2018-2019學(xué)年北京市東城區(qū)八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷

2018-2019學(xué)年北京市東城區(qū)八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分）

1.（3分）生物學(xué)家發(fā)現(xiàn)了一種病毒，其長度約為0.00000032〃〃〃，數(shù)據(jù)0.00000032用科學(xué)

記數(shù)法表示正確的是（）

A.3.2X107B.3.2X108C.3.2X10“D.3.2X108

2.（3分）若分式，-有意義，則a的取值范圍是（）

a-l

A.B.aWOC.aWl且a#0D.一切實(shí)數(shù)

3.（3分）下列運(yùn)算中，正確的是（）

A.3X2+2X3=5X5B.a'a2=ai

C.3?6-rtz3=3a2D.（ab）i=aib

4.（3分）2017年12月15日，北京2022年冬奧會會徽“冬夢”正式發(fā)布.以下是參選的

會徽設(shè)計(jì)的一部分圖形，其中是軸對稱圖形的是（）

5.（3分）如圖是國際數(shù)學(xué)日當(dāng)天淇淇和嘉嘉的微信對話，根據(jù)對話內(nèi)容，下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的

是（）

淇淇

嘉嘉,咱們玩一■1

數(shù)學(xué)游戲，好嗎？

才??！玩什么游戲

淇淇

在444=6等號的左

邊添加適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)運(yùn)

算符號,式成

立.

A.4+4-'./4=6B.4+4°+4°=6C.4+3^j^=6D.海+4=6

6.（3分）下列二次根式中，是最簡二次根式的是（）

A.亨B?/C.患D.庫

7.（3分）已知a"'=2,a"=3,則的值是（）

A.6B.24C.36D.72

8.（3分）如圖，已知/1=/2,AC=AD,要使△ABCgZvlEZ）,還需添加一個(gè)條件，那

么在①A8=AE,@BC=ED,@ZC=ZD,@ZB=ZE,這四個(gè)關(guān)系中可以選擇的是

A,①②③B.①②④C.①③④D.②③④

9.（3分）如圖，在△ABC中，NA=90°,ZC=30°,A￡）_LBC于。，BE是NA8C的平

分線，且交于P,如果AP=2,則AC的長為（）

aa〉b

a-b'

10.（3分）定義運(yùn)算“※”：?！?二.若5※尸2,則工的值為（)

ba<b

b-a'

AB.$或10C.10D.助西

4222

二、填空題（本題共6小題，11-15小題每小題2分，16小題4分，共14分）

11.（2分）分解因式：2a%2-Sa—.

12.（2分）多項(xiàng)式（znx+8）（2-3x）展開后不含無項(xiàng)，則根=

13.（2分）當(dāng)》=時(shí)，分式工Y的值為0.

x-2

14.（2分）課本上有這樣一道例題：

作法：（1）作線段

（2）作線段A3的垂直平分線MN,與AB相交于點(diǎn)D

（3）在MN上取一點(diǎn)C,使。C=〃.

（4）連接AC,BC,則AABC就是所求作的等腰三角形.

請你思考只要C。垂直平分那么△ABC就是等腰三角形的依據(jù)是

15.（2分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)。是AB邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)。作邊AB的垂線/,E是/上

任意一點(diǎn)，且AC=5,BC=8,則△AEC的周長最小值為.

16.（4分）已知在△ABC中，AB=AC.

（1）若NA=36°,在AABC中畫一條線段，能得到2個(gè)等腰三角形（不包括△ABC）,

這2個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)分別是；

（2）若NAW36°,當(dāng)NA=時(shí)，在等腰△ABC中畫一條線段，能得到2個(gè)等腰

三角形（不包括△ABC）.（寫出兩個(gè)答案即可）

三、解答題（本題共12小題，共56分）

17.（4分）計(jì)算：（2-it）0-（-）~2.

2

18.（6分）計(jì)算：

（2）（x-2）2-（x+3）（%-3）.

19.（3分）在三個(gè)整式x2+2xy,y2+2xy,/中，請你任意選出兩個(gè)進(jìn)行加（或減）運(yùn)算，

使所得整式可以因式分解，并進(jìn)行因式分解.

20.（4分）解分式方程：2+1=—^.

x+32x+6

2

21.（4分）先化簡刃」-）+且_-6a+9,然后a在-2,0,1,2,3中選擇一個(gè)合適的

"a2.4

數(shù)代入并求值.

