人教A版選擇性必修第一冊：第一章 空間向量與立體幾何 單元檢測卷（難）（學(xué)生版+解析版）

第一章空間向量與立體幾何單元檢測卷（難）

一、單選題

L（2021?全國高二課時練習(xí)）若向量而垂直于向量￡和B,向量5=+（九〃wH）且4,〃。0,則（）

A.m//nB.mLn

C.m不平行于n>m也不垂直于nD.以上三種情況都有可能

2.（2020,江蘇省姜堰第二中學(xué)高二月考）如圖，在正方體ABC。-A4GB中，點(diǎn)M,N分別

是面對角線A8與84的中點(diǎn)，若方=￡,DC=b^DD^=c,貝1」麗=()

A.^+b-a1/-1

B.+C.一aD.-

22

3.（2021,江蘇高二期末）在棱長為1的正方體A3CO-A片GR中，M.N分別是4耳、AA的中點(diǎn)，則

直線AM與DN所成角。的余弦值為（）

12國D,還

A.-B.一r

5555

4.（2021?湖北荊州?高二期末）如圖，在三棱柱ABC-A4G中，8G與與C相交于點(diǎn)

O,ZA^AB=Z\AC=ZBAC=60°,AtA=3,AB=AC=2,則線段AO的長度為()

A.叵V295D.叵

RC.一

2222

5.（2020?浙江溫州市?溫州中學(xué)高三月考）如圖四邊形ABCD,AB=BD=DA=2,BC=CD=M.現(xiàn)將△ABO

jrSTT

沿3。折起，當(dāng)二面角A-BD-C處于過程中，直線AB與8所成角的余弦值取值范圍

。。

是()

572叵V2542

A.B.

C.D.0,

6.（2021?北京高一期末）在棱長為1的正方體ABC。-A4G2中，M,N分別為AA「，CC,

的中點(diǎn)，。為底面A3CQ的中心，點(diǎn)尸在正方體的表面上運(yùn)動，且滿足NPLMO,則下列說

法正確的是（）

B線段NP的最大值為乎

A.點(diǎn)尸可以是棱B耳的中點(diǎn)

C.點(diǎn)尸的軌跡是平行四邊形D.點(diǎn)尸軌跡的長度為1+&

7.（2021?河北饒陽中學(xué)高三其他模擬）如圖，正方體ABCO-A4GQ的棱長為6,

點(diǎn)/是棱A4的中點(diǎn)，AC與應(yīng)）的交點(diǎn)為。，點(diǎn)M在棱3C上，且BM=2MC,

動點(diǎn)T（不同于點(diǎn)M）在四邊形ABCD內(nèi)部及其邊界上運(yùn)動，且7M則直

線3尸與7M所成角的余弦值為（）

&屈RV10rV5□小

4545

8.（2022?全國高三專題練習(xí)）在棱長為1的正方體A3CO-4與G2中，P是線段BG上的點(diǎn)，過"的平面

。與直線垂直，當(dāng)尸在線段3G上運(yùn)動時，平面a截正方體ABC。-A耳G2所得的截面面積的最小值

是（）

A.1B.-C.—D.72

42

二、多選題

9.（2020,遼寧高二期中）給出下列命題，其中為假命題的是（）

A.已知為為平面a的一個法向量，沅為直線/的一個方向向量，若亢_L雨，則"/a

B.已知萬為平面。的一個法向量，沅為直線/的一個方向向量，若限兩=午，貝心與a所成角為?

C.若三個向量1,b,C兩兩共面，則向量方，b,C共面

D.已知空間的三個向量萬，b，c,則對于空間的任意一個向量廣，總存在實(shí)數(shù)％y，z使得力=尤萬+防+z1

10.（2021?邵陽市第二中學(xué)高三月考）如圖，菱形ABCD邊長為2,Zfi4Z）=6O°,E為邊AB的中點(diǎn).將44DE

沿DE折起，使A到A，，且平面ADE_L平面BCDE,連接A3,A!C.

