abc>Of

故①不正確；

當％=-1時，y>0,

.\a-/?+c>0,

:.b〈a+c,

故②正確；

???拋物線與x軸有兩個不同的交點，

A=b2-4ac>0,

故④正確；

?.?當x=-1時，y有最大值，

.'.a-b+c^m(ain+b)+c(m#l),

故⑤不正確；

綜上所述：②④正確，

故選：A.

二、填空題(本題共計7小題，每題3分，共21分)

11.某商場一月份利潤為100萬元，三月份的利潤為121萬元，則該商場二、三月利潤的平

均增長率為x,則可列出方程為100(1+x)2=21.

【分析】本題為增長率問題，一般用增長后的量=增長前的量X(1+增長率)，利潤的

平均月增長率為x,那么根據題意即可得出121=100(1+尤)2.

解：設該商場二、三月利潤的平均增長率為X,

由題意得：100(1+x)2=121,

故答案是：100(1+x)2=121.

12.如圖，在aABC中，。是線段4B上的一點(不與點A,B重合)，連接CD.請?zhí)砑?/p>

一個條件使AABC與△DBC相似，這個條件可以是或

【分析】根據相似三角形的判定方法解決問題即可.

解：在△ABC和△DBC中，

---ZB=ZB,

添加NBCO=NA或/CDB=/BCA或絲=里，ABCD^ABAC.

ABBC

故答案為：/8。=/4或/(?。8=/8。1或獸=罌.

ABBC

13.已知一個圓錐的側面展開圖是一個圓心角為120。，面積為12Tte源的扇形，則這個圓

錐的高是4^/?.cm.

【分析】首先利用扇形面積公式求出扇形的半徑，進而求出底面圓的半徑，再利用勾股

定理求出圓錐的高即可.

解：設母線長為ran,底面圓的半徑為Rem,

2

弋_120n-r_

J扇形---------------------]/冗,

360

解得：r=6,

底面圓的周長為：1日尸=2TTR,

ioU

解得：R=2,

2

，這個圓錐的高是：6~2J=4V2(cm).

故答案為：歷.

14.若關于x的一元二次方程近2-3x-弓=0有實數根，則實數上的取值范圍是-1

4

且20.

【分析】根據一元二次方程的定義，首先二次項系數不為0,其次有實數根的條件是

0,列出不等式即可求解.

解：?.?履2-2%-3=0有實數根，

，戶0

(-3)2-4k*(―

解得人》-1且20,

故答案為k2-1且k￥0.

15.如圖，反比例函數丫=上■的圖象經過oABCD對角線的交點P,已知點A、C、。在坐標

x

軸上，BDLDC,nABCZ)的面積為8,貝I]k=一4.

【分析】由平行四邊形面積轉化為矩形8。。4面積，在得到矩形PDOE面積，應用反比

例函數比例系數k的意義即可.

解：過點P作軸于點E,

???四邊形ABCD為平行四邊形，

：.AB^CDf

又??,8D，x軸，

J.ABDO為矩形，

.\AB—DOf

??S矩形ABQO=SQA8CZ)=8,

???P為對角線交點，尸EL軸，

???四邊形PDOE為矩形面積為4,

,/反比例函數y=上的圖象經過。ABCD對角線的交點尸，

X

???|向=8矩形PDOE=4，

?.?圖象在第二象限，

k<0,

k=-4,

故答案為-4.

16.如圖，在RtZvl3c中，ZC=90°,AC=3,3c=4,點E,尸分別在邊BC,AC上，

沿EF所在的直線折疊NC,使點C的對應點。恰好落在邊AB上，若4EFC和△MC

Q5

相似，則AO的長為菖或9,

一5一2一

【分析】△(?￡尸與△A2C相似，分兩種情況：①若CP：C￡=3：4,止匕時￡尸〃AB,CD

為AB邊上的高；②若CE：CF=3：4,由相似三角形角之間的關系，可以推出

ECD與/A=/FCD,從而得到CD=AD=BD,即D點、為AB的中點.

解：若與3c相似，分兩種情況：

①若CF：C￡=3：4,

VAC：BC=3：4,

:.CF：CE=AC：BC,

J.EF//AB.

連接CD,如圖1所示：

由折疊性質可知，CDLEF,

：.CD±AB,即此時CD為AB邊上的高.

在RtZkABC中，VZACB=90°,AC=3,BC=4,

22

.\AB=7AC+BC=5,

3Q

.\AD=AC9COSA=3X—=—；

55

②若CE：CF=3：4,

VAC：BC=3：4,ZC=ZC,

.,.△CEF^ACAB,

AZCEF=ZA.