22.（4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（2,3）,

B（1,0）,C（1,2）.

（1）在圖中作出aABC關(guān)于y軸對稱的△481。；

（2）如果要使以2、C、。為頂點(diǎn)的三角形與△ABC全等，寫出所有符合條件的點(diǎn)。坐

標(biāo).

T

23.（5分）如圖，點(diǎn)3、F、C、E在直線/上（RC之間不能直接測量），點(diǎn)4。在/異

側(cè)，測得AB=Z）E,AB//DE,AA=ZD.

（1）求證：△ABgADEF；

（2）若3E=10"z,BF=3m,求PC的長度.

24.（5分）列方程解應(yīng)用題:

港珠澳大橋是世界上最長的跨海大橋，是被譽(yù)為“現(xiàn)代世界七大奇跡”的超級工程，它

是我國從橋梁大國走向橋梁強(qiáng)國的里程碑之作.開通后從香港到珠海的車程由原來的180

千米縮短到50千米，港珠澳大橋的設(shè)計(jì)時(shí)速比按原來路程行駛的平均時(shí)速多40千米,

若開通后按設(shè)計(jì)時(shí)速行駛，行駛完全程時(shí)間僅為原來路程行駛完全程時(shí)間的上，求港珠

6

澳大橋的設(shè)計(jì)時(shí)速是多少.

25.（5分）如圖，AE是△AC。的角平分線，B在ZM延長線上，AE//BC,尸為8C中點(diǎn),

判斷AE與AF的位置關(guān)系并證明.

B

26.（4分）閱讀下列材料，然后回答問題:

觀察下列各式，通過分母有理化，把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式：

1==V2-I=b_1.

V2+1（r/2+l）（V2-1）2-1

1=1x（V3-V2）/

VW2（V3+V2）（V3-V2）F-77

（一）-L還可以用以下方法化簡

V3+V2

13-2（每。（百-V^）廠r

M+近向疔—V3+V2=V3+V27372,

（二）

（1）請用不同的方法化簡廠2

V5+V3

參照（一）式得，『=______；

V5+V3

參照（二）式得，「=______；

V5+V3

（2）從計(jì)算結(jié)果中找出規(guī)律，并利用這一規(guī)律選擇下面兩個(gè)問題中的一個(gè)加以解決：

1-求（-7=i—+一尸1-+胃1L+…+.71,）（JoniQ+1）的值；

lV2+lV3+V2V4+V3V2019+V2018）“2019）

2件簡?1+1+1+…+

布r甚語不樂而際r

27.（6分）（1）老師在課上給出了這樣一道題目：如圖1,等邊AABC邊長為2,過A8邊

上一點(diǎn)尸作尸ELAC于E,。為2C延長線上一點(diǎn)，且AP=C0,連接尸。交AC于，

求OE的長.

小明同學(xué)經(jīng)過認(rèn)真思考后認(rèn)為，可以通過過點(diǎn)P作平行線構(gòu)造等邊三角形的方法來解決

這個(gè)問題.

請根據(jù)小明同學(xué)的思路直接寫出DE的長.

（2）【類比探究】

老師引導(dǎo)同學(xué)繼續(xù)研究：

1.等邊△ABC邊長為2,當(dāng)P為BA的延長線上一點(diǎn)時(shí)，作PELCA的延長線于點(diǎn)E,

。為邊上一點(diǎn)，且AP=C。，連接尸。交AC于。.請你在圖2中補(bǔ)全圖形并求DE

的長.

2.已知等邊△ABC,當(dāng)P為AB的延長線上一點(diǎn)時(shí)，作PEL射線AC于點(diǎn)E,0為

（①邊上；②BC的延長線上；③C2的延長線上）一點(diǎn)，且AP=C0,連接PQ交

直線AC于點(diǎn)能使得的長度保持不變.（將答案的編號填在橫線上）

圖1圖2備用圖

28.（6分）在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，△A3。為等邊三角形，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于y

軸的對稱點(diǎn)為連接A。，BD,OD,其中A。，8。分別交y軸于點(diǎn)E,P.