則下列結(jié)論中正確的是（）

A.BDIACB.四面體ACDE的外接球表面積為8兀

3D.直線A3與平面A'CD所成角的正弦值為亞

c.5c與的所成角的余弦值行

4

11.（2021?重慶南開中學(xué)高三其他模擬）設(shè)所有空間向量的集合為&=｛（%%,W）%,程玉€鳥，若非空集

合MUR，滿足：@\yx,yeM,x+y&M,@VaeR,x&M,ax&M,則稱"為G的一個向量次空間，

已知A,B均為向量次空間，則下列說法錯誤的是（）

A.Ar\B^0

B.AUB為向量次空間

C.若At",則8=店

D.若5片何,則或eA,總不eB且"6,使得小了=。

12.（2021?遼寧）已知直四棱柱ABCO-A4G2,底面ABCD為矩形，AB=2,BC=6側(cè)棱長為3、

設(shè)尸為側(cè)面的。2所在平面內(nèi)且與。不重合的任意一點(diǎn)，則直線BR與直線所成角的余弦值可能為（）

A.--B.；C.—D.-

2228

三、填空題

13.（2020?全國高二課時練習(xí)）已知口=13,忖=19,卜+0=24,則,-@=.

14.（2021?浙江）如圖，在棱長為4的正方體A8CD-A4G2中，/W是棱A1A上的動點(diǎn)，N是棱2C的中

點(diǎn).當(dāng)平面D'MN與底面ABCD所成的銳二面角最小時，AM=.

15.（2021?安徽高二期末（理））已知正四面體A-BCD的外接球半徑為3,為其外接球的一條直徑，

P為正四面體A-BCD表面上任意一點(diǎn)，則兩.麗的最小值為.

16.（2021?全國高三其他模擬）在棱長為3的正方體ABC。-A4G2中，BE=2EC,點(diǎn)尸在正方體的表

面上移動，且滿足q當(dāng)戶在CG上時，|AP|=；滿足條件的所有點(diǎn)P構(gòu)成的平面圖形的周長

為.

四、解答題

17.(2021?全國高二課時練習(xí))已知點(diǎn)。是正AABC平面外的一點(diǎn)，若。4=O3=OC=A3=1,E,F

分別是AB、。。的中點(diǎn)，試求。E與E5所成角的余弦值.

18.(2020?廣東茂名市?高二期末)已知在四棱錐A-BCD石中，

AE=AB=ED=CD=^-BE=-BC,DE//BC,CD±DE,平面AB￡_L平面3cDE.

22

(1)求證：6E」CE；

(2)求二面角3—AC—。的余弦值.

A

D

B仁

C

19.（2021?江蘇省漂水高級中學(xué)高二月考）如圖，四棱錐P-ABC。中，底面AB8為矩形，平面A3CQ,

E是PD的中點(diǎn)，過BC作平面BCEF交平面乃始于所.

（1）證明：尸是叢的中點(diǎn)；

（2）設(shè)二面角D-AE-C為60。，AP=1,AD=6，求三棱錐E—ACD的體積.

20.（2021?江蘇省新海高級中學(xué)高二月考）如圖1,在等邊AABC中，點(diǎn)。、E分別為邊AB、AC上的動點(diǎn)

DE

且滿足DE//6C,記F=X.將△ADE沿DE翻折到△MDE的位置并使得平面MDE_L平面DECB,連接MB,

BC

MC得到圖2,點(diǎn)N為MC的中點(diǎn).

（1）當(dāng)硒//平面AffiD時，求2的值；

（2）試探究：隨著X值的變化，二面角3-MD-E的大小是否改變？如果改變，請求出實(shí)數(shù)；I與二面角平

面角的正弦值的函數(shù)關(guān)系；如果不改變，請求出二面角3-MD-E的正弦值大小.

21.（2021?河南高二期末（理））如圖，四棱錐P-ABCD中，底面A3C。為正方形，△PAB為等邊三角

形，平面底面ABC。，E為AD的中點(diǎn).

（1）求證：CE±PD；

（2）在線段8。（不包括端點(diǎn)）上是否存在點(diǎn)歹，使直線AP與平面PEF所成角的正弦值為g,若存在,

確定點(diǎn)尸的位置；若不存在，請說明理由.

22.（2021?重慶巴蜀中學(xué)）如圖，在三棱臺ABC-4用C中，底面AABC是邊長為2的正三角形，側(cè)面ACC^A

為等腰梯形，且AG=A4,=1,。為AC的中點(diǎn).

（1）證明：ACLBD-

rr27r

（2）記二面角A-AC-8的大小為。，時，求直線A4與平面BBC。所成角的正弦值的取值

范圍.