連接CD,如圖2所示：

由折疊性質可知，ZCEF+ZECD=90°,

又：NA+NB=90°,

，ZB=ZECD,

：,BD=CD.

同理可得：ZA=ZFCD,AD=CD,

.?.D點為AB的中點，

1R

：.AD=-^-AB=^；

故答案為：接或之.

b2

17.二次函數y=%2的圖象如圖所示，點A。位于坐標原點，點4,人2,A3,.............,A2020在y

軸的正半軸上，點3,&,B3,……,&020在二次函數位于第一象限的圖象上，

△AoBiAi,Z\Ai82A2,△A233A3,.............，△A201932020A2020都是直角頂點在拋物線上的等腰

直角三角形，則△A2020B2021A2021的斜邊長為4042

【分析】過點31作y軸的垂線B1G交y軸于點Ci,過點比作y軸的垂線&C2交y軸于

點。2,...........,過點32020作y軸的垂線3202002020交y軸于點。2020,由等腰直角三角形的

性質，分別求出。41=2,A1A2=4,...,從而發(fā)現規(guī)律，即可求&202血021=4040.

解：如圖：過點歷作y軸的垂線51G交y軸于點G,過點&作y軸的垂線32c2交y軸

于點G,...........，過點C020作y軸的垂線520200020交y軸于點GO2O,

設51(Xl,yi),B2(%2,>2),%(X3,>3),.............,&021(%2021,y2021),

???AAoBiAi是等腰直角三角形，

???OCi=BiCx,

「Bi在二次函數y=/上，

?—2

..Xi—xr,

??.陽=1或％i=0(舍去)，

.,.Bi(1,1),

.\OAi=2f

Z\A由2A2是等腰直角三角形,

A1C2—B2C2,

???良在二次函數y=X2上，

2+X2=X22,

??.％2=2或X2=-1(舍去)

：.B2(2,4),

??AIA2=4,

042=6,

???AA2B3A3是等腰直角三角形,

/.A2C3—B3C3,

二治在二次函數y=%2上，

6-^X3=X32,

??.％2=3或九2=-1(舍去)

：.B3(3,9),

??.A2A3=6,

A2020A2021—2X2021=4042,

故答案為4042.

三、解答題。（本題共計7小題，共計69分）

18.計算：(互-2011)°+(sin60°)1-|tan30°-代|+我.

【分析】本題涉及零指數累、負指數幕、特殊角的銳角三角函數值、立方根、絕對值的

性質.在計算時，需要針對每個考點分別進行計算，然后根據實數的運算法則求得計算

結果.

解：原式=1*哼一技2

=3.

19.解方程:

(1)3x2-4.x-2=0；

(2)5x(x-2)=2(x-2).

【分析】（1）利用公式法求解可得;

（2）利用因式分解法求解可得.

解：(1)'.'a=3,b=-4,c=-2,

A=(-4)2-4X3X(-2)=40>0,

.--b±'b2_4ac_4±2技_2±板

2a2X33

._2+/102-V10

??，X2

33

(2)5x(x-2)=2(x-2),

5x(x-2)-2(x-2)=0,

(x-2)(5%-2)=0,

'.x-2=0或5x-2=0,

.'.X\=2,%2=-1-.

5

20.為了解某地七年級學生身高情況，隨機抽取部分學生，測得他們的身高(單位：cm),

并繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請結合圖中提供的信息，解答下列問題.

(1)填空：樣本容量為100,a=30；

(2)把頻數分布直方圖補充完整；

(3)若從該地隨機抽取1名學生，估計這名學生身高低于160cm的概率.

學生身高頻數分布直方圖學生身高扇形統(tǒng)計圖

(每組合最小值)

【分析】(1)用A組的頻數除以它所占的百分比得到樣本容量，然后計算2組所占的百

分比得到a的值；

(2)利用2組的頻數為30補全頻數分布直方圖；

(3)計算出樣本中身高低于160cm的頻率，然后利用樣本估計總體和利用頻率估計概率

求解.

解：(1)15米/=100,

360

所以樣本容量為100；

B組的人數為100-15-35-15-5=30,

所以a%=^~_..-X100%=30%,則a=30；

故答案為100,30；

(2)補全頻數分布直方圖為:

學生身高頻數分布直方圖

（每組合最小值）

（3）樣本中身高低于160cm的人數為15+30=45,

樣本中身高低于160cm的頻率為肅=0.45,

所以估計從該地隨機抽取1名學生，估計這名學生身高低于160cm的概率為0.45.