（1）如圖1,若點(diǎn)3在x軸的負(fù)半軸上時(shí)，直接寫出N8。。的度數(shù)；

（2）如圖2,將△A3。繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，且點(diǎn)A始終在第二象限，此時(shí)A。與y軸正半軸夾

角為a,60°<a<90°,依題意補(bǔ)全圖形，并求出的度數(shù)；（用含a的式子表示）

（3）在第（2）間的條件下，用等式表示線段BP,PE,P0之間的數(shù)量關(guān)系.（直接寫

出結(jié)果）圖1圖2

2018-2019學(xué)年北京市東城區(qū)八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分）

1.（3分）生物學(xué)家發(fā)現(xiàn)了一種病毒，其長度約為0.00000032〃WM,數(shù)據(jù)0.00000032用科學(xué)

記數(shù)法表示正確的是（）

A.3.2X107B.3.2X108C.3.2X107D.3.2X108

【分析】絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為aXl。-",與較大

數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)累，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)

字前面的0的個(gè)數(shù)所決定.

【解答】解：0.00000032=3.2X107；

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為aXIO",其中l(wèi)W|a|<10,

n為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定.

2.（3分）若分式」一有意義，則。的取值范圍是（）

a-1

A.B.aWOC.且〃WOD.一切實(shí)數(shù)

【分析】分式有意義的條件是分母不等于零，據(jù)此可得.

【解答】解：若分式」一有意義，則a-1W0,即aWl,

a-1

故選：A.

【點(diǎn)評】本題主要考查分式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是掌握分式有意義的條件是分母

不等于零.

3.（3分）下列運(yùn)算中，正確的是（）

A.3X2+2X3=5X5B.

C.3〃6+/=3〃2D.（ab）?>=cr,b

【分析】直接利用同底數(shù)幕的乘除運(yùn)算法則以及積的乘方運(yùn)算法則分別計(jì)算得出答案.

【解答】解：A、3?+2x3,無法計(jì)算，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、。?〃2=〃3,正確；

。、3〃6+/=3〃3,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、（ab）3=a3b3,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：B.

【點(diǎn)評】此題主要考查了同底數(shù)幕的乘除運(yùn)算以及積的乘方運(yùn)算，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法

則是解題關(guān)鍵.

4.（3分）2017年12月15日，北京2022年冬奧會會徽“冬夢”正式發(fā)布.以下是參選的

【分析】直接根據(jù)軸對稱圖形的概念分別解答得出答案.

【解答】解：A、不是軸對稱圖形，不合題意；

8、是軸對稱圖形，符合題意；

C、不是軸對稱圖形，不合題意；

。、不是軸對稱圖形，不合題意.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查的是軸對稱圖形的概念.軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部

分折疊后可重合.

5.（3分）如圖是國際數(shù)學(xué)日當(dāng)天淇淇和嘉嘉的微信對話，根據(jù)對話內(nèi)容，下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的

是（

淇淇

嘉嘉,咱們玩一■1

數(shù)學(xué)游戲，好嗎？

才?。⊥媸裁从螒?/p>

淇淇

在444=6等號的左

邊添加適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)運(yùn)

算符號,式成

立.

A.4+4-、幾=6B.4+4°+4°=6C.4+3^j^=6D.4-1j僅+4=6

【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算方法，求出每個(gè)選項(xiàng)中左邊算式的結(jié)果是多少，判斷出哪個(gè)算

式錯(cuò)誤即可.

【解答】解：:4+4-，泊=6,

選項(xiàng)A不符合題意;

：4+40+4°=6,

選項(xiàng)8不符合題意;

：4+際=6,

.?.選項(xiàng)C不符合題意;

：4-1+返+4=41,

8

，選項(xiàng)。符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)評】此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在進(jìn)行

實(shí)數(shù)運(yùn)算時(shí)，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最

后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行.另外,

有理數(shù)的運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然適用.

6.（3分）下列二次根式中，是最簡二次根式的是（）

A.亨

R2C.D

V3-席

【分析】直接利用最簡二次根式的定義分析得出答案.

【解答】解：A、1?是最簡二次根式，正確;

2

3心應(yīng)不是最簡二次根式,

B、錯(cuò)誤;

M3

C、不是最簡二次根式,錯(cuò)誤;

D、不是最簡二次根式’錯(cuò)誤;

故選：A.

【點(diǎn)評】此題主要考查了最簡二次根式，正確把握定義是解題關(guān)鍵.

7.（3分）已知d"=2,〃=3,則。3/2〃的值是（）

A.6B.24C.36D.72

【分析】直接利用同底數(shù)幕的乘法運(yùn)算法則結(jié)合幕的乘方運(yùn)算法則計(jì)算得出答案.