第一章空間向量與立體幾何單元檢測卷(難)

一、單選題

1.(2021?全國高二課時練習(xí))若向量浣垂直于向量￡和B，向量石=彳￡+//3(/1,〃€尺)且

九〃b0,則()

A.m//nB.m±n

C.浣不平行于3，記也不垂直于3D.以上三種情況都有可

能

【答案】B

【詳解】

向量機(jī)垂直于向量a和則能-a=0，〃△3=0，

又向量〃=Na+,

所以機(jī)?w=?(Aa+jub)=Am-a+jumb=Q,

所以％_1_".

故選：B.

2.(2020,江蘇省姜堰第二中學(xué)高二月考)如圖，在正方體中，點(diǎn)/，N

分別是面對角線AB與8a的中點(diǎn)，若詼=￡,DC=b，DDx=c,則麗=()

A.1(c+g-?)B.|(?+&-c)C.D.|(c-?)

【答案】D

【詳解】

因?yàn)辄c(diǎn)M,N分別是面對角線48與4A的中點(diǎn)，DA=a,DC=b，西=",

所以麗=麗+甌+瓦曾

1--——-1——-

=]-c+B)+?+《_4_

故選:D.

3.(2021?江蘇高二期末)在棱長為1的正方體ABC。-A4GR中，M,N分別是其耳、人4

的中點(diǎn)，則直線AM與DN所成角。的余弦值為()

A1R2rV21n2V6

5555

【答案】B

【詳解】

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB.AD.AA所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

1

0,T；,AM-DN2

AM=DNcos<AM,DN>=2

I皿.網(wǎng)好x好

~TX^2

2

因此，直線A"與。N所成角。的余弦值為二,

故選：B.

4.（2021?湖北荊州?高二期末）如圖，在三棱柱ABC-44G中，BG與8C相交于點(diǎn)

2?2]/-,>\2]/?2?2*2,,,,,

=A0=-(AA+AC+ABj=1AA+AC+AB+2，AA-AC+2AAAB+2,AC-ABj

Kiic

i33

=-x(32+22+22+2x3+2x3+2x2)=—,

故國=孚

故選：A.

5.(2020?浙江溫州市?溫州中學(xué)高三月考)如圖四邊形ABC。，AB=BD^DA=2,

__兀57r

8C=CD=0.現(xiàn)將△AB。沿3。折起，當(dāng)二面角A-BD-C處于過程中，直線

OO

與8所成角的余弦值取值范圍是（）

572y/2

A.--

一-叵

C.0,——

O

【答案】D

【詳解】

在四邊形ABCO中，連接AC交8。于點(diǎn)。，如下圖所示:

AB=BD=DA^2,BC=CD=后,又因?yàn)锳C=AC,:.^ABC=AADC,

所以，ABAC=ADAC,故ACJ_2D,即AO_L3D,COLBD,

且AO=^AB2-BO2=V3-CO=^BC2-BO1=1，

翻折后，對應(yīng)地，BDLAO,BDLCO,-.-AO^CO^O,所以，BDmACO,

冗5TZ-

二面角A—3O—C的平面角為NAOC,設(shè)NAOC=d,則，e,

ob

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，oc、。。所在直線分別為龍、y軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則點(diǎn)A(6cos，,0,氐in?)、5(0,-1,0)、C(l,0,0),￡>(0,1,0),

所以，AB=(-V3cos0,-1,-73sin0),CD=(-1,1,0),

ABCD石cos。-15A/2A/2

COS<AB,CD

AB[\CD\2及

所以,

5J?

因此，直線AB與CO所成角的余弦值取值范圍是0,4-.

o

故選：D.