21.如圖，以點。為圓心，長為直徑作圓，在。。上取一點C,延長至點。，連接

DC,/DCB=NDAC,過點A作交。C的延長線于點E.

（1）求證：CD是。。的切線；

（2）若CO=4,DB=2,求AE的長.

【分析】（1）連接。C,如圖，根據圓周角定理得到/ACB=90°,即/2C0+/AC0=

90°,求得NOCA=NDCB,得到/DCO=90°,根據切線的判定定理得到CD是。。

的切線；

（2）根據勾股定理得到。2=3,求得42=6,根據切線的性質得到AE=CE,根據勾股

定理即可得到結論.

【解答】（1）證明：連接。C,OE,如圖，

'：AB為直徑，

ZACB=90°,即/BCO+/1=90°,

又,:ZDCB=ZCAD,

?：ZCAD=ZOCA,

：.ZOCA=ZDCB,

：.ZDCB+ZBCO^90°,

即NDC0=9。,

???OC是。。的半徑，

???CO是。。的切線；

(2)解：VZDCO=90°,OC=OB,

：.OB2+42=(08+2)2,

/.OB—3,

.\AB=6,

"AE1AD,AB是O。的直徑，

.?.AE是。。的切線，

..?CD是OO的切線；

：.AE=CE,

-,-AD-+AEr=DE2,

：.(6+2)2+A￡2=(4+AE)2,

解得AE=6.

22.如圖一次函數力="什3的圖象與坐標軸相交于點A(-2,0)和點8,與反比例函數

以=±2(x>0)的圖象相交于點C(2,m).

x

(1)求出一次函數與反比例函數的解析式；

(2)若點尸是反比例函數圖象上的一點，連接CP并延長，交x軸正半軸交于點D,若

PD：CP=1：2時，求△口?尸的面積；

(3)在(2)的條件下，在y軸上是否存在點。，使PQ+CQ的值最小，若存在請直接寫

出PQ+CQ的最小值，若不存在請說明理由.

【分析】(1)用待定系數法即可求解；

(2)證明△PEDs^cED,則獸=坐，而尸CP=1：2,C點坐標為(2,6),利

CECD

用S/\COP=S2COD-S^POD,即可求解；

(3)作C關于y軸的對稱點U,連接，交y軸于Q,此時,PQ+QC=P。，PQ+CQ

的值最小，最小值為尸。的長，利用勾股定理求得即可.

解：⑴I?一次函數尸%卅3的圖象與坐標軸相交于點A(-2,0),

3

-2左i+3=0,解得左1=5，

3

???一次函數為：尸■|■x+3,

q

??,一次函數》=萬計3的圖象經過點C(2,m).

3

2+3=6,

???C點坐標為(2,6),

???反比例函數丁2=5~(%>0)經過點C,

X

Afa—2X6=12,

19

???反比例函數為：y=—；

x

(2)作CE_LOO于E,PFLOD^F,

J.CE//PF,

：.LPFDs^CED,

.PF=PD

?而一而‘

,:PD：CP=1：2,C點坐標為(2,6),

：.PD：CD=1：3,CE=6,

.PF_1

,工一百’

：.PF=2,

點的縱坐標為2,

19

把y=2代入”=—求得X=6,

x

：.P(6,2),

設直線CD的解析式為y=ax+b,

2a+b=6a=-l

把C(2,6),尸(6,2)代入得，解得，

6a+b=2b=8

直線CD的解析式為y=-x+8,

令y=0,則x=8,

：.D(8,0),

.?.00=14,

:.SACOP=SACOD-5APOD=-^-X8X6--^-X8X2=16；

(3)存在，理由如下：

作C關于y軸的對稱點U,連接尸。，交y軸于。此時PQ+CQ的值最小，最小值

為P。的長，

VC(2,6),P(6,2),

：.C(-2,6),

:-PC'=V(6+2)2+(2-6)2=4VS.

故PQ+CQ的最小值為475.

23.等腰直角三角形ABC中，ZACB=90°,AE為NBAC的角平分線，交BC于點、E,點

。為AB的中點，連結C。交AE于點G,過點C作CVLAE,垂足為點E交AB于點H.