【解答】解：'：am=2,。"=3,

.,.押+2"=S）3X（/）2

=23X32

=72.

故選：D.

【點(diǎn)評】此題主要考查了同底數(shù)累的乘法運(yùn)算以及嘉的乘方運(yùn)算，正確將原式變形是解

題關(guān)鍵.

8.（3分）如圖，已知N1=N2,AC^AD,要使△ABC0zXAED,還需添加一個(gè)條件，那

么在①②BC=ED,③/C=/D,④/B=/E,這四個(gè)關(guān)系中可以選擇的是

（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

【分析】由/1=/2結(jié)合等式的性質(zhì)可得NCAB=/ZME,再利用全等三角形的判定定

理分別進(jìn)行分析即可.

【解答】解：=

：.Z1+ZEAB=Z2+ZEAB,

即/CAB=/D4E,

①加上條件AB=AE可利用SAS定理證明△ABC也△AED；

②加上BC=ED不能證明△ABC經(jīng)△&￡?；

③加上NC=/Z）可利用ASA證明△ABC0AAED；

④加上/B=NE可利用A4s證明△ABC0△AED；

故選：C.

【點(diǎn)評】此題主要考查了三角形全等的判定方法，解題時(shí)注意：44A、SSA不能判定兩個(gè)

三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊■角對應(yīng)相等時(shí)，角

必須是兩邊的夾角.

9.（3分）如圖，在△ABC中，NA=90°,NC=30°,AZ）_LBC于Z）,3E是/ABC的平

分線，且交于P,如果AP=2,則AC的長為（）

【分析】易得△AEP的等邊三角形，則AE=AP=2,在直角44班中，利用含30度角

的直角三角形的性質(zhì)來求EB的長度，然后在等腰△BEC中得到CE的長度，則易求AC

的長度.

【解答】解：:△ABC中，ZBAC=9Q°,ZC=30°,

/.ZABC=60°.

又；BE是ZABC的平分線，

:./EBC=30°,

?.ZAEB=ZC+ZEBC=60°,ZC=ZEBC,

：.ZAEP=6Q°,BE=EC.

又ADLBC,

：.ZCAD^ZEAP^6Q0,

則/A"=/EAP=60°,

AAEP的等邊三角形，則AE=AP=2,

在直角中，ZAB￡=30°，貝!IE8=2AE=4,

：.BE=EC=4,

：.AC=CE+AE=6.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了含30°角的直角三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及等邊三角形的

判定與性質(zhì).利用三角形外角性質(zhì)得到/4匹=60°是解題的關(guān)鍵.

a

a〉b

10.（3分）定義運(yùn)算“※"：a^b=ia~b

.若5※九=2,則x的值為（）

ba<b

b-a

A.3B.5或10C.10D.5或E

2222

【分析】分別討論5>尤和5〈尤時(shí)，得到的分式方程，解之，找出符合題意的即可.

【解答］解：若5>無，即x<5時(shí),

原方程可整理得：

-^—=2,

5-x

方程兩邊同時(shí)乘以（5-x）得：

5=2（5-%）,

解得：x=8,

2

經(jīng)檢驗(yàn)：x=8是原方程的解,

2

且晨5,

2

即x=2符合題意，

2

若5<x,即x>5時(shí),

原方程可整理得：

-^—=2,

x-5

方程兩邊同時(shí)乘以（尤-5）得:

元=2（尤-5）,

解得：x=10,

經(jīng)檢驗(yàn)：x=10是原方程的解，

且10>5,

即尤=10符合題意，

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了解分式方程，有理數(shù)的混合運(yùn)算，正確掌握解分式方程的方法是解

題的關(guān)鍵.

二、填空題（本題共6小題，11-15小題每小題2分，16小題4分，共14分）

11.（2分）分解因式：2后-8。=2。因式）（.?2）.

【分析】首先提公因式2a,再利用平方差進(jìn)行二次分解即可.

【解答】解：原式=2。（/-4）—la（x+2）（x-2）.

故答案為:2a（x+2）（x-2）.

【點(diǎn)評】此題主要考查了提公因式法與公式法分解因式，要求靈活使用各種方法對多項(xiàng)

式進(jìn)行因式分解，一般來說，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考慮運(yùn)用公

式法分解.

12.（2分）多項(xiàng)式（加尤+8）（2-3x）展開后不含x項(xiàng)，則m=12.