6.（2021?北京高一期末）在棱長為1的正方體ABCD-A百GQ中，M,N分別為

CG的中點(diǎn)，0為底面ABC。的中心，點(diǎn)尸在正方體的表面上運(yùn)動，且滿足NPLMO,

則下列說法正確的是（）

A.點(diǎn)尸可以是棱2月的中點(diǎn)B.線段NP的最大值為正

2

C.點(diǎn)P的軌跡是平行四邊形D.點(diǎn)尸軌跡的長度為1+四

【答案】B

【詳解】

在正方體中，以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以加、DC、方向?yàn)閄軸、y

軸、z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系,

B

因?yàn)樵撜襟w的棱長為1,分別為AA，CG的中點(diǎn),

1

則0(0,0,0),N

。心2，。上,。

設(shè)P(x,y,z),則標(biāo)=(x,y_l,z_g

所以I-

因?yàn)镹P_LMO,所以標(biāo)?麗=0

所以弓x_j(y_l)+3(z一=0,ip2x-2y+2z=-l,

乙乙乙\乙)

令z=o,當(dāng)為=3時，y=i；當(dāng)x=o時，y=g；

取叫,1,0）,中，；，。），

連接EF,FN,NE,則麗=［一￡W=f-1,0,1

ENOM=--x—+0x|-—|+—x—=0,

22{2）22

所以EFJ_QW,EN1,OM,

又EFcEN=E,且跖＜=平面ENu平面EFN,

所以O(shè)M_L平面EFN,

所以，為使NPLO暇，必有點(diǎn)Pe平面E/W,又點(diǎn)尸在正方體的表面上運(yùn)動,

所以點(diǎn)尸的軌跡為正三角形E/W,故C錯誤；

因此點(diǎn)尸不可能是棱B耳的中點(diǎn)，故A錯誤；

線段NP的最大值為NF=受，故B正確；

2

點(diǎn)尸軌跡的長度為變+走+變=逑，故D錯誤；

2222

故選：B

7.（2021?河北饒陽中學(xué)高三其他模擬）如圖，正方體A3CO-A4G，的棱長為6,點(diǎn)F是

棱M的中點(diǎn)，AC與應(yīng)）的交點(diǎn)為。，點(diǎn)M在棱3C上，且3M=2MC,動點(diǎn)T（不同

于點(diǎn)M）在四邊形ABCD內(nèi)部及其邊界上運(yùn)動，且TMLOF,則直線用/與

7M所成角的余弦值為（）

A回rV5

A.--------DR.-Vio

454

【答案】B

法一：易知3OJ_AC.

因?yàn)锳F_L平面ABC。，所以所以BO_L平面AF。,

又。尸u平面AF。，所以或）_1_。尸，

在棱。C上取一點(diǎn)M旦DN=2NC,連接NM,則所以所以動點(diǎn)了

的軌跡為線段MN（不包括M）.

取棱CG的中點(diǎn)從連接。“，易知DH"FB',則/印汨即異面直線B尸與7M所成的角.連

接BH,因?yàn)?=病仔=36，BD=6s/2，BH=3小,

DH2+BD2-BH2而

所以cosNHDB=

2DHxBD~T~

法二:以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AO，AB,朋分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系，

易知4(0,6,6),尸(0,0,3),M(4,6,0),0(3,3,0),設(shè)T(x,y,0),則TM=(4—x,6-y,0)，

友F=(0,-6,-3)，OF=(-3,-3,3)-

由題意知|/.d=-3(4-x)-3(6-y)=0，得>=1。一尤,

所以小（1,I,。），則卜,叫=焉/…

又了不與點(diǎn)M重合，所以X-4*0,所以cos（B[F,心）=半,

所以直線37與77W所成角的余弦值為手，

故選：B.

8.（2022?全國高三專題練習(xí)）在棱長為1的正方體ABC。-AAGD中，尸是線段Bq上的

點(diǎn)，過A的平面a與直線”垂直，當(dāng)尸在線段BG上運(yùn)動時，平面a截正方體

A8CO-A4GR所得的截面面積的最小值是（）

A.1B.-C.—D.72

42

【答案】C

討論，確定截面。與各棱的交點(diǎn)，求出截面面積關(guān)于t的表達(dá)式，由此可解得截面面積的最

小值.

【詳解】

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB.AD,&A所在直線分別為工、》、z軸建立如下圖所示的空間直

則4(0,0,0)、A(0,0,1)、3(1,0,0)、旦(1,0,1)、C(1,1,0),G(1,1,1)、0(0,1,0)、4(0,1,1),

設(shè)點(diǎn)P。,⑺,其中04/V1.