⑴如圖1,AG與C8的數量關系為AG=CH；冬的值為春；

（2）如圖2,以點C為位似中心，將△CAE做位似變換，得到△CAE,使ACA對與△

C4E的相似比為左（0＜左＜1）,AE與CD、C”的交點分別為G,F,隱去線段AE,

CH'

試求的值;

（3）如圖3,將（2）中的等腰直角三角形改為等腰三角形，ZB=30°,且其他條件不

變，

①片L的值為_a―?

￡x/

②若CF=M，直接寫出△AGC的面積.

【分析】（1）通過證明△AGO之△CD8可得AG=C8；通過證明△AC/之可得

CF—CH,結論可得；

（2）過點A'作A'B'//AB,分別交CD于點￡＞',交CH于點、H',與（1）相同的

方法解答即可；

（3）①過點A'作A'B'//AB,分別交CD于點D',交CH于點、卬，與（1）類似

的方法解答，證明△&'G'D'sXCH'D'得到^—=^—p—=tanZAzCD'=

tan60°=a,再證明△△'CF'^AAZH'F'得出CF'=F'H',CF'=^CH',

結論可得；

②利用①的結論求得A'G'的長，利用三角形的面積公式計算即可.

解：（1）AG與CH的數量關系為：AG=CH；※4；理由：

???等腰直角三角形A3C中，NAC3=90°,點。為A8的中點，

；?CD_LAB,CD=BD=AD.

：.ZCAD=ZACD^45°,NDCB=NDBC=45°.

VAE為/BAC的角平分線，

ZGAD=ZCAG=—ZDAC=22.5°.

2

CF±AE,

：.ZACF=ZAHF=61.5°.

VZAGD=ZACD+ZCAG=45°+22.5°=67.5°,

/AGD=ZAHC.

在△AGO和中，

,ZAGD=ZAHF

,ZADG=ZCDH=90°，

.AD=CD

:.△AGDQdCHD(A4S).

J.AG^CH.

在△ACF和中，

，ZACF=ZAHF

<ZAFC=ZAFH=90°,

LAF=AF

AAACF^AAHFCAAS).

:.CF=FH.

：.CF=^-CH,

.CFCF1

"AG"CHI'

故答案為：AG=CH；-1；

(2)過點A‘作A'B'//AB,分別交CO于點D',交CH于點H',如圖,

則/CA，B'=ZCAB=45°,ZB'=ZB=45°,D'是A，B'的中點.

;等腰直角三角形A'B'C中，AA'CB'=90°,點。'為A'B'的中點,

：.CD'±A'B',CD1=B'D'=A'D'.

：.ZCA'D'=ZAZCD'=45°,ZDzCB'=ZD'B'C=45°.

?.WE'為/B'A1C的角平分線，

：.ZG'A'D'=ZCA'G'=—ZD'A'C=22.5°.

2

?:CP±AZE',

.?.NA'CF'=/A'H'F'=67.5

VZAZG'D'=ZA'CD'+ZCA'G'=45°+22.5°=67.5

.WG'D'=NA'H'C.

在AA，G'D'和△C/TD'中，

‘NA'G'D'=NA'H'F'

，NA'D'G'=ZCDZH'=90°,

￡D'=CD'

.?.△A'G'D'名△CH'D'(A4S).

：.A'G'=CH'.

在CF'和H'F'中，

fZA/CFy=ZAZHZ『

<NA'F'C=ZAyF'H'=90°,

KF'=A'F'

...△A'CF'之Z\A'H'F'(A4S).

：.CF'=F'H'.

：.CF'~CH',

2

.CFy_CFy_1

?*G'二C『T

(3)①過點A'作A'B'//AB,分別交CD于點￡>',交CH于點、印，如圖,

則/QTB'=ZCAB=3O°,ZB'=ZB=3O°,D'是A，B'的中點.

;等腰三角形A'B'C中，ZAZCB'=120°,點。'為A'"的中點,

：.CD'J_A'B'.

：.ZA'CD'=60°,ZD'CB'=60°.

VA7E'為NC的角平分線，

:.NG'A'D'=ZCA'G'=-ZD'A1C=15°.

2

;CF'±AZE',

：.ZA'CF'=ZA'H'F'=75°.

VZAZG'D'=ZAZCD'+ZCA'G'=60°+15°=75

AZA'G'D'=ZA'H'C.

'：ZA'D'G'=ZCD'H'=90°，

.?.△A'G'D's^cHD'.

A

-=B-=tan/A'CD'=tan60°=?.

LnrLrU

.\A/G'=-/3CH,.

在△A，CF'和