【分析】乘積含x項(xiàng)包括兩部分，@mxX2,②8X（-3x）,再由展開后不含x的一次

項(xiàng)可得出關(guān)于機(jī)的方程，解出即可.

【解答】解：（znx+8）（2-3尤）

=2mx-3/mr+16-24x

=-3tnx1+（2m-24）x+16,

:多項(xiàng)式（mx+8）（2-3x）展開后不含x項(xiàng)，

/.2m-24=0,

解得：機(jī)=12,

故答案為：12.

【點(diǎn)評】此題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的知識，屬于基礎(chǔ)題，注意觀察哪些項(xiàng)相乘所得的

結(jié)果含一次項(xiàng)，難度一般.

2_

13.（2分）當(dāng)了=-2時(shí)，分式2_一A4一的值為0.

x-2

【分析】分式的值為0的條件是：（1）分子=0；（2）分母W0.兩個(gè)條件需同時(shí)具備，

缺一不可.據(jù)此可以解答本題.

【解答】解：?.?2jzl=（x-2）（x+2）0,

x-2x-2

.".X--2.

故答案為：-2.

【點(diǎn)評】此題考查的是對分式的值為0的條件，分子等于0,分母不能等于0,題目比較

簡單.

14.（2分）課本上有這樣一道例題：

作法：（1）作線段AB=a

（2）作線段AB的垂直平分線MN,與48相交于點(diǎn)D

（3）在上取一點(diǎn)C,使。C=/z.

（4）連接AC,BC,則△ABC就是所求作的等腰三角形.

請你思考只要CD垂直平分48,那么△ABC就是等腰三角形的依據(jù)是線段垂直平分線

上的點(diǎn)與這條線段兩端點(diǎn)距離相等，等腰三角形定義.

ab

【分析】利用線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的定義，由。垂直平分48可得到△

ABC就是等腰三角形.

【解答】解：若垂直平分A2,則根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩端點(diǎn)距離

相等得到CA=CB,然后根據(jù)等腰三角形的定義可判斷aABC就是等腰三角形.

故答案為線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩端點(diǎn)距離相等，等腰三角形定義.

【點(diǎn)評】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，

一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法.解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖

形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.

15.（2分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)。是A8邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)。作邊42的垂線/,E是/上

任意一點(diǎn)，且AC=5,BC=8,則的周長最小值為

【分析】連接BE,依據(jù)/是AB的垂直平分線，可得人石=8￡進(jìn)而得到AE+CE=BE+CE,

依據(jù)BE+CE2BC,可知當(dāng)8,E,C在同一直線上時(shí)，BE+CE的最小值等于8C的長，

而AC長不變，故△AEC的周長最小值等于AC+8C.

【解答】解：如圖，連接BE,

:點(diǎn)。是A8邊的中點(diǎn)，l±AB,

是A8的垂直平分線，

：.AE=BE,

；.AE+CE=BE+CE,

,；BE+CE》BC,

...當(dāng)8,E,C在同一直線上時(shí)，BE+CE的最小值等于BC的長，而AC長不變，

AA￡C的周長最小值等于AC+BC=5+8=13,

故答案為：13.

【點(diǎn)評】本題主要考查了最短距離問題，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的

性質(zhì)定理，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對稱點(diǎn).

16.（4分）已知在△ABC中，AB=AC.

（1）若/A=36°,在△ABC中畫一條線段，能得到2個(gè)等腰三角形（不包括△ABC）,

這2個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)分別是108。，36°；

（2）若/AW36°,當(dāng)乙4=90°或108°時(shí),在等腰△ABC中畫一條線段，能得到

2個(gè)等腰三角形（不包括△ABC）.（寫出兩個(gè)答案即可）

【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論；

（2）當(dāng)NA=90°或108°時(shí)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：（1）如圖1所示：：AB=AC,NA=36°,

，當(dāng)AE=BE,則/A=/A8E=36°,則/AE8=108°,

則NEBC=36°,

.?.這2個(gè)等腰三角形的頂角度數(shù)分別是108度和36度；

故答案為：108°,36°；

（2）當(dāng)NA=90°或108°時(shí)，在等腰△ABC中畫一條線段，能得到2個(gè)等腰三角形,

故答案為：90°或108°.

【點(diǎn)評】此題主要考查了應(yīng)用作圖與設(shè)計(jì)以及等腰三角形的性質(zhì)，得出分割圖形是解題

關(guān)鍵.