①當(dāng)/=0時，點(diǎn)尸與點(diǎn)8重合，BD=(-1,1,0),AC=(1,1,0),隨=(0,0,1),

所以，BDAC=0,麗?麗=0,則3D1_AC,BDVAA,,

AC^AA{=A,二即，平面朋6C,此時平面a即為平面A4,￡C,

截面面積為S=A4,?AC=0；

②當(dāng)t=l時，同①可知截面面積為5=0;

③當(dāng)。<f<l時，DP=(l,t-l,t),AC=(1,1,-1),

■.■DP-A^C=l+t-l-t=0,：.AXCVPD,則ACua,

設(shè)平面a交棱。2于點(diǎn)磯0,Lz),CE=(-1,0,z),

DPCE=-l+tz=O,可得z=!>l,不合乎題意.

t

設(shè)平面a交棱AB于點(diǎn)M(xQO),CM=(x-1-1,0),

DP-CM=x-l-(t-l)=O,可得x=r,合乎題意，即M(f,O,O),

同理可知，平面a交棱G2于點(diǎn)N（1T,1,1）,

^V=（l-r,l,O）=MC,且AN與不重合，故四邊形4MCN為平行四邊形,

而.麗2-t

AC=(1,1,-1),布=(IT,1,0),COSZCAN=

}麗.麗若."一2r+2'

------------：2(產(chǎn)—+1)

則sin"AN=-cos2NCA[N=]=

網(wǎng)產(chǎn)-2f+2)

所以，截面面積為

s=2S5=MH麗sin"AN=國/-+1）=[,一+|=半＜應(yīng).

綜上所述，截面面積的最小值為理.

2

故選：C.

二、多選題

9.（2020.遼寧高二期中）給出下列命題，其中為假命題的是（）

A.已知萬為平面。的一個法向量，比為直線/的一個方向向量，若河，歷,則"/a

2萬

B.已知方為平面。的一個法向量，沅為直線/的一個方向向量，若〈用比〉=F-,則/與a所

成角為《

O

c.若三個向量方，5,5兩兩共面，則向量B共面

D.已知空間的三個向量二，b,c,則對于空間的任意一個向量萬，總存在實(shí)數(shù)x，y，z使得

p=xa+yb+zc

【答案】ACD

【詳解】

對于A：由題意可得///a或/ua,故A錯誤；

對于B：

ZTTTT

由圖象可得，ZCAD=—,貝IJNZM2=W，

所以ZA￡)8=m，根據(jù)線面角的定義可得：/與。所成角為故B正確

66

對于C：若三個向量萬，b,1兩兩共面，但三個向量不一定共面，故C錯誤；

對于D：當(dāng)空間的三個向量萬，b,1不共面時，對于空間的任意一個向量廣，總存在實(shí)數(shù)

zUWp=xa+yb+zc,故D錯誤.

故選：ACD

10.(2021?邵陽市第二中學(xué)高三月考)如圖，菱形ABC。邊長為2,Zfi4￡)=60。，E為邊AB

的中點(diǎn).將AADE沿DE折起，使A到4,且平面ADE_L平面BCDE,連接AB,A'C.

則下列結(jié)論中正確的是(

A.BDLA'CB.四面體ACDE的外接球表面積為8兀

3

C.BC與AO所成角的余弦值為:D.直線A3與平面A'CD所成角的正弦值為

A/6

【答案】BCD

【詳解】

由題知，△ABD為正三角形，DE±AB,將沿DE折起，使A到A「且平面AZ)E_L平

面3CDE,則EB,ED,EV兩兩垂直，以E點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

z

對于A,8(1,0,0),￡)(0,5^,0),A1(0,0,1),C(2,后0),fib=(-1,73,0)-A；C=(2,也,一1)，

則質(zhì)>&%=_2+3=］盧0，故8。與4c不垂直，故A錯誤；

對于B,取CE的中點(diǎn)F,聯(lián)結(jié)DF,又DELDC,

貝ijFE=尸。=FC=,CE=LV3+4=—,

222

過F作/O_L平面CDE,四面體ACDE的外接球球心。在F。上，作OA/_LA'E,

設(shè)。尸=彳，OD=OA'=R,在RMOFD,中，

有爐=(4>+/=(t)2+(i-x)2,解得x=g,R=&,

故四面體ACDE的外接球表面積為4萬代=8萬，故B正確；

對于C,辰;=(1,6,0)，4方=(0,若，-1)，設(shè)BC與AD所成角為6,

—>—>

BCAD§

3

貝Ijcos6=r——=故C正確;