三、解答題（本題共12小題，共56分）

17.（4分）計(jì)算：20（2-Tt）0-（―）2.

2

【分析】直接利用零指數(shù)幕的性質(zhì)、負(fù)指數(shù)幕的性質(zhì)、算術(shù)平方根分別化簡得出答案.

【解答】解：原式=3+1-4

=0.

【點(diǎn)評】此題主要考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵.

18.（6分）計(jì)算：

（1）（^1-+V3）_（V2W12）;

（2）（x-2）2-（x+3）（x-3）.

【分析】（1）直接利用二次根式的性質(zhì)分別化簡得出答案；

（2）直接利用乘法公式化簡求出答案.

【解答】解：（1）原式=喙+753+2?

=平+哂；

(2)原式=/-4x+4-/+9

=-4A+13.

【點(diǎn)評】此題主要考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵.

19.(3分)在三個(gè)整式x2+2xy,y2+2xy,/中，請你任意選出兩個(gè)進(jìn)行加(或減)運(yùn)算，

使所得整式可以因式分解，并進(jìn)行因式分解.

【分析】本題考查整式的加法運(yùn)算，要先去括號，然后合并同類項(xiàng)，最后進(jìn)行因式分解.本

題答案不唯一.

【解答】解：方法一：(x2+2xy)+x2—2xr+2xy—2x(x+y)；

方法二：(/+2盯)+/=(x+y)2；

2

方法三：(/+2孫)-(y+2xy)=/-廿=(x+j)(x-y)；

方法四：(9+2沖)-(/+2盯)=j2-x2=(y+x)(y-x).

【點(diǎn)評】本題考查了整式的加減，整式的加減運(yùn)算實(shí)際上就是去括號、合并同類項(xiàng)，因

式分解時(shí)先考慮提取公因式，沒有公因式的再考慮運(yùn)用完全平方公式或平方差公式進(jìn)行

因式分解.

20.(4分)解分式方程：2+1=J.

x+32x+6

【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)，可得整式方程，根據(jù)解整式方程，可得答案.

【解答】解：方程兩邊同乘以2(X+3),得

4x+2(x+3)=7,

解得％=工，

6

檢驗(yàn)：當(dāng)冗時(shí)，2(x+3)70,

6

是分式方程的解.

6

【點(diǎn)評】本題考查了解分式方程，利用等式的性質(zhì)得出整式方程是解題關(guān)鍵，要檢驗(yàn)方

程的根.

2

21.(4分)先化簡(1」-).入心”9,然后。在-2,0,1,2,3中選擇一個(gè)合適的

aTa2_4

數(shù)代入并求值.

【分析】先去括號，然后化除法為乘法進(jìn)行化簡計(jì)算，最后代入求值即可.

【解答】解：原式=①之+h(%)2

a-2(a-2)(a+2)

=&-3(a-2)(a+2)

2

a-2(a-3)

=a+2

7-3'

當(dāng)a=0時(shí)，a+2=JL.

a-33

【點(diǎn)評】考查了分式的化簡求值，注意：如a取-2,2,3時(shí)，分式無意義.

22.(4分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系x°y中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(2,3),

B(1,0),C(1,2).

(1)在圖中作出△ABC關(guān)于y軸對稱的△AiBiCi；

(2)如果要使以3、C、。為頂點(diǎn)的三角形與△ABC全等，寫出所有符合條件的點(diǎn)。坐

標(biāo).

【分析】(1)利用軸對稱變換，即可作出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A181C1；

(2)依據(jù)以8、C、。為頂點(diǎn)的三角形與△ABC全等，可知兩個(gè)三角形有公共邊BC,運(yùn)

用對稱性即可得出所有符合條件的點(diǎn)D坐標(biāo).

【解答】解：(1)如圖所示，△A1B1G即為所求；

（2）當(dāng)△BCD與△8CA關(guān)于8C對稱時(shí)，點(diǎn)。坐標(biāo)為（0,3）,

當(dāng)aBCA與△CB。關(guān)于BC的中點(diǎn)對稱時(shí)，點(diǎn)。坐標(biāo)為（0,-1）,

△BCA與△C8O關(guān)于8c的中垂線對稱時(shí)，點(diǎn)。坐標(biāo)為當(dāng)（2,-1）.

【點(diǎn)評】本題主要考查了利用軸對稱變換作圖以及全等三角形的判定的運(yùn)用，解題時(shí)注

意，成軸對稱的兩個(gè)三角形或成中心對稱的兩個(gè)三角形全等.

23.（5分）如圖，點(diǎn)、B、F、C、E在直線/上（尸、C之間不能直接測量），點(diǎn)4。在/異

側(cè)，測得AB//DE,AA=ZD.

（1）求證：AABC^ADEF；

（2）若3E=10機(jī)，BF=3m,求FC的長度.

【分析】（1）先證明再根據(jù)ASA即可證明.

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可解答.

【解答】（1）證明：：人8〃?！?

E

B

D

：.NABC=NDEF,

在△ABC與△QEF中

'NABC=/DEF

<AB=DE

4=ND

△ABg^DEF；

（2）,/AABC^ADEF,

：.BC=EF,

：.BF+FC=EC+FC,

:.BF=EC,

;BE=10m,BF=3m,

：.FC=W-3-3=4/71.

【點(diǎn)評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的判定等知識，解題的關(guān)鍵是正確

尋找全等三角形的條件，記住平行線的判定方法，屬于基礎(chǔ)題，中考?？碱}型.

24.（5分）列方程解應(yīng)用題：

港珠澳大橋是世界上最長的跨海大橋，是被譽(yù)為“現(xiàn)代世界七大奇跡”的超級工程，它

是我國從橋梁大國走向橋梁強(qiáng)國的里程碑之作.開通后從香港到珠海的車程由原來的180

千米縮短到50千米，港珠澳大橋的設(shè)計(jì)時(shí)速比按原來路程行駛的平均時(shí)速多40千米，

若開通后按設(shè)計(jì)時(shí)速行駛，行駛完全程時(shí)間僅為原來路程行駛完全程時(shí)間的上，求港珠

6

澳大橋的設(shè)計(jì)時(shí)速是多少.

【分析】設(shè)港珠澳大橋的設(shè)計(jì)時(shí)速是X千米/時(shí)，按原來路程行駛的平均時(shí)速是（X-40）

千米/時(shí).根據(jù)“行駛完全程時(shí)間僅為原來路程行駛完全程時(shí)間的上”列出方程并解答.

6

【解答】解：設(shè)港珠澳大橋的設(shè)計(jì)時(shí)速是X千米/時(shí)，按原來路程行駛的平均時(shí)速是（X

-40）千米/時(shí).

依題意，得至以

x6x-40

解方程，得尤=100.

經(jīng)檢驗(yàn)：x=100是原方程的解，且符合題意.

答：港珠澳大橋的設(shè)計(jì)時(shí)速是每小時(shí)100千米.

【點(diǎn)評】本題考查分式方程的應(yīng)用，分析題意，找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.

25.（5分）如圖，AE是△AC。的角平分線，B在延長線上，AE//BC,尸為8C中點(diǎn)，

判斷AE與AF的位置關(guān)系并證明.

【分析】結(jié)論：AE與AP的位置關(guān)系是垂直.想辦法證明/CA/+NCAE=90°即可.

【解答】解：結(jié)論：AE與AF的位置關(guān)系是垂直.

證明：是△AC￡）的角平分線，

?1?ZDAE=ZCAE^-ZDAC>

'JAE//BC,

：.ZDAE^ZB,ZEAC^ZACB,

：.ZB^ZACB,

.\AB=AC,

又??,萬為5c中點(diǎn),

?'?ZBAF=ZCAF=yZCAB^

VZCAB+ZCAZ）=180°,

：.ZCAF+ZCAE=9Q°,

：.AE±AF.

B

D

【點(diǎn)評】本題考查平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義等知識,

解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型.

26.（4分）閱讀下列材料，然后回答問題:

觀察下列各式，通過分母有理化，把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式:

1=1X（V2-1）=V2-l=11.

V2+1（A/2+1）（V2-l）2-1

1—‘x―炳用二?口行

（一）-L還可以用以下方法化簡

V3+V2

（V3）2-（V2）2（V3+V2）（V3-V2）

-V3-V2-

V3+V2

（-）

（1）請用不同的方法化簡「2

V5+V3

參照（一）式得「2「=_代二遂_；

V5+V3-

參照（二）式得2遙-遙；

V5+V3――-

（2）從計(jì)算結(jié)果中找出規(guī)律，并利用這一規(guī)律選擇下面兩個(gè)問題中的一個(gè)加以解決：

L求（近+1+對+6+?+7^+…+唬0]§+^20]8）—2019+1）的值;

2.化簡：看+得石+品葭??+困？%：].