BC-A'D乙乙

.—>—>,——>,—

對于D,48=(1,0,-1)，A'C=(2,V3,-l)*A'D=(0,V3,-l)>

設(shè)平面A'CD的法向量:=(x,y,z)

n-A'C=2x+也y-z=0

則取z=5/3,

?-ArD=V3y-z=0

則：=(0,1,石)，

—>—>n-A^B—A/3_A/6

則cos<n,A'B>=

->2x0-4,

nA^B

故直線A5與平面A'CO所成角的正弦值為如，D正確;

4

故選：BCD

11.（202”重慶南開中學(xué)高三其他模擬）設(shè)所有空間向量的集合為

爐=｛（百,%,天）園,々,玉eR｝,若非空集合滿足：①“yeM,x+y&M,②

VaeR,x^M,ax&M,則稱M為爐的一個向量次空間，已知A,B均為向量次空間，

則下列說法錯誤的是（）

A.Ac5w0

B.AUB為向量次空間

C.若AuB,貝！JB=&

D.若8*何，則V元eA,總于eB且使得齊少=0

【答案】BCD

【詳解】

若“為收的一個向量次空間，則由②VaeR,x&M,就eM可知，OeM，

再結(jié)合①可得向量次空間包含元素（0,0,0）

所以向量次空間所包含的元素對應(yīng)的點(diǎn)為穿過空間坐標(biāo)系原點(diǎn)的一條直線，

或者經(jīng)過空間坐標(biāo)系原點(diǎn)的一個平面，或者是整個空間.

對于A,顯然當(dāng)A,8均為向量次空間時，（（0,0,0）｝cAnB,所以A正確；

對于B,當(dāng)A,B分別為空間中經(jīng)過原點(diǎn)的兩條不同的直線時，?。籪eA,且北歹不為

（0,0,0）,

則亍+歹走AuB,不符合①，所以B錯誤；.

對于C,例如A對應(yīng)一條過原點(diǎn)的直線/,5對應(yīng)一個過直線/的平面時，滿足A=5,

但B/R3,c錯誤；

對于D,當(dāng)A,B分別對應(yīng)空間中兩條過了原點(diǎn)，但是不相互垂直的直線時，不成立，D錯

誤.

故選：BCD

12.（2021?遼寧）已知直四棱柱，底面ABC。為矩形，AB=2,BC=6,

側(cè)棱長為3,設(shè)尸為側(cè)面明。2所在平面內(nèi)且與。不重合的任意一點(diǎn)，則直線8R與直線

PD所成角的余弦值可能為（）

A.--B.JC.—D.-

2228

【答案】BC

【詳解】

以D為原點(diǎn)，DA,DC、所在直線分別為了、V、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則

B（g,2,0）,R（0,0,3）,則西'=卜退,-2,3）,設(shè)點(diǎn)尸（x,0,z）,則加=（x,0,z）.

設(shè)直線與直線PD所成的角為凡則

畫.四|-73X+3Z|

cos6=\os（Bq,￡）尸）=

畫忖4行+z2

☆%=rcosa,z=rsina,其中r>0,

-V3rcosa+3rsina\3sincr-^coscr6（兀、6

則cos3=--------------------=-----------------=——sina---<,

4r42V6j2

所以，cos6e0,當(dāng).顯然，1e0,2,

三、填空題

13.（2020■全國高二課時練習(xí)）已知,卜13,忖=19,卜+q=24,則,-?=

【答案】22

【詳解】

,rr,2rrrr.r.2rr,r,2°rr

因?yàn)椴?0=a2+2a-b+b2=a+2a-Z>+Z?=132+2a-Z?+192=24",

所以2=力=46,

irr|2r2rrr2,

a—6=a-2a-b+b=13?—46+19?=484,

故1-0=22.

故答案為：22

14.（2021?浙江）如圖，在棱長為4的正方體ABC。-A4GR中，M是棱A/上的動點(diǎn),

N是棱3C的中點(diǎn).當(dāng)平面0MN與底面A3CD所成的銳二面角最小時，4M=.

設(shè)M（4,0,a）（0VaV4）,N（2,4,0）,〃（0,0,4）

麗=（_2,4,-a）,麻=（2,4,T）

設(shè)平面RMN的一個法向量為〃=（x,y,z）

r—L：（4-4）z

[n-MN=0f-2x+4y-az=04

1萬.。田=。[2x+4y-4z=0（a+4）z

J=-8-

令z=8,x=8-2a,y=a+4,則〃=（8—2aM+4,8）

平面ABCD的法向量的一個法向量為X=（0,0,1）

設(shè)平面與底面ABC。所成的銳二面角為。

“…八幾?a88

所以cos6=|一||一|二/「

〃

阿川J（8—2Q）+（a+4）J5a2—24+144

741?c

當(dāng)。=正=不時，cos。有最大，則。有最小，所以

Q

故答案為：—

15.（2021?安徽高二期末（理））已知正四面體A-3CD的外接球半徑為3,為其外

接球的一條直徑，P為正四面體表面上任意一點(diǎn)，則兩.兩的最小值為

【答案】-8

【詳解】

設(shè)正四面體外接球球心為。，

正四面體A-3CD的外接球半徑為3,

設(shè)正四面體A—BCD內(nèi)切球半徑為小一個面的面積為S,高為"，貝|匕86=4、39=：5〃，

所以〃=4r,顯然r+3=〃=4r,所以廠=1,即歸。、“=1.

PMm=fW+OMYfPO+ON^Pd1+OMON=PO2-9.A-9=-S-

故答案為：-8.

16.（2021?全國高三其他模擬）在棱長為3的正方體A3C￡>-A4G，中，詼=2成，點(diǎn)尸

在正方體的表面上移動，且滿足用尸，RE,當(dāng)尸在CC,上時，|AP|=；滿足條件的所

有點(diǎn)尸構(gòu)成的平面圖形的周長為.

【答案】05夜+2加

【詳解】

如圖，取CC］、8上的點(diǎn)分別為N、M,連接AM、MN、B、N、AB］，使得ABJ/MN,

:.A,耳、N、M四點(diǎn)共面，且四邊形A4NM為梯形.

???正方體的邊長為3,

所以，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，D4所在直線為無軸，OC所在直線為y軸，。2所在直線為z軸

建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則4（3,0,0）、4（3,3,3）、R（0,0,3）、￡（1,3,0）.

設(shè)點(diǎn)M（0,私0）、N（0,3,〃）,設(shè)點(diǎn)ELAM,且屏=（1,3,-3）,AM=（-3,m,O）,

屏?疝'=-3+3m=0,解得m=1,

?.?麗=（0,3,3）,扉.福=9一9=0,：.DlEl.ABi,

由AMnABi=A,則RE,平面A耳NM.

???點(diǎn)P在正方體表面上移動，且用尸■!RE,則點(diǎn)尸的運(yùn)動軌跡為梯形AB、NM.

說=（0,2,〃），I\E-MN=6-3n=Q,解得〃=2,即點(diǎn)N（0,3,2）.

所以，當(dāng)尸在CG上運(yùn)動時，|分尸|=|AN|=J（3-Op+（0-3）2+（0-2）2=后,

又Q|Mf|=20,|ABj=30,|4^|=忸闡=質(zhì)，

所以，梯形A耳NM為等腰梯形，

且梯形的周長|44|+|知可|+2|4/=30+20+2廂=5血+2廂.

故答案為：后；5V2+2A/10.

四、解答題

17.（2021?全國高二課時練習(xí)）已知點(diǎn)。是正AA3C平面外的一點(diǎn)，若

OA=OB=OC=AB=1,E,尸分別是AB、0c的中點(diǎn)，試求。石與跖所成角的余弦

值.

【答案】j2

【詳解】

設(shè)麗=￡,礪=B,OC=c,則〃?BB?c=c?a=g加|=W=卜|=1，

OE=-(a+b]fBF=-c-b,

2、)2

殖而$+40司=/3."+那時前一〃

1-----2、

=——a-c+—b'C-a-b-b

2(22)

I

2

所以cos（無，詼）=OEBF2

3

闔.阿「走x且

因?yàn)楫惷嬷本€成角的范圍是,所以異面直線。E與BF所成角的余弦值大于等于0,

故異面直線0E與BF所成角的余弦值為j2.

18.（2020?廣東茂名市?高二期末）已知在四棱錐A_5CDE中，

AE=AB=ED=CD=^BE=-BC,DEUBC,CDVDE,平面AB￡J■平面BCDE.