【分析】（一）（1）方法一：利用分母有理化化簡；方法二：利用平方差公式把2寫成兩

個(gè)數(shù)的平方差的形式，然后利用約分化簡；

（二）1.先把前面括號內(nèi)的各二次根式分母有理化，然后合并后利用平方差公式計(jì)算；

2.利用分母有理化得到原式=工（V5-i+V5-V3+-+v^+r-、廂了），然后合并即

2

可.

（1）一22（75^3）75-V3；

【解答】W：V5+V3（V5+V3）（V5W3）""

品r鼻浮處5行

故答案為-Vs；Vs-Vs?

（2）L

/嗝京+…力2019^2018）（師+D

I+-/3+V2+V4-V3+-+V2019-V2018）W2019+1）

=（V2019-1）W2019+1）

=2019-1

=2018；

（

「L+」L+…+-;--------------------=-77Vs-1+V5-V3+-+V2n+1-

V3+1V5+V3V7+V5V2n+1+V2n-12

百）=J^L±.

2

【點(diǎn)評】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把二次根式化為最簡二次根式，然后合并

同類二次根式即可.在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式

的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍.

27.（6分）（1）老師在課上給出了這樣一道題目：如圖1,等邊AABC邊長為2,過A8邊

上一點(diǎn)尸作PE，AC于E,。為BC延長線上一點(diǎn)，且AP=C。，連接尸。交AC于，

求。E的長.

小明同學(xué)經(jīng)過認(rèn)真思考后認(rèn)為，可以通過過點(diǎn)P作平行線構(gòu)造等邊三角形的方法來解決

這個(gè)問題.

請根據(jù)小明同學(xué)的思路直接寫出DE的長.

（2）【類比探究】

老師引導(dǎo)同學(xué)繼續(xù)研究：

1.等邊△ABC邊長為2,當(dāng)尸為54的延長線上一點(diǎn)時(shí)，作PELC4的延長線于點(diǎn)E,

。為邊BC上一點(diǎn)，且AP=C。，連接尸。交AC于。.請你在圖2中補(bǔ)全圖形并求。E

的長.

2.已知等邊△ABC,當(dāng)尸為A3的延長線上一點(diǎn)時(shí)，作PEL射線AC于點(diǎn)E,。為②

（①BC邊上；②的延長線上；③CB的延長線上）一點(diǎn)，且AP=CQ,連接尸。交

直線AC于點(diǎn)。，能使得DE的長度保持不變.（將答案的編號填在橫線上）

E

圖1圖2備用圖

【分析】(1)過點(diǎn)P作PF//BC交AC于點(diǎn)F,可證△AP尸是等邊三角形，可得EF=lAF,

2

通過證明△PDF/△QOC,可得PD=C￡)=Uc=L(AC-AF),即可求￡)￡的長；

22

(2)過點(diǎn)尸作尸尸〃BC交CE的延長線于點(diǎn)F,可證△APB是等邊三角形，可得跖=工4廠,

2

通過證明△「￡)/絲△QOC,可得FD=C￡>=UC=L(AC+AF),即可求￡)￡的長；

22

(3)過點(diǎn)尸作PF//BC交BC的延長線與點(diǎn)F,可證是等邊三角形，可得EF=1AF,

2

通過證明△「￡>/絲△QOC,可得尸D=C￡)=Uc=L(AB-AC),即可求￡>E的長.

22

【解答】解：(1)如圖，過點(diǎn)尸作P歹〃8C交AC于點(diǎn)F,

；./Q=/FPD,ZAPF^ZABC,ZAFP=ZACB,

:△ABC為等邊三角形,

AZABC^ZACB^ZBAC=60°,

：.ZAPF=ZAFP=ZBAC=60°,

...△AP尸為等邊三角形，

：.AP=AF=PF,

又

C.EF^IAF,

2

：.PF^AP=CQ,又/PDF=/CDQ,/Q=NFPD,

：.XPDF”區(qū)QDC(AAS),

：.FD^CD=1-FC^L(AC-AF),

22

：.DE^DF+EF=L(AC-AF)+1AF=1AC=1；

222

(2)1、補(bǔ)全的圖形如下，

過點(diǎn)P作PF//BC交CE的延長線于點(diǎn)F,

：.