B匕

（1）求證:BE^CE；

（2）求二面角3—AC—。的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）-叵.

【詳解】

r

(1)證明：?.?CD_Lr)￡;./EDC=9(r^lJCE2=EZ)2+CD2

...ED=CD=—BE=-BC

22

CE2+BE2=ED2+CD2+BE1

故BE_LCE.

文:面ABE_L平面BCDE,且面48￡八面BCDE=BE

：.CE^ABE

又BEu面ABE,：.BEYCE.

（2）取BE的中點(diǎn)。，連AO,則AO_L3E,從而AOJ_面BCDE.

取。為原點(diǎn)，04為z軸，過。且平行于C。的直線為x軸，過。平行于BC的直線為y軸,

建立如圖空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)A8=2,則B(1,-1,0),C(1,3,0),D(-1,3,0),A(0,0,&)

CD=(-2,0,0),CA=(-1,-3,6AB=(1,-1,-72),BC=(0,4,0)

設(shè)平面ACD的法向量為％=（x1,y],z1）,

4?①=01-2西=0

則，令z、=叵,得E

居?CA=0'—xt—3%+A/2Z；=0

設(shè)平面ABC的法向量為為=(尤2，%*2)

k-AB=0k-y2-V2z2=0

、［n2-BC=014y2=0

令z?=6，得我=(2,0,拒)

>=0+0+2

Z.COSV%,而

22

211

0++2x722+0+2

3

又由圖知二面角B-AC-D為鈍角

?1.二面角B-AC-D的余弦值為-返.

11

19.（2021?江蘇省深水高級中學(xué)高二月考）如圖，四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD為矩形,

PA_L平面ABCD,E是尸。的中點(diǎn)，過3C作平面BCEF交平面24￡＞于跖.

（1）證明：產(chǎn)是PA的中點(diǎn);

（2）設(shè)二面角O-AE—C為60。，AP=1,AD=6,求三棱錐E—ACD的體積.

【答案】（1）證明見解析；（2）顯

8

【詳解】

解：（1）證明???四棱錐尸-ABCD中，底面ABC。為矩形,

:.BC//AD,

平面RW,ADu平面PAD,

.?.3C〃平面PAD,

v過BC作平面BCEF交平面PAD于EF.

.?.EFu平面PAD,旦EFUBC,

.-.EF//AD,

?.?E是P￡＞的中點(diǎn)，二廠是B4的中點(diǎn)；

（2）以A為原點(diǎn)，A3為x軸，A￡）為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

石，0),0(0,50),E(0,B,i),

設(shè)AB=f,r>0,則A(0,o,0),c(t,

22

AE=(0,B,3)，AC=(t,G，0),

AD=(0,G,0),

22

平面ADE1的法向量為=（1,0,0）,

設(shè)平面ACE的法向量加=（x,y,z）,

m-AC=tx+6y=0

則)取y=i,得玩1,->/3),

m-AE=y+—z=0

22

???二面角D—M—C為60。,

i□3

?MY?'=不,由方>。，解得％=「?口=彳，

/3.222

#+4

1

--X國|=

UAACD2

E到平面ACD的距離d=：PA=g,

二三棱錐E-ACD的體積/Tc?=；xS.AsXd=；x羋x；=^.

3542o

20.(2021?江蘇省新海高級中學(xué)局二月考)如圖1,在等邊△ABC中，點(diǎn)。、E分別為邊

np

AB、AC上的動點(diǎn)且滿足?！辍?C,記*;=2.將△ADE沿DE翻折到△的位置并使得

平面平面DECB,連接MB,MC得到圖2,點(diǎn)N為MC的中點(diǎn).

圖1圖2

(1)當(dāng)EZV〃平面時，求X的值；

(2)試探究：隨著力值的變化，二面角3-的大小是否改變？如果改變，請求出實(shí)

數(shù)4與二面角平面角的正弦值的函數(shù)關(guān)系；如果不改變，請求出二面角B-MD-E的正弦值

大小.

【答案】(1)|(2)述

【詳解】

(1)取的中點(diǎn)為P,連接DP,PN,

因?yàn)镸N=CN,MP=BP,所以NPIIBC,又DEIIBC,所以NPIIDE,即N,E,D,P四點(diǎn)共

面，又ENII面BMD,EA/q?NEDP,平面NED